CC BY
16Рабочая тетрадь как средство активизации самостоятельной деятельности учащихся при обучении методам разложения на множители в школьном курсе математики
Редько Екатерина Александровна,
старший преподаватель, кафедра математики и информационных технологий, Тихоокеанский государственный университет E-mail: 010025@pnu.edu.ru
Александрова Елизавета Алексеевна,
студент направления подготовки 44.03.05 «Педагогическое образование (с двумя профилями). Профиль: Математика. Профиль: Информатика», Педагогический институт, Тихоокеанский государственный университет E-mail: 2018102606@pnu.edu.ru
Практика работы с учениками показывает, что большая часть из них не имеет навыков самостоятельной работы по математике, а решение несложных задач приводит обучающихся в затруднение. При этом знания, приобретенные в процессе самостоятельной деятельности, усваиваются и запоминаются лучше, чем те, что даны в готовом виде педагогом. Для преодоления этих противоречий в учебном процессе возникает проблема создания благоприятных условий для формирования у учеников навыков самостоятельной деятельности. Одним из решений является использование рабочей тетради в учебном процессе. Рабочая тетрадь по математике способствует формированию и развитию навыков самостоятельной работы, реализации дифференцированного подхода в обучении. Разложение многочленов на множители является одной из основных тем школьного курса математики. Так как навыки разложения многочленов на множители помогают в упрощении алгебраического выражения, сокращении рациональных выражений и в решении уравнений различной степени, то данной теме необходимо уделить пристальное внимание при формировании данных навыков в школьном курсе математики. Навыки разложения многочленов на множители проверяются в таких работах как: всероссийская проверочная работа, основной государственный экзамен и единый государственный экзамен. В настоящей работе авторы предлагают систему заданий для рабочей тетради на основе темы «Методы разложения на множители и их применение», выстроенных по принципу уровня усвоения учебного материала.
Ключевые слова: рабочая тетрадь, самостоятельная деятельность, дифференциация, индивидуализация, алгебраические выражения, рациональные выражения, уравнение, методы разложения на множители, навыки разложения на множители.
Тема «Разложение на множители» находится в содержательно-методической линии «Алгебраические выражения».
Содержание методической линии «Алгебраические выражения» способствует формированию у обучающихся математического аппарата, необходимого для решения задач математики, смежных предметов и практико-ориентированных задач.
Главной особенностью разложения на множители является преобразование символьных форм, которая вносит свой специфический вклад в развитие воображения, способностей к математическому творчеству, при этом также способствует развитию алгоритмического мышления и овладения навыками дедуктивного рассуждения [2].
Разложение многочленов на множители является одной из основных тем школьного курса математики. Навыки разложения многочленов на множители помогают в упрощении алгебраического выражения, сокращении рациональных выражений и в решении уравнений различной степени [5].
Навыки разложения многочленов на множители проверяются в таких работах как: всероссийская проверочная работа, основной государственный экзамен и единый государственный экзамен.
Успешность овладения указанными навыками во многом зависит от самостоятельной деятельности учащихся по решению разного типа и уровня задач с целью обобщения и закрепления полученных на уроках теоретических знаний и практических приемов. Однако учителя-методисты выявляют ряд затруднений у учащихся, возникающих при попытке «переноса» готового алгоритма на задание, аналогичное по выполняемым действиям, но оперирующее другими по природе математическими объектами, при выстраивании плана решения, при проверке и анализе отдельных шагов решения.
Авторы настоящего исследования видят решение указанной проблемы через организацию самостоятельной деятельности школьников в рамках темы «Методы разложения на множители и их применение» посредством рабочей тетради. Данный дидактический инструмент несет в себе функцию индивидуализации познавательной деятельности [3, 9], является средством управления процессом самообучения [9, 10, 12], создает условия для развития мыслительных способностей школьников [3], обеспечивают доступность и наглядность учебного материала [3, 10].
Система заданий рабочей тетради должна подбираться таким образом, чтобы у учеников была
сз о со "О
1=1 А
—I
о
сз т; о m О от
З
ы о со
и со
возможность формировать новые знания и навыки, опираясь на предыдущий опыт учебной деятельности, преодолевать посильные трудности при достижении конечной цели, повышая тем самым мотивацию обучения, развивать дедуктивные и индуктивные навыки мышления, повышать эффективность учебного труда [9].
