CC BY
5Решетневскуе чтения. 2018
УДК 539.3
МЕТОД МНОГОСЕТОЧНЫХ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В РАСЧЕТАХ КОМПОЗИТНЫХ БАЛОК СЛОЖНОЙ ФОРМЫ
А. Д. Матвеев
Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44 E-mail: mtv241@mail.ru
Для анализа трехмерного напряженного состояния упругих композитных (однородных) балок сложной формы с различными коэффициентами наполнения при статическом нагружении предложен метод многосеточных конечных элементов. Такие балки широко применяются в ракетно-космической технике. Предлагаемый метод базируется на алгоритмах метода конечных элементов с применением однородных и композитных многосеточных конечных элементов.
Ключевые слова: упругость, композитные балки, многосеточные конечные элементы.
MULTIGRID FINITE ELEMENT METHOD IN THE CALCULATIONS OF COMPOSITE BEAMS OF IRREGULAR SHAPE
А. D. Matveev
Institute of Computational Modeling SB RAS 50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation E-mail: mtv241@mail.ru
To calculate the stress and strain state of three-dimensional elastic composite beams of heterogeneous structure, irregular shape and static loading, a method of multigrid finite elements is provided, when implemented on the basis of algorithms of finite element method, using three-dimensional homogeneous and composite multigrid finite elements. Composites beams of irregular shape are widely used in space-rocket technology.
Keywords: elasticity, composites beams, multigrid finite elements.
При анализе напряженного состояния трехмерных композитных балок сложной формы широко используют микро- и макроподходы [1]. Реализация макроподхода для композитных балок регулярной структуры сводится к проблеме нахождения эффективных модулей упругости, которая особенно трудно решаемая для композитов нерегулярной структуры. Расчет напряженно-деформированного состояния (НДС) композитных балок сложной формы по методу конечных элементов (МКЭ) [2] с применением уравнений трехмерной задачи теории упругости приводит к построению базовых дискретных моделей высокой размерности, порядка 108 ...1010. Ширина ленты системы уравнений МКЭ для таких базовых моделей равна 105 ...106. Применение в этом случае программ расчета ANSYS и др. затруднительно. В основе построения приближенных (технических) теорий деформирования упругих композитных балок лежат гипотезы, которые порождают решения с неустранимой погрешностью.
В данной работе для анализа трехмерного НДС упругих композитных балок сложной формы с различными коэффициентами наполнения при статическом нагружении предложен метод многосеточных конечных элементов (ММКЭ) [3-5]. Предлагаемый метод реализуется на основе алгоритмов МКЭ (в форме метода Ритца) с применением трехмерных
однородных и композитных многосеточных конечных элементов (МнКЭ) [3-7]. При построении МнКЭ используем функции перемещений в виде степенных и лагранжевых полиномов различных порядков и уравнения трехмерной задачи теории упругости, которые записаны в локальных декартовых системах координат. Полиномы Лагранжа эффективно применяются при построении МнКЭ балочного типа. Суть МнКЭ заключается в следующем. При проектировании п -сеточного КЭ используются п вложенных сеток. Мелкая сетка порождена базовым разбиением, которое учитывает (в рамках микроподхода) неоднородную структуру МнКЭ. Остальные п -1 сетки применяем для понижения размерности МнКЭ (причем, с увеличением п размерность МнКЭ уменьшается). На базовом разбиении п - сеточного КЭ, п > 2, определяем функционал краевой задачи как функцию Е многих переменных, которыми являются значения искомой функции в узлах мелкой сетки. На остальных п -1 сетках строим аппроксимирующие функции, которые используем для понижения размерности функции Е, что позволяет проектировать МнКЭ малой размерности. Показаны процедуры построения МнКЭ сложной формы балочного типа.
Основные отличия ММКЭ от МКЭ состоят в следующем. Во-первых, в ММКЭ можно применять сколь угодно мелкие базовые разбиения тел, что по-
Механика сплошных сред (газодинамика, гидродинамика, теория упругости и пластичности, реология)
зволяет сколь угодно точно учитывать их сложную форму, неоднородную и микронеоднородную структуру (без увеличения размерностей многосеточных дискретных моделей). В МКЭ невозможно использовать сколь угодно мелкие разбиения тел, так как ресурсы ЭВМ ограничены, т. е. ММКЭ более эффективный метод, чем МКЭ. Во-вторых, реализация ММКЭ
требует (в 103 ...106 раз) меньше памяти ЭВМ и временных затрат, чем реализация МКЭ для базовых моделей, т. е. ММКЭ более экономичный, чем МКЭ. В-третьих, в ММКЭ применяем однородные и неоднородные МнКЭ, при построении которых используем систему вложенных сеток, что расширяет область применения ММКЭ. В МКЭ применяют однородные односеточные КЭ. Отметим, что всегда при решении задач упругости вместо МКЭ можно применить ММКЭ, поскольку вместо односеточных КЭ всегда можно использовать МнКЭ. Поэтому ММКЭ есть обобщение МКЭ, так как при построении МнКЭ используется не одна, а система вложенных сеток, т. е. МКЭ - частный случай ММКЭ.
Приведенный пример расчета трехмерного НДС балки волокнистой структуры и сложной формы показывает высокую эффективность применения ММКЭ, в котором используются предлагаемые композитные МнКЭ балочного типа.
Библиографические ссылки
1. Фудзии Т., Дзако М. Механика разрушений композиционных материалов. М. : Мир, 1982. 232 с.
2. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М. : Мир, 1975. 542 с.
3. Матвеев А. Д. Метод многосеточных конечных элементов в расчетах трехмерных однородных и композитных тел. // Учен. зап. Казан. ун-та. Серия: Физ.-мат. науки. 2016. Т. 158, кн. 4. С. 530-543.
4. Matveev A. D. Multigrid finite element method in stress of three-dimensional elastic bodies of heterogene-
ous structure // IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng. 2016. Vol. 158, № 1. Art. 012067, P. 1-9.
5. Матвеев А. Д. Метод многосеточных конечных элементов // Вестник КрасГАУ. 2018. № 2. С. 90-103.
6. Матвеев А. Д. Многосеточное моделирование композитов нерегулярной структуры с малым коэффициентом наполнения. // Прикладная механика и техническая физика. 2004. № 3. С. 161-171.
7. Матвеев А. Д. Построение сложных многосеточных конечных элементов с неоднородной и микронеоднородной структурой // Известия Алтайск. гос. ун-та. 2014. № 1/1. С. 80-83.
References
1. Fudzii T. and Dzako M. Fracture mechanics of composite materials. Moscow : Mir, 1982.
2. Zenkevich O. Finite element method in engineering. Moscow : Mir, 1975.
3. Matveev A. D. Multigrid finite element method in calculations of 3D homogeneous and composite bodies. // Uchenye Zapiski Kazanskogo niversiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki. 2016. 158 (4). P. 530-543.
4. Matveev A. D. Multigrid finite element method in stress of three dimensional elastic bodies of heterogeneous structure. // IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng. 2016. 158 (1) 012067. P. 1-9.
5. Matveev A. D. Multigrid finite element Method. // The Bulletin of KrasGAU. 2018. No. 2. P. 90-103.
6. Matveev A. D. 2004. Multigrid Models of Composite Materials of Irregular Structure with a Small Filling Ratio. // J. Appl. Mech. Tech. Phys. Р. 161-171.
7. Matveev A. D. 2014. Construction of complex multigrid finite elements of inhomogeneous and microinhomogeneous structure. // News of Altai State University. 1/1. P. 80-83.
© Матвеев А. Д., 2018
