CC BY
68
УДК 530.145.7; 539.194
МЕТОД МОМЕНТОВ СУММИРОВАНИЯ РЯДОВ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
А.Д. Быков, К.В. Калинин
Институт оптики атмосферы им. акад. В.Е. Зуева СО РАН, г. Томск E-mail: byk@asd.iao.ru
Предложен способ суммирования расходящихся рядов теории возмущений, основанный на подборе функции меры метода моментов. Способ применен для вычисления уровней энергии ангармонического осциллятора, дает достаточно точные значения уровней при различных значениях параметра возмущения.
Ключевые слова:
Теория возмущений, суммирование расходящихся рядов, ряды Стилтьеса, ангармонический осциллятор. Key words:
Perturbation theory, summation of divergent series, Stiltjes series, anharmonic oscillator.
Введение
Теория возмущений (ТВ) является удобным и сравнительно простым средством вычисления уровней энергии и волновых функций в квантовой механике. Однако в значительном числе задач (например, ангармонические осцилляторы, эффекты Штарка и Зеемана для атома водорода) ряды ТВ имеют нулевой радиус сходимости и расходятся при любом, сколь угодно малом, значении параметра возмущения. Тем не менее, привлечение высоких порядков ТВ и специальных методов суммирования [1, 2] позволяет решить задачу и при быстрой расходимости рядов [3-10]. В качестве примера эффективности этих методов можно указать на вычисление уровней энергии одномерного ангармонического осциллятора: суммирование методом Паде дает значение энергии основного состояния с 20-ю верными значащими цифрами [3].
В данной работе предложен способ суммирования расходящихся рядов, основанный на методе моментов. Как известно, моменты определяются с помощью некоторой меры, которая определяет также и сумму изучаемого ряда. Поэтому, в том случае, когда коэффициенты ряда ТВ есть моменты, задачу можно свести к определению меры, исходя из некоторого количества первых коэффициентов суммируемого ряда. Такая задача является классической проблемой моментов, и предлагаемый способ вычислений заключается в разложении функции плотности по подходящей системе функций и последующем решении системы линейных уравнений, определяющей коэффициенты разложения.
Существенным моментом предлагаемого подхода является привлечение дополнительной информации о характере ряда и типе функции, к которой суммируется ряд. В задачах квантовой механики такая информация может быть получена различными способами, в частности, с помощью квазиклассического приближения. Предлагаемый метод применим, например, в тех случаях, когда рассматриваемый ряд ТВ является рядом типа Стил-тьеса, и энергия, рассматриваемая как функция параметра возмущения, имеет вполне определенное интегральное представление.
В заключительной части статьи метод тестируется на примере ангармонического осциллятора. Отметим, что ранее в [11-14] метод моментов применялся для решения различных задач квантовой механики.
1. Метод моментов
В ТВ, энергия Е(Я) представляется в виде степенного ряда
Е(Я) = e0 + е1Я + e2X2 +... (1)
где Я - параметр возмущения, а e0,eb... - коэффициенты. Для рядов типа Стилтьеса эффективным методом суммирования является метод моментов, который заключается в следующем [2]. Пусть
да да
Mn =j tnd x(t) = ¡ tnp(t )dt (2)
0 0
- моменты, определяемые мерой
x(x) = ¡p(t) dt. (3)
0
Функцию (p(t) будем называть функцией плотности. Она должна быть непрерывной и убывающей на бесконечности достаточно быстро, так чтобы интегралы (2) сходились для любого целого неотрицательного n.
В методе моментов исходный ряд (1) преобразуется делением каждого члена ряда на соответствующий момент:
^ + ^Я+ ^Я2 +...^ g(X). (4)
Mo Ml M2
Если преобразованный ряд сходится и соответствует функции g(A), то сумма исходного ряда даётся выражением:
да
E (Я) = ¡p(t) g (Я )dt.
0
Известно, что метод моментов регулярный [2], т. е. для сходящихся рядов он дает «правильное» значение суммы. Кроме того, если мера представи-ма в виде (3), и функция p(t) - непрерывная, поло-
жительная и убывающая, по крайней мере, при а ряд (1) сходится при малых X, то все методы моментов дают одинаковый результат независимо от выбора ф(0 [2].
