CC BY
7
Вестник Евразийской науки / The Eurasian Scientific Journal https://esi.today 2022, №2, Том 14 / 2022, No 2, Vol 14 https://esi.today/issue-2-2022.html URL статьи: https ://esi .today/PDF/3 5 SAVN222.pdf Ссылка для цитирования этой статьи:
Лалин, В. В. Метод минимизации усилий в стержневых системах с помощью узловых нагрузок / В. В. Лалин, И. И. Лалина, Ю. Ю. Головченко, Р. М. Шакирова, А. А. Лебедева // Вестник евразийской науки. — 2022. — Т. 14. — № 2. — URL: https://esi .today/PDF/3 5 SAVN222.pdf
For citation:
Lalin V.V., Lalina I.I., Golovchenko Yu.Yu., Shakirova R.M., Lebedeva A.A. Method for minimizing stress resultant in rod systems using nodal loads. The Eurasian Scientific Journal, 14(2): 35SAVN222. Available at: https://esi.today/PDF/35SAVN222.pdf. (In Russ., abstract in Eng.).
Лалин Владимир Владимирович
ФГАОУ ВО «Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого», Санкт-Петербург, Россия
Профессор
Доктор технических наук, профессор E-mail: vllalin@yandex.ru ORCID: https://orcid.org/0000-0003-3850-424X РИНЦ: https://elibrary.ru/author profile.asp?id=536375 SCOPUS: https://www.scopus.com/authid/detail.url?authorId=56091980300
Лалина Ирина Игоревна
ФГАОУ ВО «Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого», Санкт-Петербург, Россия
Старший преподаватель E-mail: i.lalina@yandex.ru ORCID: https://orcid.org/0000-0002-2640-3591 РИНЦ: https://elibrary.ru/author profile.asp?id=640741 SCOPUS: https ://www.scopus. com/authid/detail.url?authorId=57195593143
Головченко Юрий Юрьевич
ФГАОУ ВО «Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого», Санкт-Петербург, Россия
Студент
E-mail: yurijgolovchenko99@gmail.com РИНЦ: https://elibrary.ru/author profile.asp?id=957337
Шакирова Рената Маратовна
ФГАОУ ВО «Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого», Санкт-Петербург, Россия
Студент
E-mail: renshaxxx99@gmail.com
Лебедева Анна Александровна
ФГАОУ ВО «Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого», Санкт-Петербург, Россия
Студент
E-mail: anyaleb99@gmail.com
Метод минимизации усилий в стержневых системах с помощью узловых нагрузок
Аннотация. Задачи оптимального управления напряженно-деформированным состоянием строительных конструкций являются одним из актуальных направлений строительной механики. Целью такого управления может быть минимизация напряжений (усилий) в элементах конструкции. Одним из способов достижения такой цели является использование дополнительных нагрузок, которые прикладываются к отдельным элементам
сооружения. В настоящей работе предлагается метод минимизации усилий в стержневых системах. Минимизация усилий позволит достичь экономического эффекта за счет уменьшения сечений элементов стержневой системы и снижения материалоемкости конструкции.
Сложность алгоритма определения оптимального значения дополнительных нагрузок и получения оптимального решения (наименее напряженного состояния) в значительной степени зависит от выбора целевой функции. Традиционным подходом является выбор целевой функции в виде среднеквадратичной нормы усилий, которую нужно минимизировать за счет выбора управляющих воздействий — дополнительных нагрузок. Такая целевая функция не связана напрямую с математической постановкой задачи, что приводит к достаточно сложным алгоритмам решения задачи оптимизации и необходимости использования общих методов математического программирования.
В настоящей работе предлагается использовать в качестве целевой функции энергию деформации стержневой системы. Наименее напряженным состоянием системы считается состояние, при котором энергия деформации имеет минимальное значение. Такая целевая функция связана с вариационной постановкой задачи расчета стержневой системы. В результате удается сформулировать достаточно простой алгоритм решения задачи оптимизации. Этот алгоритм не требует использования методов математического программирования и может быть реализован на любом существующем программном комплексе по расчету строительных конструкций.
