Метод моментов в теории обобщенных функций и его приложения в задачах системного анализа и управления. Основы теории Текст научной статьи по специальности «Математика»

-№ 31(5), -C. 702-733.

50. Maybury, M.T. Generating summaries from event data [TeKCT]/M.T. Maybury//Information Proc. & Management-1995 -31(5),-C. 735-751.

51. Salton, G. Automatic Text Structuring and Summarization [TeKCT]/G. Salton, A. Singhal, M. Mitra [et al.]//Information Proc. &Management.-1997. -№ 33(2),-C. 193-207.

52. Mani, I. Summarizing similarities and differences among related documents [TeKCT]/I. Mani, E. Bloedorn// Information Retrieval.-1999.-№ 1(1).-C. 35-67.

53. Carbonell, J. The use of MMR, diversity based reranking for reordering documents and producing summaries [TeKCT]/J.G. Carbonell, J. Goldstein//In Research and Development in Information Retrieval.-1998. -C. 335-336.

54. Radev, D.R. Centroid-based summarization of multiple documents: sentence extraction, utility-based evaluation, and user studies [TeKCT]/D.R. Radev, H. Jing, M. Budzikowska//In ANLP/NAACL Workshop on Summarization.-Seattle, WA, Apr. 2000.-C. 21-29.

55. Nomoto, T. The diversity-based approach to open-domain text summarization [TeKCT]/T. Nomoto,

Y. Matsumoto//In Information Proc. & Management.-2003. -№ 39. -C. 363-389.

56. Barzilay, R. Inferring strategies for sentence ordering in multidocument news summarization [TeKCT]/R. Barzilay, T. Elhadad, K.R. McKeown// Journal of Artificial Intelligence Research.-2002. —№ 17. -C. 35-55.

57. Evans, D.K. Columbia Newsblaster: Multilingual News Summarization on the Web [TeKCT]/D.K. Evans, J.L. Klavans, K.R. McKeown//In Proc. of NAACL/ HLT .-2004.-C. 1-4.

58. Allan, J. Introduction to topic detection and tracking [TeKCT]/J. Allan //Event-based Information Organization.-Kluwer Academic Publishers, Boston, 2002.-C. 1-16.

59. Braun, R.K. Exploiting Topic Pragmatics For New Event Detection In TDT-2004 [TeKCT]/R.K. Braun, R. Kaneshiro//DARPA Topic Detection and Tracking Workshop.-Gaithersburg, 2004.-C. 189-192.

60.Connel,M.UmassatTDT2004[TeKCT]/M. Connel, A. Feng, G. Kumaran [et al.]//Proc. DARPA Topic Detection and Tracking Workshop Report.-Gaithersburg, Dec. 2004.

удк 517

А.Н. Фирсов

МЕТОД МОМЕНТОВ В ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ В ЗАДАЧАХ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА И УПРАВЛЕНИЯ. ОСНОВЫ ТЕОРИИ

Хорошо известны принципы применения преобразований Фурье и Лапласа в прикладных задачах. Особенно популярно использование их свойства, позволяющего переходить от соотношений, содержащих линейные дифференциальные операторы, к чисто алгебраическим (полиномиальным) соотношениям. Проблема, однако, остается: далеко не всегда тривиальной (если вообще аналитически возможной) оказывается задача обращения этих преобразований на заключительном этапе исследования. Кроме того, изображения сами по себе мало информативны с точки зрения оценки свойств соответствующих оригиналов. Наконец, й

операторы типа х— переходят при упомянутых преобразованиях сами в себя, что делает в таких случаях неэффективным использование этих преобразований.

В предлагаемом исследовании строится метод, позволяющий трансформировать задачи, содержащие линейные дифференциальные операторы (вообще говоря, с переменными коэффициентами), к линейным алгебраическим задачам рекуррентного типа, лишенным указанных выше недостатков. Кроме того, величины, входящие в преобразованные соотношения, сами по себе оказываются имеющими содержательный смысл, что во многих случаях не требует обратного перехода к оригиналам.

