CC BY
8
Морозов Е.А. старший преподаватель кафедра высшей математики Морозова А.В. старший преподаватель кафедра высшей математики Новоселов А.В. старший преподаватель кафедра высшей математики Национальный исследовательский университет
«Высшая школа экономики» Россия, г. Пермь МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ В КУРСЕ
АЛГЕБРЫ
В статье рассматриваются задачи, отражающие универсальность и красоту метода неопределенных коэффициентов в школьном курсе алгебры. Идея метода позволит школьникам расширить свои представления о действиях с многочленами, открыть для себя другой способ деления многочлена на многочлен, овладеть навыками избавления от иррациональности в знаменателе дроби, научиться раскладывать правильную рациональную дробь на простейшие. Предложенные примеры могут быть полезны как для учителей математики, так и для учащихся, серьезно интересующихся математикой.
Ключевые слова: метод неопределенных коэффициентов, многочлены, система линейных уравнений, обучение математике в школе, школьная математика.
E.A. Morozov, A. V. Morozova, A. V. Novoselov National Research University Higher School of Economics, Perm branch THE METHOD OF UNCERTAIN COEFFICIENTS IN THE COURSE OF ALGEBRA
Annotation: The tasks and problems reflecting universality and beauty of the method of uncertain coefficients in a school course of algebra are considered in the article. The idea of the method will allow pupils to expand the ideas of operation with polynomials, to reveal another way of division of a polynomial into a polynomial, to acquire skills of disposal of irrationality in a fraction denominator, to learn to display the proper rational fraction into the elementary ones. The examples given in the article can be useful for both mathematics teachers, and the pupils who are seriously involved in mathematics.
Keywords: method of uncertain coefficients, polynomials, system of linear equations, teaching mathematics at school, secondary school mathematics.
Целью работы является показать универсальность метода неопределенных коэффициентов, его рациональность и оригинальность при решении задач в курсе алгебры.
Важным условием для успешного усвоения теоретического материала и качественной отработки вычислительных умений и навыков является решение примеров и прикладных задач. Математика - это решение задач, и именно решение задач должно быть в центре математической жизни школьника [6]. Бесспорно, что формирование у школьников прочных и глубоких математических знаний во многом зависит от подбора качественных задач и их систематизации.
В школьном курсе алгебры в 7-9 классах учащиеся регулярно используют метод неопределенных коэффициентов при решении таких задач как:
— составить уравнение прямой, проходящей через точки А (2;—1) и
— составить уравнение параболы, проходящей через точки
— составить уравнение окружности, описанной около треугольника
Но чаще всего спектр задач такого типа на применение метода неопределенных коэффициентов и ограничивается. Авторы считают, что изучение различных приемов использования этого метода может не только расширить кругозор учащихся, но и в дальнейшем позволит им выполнять необходимые действия с многочленами высших степеней.
Углубление темы «Многочлены» в 8-м классе позволяет учащимся распознавать виды многочленов и алгебраических уравнений, уверенно выполнять различные алгебраические преобразования и выбирать рациональные методы решений. Применение метода неопределенных коэффициентов можно показывать на более сложных примерах.
Пример 1. Вычислить сумму Ь 4 2 а, если многочлен х3 4 Зх2 4 ах — Ъ делится нацело на х2 — 4 [4].
Решение:
1) Так как заданный многочлен делится нацело на х2 — 4, то будем искать его разложение в виде:
х3 4- Зх2 ах — Ь = (х2 - 4)0г4 с) х2 4 Зх2 4 ах — Ь = х3 4 сх2 - 4х — 4с.
2) По методу неопределенных коэффициентов в последнем равенстве уравняем коэффициенты при X и свободные члены:
3 = с, ( с = 3, а = -4, ^ |й = —4,
Ответ: Ь 4 2а = 4.