Для определенности предположим, что ряд ТВ является рядом типа Стилтьеса, и коэффициенты ряда являются моментами Стилтьеса некоторой меры. То есть
еп = | Гу^ )С
(5)
У^) = 2 ак Рк (/)
(11)
и коэффициенты определить так, чтобы выполнялось равенство
^п = (-1)4, п = 0,..., N. (12)
При этом:
*п = 2 ^ак = (-1)4
(13)
ад=[1
у«)
сИ.
) = 2 акРк V).
(6)
Если базисные функции р() можно представить в виде асимптотического разложения
рк«)=2
(7)
Р (X) = V к [М) л
л ' к=0 М1+хг
(10)
к =0 о
(14)
Так, например, в [3] показано, что для линейного ангармонического осциллятора ряд ТВ является рядом типа Стилтьеса, если исключить нулевой член ео. Для таких рядов задача суммирования ряда ТВ может быть сведена к определению функции плотности.
Функцию плотности можно представить в виде разложения по некоторому полному ортонормаль-ному набору базисных функций р(), к=0,..., 0<<да,
Соотношения (13) можно рассматривать как систему Ж+1 уравнений для определения Ж+1 неизвестных коэффициентов ак. Если определитель системы не равен нулю, то:
N В -у (-1)кВ1+е., =0 ) '
(15)
Здесь S - матрица, состоящая из моментов (14), и - алгебраическое дополнение элемента в определителе 8. Действуя формально, преобразованный ряд (4) можно теперь представить в виде
Я (X) =7"^ + ^ (X),
1 + х
(
^ ()Х= V
- (-1)п
К^п
хп.
(16)
то формальное (меняется местами интегрирование и суммирование) решение проблемы моментов есть
да да да да
ак =[у(()Рк (ОЛ = V Г ¡УМ'Ж = V гк1е,, (8)
о '=0 о '=0
где ряд в правой части также является асимптотическим. В этом случае энергия представляется в виде
да да да ^ //л да
Е(X) = [р+ХЛ = 2е.Р (X). (9)
к =0 ' = 0 01 + ^ '= 0
Здесь
Если базисные функции выбраны так, что остаток преобразованного ряда сходится к некоторой малой поправке, которой можно пренебречь, то выражение для суммы ряда будет иметь вид:
N дарк (О л'
Е (X) = 2 ак 1сг = £ ер (X),
к=0 „1 + XI = 0
где
р , (X)=2 (-1)
к В+1, к+1 [ Рк (0
[01+xt
л.
- весовые функции, представляемые в виде функционального ряда.
Представление коэффициентов разложения в виде (8) является удобным приемом для разрешимой проблемы моментов [2, 11, 12]. При его реализации необходимо учитывать расходимость рядов в (7-10).
Для определения суммы расходящегося ряда мы используем следующий прием. Если ряд в правой части (6) сходится достаточно быстро, то для приближенного вычисления моментов и суммы ряда можно ограничиться первыми Ж+1 членами
Необходимо отметить, что аналогичный подход, связанный с использованием разложений функции плотности по полному набору функций применялся ранее, например, при определении плотности состояний кристаллов методами ТВ [12].
В том случае, когда вторым слагаемым в правой части (16) пренебречь нельзя, можно повторно использовать описанную выше процедуру для его определения. При этом преобразованный после первого суммирования ряд преобразуется снова описанным выше способом. Процедура применяется далее до получения результата с требуемой точностью. При этом функция меры каждый раз подбирается так, чтобы найденные с ее помощью моменты с учетом множителя (-1)" совпадали с коэффициентами выбранного отрезка ряда. В итоге сумма ряда определяется следующим образом:
к=0
к =0
и
да
к=0
'=0
к=0
да
£ (Я) = № 0 1+ Я
+
,, № + N. + 2
+Я 1 2
+Я^ И?'1 * >(0<?{ >(Р аА 0Г 1 + 1 '
111 ^
ООО
+... +
1 + Я//2/3
+ N. +...+« +п
0 0 О „(п+1) (
(-1) "
1т (-1/р Г
еж.