В статье доказывается, что предлагаемое решение является минимальным в энергетической норме, связанной с энергией деформации. Приводятся примеры решения задач с помощью разработанного алгоритма.
Ключевые слова: оптимальное проектирование; целевая функция; энергия деформации; энергетическая норма; управляющая нагрузка; стержневая система; напряженное состояние
Задачи оптимального проектирования строительных конструкций относится к одним из актуальных задач строительной механики. Получение и использование оптимальных конструкций позволяет достичь экономического эффекта за счет снижения материалоемкости сооружений.
Одним из классов задач оптимизации конструкций являются задачи о получении наименее напряженных конструкций, т. е. задачи достижения минимально возможного уровня напряжений (усилий) в конструкции при заданной внешней нагрузке [1-6]. Эти задачи тесно связаны с задачами регулирования уровня напряженно-деформированного состояния (НДС) конструкций, а также с задачами получения конструкций минимальной материалоемкости (минимального веса) [7-18]. При этом уменьшение уровня напряжений позволяет использовать элементы конструкций с меньшими размерами сечений и толщин и, следовательно, автоматически получать конструкции меньшего веса. С другой стороны, снижение уровня НДС может позволить при сохранении прежних толщин и сечений получить экономический эффект за счет увеличения полезной площади (объема) сооружения.
Одним из способов регулирования НДС сооружений является использование дополнительных нагрузок, прикладываемых к отдельным частям конструкции [9; 10; 12; 16; 17; 19; 20]. В этом случае задача формулируется как задача нахождения оптимальной нагрузки, т. е. такой нагрузки, которая обеспечивает минимизацию НДС конструкции.
Введение
Сложность решения задачи оптимизации в значительной степени зависит от формулировки целевой функции, то есть функции, которую необходимо минимизировать за счет выбора управляющих переменных. Как правило, в задачах минимизации веса конструкции целевую функцию принимают в виде /(и) или (/(и))2, где / — полный вес конструкции, и — набор параметров оптимизации [3; 19; 21-27]. Такие целевые функции не связаны напрямую с математической постановкой задачи и поэтому алгоритм решения задачи оптимизации получается достаточно сложным и требует использования методов математического программирования.
В настоящей работе применительно к стержневым системам предлагается использовать целевую функцию в виде энергетической нормы [20; 22]. Наименее напряженным состоянием стержневой системы считаем состояние, в котором энергетическая норма является минимальной. Такая целевая функция связана с вариационной постановкой задачи и в результате алгоритм решения задачи оптимизации получается значительно более простым и легко реализуемым. При этом решение задачи оптимизации может быть получено на любом существующем программном комплексе по расчету строительных конструкций и не требует использования методов математического программирования.
Постановка задачи
Предлагаемую постановку задачи и алгоритм ее решения изложим на примере изгибаемого стержня. Обобщение метода на задачи растяжения-сжатия и кручения стержней будет очевидным.
Задача изгиба консольного стержня описывается следующими уравнениями и граничными условиями:
хЕП = [0,Ц: Е]иш -
Ч
х = 0 : и(0) = 0; и'(0) = 0 х = Ь: - ЕЬи'" = Е]и"' = М
где Ь — длина стержня,
и(х) — прогиб,
ц — распределенная нагрузка,
Q,M — внешние краевые нагрузки (сила и момент). Введем энергетическое скалярное произведение [2; 20; 27]:
[и,у] = I Е]и"р" йх
п
и энергетическую норму:
1
||и|| = [и,и]2.
Запишем постановку задачи (1) в операторной форме:
( X Е П : Аи = ц;
\х = 0 : Си = 0; X = Ь : Ви = к
где Аи = Е]иш,
Си = — оператор кинематических граничных условий,
(1)
(2)
35SAVN222
Ви = ( ) — оператор статических граничных условий, Л = — столбец краевых нагрузок.
