Метод нестационарной аналогии в задаче о волнах на поверхности тяжелой жидкости, генерируемых низколетящим крылом Текст научной статьи по специальности «Физика»

Будем полагать, что движение жидкости потенциальное, то есть в любой точке вектор скорости жидкости может быть определен как градиент скалярной функции Ф(у, г, г) :

- . . ЗФ г ЗФ -

У(у, г, г) = УФ(у, г, г) = — г + — ] .

Зу Зг

Уравнение неразрывности жидкости [5] приводит к двумерному уравнению Лапласа

З2Ф З2Ф

= 0, V(y,z,t) eQuR .

(1)

Зу2 Зг2

Для того, чтобы получить задачу, описывающую конкретную форму движения жидкости, необходимо к уравнению Лапласа (1) добавить условия на границе области О (граничные условия) и условия в момент времени г = 0 (начальные условия).

1. Граничные условия на свободной поверхности жидкости:

а) кинематическое условие получается из факта невозможности ухода частицы жидкости со свободной поверхности жидкости. Если уравнение свободной поверхности определить как г = Т]( у, г), то это условие примет вид

ЗФ( y,0, t) 3л( y, t)

3z

3t

= 0, z = 0;

б) динамическое условие выражает факт заданности на свободной поверхности давления, определяемого как функция Р(у, г). В соответствии с интегралом Лагранжа-Коши уравнений Эйлера получим

3Ф( y,0, t) , , 1 л/ , (y, , -+gn(У, t) = - - P(У, t),

(2)

Зг р

где g - ускорение свободного падения; р - плотность жидкости.

2. Условия на бесконечности: при |у| ^ да или г ^ —да

0.

3. Начальное условие. Выберем безударный вариант начала движения жидкости. Данное условие задает тот факт, что в момент времени г = 0 свободная поверхность

жидкости не возмущена и движения жидкости нет:

Ф( у,0,0) = 0; ЗФ( уД0) = 0.

Зг

Таким образом, мы имеем начально - краевую задачу для уравнения Лапласа

= 0

32Ф 32Ф

3yz 3z2 3Ф _ 3Л _ 0 3z ~ 3t' = '

3Ф P(y, t)

— + g 'Л = —^^, 3t p

(3)

z = 0,

Решим эту задачу, используя преобразование Фурье по координате у. Система (3) перепишется следующим образом:

3 2Ф

3z2

- к2Ф = 0,

3Ф _ 3ф _ 3z ~ 3t' = ,

3Ф ~ ~

+ g~ = -р(к, t), z = 0,

3t

где к - переменная Фурье.

Решение первого уравнения системы (4) имеет вид Ф = А(к, t) • e. Подставим полученное значение Ф в два оставшихся уравнения системы (4)

к • А(к, t) = ,

0A ~ ~ X т ч

— + gn = - Р(к, t),

. 0t

Учитывая начальные условия л(0, к) = 0 и A(0, к) = 0, из первого уравнения (5) находим 1 0л

A = щ • —, а из второго уравнения системы (5) получим

О2?+gk ~=- kip(k, t).

Используя метод вариации произвольных постоянных, находим отсюда ц(к, t), а, следовательно, и A(k, t) :

t

A(k, t) = -J P(k, x) соь(Л[^\к\^ - x))0x.

0

Тогда Фурье образ функции потенциала скорости будет

t

Ф = -eky JP(k, x) cos(y[g\k\ (t - x)) dx.

0

Переходя от Фурье образов к оригиналам, получаем выражение для потенциала скорости

х t

Ф(y, z, t) =--J ~lky J P(k, x) cos^^gjk(t -x)) dxdk. (6)

-x 0

Рассмотрим два простых случая зависимости давления (в данном случае Фурье образа функции давления) от времени P (к, t) :

1) Пусть над поверхностью жидкости движется компактная область повышенного постоянного давления P0 = -D, где D - нагрузка на крыло. Такая форма движения характерна

4ba

для аппаратов, использующих статическую воздушную подушку или экранопланов с развитыми шайбами на концах крыла. Тогда, если обозначить T - время, за которое крыло пройдет путь, равный хорде 2a, то функцию давления можно задать формулой

fP0; если - b < y < b; 0 < t < T,

t) 4n I I a , T

[0; если |y| > b; t > T.

Поэтому:

- если t < T, то

р(к, t) = P0 J ellcydy = P b (cos ky+i sin к);^ = 2P b cos kydy = 2P • ^^; P -b P -b P 0 P к

- если t > T, то

Р(к, t) = 0.