Линейные функционалы (обобщенные функции) в пространствах целых функций изучались главным образом в связи с преобразованием Фурье. В книгах [1, 2] подробно исследованы свойства и структура линейных функционалов в пространстве X целых функций экспоненциального

типа, убывающих при Яе2 ^ да быстрее любой степени |г| [1, гл. 2] и [2, гл. 3], и в пространстве Н всех целых функций [2, с. 189-191]. Имеется, однако, ряд задач математической физики, которые не попадают в «сферу влияния» упомянутых пространств обобщенных функций1. Например, задачи теории вероятностей и статистической физики, в которых естественным требованием является существование (степенных) моментов функции (плотности) распределения. В связи с этим, пространство 2' не подходит, поскольку полиномы от вещественных переменных основному пространству 2 не принадлежат (и, следовательно, бессмысленно говорить о моментах функций из 21). Что же касается пространства Н, то оно имеет слишком малый для таких задач запас регулярных функционалов: «обычная» функция принадлежит Н' только в случае, если она очень быстро убывает (быстрее ехр(-|^|я) для всех и).

В данной работе исследуется пространство обобщенных функций Е', для которого порождающее пространство основных функций Е является, по существу, сужением на Яу пространства целых функций многих комплексных переменных порядка роста < 1 (и, в частности, неограниченных при |х| ^ да)2. Оказывается, что обобщенные функции из Е' допускают представление (его можно назвать «моментным»), которое естественным образом связано с основными операциями в Е', и которое дает удобный метод решения некоторых классов задач математической физики.

Ниже изложение строится для случая функций многих вещественных переменных. Переформулировка основных результатов на случай функций многих комплексных переменных не представляет особого труда, но для наших целей не требуется. Кроме того, в виду ограниченности объема статьи, в ней, практически, отсутствуют приложения к конкретным задачам. Им будет посвящена отдельная работа.

Мы будем, в основном, придерживаться терминологии книги [2]. В настоящей статье приняты следующие обозначения.

1 Последующие замечания относятся и к другим пространствам обобщенных функций: К', 5', Ж' (обозначения из [2]).

2 Отметим, что основные пространства подоб-

ного типа изучались в [3] в связи с преобразовани-

ем Фурье (см. также [4, с. 500-505]).

х=(х1,х2.....Д^)е/г"(у=1,2,...); 1*1 = 1^1 + 1*21+.

? = (?1>?2> =0,1,2,...;

Э?ф(*)

V V

,Рг

[V

1 Рк

циенты).

ЧЛ

Vгу;

дх?дхч2\..дх<'

- = (биномиальные коэффи-

1. Основные пространства Е ^ и Е

Определение 1.1. Пусть 5 > 0. Через будем обозначать пространство (комплекснозначных) функций ф€ Сда(Я") таких, что для любого р > 0

|£>>(;с)|<С(« + р)|'г|е(1+р)|л:|, хеГ. (1.1)

Здесь С - постоянная, зависящая, вообще говоря, от ф, 5 и р, но не зависящая от д.

Отметим сразу, что полиномы Р(х1, х1, ..., хи) и функции ехр(51х1 + ... + 5vxv), ехр[/(51х1 + ... + ^х)] принадлежат Е5 (последние - для 5 > тах(|51|, ..., |5у|). Это замечание будет дальше неоднократно использоваться.

Введем в Е счетную систему норм

(р)

рЩх)

■(1+р)х

(1.2)

1 1 1

2 3

Теорема 1.1. Пространство Е, наделенное системой норм (1.2), является полным счетно-нормированным пространством.

Доказательство этой теоремы полностью аналогично доказательству подобного результата для пространств типа 5 [2, с. 215-217].

Поскольку Е ^ Ех и из сходимости последовательности {фи} в Е следует ее сходимость в Е ,

¥

можно ввести счетное объединение Е = ;

5=1

сходимость в Е определяется обычным образом [2, гл. 1, §8]. Пространство Е, очевидно, полно в смысле соответствующей сходимости. Следующее свойство пространств Е является основным для дальнейшего.

Теорема 1.2. Пусть ф€Е а = (а а1, ..., а)£ Rv. Тогда:

1) ряд Тейлора для ф

% ?!

сходится для всех х£ 2) частичные суммы

г=о 11и

сходится к ф в смысле сходимости в Е5.

