CC BY
107
УДК 519.83 ББК 22.18
МЕТОД НАХОЖДЕНИЯ С-ЯДРА КОРНЕВОЙ ИГРЫ1
Акимова А.Н.2, Захаров В.В.3
(Санкт-Петербургский государственный университет, Факультет прикладной математики - процессов управления, Санкт-Петербург)
Показано, что в любой ТП-кооперативной игре основание большого (теневого) БС -ядра совпадает с С -ядром корневой игры. Сравнение определений большого БС -ядра и большого теневого БС-ядра с описанием агрегированно-монотонного С-ядра приводит к формальному геометрическому совпадению агрегирован-но-монотонного С -ядра либо с большим БС -ядром, либо с большим теневым БС -ядром. Предложен метод нахождения системы ограничений наиболее простого вида, описывающей С -ядро корневой игры в игре с п игроками. Для обоснования метода применяется теория двойственности и индуктивный метод Б. Пе-лега.
Ключевые слова: ТП-кооперативная игра, ^ядро, большое (теневое) SC-ядро, корневая игра, агрегированно-монотонное ^ядро, линейное программирование, сбалансированный набор коалиций.
Введение
В процессе развития теории кооперативных игр с трансфера-бельными полезностями предлагались различные виды монотонности решений, одной из которых является агрегированная монотонность одноточечных решений, введенная Н. Мегиддо [8]. Од-
1 Текст приводится в соответствии с изданием «Математическая теория игр и ее приложения. -2010. - Т. 2. № 1. -С. 3-26».
2 Арина Николаевна Акимова, ассистент (arina_akimova@mail.ru).
3 Виктор Васильевич Захаров, доктор физико-математических наук, профессор (mcvictor@mail.ru).
нако часто главным требованием, предъявляемым к решению ТП-кооперативной игры, является его принадлежность С-ядру. Множество векторов выигрышей, образуемое всевозможными одноточечными решениями, удовлетворяющими свойству агрегированной монотонности и одновременно принадлежащими С-ядру, было названо агрегированно-монотонным С-ядром [7]. В той же статье для того, чтобы сформулировать точное аналитическое описание агрегированно-монотонного С-ядра, было введено понятие корневой игры по отношению к исходной ТП-кооперативной игре.
Ранее, исходя из геометрической точки зрения, было предложено множественное решение ТП-кооперативных игр, названное большим БС-ядром [13]. Было показано, что большое БС-ядро не пусто тогда и только тогда, когда игра сбалансирована. Позднее было предложено большое теневое БС-ядро как аналог большого БС-ядра в классе несбалансированных ТП-кооперативных игр [5, 14, 15]. Следует заметить, что определения этих решений были сформулированы с помощью множества оптимальных решений X0(у) специальной задачи линейного программирования, которое было названо основанием большого БС-ядра в случае сбалансированной игры и основанием большого теневого БС-ядра в случае несбалансированной игры.
В этой статье мы сначала покажем, что С-ядро корневой игры совпадает с множеством X0(у), а агрегированно-монотонное С-ядро, как множество векторов, формально совпадает либо с большим БС-ядром, либо с большим теневым БС-ядром в зависимости от сбалансированности игры. Затем мы докажем теорему о взаимно-однозначном соответствии между множеством потенциально-оптимальных граней и множеством минимальных сбалансированных наборов коалиций в игре с п игроками, и на основе этой теоремы сформулируем метод нахождения С-ядра корневой игры (или множества X0(у)) в ТП-кооперативной игре с произвольным числом игроков.
1. Большое БС -ядро, большое теневое БС -ядро и агрегированно-монотонное С -ядро
Пусть N = {1, ..., п} — конечное множество игроков. Любое непустое подмножество множества игроков Б С N называется коалицией. Каждой коалиции Б ставится в соответствие вещественное число у (Б), называемое значением коалиции Б, которое представляет собой общий гарантированный доход этой коалиции, получаемый при кооперации ее членов. Построенная в результате функция у: 2м ^ Ж, определенная на множестве всех подмножеств из N (Б € 2м), с вещественными значениями и естественным условием у(0) = 0, называется характеристической функцией игры.
Упорядоченная пара Г = (^ у) называется кооперативной игрой с трансферабельными полезностями игроков (или ТП-кооперативной игрой, или ТП-игрой) в форме характеристической функции. Обозначим через См класс всех ТП-кооператив-ных игр с множеством игроков N, а через Вм — множество всех сбалансированных игр из класса См.
Допустимым вектором выигрышей игры (^ у) называется вектор £ € И”- такой, что ^ £г ^ у ^).
Преддележом игры (^ у) называется вектор £ € И” такой,
что Егем £г = у ^).
Дележом игры (^ у) называется преддележ £ € И”, удовлетворяющий условиям индивидуальной рациональности: £ ^ у({г}), Vг € N.
Множество всех допустимых векторов выигрышей обозначим через X*(у), множество всех преддележей — через 1*(у), а множество всех дележей — через I(у).
Решением на некотором классе ТП-кооперативных игр С' С См называется отображение ф, которое каждой игре (^ у) € С' ставит в соответствие некоторое подмножество множества допустимых векторов выигрышей ф(у) С X*(у). Если для любой игры ^, у) € С' множество ф(у) состоит из единственного допустимого вектора выигрышей, то решение называется одноточечным
или значением игры. Преддележ из множества ф(ь) называют также распределением.
