CC BY
15
УДК 532.59:629.73
В. М. Козин, А. А. Матюшина
ВЗЛЁТ И ПОСАДКА САМОЛЁТА НА ЛЕДЯНОЙ ПОКРОВ В УСЛОВИЯХ ПЕРЕМЕННОЙ ГЛУБИНЫ ВОДОЁМА
В работе представлено решение трехмерной задачи о взлёте и посадке самолёта на плавающий ледяной покров в условиях переменной глубины водоёма. Рассматривается движение самолёта к берегу и от него. Решение задачи получено с использованием интегральных преобразований Фурье и Лапласа. Анализируется влияние склона дна и режимов движения нагрузки на колебания льда.
Ключевые слова: ледяной покров, переменная глубина, упругая пластина, взлёт, посадка. Введение
Арктический континентальный шельф в будущем — основной источник энергетических ресурсов, т. к. он содержит около 15% всех шельфовых запасов углеводорода в мире. В связи с этим для ряда стран является актуальной задача освоения высоких широт. Освоение полярных районов невозможно без наличия постоянно действующих транспортных путей. Современная авиация приспособлена к работе в условиях Арктики.
Выбор месторасположения ВПП на ледяном покрове должен производиться с учётом топографии донной поверхности, поскольку переменность глубины водоёма может оказать существенное влияние на колебания ледяного покрова.
На протяжении двух последних десятилетий проводятся всесторонние исследования воздействия на ледяной покров различного вица нагрузок. Фундаментальными работами в данной области являются работы Д. Е. Хейсина [3] и В. Сквайра [8].
Влияние переменной глубины водоёма при нестационарном движении нагрузки по пластине рассмотрено в двумерной постановке в ра-
Козин Виктор Михайлович — доктор технических наук, профессор (Институт машиноведения и металлургии ДВО РАН, Амурский гуманитарно-педагогический государственный университет, Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет, Комсомольск-на-Амуре); e-mail: kozinvictor@rambler.ru.
Матюшина Анна Александровна — аспирант (Амурский гуманитарно-педагогический государственный университет, Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет, Комсомольск-на-Амуре); e-mail: amatiushina@gmail.com
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ (проект № 16-38-00089 «Исследования напряжённо-деформированного состояния ледяного покрова, вызванного движением по нему нагрузки переменной интенсивности»).
© Козин В. М., Матюшина А. А., 2016
50
боте И. В. Стуровой [2]. Для малого угла наклона донной поверхности в трёхмерной постановке в работе А. В. Погореловой [6] было исследовано влияние угла наклона дна на волновое сопротивление нагрузки, движущейся по плавающей пластине. Показано, что в зависимости от направления движения и угла наклона донной поверхности, переменность глубины водоёма может существенно увеличить волновое сопротивление движущейся нагрузки. Решение трехмерной задачи о нестационарном движении нагрузки по плавающей пластине при переменной глубине водоёма представлено в работе А. В. Погореловой [1]. Проведён анализ влияния глубины водоёма, толщины пластины, размеров и интенсивности нагрузки, скорости равномерного движения на амплитуду и максимальный прогиб пластины.
Отдельную группу исследований составляют работы, направленные на изучение влияния переменной глубины водоёма на колебания больших плавучих конструкций (Very Large Floating Structure — VLFS). В работе [10] была применена Ray-теория для оценки воздействия на плавучую конструкцию волн, распространяющихся в слое воды переменной глубины.
Работа [5] посвящена анализу влияния топографии морского дна на поведение плавучей платформы, моделируемой пластиной Кирхгофа. Исследования проводились для четырёх вариантов топографии дна. Расчёты, выполненные с помощью метода конечных элементов, показали, что для различных случаев топографии дна уменьшение гидродинамических откликов наблюдается в задней части набегающей волны.
В продолжение темы исследований, посвящённых колебаниям больших плавучих конструкций, можно упомянуть работу [9]. Авторами были проведены экспериментальные и теоретические исследования колебаний плавучей конструкции при воздействии на неё набегающей волны. В условиях глубокой воды неровность дна не оказывает значительного эффекта на величину колебаний платформы.