Как известно [2; 22], решение задачи (2) — единственно, что эквивалентно утверждению, что однородная задача (2) (при q = 0 и Л = 0) имеет только нулевое решение.
В дальнейшем при рассмотрении задачи оптимизации распределенную нагрузку ц будем считать заданной, а столбец краевых нагрузок Л будет являться искомым управляющим воздействием.
Интегрированием по частям можно получить следующее равенство:
= йх + (СМь В]К2) | Х=1 - {СВ]К2) | х=0, (3)
где введено обозначение покомпонентного (скалярного) произведения столбцов Л и
{Л,д) = Л1д1 + Л2д2.
Целевую функцию для задачи минимизации НДС выберем в виде:
1
П(и)=-[и,и], (4)
то есть, наименее напряженным состоянием стержня будем считать состояние, в котором энергия деформации (4) является минимальной. Как будет показано в дальнейшем на примерах, состояние с минимальной энергией деформации одновременно является состоянием с минимальными изгибающими моментами.
Таким образом, предлагается следующая постановка задачи оптимизации:
Найти Л (нагрузку на границе х = Ь) такую, чтобы решение задачи (2) при фиксированной нагрузке q минимизировало функционал (4).
Алгоритм решения
Сформулированную задачу можно рассматривать как задачу минимизации функционала (4) при дополнительных условиях (2). На основе метода неопределенных множителей Лагранжа [20; 22] перейдем к задаче о безусловной минимизации функционала Я:
R(u, h. X, AV Х2) = n(u) + f UM -q)dk + {k1.Cu)\x=0 + Ви - k)
х=Х,
где X, Х1, Х2 — множители Лагранжа. Вычислим вариацию функционала Я:
«Я = I Ш(Аи - „) + гиА(А + иш + ти, В(Л + и)) + Ш2, Ви-Л) +
п
+{Х2 - СХ,В8и) - {Х2,8Л)) | х=ь - ({СХ,В8и) -—{51^ Си) - {Х1 - В (Х + и), С8и)) I х=0.
Условие стационарности функционала 8Я = 0 приводит к следующим уравнениям и граничным условия:
п
П : Au = ц,А(Л + и) = 0; (5)
x = 0 : Си = 0,СЛ = 0,Л1 = В(Л + и); (6)
x = L : Bu = КВ(Л + и) = 0,Л2 = СЛ,Л2 = 0. (7)
Из (6) следует, что С (Л + и) = 0 при х = 0. Тогда сумма Л + и удовлетворяет условиям:
Л :А(Л + и) = 0
X = 0 : С(Л + и) = 0; X = L : В(Л + и) = 0 ()
Задача (8) есть однородная задача (2), которая имеет только нулевое решение:
Л + и = 0.
Тогда из (7) следует:
0 = Л2 = СЛ = —Си. В итоге получаем, что функцию и можно найти из следующей задачи:
H::Au = q
х = 0: Си = 0 ; X = L: Си = 0 ()
После решения задачи (9) искомую краевую нагрузку можно найти из равенства:
x = L:h = Bu (10)
Таким образом, можно сформулировать следующий алгоритм решения задачи определения наименее напряженного состояния стержневой системы за счет приложения дополнительных узловых нагрузок:
1. В узлах системы, в которых можно распоряжаться нагрузкой, ставим связи по направлению искомых нагрузок.
2. Полученную систему нагружаем заданной нагрузкой и решаем задачу.
3. Реакции во введенных связях и есть искомая узловая нагрузка.
Приведенные пункты алгоритма доказывают, что предлагаемый алгоритм может быть реализован на любом существующем программном комплексе по расчету строительных конструкций. Очевидно также, что изложенный алгоритм может быть применен при решении задач для произвольной стержневой системы, что будет продемонстрировано далее на примерах.