Авторы видят возможность выстраивания подобной системы на основе распределения задач-ного материала по уровням усвоения материала, описанным в трудах В.П. Беспалько - репродуктивный, алгоритмический, эвристический и творческий [1].
Цель исследования: выявить возможности учебного материала темы «Методы разложения на множители и их применение» для выстраивания системы заданий и разработки рабочей тетради, способствующей формированию у учащихся практических навыков применения разложения многочленов к решению более широкого круга задач.
Материалы и методы исследования. Достижению поставленных целей служил анализ и обобщение научно-педагогической литературы по проблеме использования рабочих тетрадей для совершенствования самостоятельной учебной деятельности школьников, методические разработки на основе собственного педагогического опыта работы с учащимися в рамках темы «Методы разложения на множители и их применение», проведение эксперимента по выявлению дидактических возможностей разработанной рабочей тетради на усвоение практических навыков в решении задач по разложению на множители.
Результаты исследования и их обсуждение. На данный момент существует множество методов и алгоритмов разложения многочленов на множители, но в школьном курсе выделяют три основных метода: вынесение общего множителя за скобки, метод группировки, применение формул сокращенного умножения (рис. 1).
Рис. 1. Ментальная карта линии «Методы разложения на множители» в школьном курсе математики
Целью разложения на множители является приведение объекта к «основным строительным блокам», например, числа - к простым числам, многочлен - к неприводимым многочленам.
Начиная с 7 класса школьники учатся раскладывать многочлены на множители, именно в этот момент закладываются очень важные умения, которые будут необходимы в дальнейшем для решения уравнений, сокращения рациональных выражений и т.д. Поэтому необходимо развивать навыки разложения на множители в контексте данных задач.
На начальном этапе школьники учатся раскладывать многочлены на множители вне контекста решения уравнений, сокращения рациональных выражений и т.д. На данном этапе необходимо качественно сформировать понимание методов и их применение. Необходимо рассматривать с учениками разноуровневые задания, где необходимо: вынести общий множитель за скобки (одночлен, многочлен), применить метод группировки, применить формулы сокращенного умножения и выделить полный квадрат. Это значит, что задачи рабочей тетради, соответствующие данному уровню, содержат пошаговые инструкции, в кото-
рых указывается последовательность совершения определенных действий, при выполнении которых происходит закрепление знаний и формирование необходимых умений и навыков. В таблице 1 приведен пример такого типа задания.
Таблица 1. Пример задания на репродуктивном уровне
Задание
Разложите на множители выражение используя метод группировки и найдите его значение:
2а3 - За2 - 2аЬ + 3Ь, еслиа = 0,5, Ь = 2,25;
Указания
1. Сгруппируйте слагаемые парами, основываясь на их общих признаках;
2. Вынесите общий множитель за скобки в каждой группе слагаемых;
3. Снова вынесите общий множитель (многочлен) за скобки;
4. Замените переменные их числовыми значениями;
5. Вычислите значение выражения.
Второй уровень начального этапа - алгоритмический. Данный уровень направлен на формиро-
вание умений воспроизводить признаки понятий, воспроизводить алгоритмы самостоятельно, делать обобщения с помощью наводящих вопросов. Необходимо предложить ученику типовую задачу, которая содержит не более двух алгоритмов. Обучающийся должен выполнить репродуктивное алгоритмическое действие, самостоятельно воспроизводя и применяя ранее усвоенную информацию и правила [4]. В таблице 2 приведен пример такого типа задания.
Таблица 2. Пример задания на алгоритмическом уровне
8) Можно ли сократить дробь
Задание Указания
Разложите на множители выражение: 9а2 -30ab + 25b2 Формула квадрата разности: (а - b)2 _ а2 - 2ab + b2
По мере изучения методов разложения на множители также необходимо включать задачи следующего типа:
1) Решите уравнение:
а) у2 - 6у = 0
б) 4т2 - 20т = 0
в) 14х2 + 18х = 0
г) (4 х - 9)( х - 2) + (1 - х)(х - 2) = 0
д) (Зх + 4)(х -10) + (10 - х)(х - 8) = 0
е) 7 (х - 7)-( х - 7)2 = 0
2) Докажите, что значение выражения:
а)195 +194 кратно 20
б) 810 - 89 - 88 кратно 11
в) 124 - 46 кратно 130
О о2006 .Г о2005 ,7 о2004
г) 2 • 3 + 5 • 3 + / • 3 кратно 10
д) 164 + 85 - 47 делится нацело на 10
е) 365 + 69 делится нацело на 42
3) Известно, что при некотором значении а значение выражения а2 + 2а - 5 равно -4. Найдите при этом значении а значение выражения:
а) -2а2 - 4а +10
б) а2 (а2 + 2а - 5) + 2а (а2 + 2а - 5)
4) Найдите значение выражения:
а) 2а3 -3а2 - 2аЬ + 3Ь,еслиа = 0,5,Ь = 2,25;
б) 27х3 - 36х2 + 6х - 8, если х = -1^ .