Для аналитического описания одной из наиболее важных концепций решения ТП-кооперативных игр, C-ядра, будем исходить из утверждения Оуэна [9].
Теорема 1. Преддележ ( є I*(v) принадлежит C-ядру ТП-кооперативной игры (N, v) тогда и только тогда, когда для каждой коалиции S С N выполняется неравенство: ^ieS ( ^ v(S").
Другими словами, C-ядро представляет собой множество коалиционно-рациональных (пред)дележей:
(1) C(v) = { ( Є IRn | £ (і = v(N);
ieN
£ (і ^ v(S), V S С N, S = fr,N } .
ieS
Рассмотрим следующую задачу линейного программирования:
(2) min £ (і ,
ieN
(3) £ (i ^ v(S), VS С N, S = (fr, N.
ieS
Обозначим через (0 = ((0,...,(П) произвольное оптимальное решение, а через X0(v) множество всех оптимальных решений ЗЛП (2)-(3).
Известно (см., напр., [6, 13]), что C-ядро игры (N, v) не пусто тогда и только тогда, когда для произвольного (0 Є X0(v) выполняется неравенство:
(4) £ (і0 < v(N).
ieN
Приведем определение SC-ядра ТП-кооперативной игры (N, v), впервые изложенное в [13].
Определение 1. Множество векторов
(5) БС(V, £°) = { £ е | £ е Г(у), £ > £г°, Vг е N } = или в эквивалентной форме
(6) = { £ е НТ | £г = £г° + аг (у(Ю) - £ £°), где
гем
аг ^ 0, £ аг = ^ и £ £° < ) }
гем гем
называется БС -ядром ТП-кооперативной игры (Ю, V) относительно вектора £° е X°(V), а вектор £° — основанием данного БС -ядра.
Распространение понятия БС-ядра относительно вектора £° на все множество оптимальных решений X°^) приводит к понятию большого БС-ядра [16].
Определение 2. Множество векторов
СБС(V) = У БС(V, £°)
V 5°ех°(^)
называется большим БС -ядром ТП-кооперативной игры (Ю, V).
При этом множество всех оптимальных решений задачи (2)-(3) X °^) будем называть основанием большого БС -ядра. Справедливо следующее утверждение [16].
Теорема 2. В любой сбалансированной ТП-кооперативной игре (Ю, V) большое БС -ядро содержится в С -ядре: СБС (V) С С (V).
Предположим теперь, что С-ядро игры (Ю, V) является пустым. В классе несбалансированных игр были введены «теневые» аналоги БС-ядра и большого БС-ядра [14].
Определение 3. Множество векторов
(7) БС(V, £°) = { £ е Ж" | £ е I*(V), £г < £°, Vг е N } =
или в эквивалентной форме
(8) = { £ е Ж" | £г = £г° + аг ^(Ю) - £ £°), где
гем
аг > 0, £ аг = 1, и £ £° > v(N) | гем гем
будем называть теневым БС-ядром ТП-кооперативной игры (Ю, V) относительно вектора £° е X°(V).
Определение 4. Множество векторов
ОБОД = У БС(V, £°).
V (,°еХ°^)
называется большим теневым БС -ядром ТП-кооперативной игры (Ю, V).
В этом случае множество всех оптимальных решений задачи (2)-(3) X°^) будем называть основанием большого теневого БС-ядра.
Так как в несбалансированной игре для любого £° е X°^) выполняется неравенство, противоположное неравенству (4), т. е.
гем £г° > v(N), то любое теневое БС-ядро относительно вектора £° не пусто, а, следовательно, не пусто и большое теневое БС-ядро.
Приведем определение предложенного Н. Мегиддо [8] свойства агрегированной монотонности одноточечных решений.
Определение 5. Значение ф на классе игр См называется агрегированно-монотонным, если для любых двух игр V, V е См таких, что v(Б) = vl(Б) для всех Б С N и v(N) < vl(N), имеет место неравенство: ф(V) ^ ф(V1).
В статье [7] было введено понятие агрегированно-монотон-ного С-ядра и понятие корневой игры.
Определение 6. Агрегированно-монотонным С -ядром ТП-кооперативной игры (Ю, V) называется подмножество множества преддележей I* (V), которое является совокупностью найденных для данной игры (Ю, V) всевозможных значений из класса 10
игр Gn, обладающих свойством агрегированной монотонности и принадлежащих C-ядру, если последнее не пусто.
Для произвольной ТП-игры (N, v) обозначим через BN множество сбалансированных игр, которые отличаются от игры (N, v) только значением коалиции N:
(9) BNN = { v' е BN | v'(S) = v(S) VS С N } . Определение 7. Корневой игрой (N, vr) по отношению к
ТП-игре (N, v) называется наименьшая сбалансированная игра из множества BN, т.е. vr е BN и vr(N) ^ w(N) для любой другой игры w е BN.
Рассмотрим ЗЛП (2)-(3) для произвольной игры (N, v') из множества сбалансированных игр (9). Так как v'(S) = v(S) для любой коалиции S С N, то
(10) X0(v')= X0(v), Vv' е BN .