Докажем, что решение, полученное в п. 2 алгоритма, и есть оптимальное наименее напряженное состояние, т. е. это решение имеет минимальную энергетическую норму.
Введем:
1. Линейное пространство П функций w , как множество функций, удовлетворяющих условиям:
П • { n::AW = 0
П1: lx = 0:Cw = 0 ; x = L:Bw = h, ( )
где краевая нагрузка h может быть произвольной.
2. Линейное многообразие П2 — сдвиг пространства П1, заданный функцией д, т. е. множество функций, удовлетворяющих условиям:
П2 : {x = 0:Cw = 0; x = L:Bw = h, (12)
В уравнениях (12) краевая нагрузка h может быть произвольной, а заданная нагрузка д считается фиксированной. В дальнейшем доказательстве считается, что краевая нагрузка h в (11) и (12) является одинаковой.
Из (9) и (10) следует, что оптимальное решение и0 принадлежит многообразию П2. Функция и0 будет искомым оптимальным решением, если она обладает минимальной энергетической нормой:
\\и0\\ =min\\w\\ w еП2
Докажем, что функция и0, определенная из задачи (9), ортогональна в энергетической метрике пространству Пь т. е. удовлетворяет равенству:
[u0.w] = 0 (13)
для любой функции wen!.
Пусть и0 — решение задачи (9), w — любая функция, принадлежащая пространству Пх. Положим в равенстве (3) w1 = u0.w2 = w. тогда, учитывая (9) и (11), получим (13). Условие (13) и означает, что функция и0 есть «кратчайшее расстояние» от П2 до нулевой функции, т. е. имеет наименьшую норму.
Примеры решения задач
В качестве примеров приведем решения двух задач.
1. Рассматривается двухпролетная балка с пролетами 11 = 10 м, 12 = 10 м и консолями длиной 1,5 м (рис. 1). Балка загружена равномерно-распределенной нагрузкой ц = 10 кН/м2. В данном случае расчеты проводились с использованием ПК (программный комплекс) «ЛИРА САПР 2020».
Расчетная схема показана на рисунке 1. Исходное напряженное состояние системы представлено на рисунке 2.
Рисунок 1. Расчетная схема балки (разработано авторами)
Требуется подобрать такую сосредоточенную вертикальную нагрузку на концах консолей, чтобы максимально уменьшить момент в пролетах. Метод решения: поставим на концах консолей опоры, прикладываем ту же нагрузку q и находим реакции в поставленных опорах. Полученные реакции и есть искомая величина оптимальной нагрузки. На рисунке 3 приведена эпюра перерезывающих сил в системе, из которой можно найти реакции в опорах.
Рисунок 1. Эпюра моментов исходной схемы (разработано авторами)
Рисунок 3. Эпюра Qz. Реакции в опорах (разработано авторами)
Оптимальное решение получим, приложив заданную равномерно-распределенную нагрузку q на всю длину системы и полученную нагрузку на концах консолей. Оптимальное решение приведено на рисунке 4.
Рисунок 4. Оптимальное решение (разработано авторами)
Необходимо отметить, что произошло уменьшение максимального значения изгибающего момента в данной балке, который в исходной схеме составлял М1 = 655 кНм, а в оптимальной — М2 = 452 кНм. Уменьшение изгибающего момента в пролетах составило 100% = 31%, уменьшение изгибающего момента над центральной опорой составило
655-452
655 1193-901
1193
100% = 24,5%.
2. Рассмотрим задачу об изгибе квадратной П-образной рамы равномерно распределенной нагрузкой (рис. 5а).
Рисунок 5. а) Расчетная схема рамы; б) Эпюра моментов (разработано авторами)
Соответствующая эпюра моментов приведена на рисунке 5б. Поставим две оптимизационные задачи о подборе таких дополнительных сосредоточенных нагрузок, прикладываемых к опорному сечению правой стойки, чтобы эпюра моментов от заданной и дополнительной нагрузки была максимально близкой к нулевой эпюре (задача о наименее напряженном состоянии). В первой задаче требуется найти оптимальное значение момента h (рис. 6а), во второй — оптимальное значение момента Ы и горизонтальной силы h2 (рис. 7а). Решения сформулированных задач были получены аналитически.