3
5) Чему равна площадь закрашенной фигуры, изображенной на рисунке 4? Вычислите значение полученного выражения при а=7,4 см, Ь=2,6
6) Докажите, что выражение 16 х2 + 24х + 25 принимает положительные значения при всех значениях х.
7) Упростите выражение:
у + 36
Данные задания позволяют ученикам применять разложение на множители для более широких задач, таких как: решение уравнений, доказательство тождеств, нахождение значения выражения, доказательство кратности выражения на определенное число, решение геометрических задач и так далее. Это позволяет ученикам привыкнуть к тому, что методы разложения на множители являются инструментом для решения задач разного типа [6]. Данная необходимость следует из того, что в дальнейшем, в заданиях не будет поставлен четкий вопрос о том, что в выражении необходимо произвести разложение на множители. Данную ситуацию можно заметить в заданиях повышенного уровня сложности, в заданиях 9-11 класса, а также в заданиях из ОГЭ и ЕГЭ.
Рассмотрим подобные задания:
1) Упростите выражение
(3х + 7)2 -(3х - 7)2
Хх2 - 16х 2х + 49 а)~--г + --~л~ ; б)
У2 + У
(х-7)4 (7-х)4 ' (У -6)(У + 2) (6 -y)(2 + у)
Данный тип задания находится в ОГЭ в задании под номером 8. Так как в бланке не допускается запись ответа с использованием одночлена или многочлена, ученику необходимо упростить выражение таким образом, чтобы в результате был получен числовой ответ. Это возможно сделать используя разложение на множители. Рассмотрим подробное решение задания:
(3х + 7)2 -(3х-7)2 (3х + 7-(3х-7))(3х + 7 + (3х-7)) _
х х
(3х + 7 - 3х + 7)(3х + 7 + 3х - 7) 14 • 6 х
_-_-_ 84 .
х х
2) Решите уравнение: (cosх-1)2 _ соз2х -1.
Данное задание может встретиться в 10 клас-
се при изучении темы «Решение тригонометриче-
ских уравнений» [7, 11].
В задании не поставлена задача разложить
на множители выражение, тем не менее это необ-
ходимо сделать для решения тригонометрического уравнения. В правой части уравнения необхо-
димо заметить применение формулы сокращенного умножения, а именно разности квадратов. При
этом так же важно принять во внимание, что левая часть уравнения не требует применения формулы квадрата разности. Так же в этом задании используется метод вынесения общего множителя
сз о со "О
1=1 А
—I
о
сз
о m О от
З
ы о со
х
о с
U со
за скобки. Рассмотрим подробное решение проблемы разложения на множители в данном уравнении:
(cos x-1)2 = (cos x -1) • (cos x+1) (cos x-1)2 - (cos x -1) • (cos x+1) = 0 (cos x-1) • (cos x-1 - (cos x+1)) = 0 (cos x-1) • (cos x -1 - cos x-1) = 0 -2 •(cos x-1) = 0 cos x-1 = 0
Опустим дальнейшее решение уравнения. 3) Решите неравенство
x2 - 6 x + 8
x - 4
< 0 .
х -1 х - 3х + 2
Данное неравенство можно встретить в задании № 14 ЕГЭ.
Не будем приводить решение самого неравенства, при этом упростим выражение, содержащееся в левой части неравенства для демонстрации необходимости использования методов разложения на множители:
х2 - 6х + 8 _ х - 4 _ (х - 4)(х - 2) -
x -1
x2 - 3x + 2
x -1
x - 4 (x - 4)(x - 2)2-(x - 4)
(x - 2)( x -1) (x - 2)( x -1)
(x-4)((x-2)2 -1) = (x-4)(x-2-1)(x-2 +1)
: (x - 2)(x -1) = (x - 2)( x -1)
(x - 4)(x - 3)(x -1) (x - 4)(x - 3)
(x - 2)( x -1)
x - 2
Учитывая все необходимые условия, данное неравенство можно привести к следующему виду
(х - 4)( х - 3)
--—-< 0 благодаря использованию разло-
х-2
жения трехчлена на множители, вынесения общего множителя за скобки и применению формулы разности квадратов.