Неравенство (4), которое выполняется для любой сбалансированной игры, также справедливо для всех игр из множества (9), и с учетом (10) имеет вид: £ieN С0 ^ v'(N) для произвольного С0 е X0 (v). Тогда по определению 7 значение vr (N) корневой игры равно
(11) vr (N) = £ СО .
iZN
Утверждение 1. Пусть (N, v) — произвольная ТП-коопера-тивная игра. C-ядро корневой игры (N, vr) совпадает с множеством оптимальных решений X0(v) ЗЛП (2)-(3).
Доказательство. Непустое C-ядро игры (N, vr) можно рассматривать как множество оптимальных решений следующей ЗЛП (см., напр., [9]):
(12) min £ Ci,
iZN
(13) £ Ci ^ v(S), V S С N,S = 0 , ies
(14) £ Ci = vr (N) ,
iZN
которая отличается от задачи (2)-(3) только дополнительным ограничением (14). Поскольку С(уг) = 0, то оптимальное значение ЗЛП (12)-(14) равно уг (М). Тогда из (11) следует, что множества оптимальных решений задач (2)-(3) и (12)-(14) совпадают друг с другом, т. е. X0(у) = С (уг).
Следующая теорема обеспечивает точное аналитическое описание агрегированно-монотонного С-ядра [7].
Теорема 3. Для агрегированно-монотонного С -ядра ТП-коо-перативной игры (М, у) справедливо представление
АС (у) = С (уг) + (у(М) — уг (М)) А^ ,
где С (уг) — С -ядро корневой игры (М, уг) и АN = {х е Мп | х\ + ... + хп = 1, хг ^ 0 V г е М}.
Докажем следующее утверждение.
Утверждение 2. Пусть (М, у) — произвольная ТП-коопера-тивная игра. Множество векторов из агрегированно-монотонно-го С -ядра совпадает с большим БС -ядром, если игра (М, у) сбалансирована, и с большим теневым БС -ядром, если игра (М, у) несбалансирована.
Доказательство. Заметим, что описания БС-ядра и теневого БС-ядра в форме (6) и (8) отличаются друг от друга только условиями сбалансированности или несбалансированности игры (М, у) в виде неравенства (4) и противоположного ему неравенства. Поэтому объединяя их в одно определение и распространяя его на все множество X0(у), получим следующее общее выражение для большого БС-ядра и большого теневого БС-ядра.
Множество векторов
(15) X = X0(у) + (у(М) — £ е°) Ам
г€М
является большим БС-ядром, если игра (М, у) сбалансирована, и большим теневым БС-ядром, если игра (М, у) несбалансирована.
Сравним выражение (15) с представлением агрегированно-монотонного С-ядра из теоремы 3. Принимая во внимание утверждение 1 и равенство (11), приходим к доказываемому утверждению.
12
2. Теоретическое обоснование метода
Для построения метода нахождения С-ядра корневой игры будем исходить из утверждения 1 о совпадении С(уг) с множеством X0(у). Как известно, множество оптимальных решений любой ЗЛП является также решением некоторой системы линейных уравнений и неравенств (см., напр., [4]). Поэтому рассмотрим задачу нахождения системы линейных ограничений, описывающей С-ядро корневой игры (или множество X0(у)), минимальной по общему числу ограничений и содержащей наибольшее число ограничений типа равенств.
Представим ЗЛП (2)-(3) в векторно-матричной форме:
где (£, I) — скалярное произведение вектора £ = (£і, ..., £п) и
ренумеровать все коалиции Б С N (Б = 0, N): 51, ..., Бр, где р = 2п — 2 — общее число ограничений в системе (3), то можно представить элементы матрицы А и вектора V в виде:
Множество допустимых решений (17) с геометрической точки зрения является выпуклым замкнутым многогранным множеством, которое обозначим М. Поэтому множеством оптимальных решений X0(у) может быть только некоторая грань Г множества М. Любую грань Г е М такую, что Г С X0(у), будем называть оптимальной гранью.
Определение 8. Грань Г е М будем называть потенциально-оптимальной в классе игр См, если существует игра (М, у) из класса См такая, что X0(у) = Г и для любой другой оптимальной грани Г' С X0(у) справедливо включение Г' с Г.
Множество всех потенциально-оптимальных граней в классе игр См обозначим через Р^.
(16)
(17)
тіп (£, I), £А ^ V,
п-мерного вектора I = (1, ..., 1)Т. Если некоторым образом пе
(18)
= \ 1, если і є Бj , \ 0, если і Є Бj , V = (у(Бі),...,ь(Бр)) .
где і = 1, П, І = 1, р,
Задача (16)-(17) является двойственной к задаче:
p
(19) max £ Xj"(Sj),
j=i
f E Xj = 1, V i e N,
(20) I j: ieSj ___________
[ Xj > 0 , j =T~P,
или в векторно-матричной форме
max (V, X),
Г AX = I,
I X ^ 0 .
Оптимальное решение ЗЛП (19)-(20) связано с понятиями сбалансированного и минимального сбалансированного набора коалиций (или покрытия), предложенными Бондаревой [2, 3] и Шеп-ли [11].