К сожалению, нередко за пределами курса алгебры основной школы остается операция деления многочлена на многочлен. В последствие,
школьники будут испытывать сложности при решении алгебраических уравнений и неравенств. Деление «уголком» многочлена на многочлен очень важная и полезная операция, для изучения которой не требуется много учебного времени. При знакомстве с этой операцией учащимся можно вновь указать на универсальность метода неопределенных коэффициентов:
Пример 2. Сократите дробь--1-3-Ь
Решение:
Бесспорно, одним из способов решения является деление дроби «уголком». Рассмотрим второй способ с применением метода неопределенных коэффициентов. Если заданная дробь сократима, то ее числитель может быть разложен на следующие множители:
X4 4- Г3 + < X4 4-х3 + ' X4 + X3 +
:2 — Зх 4- 5 = х4 — х3 4- х2 4- ах3 — ах2 4- ах +
:2 - Зх + 5 = х4 4- (-1 + 1 = -1 + а, 4 = 1—а + Ь, (а = 2, —З=а — Ъ, и = 5.
в = ь
X* +4 ДГ3 -Зге+ 5
Значит —
¡г3 +
- а +
\х2 +
+
\х
х-
ж_
х+1
.
Ответ: х2 Ч- 2x4- 5.
Пример 3. Разделить многочлен х3 — Зх2 + 8х — 2 на многочлен х2-х+1[3].
Решение:
Делимое может быть разложено в виде:
х3 — Зх2 4- Зх — 2 = (х2 — х 4- Ч- о) Ч- (Ьх 4- с), где многочлен ¿и - с - это остаток от деления, степень которого строго меньше степени делителя х2 — х 4- 1.
Проведем следующие преобразования:
х2 - Зх2 + х2 - Зх2 + х3 - Зх2 +
- х +
ч-с1
— 2=х3— х2+х + ах2 — ах 4- а +
\х2 4-
-2 = х3 + (_-1 + -3 = — 14- а, (а = -2, 8 = 1 - а + ЬШ & Ь = 5, —2 = а 4- с I с = 0. Ответ: х3 — Зх2 4- Зх — 2 = (х2 — х 4-
— а +
Ьх + с, \х 4- (а 4- с),
Тема «Квадратные уравнения» в 8-м классе является одной из важных, от глубины понимания которой будет зависеть дальнейшее изучение тем школьного курса алгебры не только в 9-м классе, но и в старшей школе. Полезно обратить внимание школьников на возможность применения метода неопределенных коэффициентов при выводе равенств в теореме Виета: пусть а Ф 0, а Хг и Х2 - корни квадратного трехчлена ах2 4- Ьх 4- С.
Тогда ах2 4- Ьх 4- с = а(х — хг)(х - хэХ
ах£ +
+ с = ах2 + а(—хг — хг)х + ахxx2)
Ъ
а
с
\Ь = а(-х1-х2)!
С — Й Л д Х2
Ж X 2 — ■
а
*2-
х2-
2 А 2 { к - 3 = х/ * {}
Так, нередко, с помощью метода неопределенных коэффициентов можно привести «красивое» математическое доказательство:
Пример 4. Докажите, что не существует такого значения к. при котором уравнение х2 — 2кх+ к — 3 = 0 имеет только один корень [7].
Решение:
Предположим противное, что существует такого значения к, при котором уравнение х2 — 2кх-\- к — 3 = 0 имеет только один корень. Тогда квадратный трехчлен х2 — 2 кх + к — 3 может быть представлен в следующем виде:
+ к - 3 = (х - л^)2 Н~ 1с ¿у — х Т^Х-^Х —Ь х ^
к — 3 = к2
Нетрудно убедиться, например, графически, что графики линейной функции у (к) = к — 3 и квадратичной функции у(А) = к2 не имеют общих точек пересечения, а значит, не существует такого значения к, при котором уравнение к — 3 = к2 имеет хотя бы один корень, что привело нас к противоречию нашего предположения. Доказательство закончено.
Замечание: Выше изложенное доказательство, конечно же, не единственно, можно привести доказательство, используя условие
В профильных классах метод неопределенных коэффициентов широко применяется в теме «Многочлены высших степеней». Приведем несколько примеров, которые будут полезны и для изучения в профильных классах, и на элективных курсах, и для учащихся, интересующихся математикой.
+ 12х + в на
Пример 5. Разложите многочлен р[х множители с целыми коэффициентами. Решение:
Будем искать разложение в виде: р(х После преобразований получим:
Приравнивая коэффициенты при а + т = 5, Ъ + am + п = 11,
Нам достаточно найти одно решение этой системы в целых числах, поэтому, глядя на уравнение Ьп = 6, попробуем взять Ъ = 2, п= 3, тогда
= X4 + 5х3 +
=(xz+ах+
+ ШХ +
+
соответствующих степенях
,
получим систему
а 4 т = 5,
аш = в, откуда а = 2,т = 3.