Таблица 3. Примеры заданий на эвристическом уровне
Задание Указания
1) Докажите тождество: (а -1)2 + 2 (а -1) +1 = а2 Используйте известные вам методы разложения на множители.
2) Решите уравнение: (3x + 4)(x -10)+ (10 - x)(x - 8) = 0 Решите уравнение предварительно разложив на множители.
Таким образом, решение указанных задач требует от школьника сформированности эвристического уровня усвоения учебного материала темы «Методы разложения на множители и их применение». При решении заданий на данном уровне подразумевается продуктивная деятельность учащихся, которая выполняется ими по самостоятельно созданному алгоритму, преобразованному
в ходе самого действия [1]. При выполнении заданий этого уровня ученикам необходимо выделять существенные свойства объектов, находить связь между ними. Данные задачи могут иметь несколько способов решения или требуют применения нескольких алгоритмов. В таблице 3 приведены примеры таких заданий.
Четвертый уровень - творческий. На данном уровне учащиеся осуществляют анализ объектов с целью выделения признаков и синтез как составление целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание, восполнение недостающих компонентов. Для самостоятельной работы данного уровня характерны так называемые творческие задания, а также задачи олимпиадного уровня. Формируются навыки исследовательской деятельности, прошлый опыт существенно перестраивается [8]. В таблице 4 приведены примеры таких заданий.
Таблица 4. Примеры заданий на творческом уровне
Задание Указание
1) Разложите на множители трехчлен: 9x2 - 24xy + 7y2
2) Докажите тождество: (m3 - n3)2 (m3 + n3)2 - (m6 + n6)2 = -4m6n6
Выводы. Исследуя задания 7-11 классов, можно сделать вывод, что использование методов разложения на множители является неотъемлемой частью школьного курса математики. Благодаря методам разложения на множители можно решить ряд задач, на первый взгляд не требующих использования данных методов, но сводящихся к ним. Поэтому на начальных этапах введения темы «Разложение на множители» в курсе математики 7 класса необходимо уделять должное внимание разноплановым пропедевтическим заданиям, с использованием различных формулировок и требований. Использование рабочей тетради позволяет ученикам: формировать навыки самостоятельного решения математических заданий; применять алгоритмы и составлять план действий самостоятельно; последовательно переходить от одного уровня знаний к другому. Для учителя рабочая тетрадь дает возможность своевременно выявлять учащихся, затрудняющихся выполнять задания и определять уровень, на котором это затруднение появилось, тем самым реализуется дифференциация и индивидуализация процесса обучения.
Литература
1. Беспалько В.П. Слагаемые педагогической технологии. - М: Педагогика. - 1989.
2. Болотова А.И. Развитие познавательной самостоятельности младших школьников в процессе обучения математике. // Актуальные про-
блемы гуманитарных и естественных наук. -2012.
3. Бордонская Л.А., Голобокова Г.И. Рабочая тетрадь студента современного вуза как многофункциональное дидактическое средство // Ученые записки ЗабГУ. - 2013. - № 6(53). С. 51-66.
4. Васильева М.В. Формирование универсальных учебных действий учащихся во внеклассной работе по математике. // Муниципальное образование: инновации и эксперимент. - 2013. -№ 3. - С. 18-22.
5. Верещагина Л.С. Разложение многочленов на множители. // Экономика и социум. - 2019. -№ 2(57). - С. 510-512.
6. Дементьева О.Н. Разработка фонда оценочных средств для 7 классов по разделу «Разложение многочленов на множители». // Форум молодёжной науки. - 2020. - № 2. - С. 43-48.
7. Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасичен-ко П.И. Алгебра и начала анализа. Уравнения и неравенства. Учебно-методическое пособие для учащихся 10-11 классов. - М.: Экзамен (Серия «Экзамен»), 1998. - 192с.
8. Останов К., Абсаломов Ш.К., Шукруло-ев Б.Р. Решение задач на исследование как средство формирования у учащихся умений применять знания в нестандартных ситуациях. // Наука, техника и образование. - 2021. -С. 61-64.
9. Попова И.Г., Шишова А.В., Цыганов В.Л. Рабочие тетради по математике. // Высшее образование в России. - 2014. - № 12. - С. 141-144.