Определение 9. Пусть B = (Si, ..., Sk} - некоторый набор коалиций Sj С N, Sj = 0. Набор коалиций B называется сбалансированным, если существуют такие положительные числа Xj > 0, V Sj e B, что
(21) £ Xj = 1, Vi e N.
j : Sj 6B iESj
Набор чисел (Xj)sjев называется системой балансирующих весов.
Определение 10. Сбалансированный набор коалиций B называется минимальным, если он не содержит ни одного собственного подмножества B* С B, также являющегося сбалансированным набором коалиций.
Доказательство следующего необходимого и достаточного условия минимальности сбалансированного набора можно найти, например, в книге Оуэна [9].
Теорема 4. Сбалансированный набор коалиций B является минимальным тогда и только тогда, когда для него существует единственная система балансирующих весов (Xj)Sjев.
14
Для того, чтобы найти все минимальные сбалансированные наборы коалиций в классе игр GN, Б. Пелегом был разработан индуктивный метод [10], сущность которого заключается в последовательном нахождении всех минимальных сбалансированных наборов коалиций для игр с n игроками, если известны все минимальные сбалансированные наборы коалиций для игр с n — 1 игроками. Заметим, что в работе Шепли [11] приведены все минимальные сбалансированные наборы коалиций для игр с числом игроков n = 3, 4, 5, 6.
Как известно, между оптимальными решениями пары двойственных задач существуют соотношения, устанавливаемые теоремами о дополняющей нежесткости, а также теоремой двойственности. Для пары двойственных задач линейного программирования в стандартном виде:
min (x, c) , max (b, y),
f xD ^ b, (*) f Dy ^ c, (**)
\ x ^ 0, \ y ^ 0,
где D — матрица, x и b — вектор-строки, y и c — вектор-столбцы, эти теоремы формулируются следующим образом (см., напр.,
[12]).
Теорема 5. (Теорема о дополняющей нежесткости в слабой форме.) Допустимые векторы x и y задач (*) и (**) оптимальны тогда и только тогда, когда
(b — xD) y = 0 , x (Dy — c) = 0 .
Теорема 6. (Теорема о дополняющей нежесткости в сильной форме.) Для заданной пары разрешимых двойственных задач (*) и (**) существует по крайней мере одна пара оптимальных решений x и y, удовлетворяющих соотношениям:
(b — x D) + yT > 0,
(Dy — c) + xT > 0 .
Теорема 7. (Теорема двойственности.) Для того чтобы допустимый вектор x (вектор y) являлся оптимальным решением ЗЛП (*) (ЗЛП (**), соответственно), необходимо и достаточно, чтобы существовал допустимый вектор y (вектор x) двойственной задачи такой, что (x, c) = (b, y). Оптимальные значения двойственных задач равны для любой пары их оптимальных решений.
Кроме того, для допустимых векторов двойственных задач справедлива следующая теорема(см., напр., [12]).
Теорема 8. Для любых допустимых векторов x и y задач (*) и (**), соответственно, выполняется неравенство: (x, c) ^ (b, y).
В следующей теореме мы покажем, что множество потенциально-оптимальных граней P0 взаимно-однозначно связано с множеством минимальных сбалансированных наборов коалиций в классе игр GN .
Предварительно заметим, что система ограничений, описывающая произвольную грань Г e M, получается из системы (17) путем замены в ней некоторых k неравенств на уравнения (k ^ n):
(22) £А = V,
(23) ^ V,
причем столбцы матрицы А должны быть линейно независимыми, т. е. rank А = k. При этом размерность грани Г определяется как q = n — k. Обозначим через U(Г) = (Si1, ..., Sik) множество коалиций, соответствующих неравенствам в (17), которые заменяются на уравнения для получения системы (22)-(23).
Докажем следующую теорему.
Теорема 9. Грань Г e M является потенциально-оптимальной в классе игр GN тогда и только тогда, когда множество коалиций U (Г) является минимальным сбалансированным набором в классе игр GN .
Доказательство. Необходимость. Предположим, что некоторая грань Г e M является потенциально-оптимальной в
классе игр См и задается системой ограничений (22)-(23), где столбцы матрицы А = {&}к=1 линейно независимы, а и (Г) = (51, ..., Бк) — множество коалиций, перенумерованных в том же порядке, в котором они соответствуют столбцам матрицы А. По определению 8, существует игра (М, у) из класса Ом такая, что X0(у) = Г. Рассмотрим связь между оптимальными решениями задач (2)-(3) и (19)-(20) для данной игры. Пусть {О £ X0(у) и Л0 — соответствующие произвольные оптимальные решения этих задач.
Заметим, что рассматриваемые задачи не являются задачами линейного программирования в стандартном виде, поэтому для них условия дополняющей нежесткости в слабой форме сводятся к единственному равенству: (V—{ А) Л = 0, которое равносильно условиям:
П
если Лу > 0, то ¿2 & (Щ = у(Б]), ] £ {1, ..., р} ,
(24) < „ г=1
если ^2 & агз > у(5у) , то Лу = 0 , ] £ {1, ..., р} ,
г=1
а условия дополняющей нежесткости в сильной форме — к единственному неравенству: (V — { А) + ЛТ > 0, которое равносильно условиям:
П
если Лу =0, то ¿2 & ац > у(Бу), ] £ {1, ..., р} ,
(25) ' ^=1
если £ & ац = у(Бу), то Лу > 0, ] £ {1, ..., р} .