Ответ:
Пример 6. Составьте многочлен третьей степени, корни которого 2; 4; —3 и старший коэффициент 3. Решение:
Первый способ. Будем искать многочлен в виде
По определению корня многочлена, имеем следующую систему
уравнений: |[192 4 16а 4 АЪ 4 с = О,
решая которую, получим а = —9,Ь = —30,с = 12.
Второй способ. Как и в первом способе, ищем многочлен в виде
, но далее применяем обобщенную теорему
Виета:
а
2 + 4+(-3)=
а = -9,
Ответ: р\
Замечание. Можно обойтись и без метода неопределенных коэффициентов, если школьникам известно следствие из теоремы Безу, тогда искомый многочлен конструируем так: р(х) = — 2)(г — 4)(х 4- 3). Пример 7. Определите а и Ь так, чтобы число -2 было корнем с) = х3 4 ах1 + Ьх + 1, имеющим по крайней мере кратность
многочлена р \ два [1].
Решение:
По условию 'р(х) • (х + 2)1, поэтому заданный многочлен р(х) может быть записан в следующем виде
р (г) = хэ 4 ах2 4 Ьх 4-1 = (х2 4 4г 4 4) ^г3 4 тпх2 4- пх 4 где ШиП-
неопределенные коэффициенты, для нахождения которых (а также А и Ь) составляем систему:
??г4 4=0, ( т = —4}
4 4 = 0,
Ь =
= а,
Пример 8. Многочлен р(У) при делении на х — 1,х + 1,х — 2 дает в остатке соответственно 4, 2, 8. Найдите остаток от деления многочлена р(х)
на*3 - 2х2 -х + 2 [2].
Решение:
Заметим, что х3 — 2х2 — х + 2 = С* — 1)(л" 4- 1)(л" — 2). При делении многочлена р(л) на многочлен третьей степени остаток имеет степень не более второй, т.е. остаток имеет вид ах2 4- Ьх 4- с , где а, Ьг с -неопределенные коэффициенты. Таким образом, искомый многочлен р(_х) может быть записан в виде:
+
4- ах2 4-
многочлен. Из условия задачи
х4 — а2х3 4-
4- с, где ¿К*}- некоторый следует (по теореме Безу), что ( 4 = а + Ь + с, (а = 1, = 4, р(-1) = 2, р(2) = 8, поэтому | 2 = а- Ь + с, о |Ь = 1,
Ответ: х2 4- х 4- 2
Пример 9. Найдите все значения А и Ь, при которых многочлен
является квадратом многочлена второй степени относительно х с целыми коэффициентами [2].
Указание к решению: данный многочлен должен быть тождественно 4-рг4- ц)2, где р и q - неопределенные коэффициенты (р и д-
равен I целые).
В старшей школе полезно учащихся познакомить с еще одним классическим примером применения метода неопределенных коэффициентов - разложением правильной рациональной дроби на простейшие.
Пример 10. Подобрать числа А} В, С так, чтобы выполнялось тождество
дг3+4я?-1 А В С
V-1
дг+з
дг+5
ж3+£¥3+23;¥+15 дг+1
Решение:
Правую часть заданного тождества приведем к общему знаменателю: ЛВС
4-
X 4- 1 X 4- 3
+
Г 4- 5 [х + 3
■ +
+
+
. + 1
4-
4-
+
4-
X3 4-
+ 5 4- Ох2 +
4-
+:
+1
4-
+
X3 4- 9*
Тогда исходное тождество примет вид: -1
+
4-
X2 4-
х3 -+9х2 + 2 Зх +
+ В +
}х2 +
4-
+
X3 4-
+
х2 4- 4х - 1 = (А 4- В +
)х2 4-
4-
4-
'}х 4-
4-
4-
1 = А + В + С,
Ответ: А = —~,В = 1, С = -
2 2
л = -г
{ В = 1, 1
С=2-
Рассмотрим еще один авторский пример использования метода неопределенных коэффициентов для разложения дроби на простейшие.