Доказательство. Первое утверждение теоремы очевидно следует из (1.1). Докажем второе. Через С. будем обозначать постоянные, зависящие, вообще говоря, от ф, 5, р, но не зависящие от д. Отметим, прежде всего, что для любого т = 1, 2, ... Б€Е и, следовательно, X (х) = ф -

- БеЕ . Имеем =

г=ш|?|=г Ч-

Если к = (к—, к2, ..., £), к = 0, 1, 2, ..., то

причем в последней сумме надо суммировать лишь по тем д с |д| = I, для которых д > к (т. е. а. > к,, ..., д > к), т. к. все остальные слагаемые

1 1 Р ^ 2У

будут равны нулю. Зафиксируем р > 0 и оценим

пи, =8ир

к,х

-(®+р)м

< ]Г вир

|в|=т

<С1Х8ир

(д-к)

г=т «9 + (5 + р)

что следует из несложной оценки

\д-к\ '

вир (л:-а)4 е

<С,е

Л (5 + Р)4

Положим д - к = и = (и ..., и). Так как должно быть к < д, то 0 < и < д. Очевидно, |к| = \д - и|= = |д| - |и|. Оценим отдельно величину

А = вир

Ф(4)(а)

'и* ($-*)!(*+ рГ(* + р)м Ф(?)(я)<

1

вир

— и п

е п

(5 + Р )' 1 0<л<9

п!

<С

^ , М*1

5+ р

-п п

е п

вир

0&п<4 П!

где использовано неравенство (1.1) для р = р Так как по формуле Стирлинга и! > и" ехр (— |и|), то для А окончательно получаем А < С2у|4', где положено у = (5 + р1)/ (5 + р). Если взять р1 < р, то будет 0 < у < 1. Вернемся к оценке для ||Хт||(р? Так как число слагаемых в сумме ^^ рав-

1д1=

<2 1 /(г/ —1)!, то из пред-

но

I

ыдущих оценок получаем окончательно ||хга|[р) <С^Ггу1 ->0 т ^ да (ибо 0 < у < 1).

1=т

Теорема доказана.

Замечание. Мы, в частности, показали, что ряд Тейлора для ф£ Е х сходится нормально в каждой из норм ||.||(р) , р = 1,—,... .

2

Следующие леммы указывают на ряд других свойств пространства Е.

Лемма 1.1. Если ф, Е, то и произведение ф^е Е.

Доказательство. Пусть ф£Е , Е .Зафиксируем р > 0 и рассмотрим

М(?,|<£

п<д

п<д

1

ч

п

\|«-я|

|ф(4-л)У|/(п)| <

Здесь и = (и—, и2, ..., иv). Полагая 53 = тах(5—, 52), будем иметь

<

Далее,

£ 2а, а число слагаемых в сумме

Е не больше, чем 2у 1 |д|у / (у — 1)! Поэтому,

и£д

(ф1|/)^ < С (ж + р)'4' , где можно положить, например, 5 = 353. Лемма доказана.

Лемма 1.2. Если фи ^ ф, уи ^ у в Е, фиуи ^ фу

в Е.

Доказательство. Пусть фи, ф£ Е 5; уи, Vе Е5. По предыдущей лемме фиУи, Е ,, 5 = 3тах(552). Зафиксируем р > 0 и рассмотрим

ЦФЛ» - ^ ЦФК - +1| ч„ (Ф. - Ф)|Г (*)

Оценим

и(р)

|к„(фл-ф)|[р)=8ир

(5 + Р/

<

<вир-г

(я + р)

Е

т<д

0*2 +р2)"

■ф11ы<

<с1к1(Г;|ф,-ф|Г8иРкГ2Ит|г|<

(рО

1(р2)

|ф„-ф

|(рО

где У = тах((51 + р1)/ (5 + р), (52 + Р2)/(5 + р)) = 3 1

для р1 = р2 = зр, 5 = 3тах(51, 52). Первое слагаемое в правой части (*) оценивается аналогично. Лемма доказана.

Лемма 1.3. Если ф£Е то Е

Лемма 1.4. Если фи ^ ф в Е то и Одфи ^ Бдф

в Е.