г=1
По теореме 5 условия дополняющей нежесткости в слабой форме выполняются для любой пары оптимальных решений двойственных задач &0 и Л0. При этом для некоторых пар оптимальных решений равенства ЛО = 0 и ^™=1 а= у(Бу) при некоторых Бу могут выполняться одновременно. По теореме 6 условия дополняющей нежесткости в сильной форме гарантируют, что существует по крайней мере одна пара оптимальных решений &0 и Л0, для которых условия ЛО = 0 и ^2П=1 &0 а%] = у (Бу) не могут иметь место одновременно.
Таким образом, существует, по крайней мере, одна пара оптимальных решений &0 и Л0 рассматриваемых задач такая, что
Г &0 А = V, Г Л0 > 0, V Бу £ и (Г),
\ &0 А >У , и \ Л0 = 0, V Бу £ и (Г).
Подставляя Л0 в ограничения-равенства из (20), получим, что ненулевые компоненты
Л0
удовлетворяют системе:
£ Л0 = 1, Vг £ М.
3 '■ гев]
ев
Тогда из определения 9 следует, что и(Г) является сбалансированным набором коалиций.
Из ненулевых компонент вектора Л0 образуем вектор
Л0 = (ЛЧ,...,Л1),
располагая Л0 в том же порядке, что и соответствующие им коалиции из множества и (Г). Так как столбцы матрицы А = {ау }к=1 линейно независимы, то вектор
Ла0
является едиственным решением системы уравнений А Л = I. Тогда по теореме 4 получаем, что и (Г) является минимальным сбалансированным набором коалиций.
ДОСТАТОЧНОСТЬ. Пусть (М, у) — произвольная игра из класса См. Рассмотрим ЗЛП (19)-(20) для данной игры. Заметим, что крайними точками выпуклого многогранника Ы', описываемого системой ограничений (20), являются векторы Л, ненулевые компоненты которых образуют системы балансирующих весов, соответствующие минимальным сбалансированным наборам коалиций. Следовательно, по крайней мере одно из оптимальных решений Л0 задачи (19)-(20) является крайней точкой Ы' и отвечает некоторому минимальному сбалансированному набору коалиций В = (Б1, ..., Бк). Обозначим систему балансирующих весов для В через
Л0 = (Л°1,...,Л°к),
располагая компоненты Л0 > 0 оптимального вектора Л0 в том же порядке, что и соответствующие им коалиции из множества В.
Согласно теореме 4 система балансирующих весов а0 является единственным решением системы ограничений:
Е Л у = 1, V г £ М,
3 :
эз ев
Лу > 0, V Бу £ В, которую можно представить в векторно-матричной форме как
(26) А Л = I, Л > 0.
Тогда столбцы матрицы А = {Лу }к=1 — линейно независимы, а их число к ^ п.
Покажем, что если и (Г) = В, то X 0(у) = Г. Пусть грань Г описывается системой (22)-(23) с и (Г) = В. Возьмем произвольный вектор £ £ Г, и умножим равенство (22), которому удовлетворяет этот вектор, справа скалярно на вектор Л0:
(27) £ А Л° = ЛЛ° .
С одной стороны, левую часть этого выражения можно преобразовать согласно (26):
(28) £АЛ0 = £ I = £ £ .
геМ
С другой стороны, правая часть (27) равна оптимальному значению ЗЛП (19)-(20), так как
р р
(29) V Л° = £ Л0 у(Б3) = £ Л0 у(Б3) = тах £ Л, у(Б3).
у: Яз еВ 3=1 3=1
Тогда по теореме 7 ^£г является оптимальным значением ЗЛП (2)-(3), и, следовательно, ввиду произвольности выбора вектора £ £ Г, справедливо включение Г С X0(у).
Предположим, что Г С X0(у), т. е. Г = Х0(у). Тогда существует другая оптимальная грань Г' = X0(у) такая, что Г С Г'. Это означает, что любое решение системы (22)-(23) также является решением системы, описывающей грань Г':
(30) £ А = Л',
(31) £ А ^ V',
причем все столбцы матрицы А также являются столбцами матрицы А, и, следовательно, U (Г;) с U (Г) = B. По доказанному в первой части данной теоремы множество U(Г;) является минимальным сбалансированным набором коалиций. Следовательно, сбалансированный набор коалиций B не является минимальным. Полученное противоречит доказывает, что сделанное предположение неверно, и Г = X0(v).
Для того, чтобы грань Г являлась потенциально-оптимальной, согласно определению 8 нужно показать, что существует такая игра из класса GN, что X0(v) = Г и для любой другой оптимальной грани Г* С X0(v) справедливо включение Г* с Г.
Так как X0(v) = Г в исходной игре (N, v), то для любой другой оптимальной грани Г* С X0(v) возможны два случая: либо Г* с Г, либо Г* ^ Г. В первом случае игра (N, v) является искомой игрой, а грань Г — потенциально-оптимальной гранью.