В соответствии с предложенным алгоритмом оптимальное решение первой задачи есть решение задачи, приведенной на рисунке 6б (по направлению искомой нагрузки h вводится закрепление, т. е. в данном случае — защемление от угла поворота). Оптимальное решение — эпюра Mopt — приведена на рисунке 6в. Оптимальная нагрузка ^^ равна реакции во введенном защемлении.
Оптимальное решение второй задачи, приведенное на рисунке 7в, есть решение задачи, изображенной на рисунке 7б. Оптимальные значения нагрузок Ыс^ и h2c.pt также находятся как реакции во введенных закреплениях.
Отметим, что уменьшение максимального значения изгибающего момента в раме составляет:
1__1_
• в первой задаче = 33,3%;
во второй задаче 8 1;52 = 42.1%.
Рисунок 6. а) Изгибающий момент; б) Система с дополнительной опорой; в) Оптимальное решение (разработано авторами)
Рисунок 7. а) Изгибающий момент hl и горизонтальная сила h2; б) Система с дополнительной опорой; в) Оптимальное решение (разработано авторами)
8
1 11
8
Можно доказать, что общая энергия деформации уменьшится на то же процентное значение.
Из приведенных примеров можно сделать вывод, что оптимальное решение, соответствующее минимуму энергии деформации, дает также и уменьшение максимальных изгибающих моментов в стержневых системах.
Выводы
Основные результаты настоящей работы заключаются в следующем:
1. Предложена вариационная постановка задачи о наименее напряженном состоянии стержневых систем, основанная на выборе целевой функции в виде энергии деформации системы.
2. Управляющими воздействиями в предложенной постановке являются дополнительные узловые нагрузки (силы и моменты).
3. Сформулирован алгоритм получения оптимальных узловых нагрузок и оптимального (наименее напряженного) состояния стержневой системы. Отличительной особенностью разработанного алгоритма является то, что он может быть реализован на любом существующем программном комплексе по расчету строительных конструкций.
4. Приведено доказательство оптимальности решения, полученного предложенным алгоритмом.
5. Приведены решения двух задач: о неразрезной двухпролетной балке и П-образной раме. На примерах решения задач показано, что оптимальное решение, минимизирующее энергию деформации, одновременно является решением с минимальными изгибающими моментами.
ЛИТЕРАТУРА
1. Resende C.H.B. Design Optimization of 3D Steel Frameworks Under Constraints of Natural Frequencies of Vibration / Resende C.H.B., Carvalho J.P.G., Lemonge A.C.C., Hallak PH. — DOI: 10.5772/intechopen.87022 // Truss and Frames — Recent Advances and New Perspectives. — 2019. — 24 с.
2. Haftka R.T. Elements of Structural Optimization / Haftka R.T., Gürdal Z. — DOI: 10.1007/978-94-011-2550-5 // Kluwer Academic Publishers. — 1992. — 482 с.
3. Rao R.V. Mechanical Design Optimization Using Advanced Optimization Techniques / Rao R.V., Savsani V.J. — DOI: 10.1007/978-1-4471-2748-2 // Springer. — 2012. — 320 с.
4. Kaveh A. Optimal Structural Analysis / Kaveh A. // John Wiley & Sons. — 2006. — 512 с.
5. Vasiliev V.V. Optimal Design Theory and Applications to Materials and Structures / Vasiliev V.V. // Technomic Publishing Company. — 1999. — 321 с.
6. Клюев С.В. Оптимальное проектирование стержневых систем / Клюев С.В. // Белгород: изд-во БГТУ им. В.Г. Шухова. — 2007. — 129 с.