£

2. Структура обобщенных функций из Е'

Пространство Е' вводится стандартным образом как сопряженное к Е. В нем обычным образом определяются линейные операции, операция умножения на функции из Е и дифференцирование. Эти операции, как следует из результатов §1, являются непрерывными в смысле сходимости в Е' (т. е. в смысле слабой сходимости). По теореме о полноте пространства, сопряженного к полному счетно-нормированному [2, с. 67], пространство Е' будет полным (относительно слабой сходимости). Отметим тут же, что запас регулярных функционалов в Е' достаточно велик. Так, всякая суммируемая в Я-функция /(х), удовлетворяющая условию

/М = а>8>о(еХР(а1'

|1+в

Ы—(2.1)

порождает в Е' функционал / по формуле

(АФ) = //(*)ФМЛ> Фе£- (22)

к

Имеет место

Лемма 2.1. Если / е Ц (я* ) и для всех (рЕЕ = 0, то /(х) = 0 почти всюду.

я'

Доказательство. Как отмечалось в §1, для всех 5. е(-¥,+¥) функции

ехр [/' (^х +... + 5*х*)] е Е; поэтому

^/ (х)ехр (51х1 +... + ху)]ёх = 0 для всех

я*

^,..., 5*)еЯ*. Но тогда утверждение леммы следует из теоремы единственности для преобразования Фурье суммируемой функции. Лемма доказана.

Так что по терминологии книги [2], пространство Е содержит достаточно много функций.

Отметим еще следующее. Если «обычная» функция /(х) дифференцируема в «обычном» смысле и /и /(я) порождают регулярные функци-

оналы / и /(,), то /(?) = /(?), где справа стоит производная функционала / в смысле дифференцирования в пространстве Е'. Наконец, дельта-функция 5а = 5(х - а), определяемая обычным образом, т. е. (5а, ф) = ф(а), ф€ Е, тоже принадлежит Е' и является сингулярным функционалом. Следует, правда, отметить, что в Е' теряют смысл слова «5(х - а) сосредоточена в точке а», но этому не следует удивляться, поскольку в пространстве целых функций не имеет смысла понятие носителя функции.

Установим теперь основное свойство обобщенных функций из Е' [2, с. 189-191].

Теорема 2.1. Пусть а е Я*. Всякую обобщенную функцию / е Е' можно единственным образом представить в виде

оо__

(2.3)

¡-о |4|=/

где

С« = ^(/) = (-1)|?|(/,(*-а)?)/9! (2.4) Доказательство. Пусть ф€ Е. По теореме 1.2

фМ = Е^"Н*-а) ' (25)

|?|=о Ч!

где ряд сходится в смысле сходимости в Е. Так как / е Е', то

(/,ф)= Ит

«|=о

т \/,(х — а)'?'| = -)->^(а) =

т т

= Цт£с« 5«Ф =Ит Е^.Ф,

т—юо, , ■ \ / т—* оо , , ,

М=° 1М=° .

что и требовалось. Предположим теперь, что / имеет другое разложение вида (2.3) с коэффициентами Тогда для всякого ф€ Е

ОО . . оо .

XX- 1)н(^?)ф(?) («)=XX-1 )НЛ(,) (4 |в|=0 |«|=0

Полагая в этом равенстве последовательно ф = (х1 - а1)?1 ... (ху - ау- , д. = 0, 1, 2, ..., получим С(ад) = ё(ая). Теорема доказана.

Замечание. Укажем на одно важное свойство коэффициентов С®. Выше отмечалось (см. заме-

чание к теореме 1.2), что ряд (2.5) сходится к ф по каждой из норм (1.2). С другой стороны, начиная с некоторого р, функционал f £ Е' будет ограничен в норме (1.2) и, следовательно,

К/.Ф^с^фр, фея,.

Обозначая члены ряда (2.5) через V, будем

Ч

иметь

ОО . ОО / \

|9|=0

|9|=0

то есть £ с%(ч) (а) <оо У(?еЕг

1«1=°

Полагая здесь ф = ехр[5 (x1 - a1 + ... + xv - av)], получим:

¥ _ . .

ее 51 Е| сад<~. (2.6)

1=0 д=I

Теорема 2.2. Для того чтобы f £ Е', необходимо и достаточно, чтобы ряд (2.6) сходился для всех 5 > 0.

Доказательство. Необходимость этого условия уже установлена. Докажем его достаточность. Пусть ряд (2.6) сходится для всех 5 > 0. Рассмо-

п

трим /п = (а) Е Е' и покажем, что по-

1?Н>

следовательность {/и} фундаментальна в Е', т. е. для любого ф€Е |(/и - т ф)| ^ 0 (и, т ^ да).