(18)
Причем все интегралы (18) существуют. Здесь 1шЕ(-1/0Д представляет скачок мнимой части энергии на отрицательной полуоси. Данное соотношение показывает, что если функция 1шЕ(-1Д)Д удовлетворяет условиям, накладываемым на функцию плотности, то коэффициенты ряда ТВ являются моментами. Например, для ангармонического осциллятора показано, что все коэффициенты, за исключением нулевого слагаемого ед, являются моментами, и ряд ТВ является рядом типа Стилтьеса. При этом коэффициенты «стил-тьесовой» части ряда представляются в виде
ю(1)(Ог2)(',)...<Р(и+1)(/+1) , , ,
1+Я/2.Л+1 1 п "+1 ' ;
Здесь ф(л)(/„) - функции плотности, представляемые в виде разложения (11) и определяемые, как и выше, из системы уравнений типа (13).
Выражение (17) для суммы ряда получено в результате формальных преобразований и оправдывается только в случае, когда каждый последующий остаток ряда является рядом Стилтьеса и определители системы уравнений типа (13) не равны нулю на каждом шаге преобразования ряда. В целом, формулы (15-17) представляют некоторый алгоритм, позволяющий построить выражение, разложение которого возвращает исходный ряд. Вопросы сходимости, регулярности метода здесь не рассматриваются.
2. Функция меры
В представленном способе суммирования рядов основная проблема - выбор «элементарных» функций р(). Необходимо заранее определить, к какому классу относится функция плотности ф(/). При неудачном выборе базисных функций рк(0, коэффициенты ак, к=0,...Ы, определяемые из системы конечного числа уравнений (13), могут не воспроизводить более высокие коэффициенты ряда с и>Ы. Кроме того, матрица ^может быть плохо обусловленной и иметь близкий к нулю определитель. Необходимо отметить, что нахождение функции меры, в общем случае, должно рассматриваться как некорректная обратная задача, и необходима ее регуляризация, т. е. привлечение дополнительной априорной информации [11].
Для выбора базисных функций можно использовать оценки высоких порядков ТВ. В [5, 10] предложены методы оценки коэффициентов высокого порядка с помощью квазиклассического приближения. В методе предполагается, что ряд ТВ соответствует функции, аналитической на всей комплексной плоскости с разрезом вдоль отрицательной полуоси. В этом случае коэффициенты исходного ряда ТВ для состояния V можно представить в виде [5]:
С = е„+1 ,
(-1)п
ф(0 1тЕ¥(-1/О, п = 0,... (19)
п
Формула (19) дает «естественное» представление функции плотности. Анализ этого выражения и показывает [5, 7], что в случае ангармонического осциллятора в качестве функций рк(0 можно использовать нормированные функции Лагерра
^(а)(() =
Г (к + а) ( к + а к
е-,п(а/2 ¿а ^ (20)
которые образуют полную ортонормированную систему квадратично интегрируемых функций, определенных на области 0...да. При этом все необходимые интегралы (14) вычисляются точно:
1
О Г(к + б) ( к + б
(-!)'✓ ч п+-+г+1 | а 1
(к + б12 2 ГI п + — + / + 11.
1=0
к - /
Мы можем использовать другое условие вместо (13) для определения функции плотности. Например, можно использовать соотношения
Ип =} Л^ У =еп / я
где коэффициенты gn есть коэффициенты разложения в ряд некоторой известной функции g(Я):
Я (Я) = Х ЯпЯп.
(21)
Функция g(Я), которую можно назвать «целевой» функцией, может быть произвольной, не обязательно типа Стилтьеса, единственное условие - коэффициенты разложения (21) должны быть ненулевыми. Тогда для суммы ряда можно получить выражение
Е (Я) =£ (Я),
•=0 Я1
где
п=0
да
N 0 ™
Р Я) ^С"1)'+' ¿(^ { Рк () 8 Я) Л.
Здесь, как и ранее, Б - матрица, состоящая из моментов Бпк и Бк - алгебраическое дополнение для элемента 1,к.
Такой метод суммирования можно применять, когда коэффициенты ряда ТВ не являются в точности моментами некоторой меры, но их можно представить в виде произведения моментов на некоторые коэффициенты.