Цель данной работы — провести теоретическое исследование колебаний ледяного покрова, плавающего на слое жидкости переменной глубины, во время взлёта и посадки самолёта ИЛ-76ТД.
Математическая постановка задачи
Задача решается в трёхмерной постановке. Ледяной покров представлен бесконечной изначально ненапряжённой упругой пластиной толщиной h, лежащей на слое идеальной жидкости переменной глубины H' = H' (x') . Предполагается, что движение жидкости потенциальное.
Система координат располагается следующим образом: ось x' направлена вдоль направления движения самолета, плоскость x'Oy' совпадает с невозмущённой поверхностью раздела пластина — жидкость, ось z' направлена вертикально вверх.
51
В момент времени Ь' = 0 на пластину начинает действовать нагрузка ц', движущаяся со скоростью и''). Нагрузка ц' представляет собой область распределённого давления, состоящую из трёх прямоугольников, моделирующих шасси самолета. На рисунке 1 показана схема задачи.
Рис. 1. Схема задачи: 1 — пластина; 2 — жидкость; 3 — дно водоема
Для аналитического решения задачи по аналогии с работой [1, с. 168] совершается переход к безразмерной постановке. Для этого вводится характерный размер — глубина водоёма Н0 в точке х' = 0 (начало системы координат ОX'у'х') и безразмерные величины и функции:
=_у_ 2 = ^ 1=и_ в = _в_ ~ = Н=Н_ , = ,-ГЦ
Н0 Н0 Н0 Н0 Н0 Н0 Н0 V Н0
Ф' а' и' и'
ф = —1=, а=, и=—,и = -
Н0т1ЁЩ' Рг
где Ь — длина прямоугольника; В — ширина прямоугольника; т ', т — размерная и безразмерная величины прогиба пластины соответственно; Ф - функция потенциала скоростей движения жидкости, удовлетворяющая уравнению Лапласа АФ = 0; и — ускорение нагрузки.
Линеаризованные граничные и начальные условия для функций потенциала скоростей движения жидкости Ф и прогиба пластины тт запишутся как:
( я4 Я4 Л
К
д4 д4 dx4 дх 2ду2 ду4
~ д2то ~ дФ ...
то + е—— + то +--= -q, z = 0, (1)
дЬ2 дЬ
52
^ = 0, z = -H, (2)
dn
z = 0, (3)
dz dt
W = dw = 0, t = 0, (4)
dt
где K = —D—, e = Plh , D = Eh3/l2(1-v2) — цилиндрическая жёсткость
Pi 8Ht PiH о
пластины; E — модуль Юнга; v — коэффициент Пуассона; h — толщина пластины; р, р2 — плотности пластины и жидкости соответственно.
Введём новую систему координат O^rC, совмещённую с нагрузкой q : 4 = x - s(t), r = y, C= z/ (l- tanh(yx)). (5)
Выражение для прогиба в новой системе координат перепишется в виде: w(x, y, t) = W(x, y, t)/(1 - tanh(yx)). (6)
Следуя работе [1, с. 170], предполагается, что \у\<< 1, следовательно, выражения для Ф и w можно записать в следующем виде:
Ф = Фо + уф + O(y2), |у|<< 1, (7)
w = w0 + ywx + O(y2), |у| << 1, (8)
где Ф0 и w — функции потенциала скоростей движения жидкости и прогиба пластины при H = const, у = 0.