Рассмотрим второй случай. Можно утверждать, что существует, по крайней мере, еще одна оптимальная грань Г = X0(v), Г = Г, такая, что Г* С Г. Построим новую игру (N, v):
(32) а d(S)= v(S) - е, V S С N: S е (U(Г) \ U(Г)) ,
\ v(S) = v(S), для остальных коалиций S С N,
где е > 0.
Рассмотрим ЗЛП (19)-(20) для новой игры (N, v):
p
(33) max Е v(S>)■
j=i
f E Aj = 1, Vi е N.
(34) I j: ieSi
1 Aj >0, j = 1Tp.
Заметим, что множество допустимых векторов (34) при изменении характеристической функции игры не меняется, а значение целевой функции (33) для любого допустимого вектора A может,
разве что, уменьшиться:
Е Хз Ч(Бз) = Е Хз (у(Бз) - е) +
3 = 1 з : Б, ей(Г)\и(Г)
+ Е Хз у(Бз) < Е Хз у(Бз).
3 : Б, еи(Г)\и(Г) з=1
Более того, значение целевой функции (33) для вектора Х0 остается тем же, что и в исходной игре (Х, у), так как Х0 > 0 только при Яз е и (Г) = В, а другие компоненты Х0 = 0:
Е Х0 Ч(Бз)= Е Х0 (у(Яз-) - е) +
з=1 з : Б,еи(Г)\и(Г)
+ Е Х°0 у(Бз)+ Е Х°0 у(Бз) =
3 : Я, еи(г) з: Б, еи(Г)ии(Г)
= Е Х0 у(Бз)= Е Х0 у(Бз).
з : Б, ев з=1
Следовательно, предложенное изменение характеристической функции не повлияет на оптимальное значение задачи, а вектор Х0 также является оптимальным решением новой ЗЛП (33)-(34). Тогда по теореме 7 оптимальное значение задачи (2)-(3) при переходе от игры (Ы, у) к игре (Ы, у) также не меняется. А поскольку значения у(Б) = у (Б) для Б е и (Г), то в новой игре X0 (у) = Г.
Покажем, что Г ^ X0(У). Пусть в игре (Ы, у) грань Г опи-
сывается системой ограничений:
Г £ & = у(Б), V Б е и (Г),
^ iеS
| Е & ^ у(Б), V Б еи (Г),
^ iеS
или в векторно-матричной форме:
(35) &А = V,
(36) &А > V,
причем и (Г) ^ и (Г) и и (Г) ^ и (Г). Так как в исходной игре X °(у) = Г, то по необходимости множество и (Г) является минимальным сбалансированным набором коалиций и существует система балансирующих весов Л0, которая является единственным решением системы уравнений:
(37) А Л = I, Л > 0.
Тогда в игре (М, V) грань Г можно описать системой ограничений:
{ ЕЛі = у(Б) - г, ^ є и(Г) \ и(Г),
Іев
< ЕЛі = у(Б), V 5 є и (Г) п и (Г),
Іев
Е & ^ Л(Б), V 5 є и (Г),
, іев
которую представим в векторно-матричной форме следующим образом:
(38) = V',
(39) Л А'' = у'',
(40) &А ^ V',
где без уменьшения общности можно считать, что (А'|А'') = А и, соответственно, (V'IV'') = V.
Пусть & є Г — произвольный вектор грани Г. Представим уравнения (38) и (39) в виде одного: & (А'|А'') = (у'|у''), подставим в него & и умножим его справа скалярно на вектор Л°:
(41) |(А'|А'')Л° = (у'|у'')Л°.
Левую часть этого выражения преобразуем согласно (37):
&(А'|А'') Л° = ЛуЛ° = &І = £ Лі .
ІЄМ
Правую часть (41) представим в виде:
(у'|у'')Л° = Е Л° (у(Б3) - е)+
і: (Г)\и(Г)
+ Е Л° у(Бі) < Е Л° у(Бі).
і: вз еи (Г)пи (Г) і: еи (Г)
Таким образом, получаем неравенство:
£ & < £ Ч0 у(Б1) .
iеN з : Б, еи(Г)
Так как сумма справа равна оптимальному значению ЗЛП (19)-(20), совпадающему с оптимальным значением ЗЛП (33)-(34), то по теореме 8 вектор & не является допустимым вектором ЗЛП (2)-
(3) для игры (Ы, у). Следовательно, грань Г не может быть оптимальной в новой игре, т. е. Г ^ X0(у).
Таким образом, в случае, когда кроме грани Г = X0(у) существует оптимальная грань Г * ^ X0(у) такая, что Г* ^ Г, построенная игра (Ы, у) является искомой игрой из определения 8, и, следовательно, грань Г является потенциально-оптимальной.
Из теоремы 9 следует, что для того, чтобы найти множество потенциально-оптимальных граней , достаточно найти множество всех минимальных сбалансированных наборов коалиций в классе игр См, и наоборот.
Так как для каждой потенциально-оптимальной грани Г, по определению 8, найдется игра из класса Ом такая, что X0(у) = Г, то значение целевой функции (2) является постоянной величиной для любого вектора & е Г. Поэтому введем для нее специальное обозначение:
(42) а(Г) = £ & , V & е Г , Г е Р0М .
iеN
При доказательстве достаточности теоремы 9 были получены соотношения (27)-(29), из которых с учетом В = и (Г) следует, что для любой потенциально-оптимальной грани Г и соответствующей системы балансирующих весов Л справедливо равенство:
(43) £ 6 = £ Лз у(Бз).
iеN з : Б, еи (Г)
Следующее утверждение дает критерий выбора оптимальной грани Г = X0(у) из множества PN.