3. Линейный ангармонический осциллятор
В качестве примера применения метода моментов рассмотрим задачу об одномерном ангармоническом осцилляторе. Гамильтониан имеет вид:
Н = -(р2 + х2) + Ях4. (22)
Здесьр=—д/дх - оператор импульса. Гамильтониан (22) часто используется для тестирования методов суммирования, он также приближенно описывает колебания атомов в двухатомной молекуле, при этом второе слагаемое соответствует ангармонической части функции потенциальной энергии. Для двухатомных молекул типичные значения параметра Я варьируются от 0,01 для «тяжелых» молекул с малой ангармоничностью, до 1 для молекул с очень сильной ангармоничностью.
Общий анализ задачи показал, что ряд ТВ для гамильтониана (22) имеет нулевой радиус сходимости [3-5]. Также было показано, что ряд, при исключении первого слагаемого, является рядом типа Стилтьеса.
Коэффициенты ряда (1) вычислялись по рекуррентной формуле ТВ Рэлея-Шредингера для значений параметра возмущения Я=0,01; 0,05; 0,1; 0,5; 1,0; 5,0 для первых шести состояний. Во всех вычислениях использовалась разрядность 40. В качестве
Таблица. Уровни энергии ангармонического осциллятора
Я 0,01 0,05 0,1
Уаг 0,50725620452460284095 0,53264275477185884442 0,55914632718351957675
0 ММ 0,50725620452460284095 0,53264275477185884442 0,55914632718351953369
РВ 0,50725620452460284095 0,53264275477185884443 0,55914632718351971066
Уаг 1,53564827829680346290 1,65343600657645675356 1,76950264394905424513
1 ММ 1,53564827829680346290 1,65343600657645675354 1,76950264394905256115
РВ 1,53564827829680346290 1,65343600657645676872 1,76950264394921161047
Уаг 2,59084579619070266576 2,87397963441678165236 3,13862430849812044456
2 ММ 2,59084579619070266576 2,87397963441678165241 3,13862430849811296841
РВ 2,59084579619070266576 2,87397963441678171887 3,13862430849859121295
Уаг 3,67109494222579801861 4,17633891289287735612 4,62888280888814199031
3 ММ 3,67109494222579801861 4,17633891289287735612 4,62888280888812338445
РВ 3,67109494222579801861 4,17633891289287815223 4,62888280889243859547
Уаг 4,77491311865550985124 5,54929781131652150600 6,22030090000652428174
4 ММ 4,77491311865550985124 5,54929781131652150588 6,22030090000654380106
РВ 4,77491311865550985124 5,54929781131650259833 6,22030089994815301573
Уаг 5,90102667411262297563 6,98496309887139965285 7,89976722787143304229
5 ММ 5,90102667411262297563 6,98496309887139965285 7,8997672278714201454
РВ 5,90102667411262297563 6,98496309887129890796 7,89976722761205326245
\/\ Я 0,5 1,0 5,0
Уаг 0,6961758207 0,8037706512 1,2245874494
0 ММ 0,6961758206 0,8037705972 1,2244526319
РВ 0,6961758215 0,8037707294 1,2247119169
Уаг 2,3244063521 2,7378922687 4,2995080876
1 ММ 2,3244063620 2,7378916719 4,2953498495
РВ 2,3244065104 2,7378995539 4,3028206991
Уаг 4,3275249789 5,1792916968 8,3179757567
2 ММ 4,3275231005 5,1791713478 8,2631338210
РВ 4,3275253343 5,1793075143 8,3248819016
Уаг 6,5784019497 7,9424040035 12,9034930646
3 ММ 6,5783955979 7,9417651965 12,6223459874
РВ 6,5784035887 7,9424624079 12,9211429034
Уаг 9,0287787259 10,9635844065 17,9470638785
4 ММ 9,0287847244 10,9624910111 17,6889377150
РВ 9,0287691513 10,9633166408 17,8893390176
Уаг 11,6487207367 14,2031451886 23,3730829963
5 ММ 11,6487080496 14,2010837547 23,1120621444
РВ 11,6486904036 14,2023522434 23,2080076384
базисных функций использовались функции Ла-герра (20), значение N в правой части (11) варьировалось от 10 до 80. Результаты суммирования методом моментов (ММ) для шести нижних состояний, Г=0-5, приведены в таблице.