10. Потанина О.В., Павлова Е.В., Исламгуло-ва Г.Ф., Захарова М.А. Активизация самостоятельной работы студентов по математике в техническом вузе (на примере рабочей тетради) // Современная высшая школа: инновационный аспект. 2016. Т. 8. № 3. С. 111-120.
11. Седнева О.Г. Общие методы решения уравнений на уроках алгебры и начала анализа в 11 классе. // Муниципальное образование: инновации и эксперимент. - 2011. - № 4 - С. 38-42.
12. Федорова М.А. Формирование самостоятельной деятельности школьников при изучении математики. // Гаудеамус. - 2003. - № 2(4). -С.149-158.
WORKBOOK AS A MEANS OF ACTIVATION OF STUDENTS> INDEPENDENT ACTIVITIES WHEN TEACHING METHODS OF FACTORIZATION IN THE SCHOOL COURSE OF MATHEMATICS
Redko E.A., Aleksandrova E.A.
Pacific State University
The practice of working with students shows that most of them do not have the skills of independent work in mathematics, and solving simple problems leads students to difficulty. At the same time, the knowledge acquired in the process of independent activity is assimilated and remembered better than those given in finished form by the teacher. To overcome these contradictions in the educational process, the problem arises of creating favorable conditions for the formation of students' skills of independent activity. One solution is to use a workbook in the learning process. A workbook in mathematics contributes to the formation and development of independent work skills, the implementation of a differentiated approach to learning. Factoring polynomials is one of the main topics of the school mathematics course. Since the skills of factoring polynomials help in simplifying the algebraic expression, reducing rational expressions and solving equations of various degrees, this topic should be given close attention when forming these skills in the school mathematics course. The skills of factoring polynomials are tested in such works as: the All-Russian test work, the main state exam and the unified state exam. In this paper, the authors propose a system of tasks for a workbook based on the topic "Methods of factorization and their application", built according to the principle of the level of assimilation of educational material.
Keywords: workbook, independent activity, differentiation, individu-alization, algebraic expressions, rational expressions, equation, factorization methods, factorization skills.
References
1. Bespalko V.P. Components of pedagogical technology. - M: Pedagogy. - 1989.
2. Bolotova A. I. Development of cognitive independence of younger schoolchildren in the process of teaching mathematics. // Actual problems of the humanities and natural sciences. - 2012.
3. Bordonskaya L.A., Golobokova G.I. Workbook of a student of a modern university as a multifunctional didactic tool // Scholarly notes ZabGU. - 2013. - No. 6 (53). - p. 51-66.
4. Vasilyeva M.V. Formation of universal learning activities of students in extracurricular work in mathematics. // Municipal entity: innovations and experiment. - 2013. - No. 3. - p. 18-22.
5. Vereshchagina L.S. Factorization of polynomials. // Economy and society. - 2019. - No. 2 (57). - p. 510-512.
6. Dementieva O.N. Development of a fund of evaluation tools for 7 classes in the section "Factorization of polynomials". // Forum of youth science. - 2020. - No. 2. - p. 43-48.
7. Olechnik S.N., Potapov M.K., Pasichenko P.I. Algebra and the beginnings of analysis. Equations and inequalities. Teaching aid for students in grades 10-11. - M .: Exam (Series "Exam"), 1998. - 192 p.
8. Ostanov K., Absalomov Sh.K., Shukruloev B.R. Solving research problems as a means of developing students' skills to apply knowledge in non-standard situations. // Science, technology and education. - 2021. - p. 61-64.
9. Popova I.G., Shishova A.V., Tsyganov V.L. Workbooks in mathematics. // Higher education in Russia. - 2014. - No. 12. -p. 141-144.
10. Potanina O.V., Pavlova E.V., Islamgulova G.F., Zakharo-va M.A. Activation of independent work of students in mathematics at a technical university (on the example of a workbook) // Modern Higher School: Innovative Aspect. - 2016. -V. 8. - No. 3. - p. 111-120.
11. Sedneva O.G. General methods for solving equations in algebra lessons and the beginning of analysis in grade 11. // Municipal entity: innovations and experiment. - 2011. - No. 4 - p. 38-42.
12. Fedorova M.A. Formation of independent activity of schoolchildren in the study of mathematics. // Gaudeamus. - 2003. - No. 2 (4). - pp. 149-158.
C3
о
CO
-a
I=i А
—I
о
C3 t; о m О от
З
ы о со