Аналитическое решение
Аналитическое решение было получено подобно работе [1, с. 173]. Выражение для расчёта прогибов ледяного покрова в условиях переменной глубины водоёма было получено в следующей форме:
w, =---| как I au | |1 +14 +.Is х т
1 4п i 1 JJ 1 + кк4 (9)
0 -п
-i--1как |au 11^ п I 1 11 1
0 —п -«-«
х exp(/k((^ - x) cosU + - y) sin &))axiayl,
t
I3 = [(AF) t (tanhk + a(k + tanhk)) + A[t (1 +at tanhk)]x exp(os(t))coshk I4 = a Ft (X + s(t))k tanh k exp(os(t))cosh k,
4kuK 2
I5 = (Ii +12) |xi + s(t)-■
1 + Kk
53
q(r) exp(-as(t)) sin(Pt) q(0)
F = -f cos(P(t -r)) q(r)exp(-CT(t)) dz + J (Л Л- c- h tnrib ЪЛ rv^eb h
(1 + sktanhk)coshk p (1 + sktanhk)coshk'
p =
\
k sinh k (1 + Kk4) „
и = ik cosy
(1 + sk tanh k )cosh k
A = £- k (x + s(t)), Ai =j/2(r)sm(^-r)) dr, 2k 0 P
f2(t)=
1
(1 + ek tanh k )cosh k
(x +ä(0)| f" +q(t )exp(-as(t))+au(t )q(t)exp(-a s(t))
1 1 1tt (1 + ek tanhk)cosh k y
-^Л^аЛк + к)(1 + кк4) -(^Л),,"(е 1апЬк + ек +1апЬк)+ ^4как3 tanhк].
Итоговая формула для расчёта прогибов ледяного покрова при взлёте и посадке самолёта в условиях переменной глубины водоёма запишется как:
w
= Ho(1 - tanh0*))(wo +JW1), И << 1. (10)
Согласно работе [7, с. 1036] прогиб ледяного покрова при взлёте и посадке самолёта в условиях постоянной глубины водоёма имеет вид:
1 ад ж +ад+ад j j
w = —^ i kdk f de ff 1 + \ x / x
0 4ж f f ff 1 + xkA (11)
0 -Ж -ад-ад
x exp(ik((^ - x )cos в + fl- y )sin в)) dxdy,
t
I1 = fpsin(p(t - r)) q(r) exp(a(s(t) - s(r))) dr,
0
I2 = q(0) cos(ßt) exp(^ s(t)),
q'( x", y", t") =
„, , (M - Fl (t))/Scp2gH, (x, y) gQ
[0, (х, у) ёО.
где М — вес самолёта; ^ (() — подъёмная сила крыла; — площадь области О, состоящей из двух прямоугольников, моделирующих задние шасси самолёта е [—1;1], / е [—4; — 2] ^[2; 4]) и одного прямоугольника, соответствующего переднему шасси (£'е [13,5; 14], е [—0,5; 0,5]), размеры приведены в метрах.
Заметим, что в случае посадки самолёта 12 = 0, поскольку д(0) = 0 . Подъёмная сила крыла рассчитывается по формуле [4, с. 18]:
0
X
54
F (t) = 1 pau\t) AwCl (t), CL (t) = aLebl>,
где C (t) — коэффициент подъёмной силы; параметры и ^ приведен^! в качестве констант для случаев взлёта и посадки; p — плотность воздуха; Aw — площадь крыла самолёта.
Предполагается, что скорость движения и расстояние, пройденное нагрузкой, могут быть приближённо выражены формулами:
I и t, при взлете
u(t) = i ч s(t) =
u -¡t, при посадке K J
иt2
——, при взлете ut2
u t--, при посадке.
p 2
Численные результаты
Численные расчёты по формулам (10), (11) с использованием метода Гаусса проводились для следующих значений параметров:
Р = 900 ' Рг = I000 '' Р. = 12054 кгм3 '' е=5 • 109 ^ г; у=Уз; ь=3 м; Н = 40 м.
В качестве нагрузки был выбран самолёт ИЛ-76ТД с характеристиками, представленными в таблице 1.
Таблица1
Характеристики самолёта ИЛ-76ТД
Характеристики Значение
Вес самолёта (М) 1,48 МН
Площадь крыла (Лмг) 300 м2
Площадь области О (^ ) 4,5 м2
Посадочная скорость (ир ) 58 м/с
Ускорение (и)
Взлёт 1,54 м/с2
Посадка 1,91 м/с2
Параметры коэффициента подъёмной силы крыла:
Взлёт
(а1) 1,5 -10-3
(Ь1) 0,135
Посадка
(а1) 1,220
(Ь1) -0,212
55
На рисунках 2 — 3 показаны прогибы ледяного покрова при взлёте и посадке самолёта ИЛ-76ТД при начальной глубине Н0 = 40 м в различные моменты времени.