Для сравнения представлены также результаты вариационного расчета уровней энергии (Уаг) и результат суммирования методом Паде-Бореля (РВ) с диагональным аппроксимантом Паде 20-го порядка. В таблице подчеркнуты цифры, отличающиеся от вариационного расчета, который рассматривался как «эталонный».
Из данных, приведенных в таблице видно, что для малых значений параметра возмущения (А=0,01, слабая ангармоничность) все три расчета совпадают с точностью до 10-20. Для значений параметра ангармоничности между 0,01 и 0,1 метод моментов дает существенно, на порядки, лучший результат, чем обычно используемый метод Паде-Бо-реля. Для А=0,5, 1,0 и 1,0, что соответствует экстремально сильной ангармоничности, оба метода суммирования дают примерно одинаковую ошибку, которая возрастает до 1 % при увеличении степени возбуждения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бейкер Дж., Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде. - М.: Мир, 1986. - 502 с.
2. Харди Г. Расходящиеся ряды. - М.: Иностранная литература, 1948. - 504 с.
3. Simon B., Dicke A. Coupling Constant Analyticity for the Anhar-monic Oscillator // Annals of Physics. - 1970. - V. 58. - P. 76-136.
4. Bender K.M., Wu T.T. Anharmonic oscillator // Phys. Rev. - 1969.
- V. 184. - № 5. - P. 1231-1260.
5. Bender K.M., Wu T.T. Anharmonic oscillator. II A study of perturbation theory in large order // Phys. Rev. D. - 1973. - V. 7. - № 6.
- P. 41-57.
6. Graffi S., Grecchi V., Turchetti G. Summation method for the perturbation series of the generalized anharmonic oscillators // Nuovo Cimento. - 1971. - V. 4B. - № 3. - P. 313-340.
7. Arteca G.A., Fernandez F.M., Castro E.A. Large-order perturbation theory and summation method in quantum mechanics. - Berlin: Springer, 1990. - 605 p.
8. Weniger E.J. Nonlinear sequence transformations for the acceleration of convergence and summation of divergent series // Computer Physics Reports. - 1989. - V. 10. - P. 189-371.
Заключение
Представлен новый метод суммирования расходящихся рядов теории возмущений, основанный на преобразовании рядов методом моментов. Функция меры определяется так, чтобы точно воспроизводить некоторое количество коэффициентов исходного ряда. Метод протестирован на известной задаче об ангармоническом осцилляторе. Проведено сравнение с результатами суммирования широко используемым методом Паде-Бореля. Из расчетов следует, что метод моментов с адаптируемой мерой дает более точные значения уровней при сильной ангармоничности. Для экстремально больших значений параметра возмущения, которые не реализуются в двухатомных молекулах, новый метод и метод Паде-Боре-ля дают одинаковые результаты. Задача суммирования расходящихся рядов теории возмущений может рассматриваться и как классическая проблема моментов. Представленный метод суммирования расходящихся рядов перспективен для определения уровней энергии квантовых систем даже при сильной расходимости рядов теории возмущений.
Авторы выражают благодарность Российскому Фонду Фундаментальных Исследований (грант 06-03-39014-ГФЕН_а) за финансовую поддержку работы.
9. Суслов И.М. Расходящиеся ряды теории возмущений // Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 2005. -Т. 127. - № 6. - С. 1350-1402.
10. Липатов Л.Н. Расходимость ряда теории возмущений и квазиклассика // Журнал экспериментальной и теоретической физик. - 1977. - Т. 72. - № 2. - С. 411-414.
11. Scalas E., Viano G.A. The Hausdorff moments in statistic mechanics // J. Math. Phys. - 1993. - V. 34. - № 12. - P. 5781--5800.
12. Cane E.O. Perturbation - Moment Method: Application to Band Structure of Impure Semiconductors // Phys. Rev. - 1963. - V. 131. - № 4. - P. 1532-1542.
13. Clauder J.R. Constructing coherent states through solution of Stiel-jes and Hausdorff moment problems // Phys. Rev. A. - 2001. -V. 64. - P. 013817.
14. Verscay E.R., Handy C.R. The perturbed two-dimensional oscillator: eigenvalues and infinite-field limits via continued fractions, re-normalized perturbation theory and moment methods // J. Phys. A: Math. Gen. - 1989. - V. 22. - P. 823-834.
Поступила 06.07.2009г.