Действительно, если фб Е, то для 5 > 50

|ф(д)(а)| < С 5(а); отсюда (и > т): ф п

|(/„-/т,ф)|<Сф£ ^|СМ|_>0 (и,т—>оо)

\ч\=т

в силу (2.6). Так как пространство Е' полно (в смысле слабой сходимости), то / сходятся в Е' к некоторому элементу / £ Е'. Теорема доказана. Замечание. Поскольку коэффициенты

(— 1)а' д! С(а) можно интерпретировать как степенные моменты функционала / то теорема 2.2 дает решение проблемы степенных моментов в Е'.

В заключение этого параграфа приведем несколько примеров.

1) Если а, Ь £ Яу, то

з^ЕИУЕ^^

1=0 \ч\=1 (ср. [1, с. 202, формула (5)]).

2) Пусть О = 6 г < х{ < г}. Обозначим

1, хеп

1П(*) =

0, х<£П

ос П 1 + (-1Г "-1 Ш+1)'

Если П = {х2 + у2 < Я2; х > 0, у >0}, то

Я

1+2

к+1] г к+1]

2 2

Ях+Ч! | !

и0

3) Если

К (х) =

|1, 0 < х < а

то

0, х £(0, а)

ОО

а яР)

:8„ •

1^(^ + 1)! ° 3. Дальнейшие свойства пространства Е'

В этом параграфе мы установим связь разложений (2.3) с основными операциями в Е'.

Теорема 3.1. Пусть /, g £ Е'; С^, й® -коэффициенты разложений (2.3)/и g соответственно. Тогда: ^

1)«/+р 8=Е(аС1?)+Р^')8^ (а-Р6 с>;

1«1=°

оо

м=°

оо

3) Если V £ Е, то у/ = Е

|,|=о

ОО _ и

где ^=Е(-1)Г Е (3.1)

г=О

|п|=г+|,| п>д

П

п-д)

В частности, если У|/(х) = (х — а) , то

Ъ(д) = (_1)т (д + т)! с(д+т).

д!

(3.2)

Тогда

Доказательство. Первое утверждение очевидно. Для доказательства второго заметим, что если Ф £ Е, то и ф(д) £ Е (лемма 1.3) и, следовательно, ряд Тейлора для ф(д)

оо т(к+1)(п\

сходится к ф(д) в Е. Дальнейшее аналогично доказательству теоремы 2.1. Докажем третье утверждение. Так как ф0 £ Е (лемма 1.1), то положим (V/, ф) = ( / Vф). Лемма 1.2 показывает, что /£ Е'. Нотогдапотеореме 2.1:

¥/=Хл1?)51?)>

м=°

и, следовательно,

оо .

9=0

С другой стороны,

(У/,ф) = (/, ¥Ф) = £(-1)'*' с« (^т («) =

м=°

4=0

т<(/

т

Положим здесь ф(х) = (х — а)и. Так как ф(д) (а) ^ 0 лишь для д = и, то

1=0 |$|=/+|я| п<д

ч

\q-nj

откуда и следует (3.1). Чтобы получить (3.2), достаточно заметить, что ф(х) = (х — а)тф(д) (а) ^ 0 лишь для д = т. Теорема доказана.

Следствие. Обобщенная функция / е Е' (Я') имеет (единственную) первообразную Е е Е' тогда и только тогда, когда в разложении (2.3) С(0) = 0. При этом, если С(а) = 0, к = 0,1,..., т — 1, а

оо

С«^ 0, то Р =

1=т

Рассмотрим теперь случай, когда обобщенная функция / е Е' зависит от некоторого (вообще говоря, комплексного) параметра X. В этом случае

Отсюда, если /(X) непрерывна в точке Х0 (т. е. (/(^^(/(Х^ф) Ф6£), то С* (X) непрерывны в точке Х0 для всех д; если /(X) дифференцируема по X в точке Х0 (т. е. существует 1ш1(/(ё)-/(ё0)/(Х-ё0),ф) Фе£), то и

С(X) дифференцируемы в точке Xo, причем

% = х°. (33)

ак ?=0 "■к Обратный результат дает следующая

Теорема 3.2. Пусть для любого X из некоторой окрестности Ц^) точки X0 задана последовательность (комплексных) чисел {С®^))^,^ такая, что

(3.4)

ЪП |д|=0

для любого 5 > 0 и любого ё е Ц^)

/1 с М(Х) |< 00.