Рис. 2. Прогибы ледяного покрова во время взлета самолета ИЛ-76ТД при различных значениях у: а) t = 10 с; б) t = 20 с; в) t = 30 с
56
w', М а) 0.01 -
-200 о 200
w', м б)
0.01
-200 0 200
zu', м в)
200 0 200
Рис. 3. Прогибы ледяного покрова во время посадки самолета ИЛ-76ТД при различных значениях у: а) 1 = 10 с; б) 1 = 20 с; в) 1 = 30 с
Из рисунков 2 — 3 мы можем видеть, что прогибы ледяного покрова при движении нагрузки к берегу или от него незначительно отличаются
57
от случая постоянной глубины водоёма как при взлёте, так и при посадке самолёта ИЛ-76ТД.
На рисунке 4 представлены результаты расчётов высоты волны в зависимости от времени.
К, м а)
0 10 20 30 40 t, с
R, м б)
у = 0.005---
- Т=°-
- Osv = -0.005---
- /У' // '// У/ // // У/ 7/ ч\ч \\\ N . с—
- / 1 1 1 >
О Ю 20 30 40 t, с
Рис. 4. Высота волны при взлете и посадке самолета ИЛ-76ТД в зависимости от времени при различных значениях у:
а) взлет самолета; б) посадка самолета
Анализируя кривые на рисунке 4, мы можем видеть, что во время посадки самолёта небольшое уменьшение величины высоты волны будет наблюдаться при движении нагрузки в направлении возрастания глубины водоёма, т. е. когда нагрузка движется от берега. Значительного влияния переменной глубины водоёма можно ожидать в случае, когда нагрузка будет двигаться с постоянной скоростью, близкой к минимальной фазовой скорости, при большем угле наклона донной поверхности, меньшей толщине льда и начальной глубине водоёма.
Выводы
Решение задачи о нестационарном движении самолета ИЛ-76ТД по ледяному покрову во время взлёта и посадки в условиях переменной
58
глубины водоёма было получено с использованием интегральных преобразований Фурье и Лапласа. Результаты численных расчётов позволяют сделать вывод о незначительном влиянии переменной глубины водоёма на прогибы льда и высоту волны. Это обусловлено быстрым изменением скорости движения нагрузки, a также большой начальной глубиной водоёма.
Список литературы
1. Погорелова А. В., Козин В. М. Движение нагрузки по плавающей пластине при переменной глубине водоёма / / Прикладная механика и техническая физика. 2014. Т. 55. № 2(324). С. 168-179.
2. Стурова И. В. Влияние топографии дна на нестационарное поведение упругой пластины, плавающей на мелководье / / Прикладная математика и механика. 2008. Т. 72. № 4. С. 588-600.
3. Хейсин Д. Е. Динамика ледяного покрова. Л.: Гидрометеоиздат, 1967. 215 с.
4. Kashiwagi M. Transient responses of a VLFS during landing and take-off an airplane / / Journal of Marine Science and Technology, 2004. Vol. 9. No. 1. P. 14 — 23.
5. Kyoung J. H., Hong S. Y., Kim B. W., Cho S. K. Hydroelastic response of a very large floating structure over as variable bottom topography / / Ocean Engineering, 2005. Vol. 32. P. 2040 — 2052.
6. Pogorelova A. V. Effect of Bottom Slope on the Wave Resistance of an Air-Cushion Vehicle in Unsteady Motion over an Ice Sheet / / Proceedings of the 22th International Offshore and Polar Engineering Conference, ISOPE, Rhodes, Greece, 2012. P. 1393 — 1397.
7. Pogorelova A. V., Kozin V. M., Matyushina A. A. Ice plate deflections during aircraft take-off and landing / / Proceedings of the 24th International Offshore and Polar Engineering Conference, ISOPE, Busan, 2014. P. 1035 — 1042.