Утверждение 3. Оптимальное значение ЗЛП (2)-(3):
(44) г0 = тах а (Г).
Доказательство. Возьмем некоторую потенциально-оптимальную грань Г1 е P0 и рассмотрим игру (N, v), в которой X°(v) = Г1. Пусть Г2 е P0 — любая другая потенциально-оптимальная грань.
По теореме 9 множества U(Г1) и U(Г2) являются минимальными сбалансированными наборами коалиций, которым соответствуют системы балансирующих весов Л1 и Л2.
Так как X°(v) = Г1, то из (42), (43) и теоремы двойственности 7 получаем равенство:
(45)
min £ £i = а(Г1) = £ Л) v(Sj) = max £ Xj v(Sj).
iEN j : Sj EU (Г1) j=1
Следовательно, для систем балансирующих весов л1 и л2 справедливо неравенство:
£ Л) v(Sj) ^ £ Л2 v(Sj),
j: Sj EU (Г1) j: Sj EU (Г2)
эквивалентное неравенству а (Г 1) ^ а(Г2).
Откуда, ввиду произвольности выбора Г2 е Р°, следует:
(46) ^Г1) = max а(Г).
rEpN
Обозначая оптимальное значение ЗЛП (2)-(3) через z0, из (45) и
(46) получаем равенство (44).
Из утверждения 3 следует, что если наибольшее значение а(Г) достигается только на одной потенциально-оптимальной грани:
arg max а(Г) = Г*,
rEpN
то именно эта грань является множеством оптимальных векторов ЗЛП (2)-(3): X0(v) =Г*.
Предположим, что а (Г) достигает своего наибольшего значения на нескольких потенциально-оптимальных гранях:
arg max а(Г) = {Г1, ..., Гк} .
ГЕР°
Тогда возникает проблема выбора X0 (v) из данной совокупности граней.
Рассмотрим случай, когда а(Г) достигает наибольшего значения только на двух потенциально-оптимальных гранях Г1, Г2 е P0. Покажем, что тогда множество векторов, принадлежащих грани Г1 , совпадает с множеством векторов, принадлежащих грани Г2.
Возьмем произвольные векторы £1 е Г1 и £2 е Г2 и рассмотрим вектор £ = а^ + (1 — а) £2, где а е [0; 1]. Так как многогранное множество M является выпуклым, то £ е M.
Значение целевой функции (2) для данного вектора £ при любом а е [0; 1] равно:
Е £i = а Е £1 + (1 — а) Е £2 =
iEN iEN iEN
= а max а(Г) + (1 — а) max а(Г) = max а(Г).
геро геро геро
Но по условию argmaxrEP^ а(Г) = {Г1, Г2}. Следовательно, вектор £ принадлежит либо Г1, либо Г2, либо обеим граням одновременно. Таким образом, между гранями Г1 и Г2 нет никакой другой грани множества M и никаких внутренних векторов из M. Тогда
а) либо одна из граней является подмножеством другой: например, Г2 С Г1;
б) либо множества векторов, принадлежащих граням Г1 и Г2, совпадают друг с другом.
Но по определению 8 ни одна из потенциально-оптимальных граней не может быть подмножеством другой потенциально-оптимальной грани. Следовательно, п. а) невозможен, и в результате остается только п. б).
Обобщая это рассуждение на несколько потенциально-оптимальных граней, приходим к выводу, что если
(47) arg max а(Г) = {Г1,..., Гк} ,
ГЕр0
то множества векторов, принадлежащих граням Г1,..., Гк, совпадают друг с другом. Следовательно, множеством X0(v) является
25
любая из граней Г1, ..., Гк.
Замечание 1. Пусть Г1, ..., Гк — потенциально-оптимальные грани из (47). Тогда каждый вектор £0 G X0(v) удовлетворяет всем ограничениям типа равенств, которые входят в систему ограничений, описывающую какую-либо из рассматриваемых граней.
3. Формулировка метода
На основании теоремы 9, утверждения 3 и замечания 1 получаем следующий метод нахождения C-ядра корневой игры с n игроками.
1) Найти, используя индуктивный метод Б. Пелега, множество всех минимальных сбалансированных наборов коалиций в классе игр Gn. По теореме 9 каждому минимальному сбалансированному набору коалиций B взаимно-однозначно соответствует некоторая потенциально-оптимальная грань Г G PN с U (Г) = B.
2) Вычислить значения а (Г) для всех Г G Р° и определить наибольшее значение а (Г) на множестве Р^:
z0 = max а(Г).
Г€Р0
По утверждению 3 величина z0 является оптимальным значением ЗЛП (2)-(3) или общим гарантированным доходом коалиции N в корневой игре: vr(N) = z0.
3) Выделить все потенциально-оптимальные грани, на которых достигается наибольшее значение а(Г):
{Г1, ..., Гк} = arg max а(Г)
Г(= p 0
г fcPV
и найти множество коалиций
Y = U (Г1) U ... U U (Гк)
4) Составить систему ограничений для множества X0(у), принимая во внимание замечание 1:
Г Е & = у(Б) при 5 С N: 5 е У,
(48) | Е (г > у(Б ) при 5 С N: Б /У .