/=0 \ч\=1

Пусть далее для ё е Ц^) С^-С«^^^^), р(ё) -> 0,(3.5)

и для любого 5 > 0

вир^А,)^^«», хеи(Х0). (3.6)

1 1

Тогда ряд

= (3.7)

м=°

определяет обобщенную функцию /ё)е£', непрерывную по X в точке X0.

Если С(г)(X) непрерывно дифференцируемы по

X в Ц^), и для —С^ (А,) имеют место соотноше-(Гк

ния вида (3.4)-(3.6), то ряд (3.7) определяет непрерывно дифференцируемую обобщенную функцию /ё)е Е', и имеет место соотношение (3.3).

Доказательство. Не умаляя общности, можно считать, что С(д) (X0) = 0 для всех д. Нужно показать, что для /(X), определяемой рядом (3.7), справедливо соотношение

(/(ё),Ф)->0 Уф еЕ.

Зададимся произвольной ф е Е и пусть 5 таково, что (я)| < Сф,$'?'. Тогда имеем:

г V

4*1 У

«А ';=о (,^-1;!

Если выбрать 51 > 5 и учесть, что Р^) ^ 0 (X ^ X0), то в виду (3.6), Я^) ^ 0 (X ^ X0), что и требовалось.

Случай производной разбирается аналогично. Теорема доказана.

Покажем теперь, что в пространстве Е' можно ввести счетную систему норм, превратив, тем самым, Е' в счетно-нормированное пространство.

Действительно, положим для / е Е' и 5 = 1,2,...

да

11/1 5'X С(д , (3.8)

1=0 у\=1

где - коэффициенты в разложении (2.3)

для / (здесь точка а е Я* предполагается фиксированной, так что мы явно ее не указываем). Равенство (3.8) задает в Е' норму. Кроме того, очевидно, ||/|| ^||/|| . Покажем, что нормы (3.8) согласованы. Пусть 11/1 I 0, II/ с /Ц | 0, Ц/ с /У | 0

1К и 1151 1К и л т Ц^^' 1К и ^ т П^

(и, т I да).

Обозначим через /ь пространство последовательностей {С(г)}™=0, для которых сходится ряд (3.8). Очевидно, /ь есть (замкнутое) под-

пространство 1—. Если функционалу / е Е соответствует последовательность {Си(д)}<|да1|=0 , то в виду полноты , сходится при и ® ¥ к

некоторому С^ в норме 11 ; но в силу условия ^ 0 , С}д =0 для всех д. Отсюда следует,

что

^ 0 . Если теперь последовательность /и е Е' фундаментальна по каждой из норм (3.8), 5 = 1,2,..., то аналогичными рассуждениями, с учетом теоремы 2.2 легко показать, что /п сходится в каждой из норм (3.8) к некоторому элементу / е Е'. Таким образом, пространство Е' является полным счетно-нормированным пространством с системой норм (3.8). Пространство Е', рассматриваемое как счетно-нормированное, будем обозначать через Е(И). Легко также видеть, что из сходимости /п по топологии пространства Е(И) следует сходимость /и в смысле Е' (но не наоборот). В этом смысле можно записать Е с Е

4. Некоторые дополнения

1. Наряду с пространствами Е, Е можно рассматривать и несколько более широкие классы целых функций. Пусть Ь > 1 и 0 < в < (Ь - 1)/Ь. Обозначим через Е,^ пространство функций ф £ С¥(Я), удовлетворяющих для всех р > 0, е > 0, х £ Я и всех мультииндексов д неравенству

(4.1)

|о>0с)| < С(5 + р)|?| |/+е)|

где С не зависит от д и х. Вводя в Е счетную

5,Р

систему норм

||(р.е)

Ф

- вир

9.*

£>9ф(д:)

-(1+Р)Н

(* + РГ Ы

(Р+Ф1

(4.2)

1 1 1

р'е =

мы получим полное счетно-нормированное про-

Ь — 1 1

странство. Полагая В =—----, введем про-

Ь и

¥ ¥

странство ЕЬ 1^Е5р и, соответственно, про-

5=1 и = 1 ^

странство обобщенных функций Еь. Для этого пространства справедливы, с очевидными изменениями, все результаты предыдущих параграфов.