8. Squire V. A., Hosking R. J., Kerr A. D., Langhorne P. J. Moving Loads on Ice Plates. Dordrecht, Kluwer Academic Publishers, 1996. 236 p.
9. Sun H., Cui W., Wu Y. Hydroelastic response analysis of VLFS over variable bottom in waves / / Proceedings of the 3rd international conference on Hydroelasticity in Marine Technology, Oxford, 15 — 17 September 2003 / edited by R. Eatock Taylor. Oxford: The University of Oxford, 2003. P. 281—288.
10. Takagi K., Kohara K. Application of the Ray Theory to Hydroelastic Behavior of VLFS / / Proceedings of the 10th International Offshore and Polar Engineering Conference, ISOPE, Seattle, USA, 2000. P. 72 — 77.
•Jc -Jc -Jc
Kozin Victor. M., Matiushina Anna A.
AIRPLANE TAKE-OFF AND LANDING ON THE ICE COVER
IN VARIABLE WATER DEPTH CONDITIONS
(Institute of Machining and Metallurgy, FEB RAS, Amur State University of Humanities and Pedagogy, Komsomolsk-na-Amure State Technical University, Komsomolsk-na-Amure) There is a number of investigations aimed to study the behaviour of floating plates subjected to various types of loads. As a rule, it is assumed that the bottom surface of the basin is homogeneous. We consider three-dimensional problem of unsteady motion of an airplane on the ice cover modeled by initial unstressed infinite elastic plate with thickness h , floating on the surface of liquid of variable depth h' = H'(X). The load of the airplane landing gears is modeled
59
as three rectangles. The solution of the problem was obtained using Fourier and Laplace integral transforms. It was shown that under conditions basin depth = 40m , ice plate thickness h = 3m and very small slope y = 0.005 there is insignificant influence of the bottom slope of the basin on the deflections of the ice cover and wave height. Keywords: ice cover, variable depth, elastic plate, take-off, landing.
References
1. Pogorelova A. V., Kozin V. M. Motion of a load over a floating sheet in a variable-depth pool, Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 2014, vol. 55, no. 2, pp. 335-344.
2. Sturova I. V. Effect of bottom topography on the unsteady behaviour of an elastic plate floating on shallow water, Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 2008, vol. 72, no. 4, pp. 417-426.
3. Kheysin D. E. Dinamika ledyanogo pokrova (Ice-Field Dynamics), Leningrad, Gidrometeoizdat Publ., 1967. 215 p.
4. Kashiwagi M. Transient responses of a VLFS during landing and take-off an airplane, Journal of Marine Science and Technology, 2004, vol. 9, no. 1, pp. 14—23.
5. Kyoung J. H., Hong S. Y., Kim B. W., Cho S. K. Hydroelastic response of a very large floating structure over as variable bottom topography, Ocean Engineering, 2005, vol. 32, pp. 2040—2052.
6. Pogorelova A. V. Effect of Bottom Slope on the Wave Resistance of an Air-Cushion Vehicle in Unsteady Motion over an Ice Sheet, Proceedings of the 22th International Offshore and Polar Engineering Conference, ISOPE, Rhodes, Greece, 2012, pp. 1393 — 1397.
7. Pogorelova A. V., Kozin V. M., Matyushina A. A. Ice plate deflections during aircraft take-off and landing, Proceedings of the 24th International Offshore and Polar Engineering Conference, ISOPE, Busan, 2014, pp. 1035—1042.
8. Squire V. A., Hosking R. J., Kerr A. D., Langhorne P. J. Moving Loads on Ice Plates, Dordrecht, Kluwer Academic Publishers, 1996. 236 p.
9. Sun H., Cui W., Wu Y. Hydroelastic response analysis of VLFS over variable bottom in waves, Proceedings of the 3rd international conference on Hydroelasticity in Marine Technology, Oxford, The University of Oxford, 2003, pp. 281—288.
10. Takagi K., Kohara K. Application of the Ray Theory to Hydroelastic Behavior of VLFS, Proceedings of the 10th International Offshore and Polar Engineering Conference, ISOPE, Seattle, USA, 2000, pp. 72 — 77.
•Jc -Jc -Jc
60