С учетом этого получим:

- если t < T, то

Ф(y, z, t) = -р Xe^-liy ^^ J cos^TSW (t - x)) dxdk; тср к

r -x 0

- если t > T, то

Ф(у, z, t) = -P -lky ^^ fcos(Jg\h\ (t - X)) dxdk nP J k i v

-2a

Введем безразмерные переменные. Пусть у = у• 2a, z = z• 2a, t = t —, Ф = Ф-2av0,

к = к2а, X = Ь, где X - относительный размах крыла. Удобно также ввести гравитационный а

2ga 1

критерий подобия ш = —— = —-, где Ег - число Фруда. Введём, кроме этого, число Фруда

^0 Ег

по нагрузке FD =

VgVD/y

, где у - удельный вес жидкости. С учетом введенных величин

потенциал скорости равен (черточки над безразмерными величинами далее опущены)

Ф (У, z, t) =

-ft

V0

- P

.2

V0

k|z-lky k

|k|z-ky k

• sm

• sm

kl' vT ,

hiЛ v~2 ,

f

k • t)

dk, 0 < t < 1,

in(^ k • t) - sin(^ k • (t -1))^

dk, t > 1.

Теперь определим уравнение свободной поверхности жидкости. Динамическое условие (2) можно переписать следующим образом:

ЗФ(у,0, г) Р(у, г)

gn( У, t) = --

P

тогда, введя безразмерную высоту волны ^ = —, взяв производную по t от найденного по-

2a

тенциала скорости и перейдя к безразмерным величинам, по указанным формулам получим уравнение свободной поверхности жидкости под низколетящим крылом

- 2P0 7 cos ky . (kl\ t I—г , „ P(y, t) n Л -V I--• sinl— !• cos(V ©• k • t) dk + J, если 0 < t < 1;

Г . r> . Л!2 J к 9 r> . V2

Л( У, t) = -—< ш

v02 f k

P^ v02

- 2Pn

V0 0

cos ky . (kl\ , , I—- . —sinl — !• (cos(Vk • t) -

(7)

- cos(V Ш

(Virak • (t -1))) dk + P(y,.t), если t > 1;

P^ V2

где P(y, t) =

i

P0, 0 < t < 1, |y| <0, t > 1, lyl >-. И 2

По формуле (7) были проведены расчеты волнообразования на поверхности тяжелой жидкости при движении по ней прямоугольной компактной области повышенного давления с параметрами Р0 = 350, Х = 4, Бг = 1, ¥в = 1,388 и Р0 = 350, Х = 4, Ег = 3, Ев = 4,163. Результаты расчетов представлены на рис. 2, рис. 3 соответственно.

V

0

V

0

7

7

7

7

7

Рис. 2. Форма свободной поверхности жидкости при движении по ней компактной области повышенного давления с параметрами р = 350, X = 4, Рг = 1, Рв = 1,388

Рис. 3. Форма свободной поверхности жидкости при движении по ней компактной области повышенного давления с параметрами р = 350, X = 4, Рг = 3, ^ = 4,163

2) Возьмём в качестве первого приближения форму распределения давления под низколетящим крылом, движущимся над твёрдой поверхностью, близкую к треугольной. К такой форме приводят первые приближения квадрупольной теории крыла [1] и метода сращиваемых асимптотических разложений [2]. Пусть давление под низколетящим крылом имеет треугольную форму эпюры. Тогда, если обозначить T - время, за которое крыло пройдет путь, равный хорде 2a, то функцию давления можно задать формулой

f2P0ф(>); если - b < y < b; 0 < t < T, ' |0; если lyl > b; t > T.

При этом Р0 определяется, как и в (7), а функция ф(7) имеет вид

ф(0 = 1 -t, (8)

Т 2a где 1 =— .

V0

Поэтому: - если t < T, то

~ , 2P0 -ф(1) b ^ 2P^(t) \f , . . , w 4P0 ) b , . 4P0 -ф(1) sin kb P(k,t) =—0 7 -I e'^dy =—^^ -I (cosky+' sinky)dy =—-I cos kydy = 0

P 4 P -b P

- если t > T, то

P(k, t) = 0.