Отметим, к примеру, что неравенство (2.6) перейдет в случае пространства Е'ь, в неравенство

оо _

<оо, (4.3)

1'1=° М='

для всех 5 > 0 и (3 =-. Отметим также, что

Ь

запас регулярных функционалов в Еь меньше, чем в Е' (и тем меньше, чем больше Ь).

2. В пространстве Е можно с помощью обычной процедуры [2, 3] определить свертку f * g двух функционалов / и g в Е'. При этом свертка в Е существует всегда (в отличие от других пространств обобщенных функций), обладает обычными свойствами, и для нее справедлива следующая

Теорема 4.1. Если /, g £ Е' и / = £

то f * g = х^е

кд=Е(—1

I «1=0

I «1=0

9=°

где

С ^ Ч

г ,.£д (д — г — . )!

г = (iv ..., . = (jl,72, ...,]). В частности, при а = 0

кс) = I с ^).

г+.=д

Доказательство этой теоремы, а также ряд приложений будут представлены в другой статье. Некоторые приложения описаны в [5].

В работе построен и строго обоснован новый метод решения задач математической физики, описывающих процессы, достаточно быстро затухающие на бесконечности. В основе метода лежит построение и анализ нового класса обобщенных функций (в смысле Л. Шварца-Гельфанда-Шилова) -линейных функционалов в пространствах целых функций многих вещественных переменных. В частности, прослеживается конструктивная связь между указанными функциями и последовательностью их «степенных моментов», что позволяет, помимо прочего, дать для функций рассматриваемых классов полное и конструктивное решение «проблемы моментов».

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гельфанд, И.М. Обобщенные функции и обобщенных функций. Обобщенные функции [Текст]/

действия над ними. Обобщенные функции [Текст]/ И.М. Гельфанд, Г.Е. Шилов. -М.: Физматгиз, 1959. -Вып. 1. -2-е изд.-470 с.

2. Гельфанд, И.М. Пространства основных и

И.М. Гельфанд, Г.Е. Шилов. -М.: Физматгиз, 1958. -Вып. 2.-307 с.

3. Паламодов, В.П. Преобразования Фурье быстро растущих бесконечно дифференцируемых функ-

ций [Текст]/В.П. Паламодов // Тр. Моск. матем. об-ва. -1962. -Т.11. -С. 309-350.

4. Функциональный анализ [Текст]/Под ред. С.Г.Крейна//Сер. СМБ. -М.: Физматлит, 1972.- 2-е изд. -544 с.

5. Фирсов А.Н. Моментное представление

быстро убывающих функций и его приложения [Текст]/Фирсов А.Н.// Высокие интеллектуальные технологии и инновации в образовании и науке: Матер. XVII Междунар. науч.-метод. конф. 11-12 февр. 2010. -СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2010. -С. 114-124.

удк 004.896(06)

К.Н. Бискуб, А.И. Писарев

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОХЛАЖДЕНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ГАЗОВ ПЛАВИЛЬНЫХ ЭЛЕКТРОПЕЧЕЙ

Процесс плавки медно-никелевого штейна в плавильных электропечах сопровождается выделением технологического газа, содержащего БО2, СО, С02 и пыль цветных металлов. Для исключения выбросов неочищенного газа в атмосферу предусмотрена газоочистка, которая осуществляется в два этапа. Первый этап происходит в мокром механическом пылеуловителе - скруббере-охладителе, в котором улавливается крупная

фракция пыли. Второй этап очистки осуществляется в сухом механическом пылеуловителе - рукавном фильтре, в котором улавливается более мелкая фракция пыли.

На рис. 1 изображена технологическая схема охлаждения и очистки газов плавильных электропечей. Газ из электропечи по газоходу поступает в скруббер-охладитель и попутно дожигается через три ступени дожита СО. Охлажденные в

Рис. 1. Технологическая схема охлаждения и очистки газов плавильных электропечей 1 - три ступени дожига СО; 2 - аварийная заслонка (свеча); 3 - регулятор распылительной воды; 4 - регулятор распылительного воздуха; 5 - распылительные форсунки; 6 - запирающие клапаны рукавных фильтров А и В; 7 - дымосос; 8 - направляющая задвижка; 9 - аварийная задвижка