CC BY
6
УДК 551.509.325
МЕТОД МОДЕЛИРОВАНИЯ ВЛАГОПЕРЕНОСА В АТМОСФЕРЕ В УСЛОВИЯХ СТОХАСТИЧЕСКОГО ИЗМЕНЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ
В. С. Ножкин, М. Е. Семенов, И. И. Ульшин
ВУНЦ ВВС «ВВА им. проф. Н. Е. Жуковского и Ю. А. Гагарина» Российская Федерация, 394064, г. Воронеж, ул. Старых Большевиков, 54а
E-mail: ulshun@rambler.ru
Предлагается способ решения дифференциального уравнения в частных производных. Проверяется гипотеза о законе распределения проекции вектора скорости. Приводится аналитическое выражение для плотности распределения удельной влажности в пространстве изображений.
Ключевые слова: метеорологические условия, водяной пар, дифференциальное уравнение, преобразование Лапласа.
MODELING METHOD OF MOISTURE TRANSFER IN CONDITIONS OF STOCHASTIC CHANGES OF THE PARAMETERS
V. S. Nozhkin, M. E. Semenov, I. I. Ulshin
MESC AF "N. E. Zhukovsky and Y. A. Gagarin Air Force Academy"
54а, Starikh Bolshevikov Str., Voronezh, 394064, Russian Federation E-mail: ulshun@rambler.ru
A method for solving a partial differential equation is proposed. The hypothesis of the law of distribution of the projections of the velocity vector is verified. Analytical expression for density distribution of specific humidity in the image space is provided.
Keywords: meteorological conditions, water vapour, differential equation, Laplace transform.
В настоящее время, несмотря на развитие технических систем для безопасного и эффективного функционирования пилотируемой и беспилотной авиации, необходимы благоприятные погодные условия. Это означает, во-первых, соответствие метеорологических параметров требуемым ограничениям (прежде всего, по высоте нижней границы облаков и дальности видимости) и, во-вторых, отсутствие опасных явлений погоды (града, гроз, туманов и т. д.). Очевидно, что большинство требований так или иначе связаны с повышенным содержанием продуктов конденсации водяного пара в атмосфере. Однако в настоящее время в распоряжении метеорологов отсутствует достаточно точный и надежный механизм прогнозирования указанных явлений. В связи с этим целью настоящей работы является рассмотрение одного из подходов к разработке метеорологических прогнозов, основанного на моделировании процесса распространения водяного пара и продуктов его конденсации в атмосфере.
Движение атмосфере, являющееся главной причиной распространения водяного пара, складывается из упорядоченного переноса воздуха со средней скоростью с(^ v, w) и турбулентных пульсаций. При движении индивидуальной частицы до начала процесса конденсации консервативной характеристикой является массовая доля водяного пара s. Другие характеристики (абсолютная и относительная влажность, точка росы) при движении частицы изменяются [2]. Пренебрегая вертикальными движениями воздуха и совместив ось x с направлением преимущественного переноса воздушной массы, уравнение постоянства массовой доли можно записать в следующем виде:
Секция «Математические методы моделирования, управления и анализа данных»
^ + п^ = о. (1)
д£ дх
где £ - время; и- проекция вектора скорости движения частицы на ось х.
В рамках гидродинамического подхода в качестве проекции вектора скорости принято принимать ее усредненное значение. Однако вектор скорости ветра, как и его проекции, подвержен неупорядоченным хаотическим движениям. Этот факт недостаточно учитывается в рамках традиционного подхода. Поэтому для учета турбулентных свойств атмосферы проекция вектора скорости рассматривалась как случайная величина, закон распределения которой подлежал определению [3; 4].
Установление закона распределения проекции вектора скорости проводилось с использованием методов теории статистических гипотез. Было проведено более 2000 наблюдений за направлением и скоростью ветра у земли с минимально возможной дискретностью при различных синоптических ситуациях. По результатам наблюдений была составлена архивная выборка, на основе которой были рассчитаны коэффициенты асимметрии и эксцесса. Их значения оказались близкими к нулю, что позволило выдвинуть гипотеза о соответствии распределения проекции вектора скорости нормальному закону. Для проверки предположения о нормальности распределения были выбраны два метода проверки гипотез (А. Колмогорова и К. Пирсона) [5]. На основе проведенной проверки по двум критериям сделан вывод, что при уровне значимости 0,05 гипотеза о распределении проекции вектора скорости по нормальному закону не отвергается.
При решении уравнения (1) задавались следующие начальные и граничные условия:
5(0; х) = ф(х), -ю < х < ю; 5 (£;0) = у(£), £ > 0. (2)
При решении уравнения (1) с учетом условий (2) была применена стандартная процедура преобразования Лапласа, позволяющая перейти от исследования дифференциальных уравнений к рассмотрению более простых алгебраических задач [6]:
<х>
X(р; х) = | ,(£; х)е"р1сИ. (3)
0
С учетом начальных и граничных условий уравнение (2) в пространстве изображений может быть записано в виде
и^х + р£ = ф(х), ЗД р) = ¥(р). (4)
ах
Выражение (4) является линейным дифференциальным уравнением, решение которого с использованием метода Бернулли [6] имеет вид
£(р; х) = е и -([ф(х)еи ах + (р)). (5)
и 3
Учитывая, что в выражении (5) и является случайной величиной, можно найти в пространстве изображений плотность распределения величины £.
Пусть /и (г) - плотность вероятности горизонтальной проекции вектора скорости. Тогда
плотность вероятности массовой доли в пространстве изображений определяется соотношением:
Л = /и [и(х)][и(х)]'| 5=г , (6)
где и(£) - обратная к выражению (5) функция [5].
В общем случае аналитического выражения для этой функции не существует. Поэтому применялся приближенный метод, в котором часть случайных слагаемых в выражении (5) заменялась их средними значениями.
Если в выражении (5) ввести обозначение
■X
dx + u Y (p)) = A,
u = -
(7)
(8)
ln S '
Производная от обратной функции (8) имеет вид
, Apx
us =-2—
s S ln2 S
(9)
С учетом выражений (8) и (9) плотность распределения fs (z; x; p) при z > 0 равна:
2 Л
f (z;x; p)
(10)
V
где М*[и] и о*[и] - оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения величины и.
Для перехода к плотности вероятности в пространстве оригиналов нужно применить обратное преобразование Лапласа к правой части выражения (17) по переменной р.
Использование рассмотренного подхода, основанного на методах решения стохастических дифференциальных уравнений и позволяющего количественно учитывать турбулентные свойства движения воздуха, может повысить успешность прогнозирования неблагоприятных для авиации летно-метеорологических условий и улучшить качество метеообеспечения.
1. Полтавский А. В. Беспилотные летательные аппараты в системе вооружения // Научный вестник МГТУ ГА. 2011. № 163. С. 163-170.
2. Матвеев Л. Т. Физика атмосферы. СПб. : Гидрометеоиздат, 2000. 778 с.
3. Zadorozhnii V. G. A linear firet-order differential equation with ordinary variational derivatives. Moscow : Pleiades publishing Ltd. April 1993. Vol. 53. Рр. 383-388.
4. Фрик П. Г. Турбулентность: подходы и модели ; Ин-т компьютерных исследований, Ижевск : 2003. 291 с.
5. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. пособие для бакалавров. М. : Юрайт, 2013. 479 с.
6. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. М. : АЙРИС-пресс, 2017.
Библиографические ссылки
608 c.
© Ножкин В. С., Семенов М. Е., Ульшин И. И., 2018