\ гЕЯ
По утверждению 1 система (48) описывает С-ядро корневой игры ^, уг). Эта система, во-первых, содержит на одно ограничение меньше, чем классическое описание С-ядра из теоремы 1. Во-вторых, в этой системе имеется максимальное число ограничений типа равенств. Для окончательного нахождения С-ядра корневой игры остается найти его крайние точки, исходя из полученной системы.
4. Заключение
В этой статье мы показали, что С-ядро корневой игры совпадает с множеством оптимальных решений X0(у) задачи линейного программирования (2)-(3), а агрегированно-монотонное С-ядро, как подмножество множества преддележей, формально геометрически совпадает либо с большим БС-ядром, либо с большим теневым 5С-ядром.
Совпадение С-ядра корневой игры с множеством X0 (у) позволило обосновать и сформулировать метод для нахождения системы ограничений наиболее простого вида, описывающей С -ядро корневой игры.
Литература
1. АКИМОВА А.Н. Аналитический метод решения специальной задачи линейного программирования // Тезисы докладов международного конгресса «Нелинейный динамический анализ». - С.-Петербург, 2007. - С. 315.
2. БОНДАРЕВА О.Н. Теория ядра в игре п лиц // Вестник Ленинградского университета, Серия: мат., мех., астр. -1962. - № 13(3). - С. 140-142.
3. БОНДАРЕВА О.Н. Некоторые применения методов линейного программирования к теории кооперативных игр // Проблемы кибернетики. - 1963. - № 10. - С. 119-140.
4. ЕРЕМИН И.И. Линейная оптимизация и системы линейных неравенств. - Москва: Издательский центр «Академия», 2007.
5. ЗАХАРОВ В.В., АКИМОВА А.Н. О некоторых селекторах C-ядра // Вестник Санкт-Петербургского Университета, Сер. 1. - 2002. - № 3. - С. 10-16.
6. ПЕЧЕРСКИЙ С.Л., ЯНОВСКАЯ Е.Б. Кооперативные игры: решения и аксиомы. - С.-Петербург: Издательство Европейского университета в С.-Петербурге, 2004.
7. CALLEJA P., RAFELS C. AND TIJS S. The Aggregate-Mo-notonic Core // Games and Economic Behavior. - 2009. - Vol. 66. - P. 742-748.
8. MEGIDDO N. On the nonmonotonicity of the bargaining set, the kernel and the nucleolus of a game // SIAM J. on Applied Mathematics. - 1974. - Vol. 27. - P. 355-358.
9. OWEN G. Game theory (third edition). - New York: Academic Press, 1995.
10. PELEG B. An inductive method for constructing minimal balanced collections of finite sets // Naval Research Logistics Quarterly. - 1965. - Vol. 12, № 2. - P. 155-162.
11. SHAPLEY L.S. On balanced sets and cores // Naval Research Logistic Quarterly. - 1967. - Vol. 14. - P. 453-460.
12. SIMONNARD M. Linear programming. - Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, Inc., 1966.
13. ZAKHAROV V.V. About selectors of the core in dynamic games // Proceedings of the 7th ISDG symposium on Dynamic Game and Applications. - Kanagawa, Japan, 1996.
14. ZAKHAROV V.V., AKIMOVA A.N. Nucleolus as a Selector of Subcore // Proceedings Volume from the 11th IFAC Workshop «Control Applications of Optimization» (Zakharov V.V., ed), S.-Petersburg, Russia. - Great Britain: Pergamon, 2000. - Vol. 2. - P. 675-680.
15. ZAKHAROV V.V., AKIMOVA A.N. Geometrical Properties of Subcore // Game Theory and Applications (Petrosjan, L.A., and V.V. Mazalov, eds). - 2002. - Vol. 8. - P. 279-289.
16. ZAKHAROV, V.V., KWON O-H. Selectors of the core and consistency properties // Game Theory and Applications. -1999. - Vol. 4. - P. 237-250.
A METHOD FOR ESTIMATING THE CORE OF ROOT GAME
Arina Akimova, St. Petersburg State University, Faculty of Applied Mathematics and Control Processes, assistant (arina_akimova@mail.ru).
Viktor Zakharov, St. Petersburg State University, Faculty of Applied Mathematics and Control Processes, Doctor of Science, professor (mcvictor@mail.ru).
Abstract: It is shown that the base of the grand (shadow) subcore coincides with the core of the root game in any TU-cooperative game. Comparing the definitions of the grand subcore and the grand shadow subcore with the description of the aggregate-monotonic core leads to formal geometrical coincidence of the aggregate-monotonic core with either the grand subcore or the grand shadow subcore. The method for estimating the simplest set of equations and inequalities describing the core of a root game in a TU-game with any number of players (n > 3) is proposed. To develop the method the duality theory and an inductive method by B. Peleg are used.
Keywords: TU-cooperative game, core, grand (shadow) subcore, root game, aggregate-monotonic core, linear programming, balanced collection of coalitions.
Статья представлена к публикации членом редакционной коллегии В. В. Мазаловым