С учетом (8) подставим P (k, t) в (6). В результате получим:

- если t < T, то

P

k

Ф^, z, t) = - ^ - Г e ^P -J

J sin kb 1

: z-'ky

k

I (1 ) - cos(73k - (t-T)) dxdk;

- если t > T, то

ф(y, z, t) = -^ -Je^k sin kb < ~ T

k

i

I (1 ) - cos(73k - (t-T)) dTdk

^Р - 0

Введем безразмерные величины так, как это было сделано выше. С учетом введенных величин потенциал скорости равен (черточки над безразмерными величинами далее опущены)

Ф( y, z, t) =

- 2 P 2 P0

л-Р-v02 Г k -J

- 2 P0

л-Р-v02 Г k -J

sin

• sm

v 2 / v 2 /

sin(^rä- k -1) 1 - cos(f-k -1)

dk, 0 < t < 1,

sin(^rä- k -1) cos(f k - (t -1)) cos(f-k -1)

- |k| (^ rä - |k| )2 (^

dk, t > 1.

Далее, действуя таким же образом, как и в первом случае, получим уравнение свободной поверхности жидкости под низколетящим крылом

Л( y,t) = - — ш

- 4Pn J cos ky . f kX 0 1 -sinl -

^-P-V0 0

k

V 2

^ , I-г ч sin(Vräk -1

cos(vш- k -1) -

л/ю - k

dk +

+ P(y,1), если 0 < t < 1; P-V0

4P>0 Гcos ky - sinl — | - (cos(Vо - k -1) + тс-р-v0 J0 k V 2 j

+ sin^Vrä-k - (t -Щ- -1 ))dk + ДМ, если t > 1;

л/ш - k

P- v02

, (9)

где P( y, t) =

2P)(1 -1), 0 < t < 1, |y| <-,

0, 1 > 1, |y|

2'

По формуле (9) были проведены расчеты волнообразования на поверхности тяжелой жидкости при движении по ней крыла с параметрами Р0 = 350, Х = 4, Ег = 1, Е> = 1,388 и

Р0 = 350, X = 4, Ег = 3, Еп = 4,163. Результаты расчетов представлены на рис. 4, рис. 5 соответственно.

0

0

2

Рис. 5. Форма свободной поверхности жидкости при движении по ней низколетящего крыла с

параметрами р = 350, X = 4, Рг = 3, = 4,163

....... * • • * • • -Е.1: у=0.038 ---К2: >=-2.165 ---Т1.у=0.038 > • • • Т2: >=-2.165 1 1

■ы

• • • •

• • • • • • _ и 1 ^ ■ ■ - '

• 1 — """

Рис. 6. Сравнение форм свободной поверхности жидкости в диаметральной плоскости (Л1, Т1) и под кромками (Я2, Т2) крыла с параметрами р = 350, X = 4, Рг = 1, ¥в = 1,388 для двух типов распределения давления

На рис. 6 показано сравнение форм свободной поверхности жидкости в точках y = 0,038 и y = -2,165 низколетящего крыла с параметрами P0 = 350, Х = 4, Fr = 1, F> = 1,388 для двух типов распределения давления под крылом - равномерного (кривые R и R ) и треугольного (кривые T и T ).

В рассмотренной модели волнообразования под низколетящим крылом отсутствует видимая связь с параметрами геометрии объекта - относительным отстоянием от экрана и углом атаки крыла, так как нагрузка на крыло фиксирована. В этом случае основным критерием волнообразования становится число Фруда по нагрузке (по «водоизмещению»). Явная зависимость волнообразования (и связанные с ним параметры «мореходности») от геометрии объекта могут быть получены в итерационном процессе корректировки местных отстояний с учётом волнообразования в задаче квадрупольной теории крыла [1], [4]. Также из-за того, что распределения скорости и давления в каждом сечении жидкости эволюционируют независимо друг от друга, то не учитывается взаимодействие сечений жидкости между собой и перетекание жидкости по продольной координате.

В рамках нестационарной аналогии удалось получить простые быстроработающие формулы расчета волновой поверхности под крылом конечного размаха, которые могут быть использованы в итерационном процессе расчёта элементов гидроаэродинамики объектов, использующих статическую или динамическую воздушную подушку.

Библиографический список

1. Панченков А. Н. Квадрупольная теория крыла вблизи твердой границы / А. Н. Панченков // Асимптотические методы в динамике систем. - Новосибирск: Наука, 1980. С. 5-116.

2. Рождественский, К. В. Метод сращиваемых асимптотических разложений в гидродинамике крыла / К. В. Рождественский. - Л.: Судостроение, 1979. - 208 с.

3. Орлов, Ю. Ф. Потенциал ускорений в гидродинамике корабельных волн / Ю. Ф. Орлов. -Новосибирск: Наука, 1979. - 214 с.

4. Орлов Ю. Ф. Алгоритмы расчета формы свободной поверхности тяжелой жидкости под низколетящим крылом / Ю.Ф. Орлов // Асимптотические методы в механике. - Новосибирск: Наука, 1983.

5. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика: учеб. пособие: В 10 т. Гидродинамика. - 3-е изд., пере-раб. / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - М.: Наука, 1986. Т. VI. - 736 с.

Дата поступления в редакцию 04.06.2013

S. A. Khimich

THE METHOD OF NON-STATIONARY ANALOGY IN THE PROBLEM OF THE WAVES ON THE SURFACE OF A HEAVY LIQUID UNDER LOW-FLYING WING

Nizhny Novgorod state technical university n.a. R.E. Alexeev

Purpose: The goal of this study is to simplify three-dimensional problem of the motion of compact domain of increased pressure on the surface of a heavy liquid using the method of non-stationary analogy.

Approach: The main idea is to replace three-dimensional stationary problem of the motion of compact domain of increased pressure on the surface of a heavy liquid by the set of two-dimensional non-stationary problems. Further, the set of two-dimensional non-stationary problems is solved using Fourier method.

Findings: Simple formulas for wave surface calculation were obtained. The calculations of wave surface were performed using these formulas for two cases of pressure distribution: the uniform distribution and the triangular distribution.

Originality: The obtained results are original. It may be useful in the development of hovercrafts. Key words: gravity waves, low-flying wing, air cushion, the quadrupole theory of wing.

УДК 517.9

Д.Е. Пелиновский12, А.Р. Гиниятуллин2, Ю.А. Панфилова2, Е.Г. Шургалина2, А.А. Родин2

АНАЛИТИЧЕСКИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ УЕДИНЕННЫХ ВОЛН В ЗЕРНИСТЫХ КРИСТАЛЛАХ

Департамент математики и статистики, Университет МакМастера, Гамильтон, Канада1 Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева2

Цель работы: исследовать динамику зернистых цепочек с сильно нелинейными потенциалами. Получить новую модификацию уравнения Кортевега - де Вриза, характеризующегося логарифмическими нелинейностями. Найти семейство его точных решений в виде Гауссовых уединенных волн и доказать их устойчивость. Научный подход: исследование проведено как аналитически, так и численно.

Результат: из дискретного уравнения Ферми - Паста - Улама с сильно нелинейными потенциалами Герца получено уравнение Кортевега - де Вриза с логарифмической нелинейностью. Показано, что Гауссовы локализованные решения уравнения Кортевега-де Вриза дают аналитические аппроксимации сильно локализованных уединенных волн в зернистых цепочках. Ошибка аналитических аппроксимаций контролируется в пространствах с быстрым затуханием на бесконечности. Доказана спектральная устойчивость Гауссовых локализованных решений в рамках уравнения Кортевега - де Вриза. Показано также, что модели типа Буссинеска с компактными решениями, ранее выведенные формально в физической литературе, являются сильно неустойчивыми и плохо обусловленными по отношению к временной динамике, а их применение сильно ограничено в задачах, связанных с уединенными волнами в зернистых цепочках.

Новизна: результаты исследования могут иметь приложение для анализа отклика зернистой среды различной природы на локализованное воздействие.

Ключевые слова: логарифмическое уравнение Кортевега-де Вриза, уединенные волны Гауссовой формы, дискретное уравнение Ферми-Паста-Улама, спектральная устойчивость.

Введение

Задача анализа отклика нелинейной решетки на локализованное возмущение возникает во многих приложениях таких, как исследование волн напряжения в зернистой среде после воздействия [41, 43], возбуждения нелинейных колебаний в кристаллах под бомбардировкой атомами [10, 11], или отклик нелинейной линии передачи импульсного напряжения [3]. Некоторые важные динамические явления могут быть объяснены с помощью модели Ферми-Паста-Улама (ФПУ) [8, 19] состоящей из цепочки связанных частиц с потенциалом парного взаимодействия V. Динамические уравнения для пространственно однородной ФПУ-цепочки имеют вид

й2х

—Г = Г(хя+1 _ хп) - V (хп - х„_1), п е 2, (1)

т

где х„{() е Я является смещением п -й частицы от равновесия. Систему (1) можно переписать в терминах относительных смещений ип = хп - хп-1 и скоростей частиц ри = Хп следующим образом:

тЦг = Рп _ Рп-1, = V (Ип+1) _ V (Пп ), п е т. (2)

т т

Динамическая эволюция локализованных решений (2) сильно зависит от свойств потенциала взаимодействия V. В самой общей форме потенциал взаимодействия удовлетворяет условиям:

V е С2(Я), V (х) = кх + ОДа), (3)

© Пелиновский Д.Е., Гиниятуллин А.Р., Панфилова Ю.А., Шургалина Е.Г., Родин А.А., 2013.