Пример 11. Доказать, что -+- + — +..,
3 8 15
—
2014—1 4
Решение: Все дроби в левой части неравенства при п = 2,3, ...,2014 имеют вид —7— Тогда разложим эту дробь на простейшие:
nz-l
1 1 А ^ В
■п2-1 (n-l)(n.+l) Tl-1 Tl+Г
Имеем тождество:
где А, В- неопределенные коэффициенты.
•=>1 =
= 7 ■ ■ —;---—7 !. Суммируя это равенство при
U-l)(n+l)
014, получим,
iff! _i) + fi_i) + fi_i) + fi_i)+...+
L43— 1 2\\ З/ \2 4/ \3 5/ \4 6/
что
2014'
Итак, n= 2,3,
1+1+-*-+.
3 S 15
P- - + P- - -*-) + P- - -!-)++ P- - -!-)) =
\2010 2012/ \2011 2013/ \2012 2014/ \2013 2015/}
ifl+1—1---—) < - ■ f 1 + = -
2 \ 2 2014 2015/ 2 \ 2/4
, что и требовалось доказать.
Метод неопределенных коэффициентов можно применять и при работе с иррациональными числовыми выражениями. Приведем ряд авторских примеров.
Пример 12. Вычислить V 83 — Решение:
Воспользуемся разложением неопределенные коэффициенты.
= (а +
где а и Ь -
Тогда 1 Ответ:
7 а = 5, Iъ = -г,
(а = -5, Л Ь = 3.
.
.
Пример 13. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе
12
.
Решение:
12
Предположим, что — = а -Ь
>, где а, Ь,с,с1 -
неопределенные коэффициенты, для нахождения которых воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. 12
= аН-
+
+
- 1 На +
- 1
О = а - А ^ , л? О = Ь —с,
0=12~(1
^ л:5—1 ^ ^
Замечание: Предложенное решение не единственно, можно применить следующий способ:
- 1
- 1
;+1 +
+1).
Пример 14. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе
3+\ 2 — \ 5
Решение:
Предположим, что
.= а +
+
+
], где а, ЬгсгА -
неопределенные коэффициенты, для нахождения которых воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.
аН-
+
+
о = -й + с + зсг | <1=1.
Замечание: другой способ решения, например, умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю 3 Ч- V' 2 Ч- У 5.
Как правило, при использовании метода неопределенных коэффициентов задачи сводятся к системам линейных алгебраических уравнений, которые школьники привыкли решать, когда уравнений в системе столько же, сколько неизвестных. Поэтому, даже хорошо успевающие старшеклассники, как правило, теряются при встрече с задачами следующего типа:
Пример 15. Числа X,у,г,I таковы, что выполняются равенства
Решение:
Даже прочитав книжное решение (типа «умножим первое уравнение на 7, второе на -3 и сложим), школьник остается в недоумении: а как догадаться, что именно такие манипуляции надо выполнить с уравнениями? Здесь и приходит на помощь метод неопределенных коэффициентов.
Будем искать искомую величину в виде
неопределенные коэффициенты. Решая
систему
находим
С а = 7, IЬ = -3.
где а, Ь -
Таким образом, 11;*;— 26у 4-
Метод неопределенных коэффициентов можно применять и при решении задач на делимость целых чисел, что показывает следующий пример.
Пример 16. Докажите, что если выражение За-Ь4й+Е>с при некоторых целых значениях а, Ьг с делится без остатка на 11, то и выражение 9а + Ь Ч- 4с при этих значениях а} Ь, с делится без остатка на 11 [8].
Решение:
Из условия следует, что п- (За+4Ь+5с) ■ 11У?г€£. Кроме того,
Г1 ■ - — ) : '11 ь 2. Поэтому будем искать нужную сумму
неопределенные коэффициенты. Приравнивая коэффициенты при а} Ь, с,
— 11; = 1 . Нас не пугает, что количество неизвестных в
системе больше, чем количество уравнений, т.к. достаточно найти одно решение в целых числах. Например, возьмем для простоты к = 0, тогда
получим
= 3.; = = -11. Тогда
остатка, что и требовалось доказать.
Большой простор для использования коэффициентов дают задачи, связанные с плоскости. Вот пример такой задачи.
Интересный пример применения коэффициентов дает следующая задача, предлагавшаяся на вступительном экзамене в МГУ:
получается , а это делится на 11 без
метода неопределенных составлением уравнения
метода неопределенных
Пример 17. Докажите заданных уравнениями
что
у = х2
четыре
/х
точки пересечения кривых,
и
окружности, и найдите её радиус. Решение:
Координаты любой общей точки
л I I 1 Л
, лежат на одной
данных кривых удовлетворяют
системе
(х2 4- 9у2 — 9=0' Подберем а ■ {х2 -2х — у)-\-Ъ Имеем (а + Ь)х2 + 9 окружности, надо,
Тогда
коэффициенты
а, Ъ
так,
4-
чтобы
было уравнением окружности. = и. Чтобы получилось уравнение
чтобы коэффициенты при х и
были
2
равны:
т.е.
х2 4- у2 — —х — -у — 1 = 0. Окончательно имеем: (х — -) + (у - -) = —
9 9' \ 9/ V* 9/ 31
уравнение окружности радиуса
.2 /
^161
^ ( ЭУ , ( 4У 161 V
Ответ: Ц^х — - у 4- — -у = — - уравнение окружности радиуса -
161
В заключение хотелось бы отметить, что метод неопределенных коэффициентов является наиболее распространенным методом тождественных преобразований, использование которого в дальнейшем при обучении в вузе позволит учащимся овладеть такими сложными математическими приемами, как интегрирование рациональных дробей, нахождение суммы числового ряда, извлечение квадратного корня из комплексного числа, разложение вектора по заданному базису, нахождение
частного решения неоднородного дифференциального и разностного уравнений.
Использованные источники:
1. Виленкин Н.Я. Алгебра и математический анализ для 10 класса [Текст]: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики / Н.Я. Виленкин [и др.]. - М.: Просвещение, 1992.
2. Галицкий М.Л. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа [Текст]. Методические рекомендации и дидактические материалы: пособие для учителя / М.Л. Галицкий [и др.].- М.: Просвещение, 1990.
3. Иванов А.А. Тематические тесты для систематизации знаний по математике [Текст] / А.А. Иванов, А.П. Иванов - ч.1: Учеб. пособие. Изд. 4-е.
- М.: Физматкнига, 2006.
4. Иванов А.П. Математика 8 класс. Тесты: учебное пособие [Текст] / А.П. Иванов. - Пермь: Изд-во Перм. гос. нац. иссл. ун-та, 2014.
5. Иванов А.П. Математика: учеб. пособие для учащихся лицеев и слушателей подготовительных курсов [Текст] / А.П. Иванов, В.М. Кондаков.
- Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 1997.
6. Локхард П. Плач математика [Текст] / П. Локхард //Математика в школе.
- 2014. - № 3.
7. Мордкович А.Г. Алгебра. 8 кл.: задачник для общеобразоват. учреждений [Текст] / А.Г. Мордкович, Е.Е. Тульчинская, Т.Н. Мишустина. - 2-е изд. -М.: Мнемозина, 2000.
8. Региональные олимпиады Пермского края [Электронный ресурс] // URL: http://www.regionolimp.perm.ru.
References
1. Vilenkin N. Ya. Algebra i matematicheskij analiz dlja 10 klassa хА^еЬга and the mathematical analysis for the 10th class. Moscow, Education Publ., 1992.
2. Galickij M. L. Uglublennoe izuchenie kursa algebry i matematicheskogo analiza [Profound studying of a course of algebra and mathematical analysis]. Moscow, Prosveshhenie Publ., 1990.
3. Ivanov A.A., Ivanov A.P. Tematicheskie testy dlja sistematizacii znanij po matematike [Thematic tests for systematization of knowledge of mathematics]. Moscow. Fizmatkniga Publ., 2006.
4. Ivanov A.P. Matematika 8 klass. Testy [Mathematics 8th class. Tests]. Perm: Perm state national research university Publ., 2014.
5. Ivanov A.P., Kondakov V.M. Matematika [Mathematics]. Perm: Perm university Publ., 1997.
6. Lokhard P. Crying of the mathematician. Mathematics at school, 2014, no. 3. (in Russian)
7. Mordkovich A.G., Tul'chinskaja E.E., Mishustina T.N. Algebra. 8 kl.: zadachnik [Algebra. 8th class]. Moscow. Mnemozina Publ., 2000.
8. Regional'nye olimpiady Permskogo kraja [Regional Olympic Games of Perm Krai] Available at: http://www.regionolimp.perm.ru.