7. Artar M. Optimum weight design of steel space frames with semi-rigid connections using harmony search and genetic algorithms / Artar M., Daloglu A.T. — DOI: 10.12989/sem.2015.55.2.299 // Neural Computing and Applications. — 2018. — Т. 29, № 11. — С. 1089-1100.
8. PavlovCiC L. Cost function analysis in the structural framed structures / PavlovCiC L, Krajnc A, Beg D. // Engineering Structures. — 2011. — Т. 33, № 2. — С. 433-444.
9. Choi K.K. Structural Sensitivity Analysis and Optimization / Choi K.K., Kim N.H. — 2005. — 457 с.
10. Rees D.W.A. Mechanics of Optimal Structural Design: Minimum Weight Structures / Rees D.W.A. — DOI: 10.1002/9780470749784 // John Wiley & Sons. — 2009. — 560 с.
11. Farkas J. Optimum Design of Steel Structures / Farkas J., Jarmai K. — DOI: 10.1007/978-3-642-36868-4 // Springer. — 2013. — 265 с.
12. Tamrazyan A.G. Review of modern optimization methods for bearing systems of buildings and structures / Tamrazyan A.G., Alekseytsev A.V. — DOI: 10.22227/19970935.2020.1.12-30 // Vestnik MGSU [Monthly Journal on Construction and Architecture]. — 2020. — Т. 15, № 1. — С. 12-30.
13. Ho-Huu V. An efficient procedure for lightweight optimal design of composite laminated beams / Ho-Huu V., Vo-Duy T., Duong-Gia D., Nguyen-Thoi T. — DOI: 10.12989/scs.2018.27.3.297 // Steel and Composite Structures. — 2018. — Т. 27, № 3.
— С. 297-310.
14. Alekseytsev A. Cost minimization for safety enhancing of timber beam structures in historical buildings / Alekseytsev A., Botagovsky M., Kurchenko N. — DOI: 10.1051/e3sconf/20199703002 // E3S Web of Conferences. — 2019. — Т. 97, № 61.
— С. 03002.
15. Kalita K. Weighted sum multi-objective optimization of skew composite laminates / Kalita K., Ragavendran U., Ramachandran M., Bhoi A.K. — DOI: 10.12989/sem.2019.69.1.021 // Structural Engineering and Mechanics. — 2019. — Т. 69, № 1. — С. 21-31.
16. Перельмутер, А.В. Управление поведением несущих конструкций / А.В. Перельмутер. // Москва: Изд-во АСВ. — 2011. — 183 с.
17. Ляхович Л.С. Некоторые вопросы оптимального проектирования строительных конструкций / Ляхович Л.С., Перельмутер А.В. // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. — 2014. — Т. 10, № 2. — С. 14-23.
18. Ляхович Л.С. Критерий минимальной материалоемкости полки стержня двутаврового сечения при варьировании ее толщины и очертания ширины при ограничениях на величину критической силы или первой частоты собственных колебаний в двух главных плоскостях инерции сечения / Ляхович Л.С., Акимов П.А., Тухфатуллин Б.А. — DOI: 10.22337/2587-9618-2018-14-2-96-108 // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. — 2018. — Т. 14, № 2. — С. 96-108.
19. Scott A. Burns. Recent Advances in Optimal Structural Design Edited / Scott A. Burns // American Society of Civil Engineers. — 2002. — 384 с.
20. Lalin V. The optimal control of the elastic stress state using boundary loads / Lalin V., Savchenko A., Dyakov S., Lalina I. — DOI: 10.4028/www.scientific.net/AMM.725-726.836. — Applied Mechanics and Materials. — 2015. — T. 725-726. — C. 836841.
21. Sato H. Riemannian Optimization and Its Applications / Sato H. — DOI: 10.1007/9783-030-62391-3 // Springer. — 2021. — 136 c.
22. Levi M. Classical Mechanics with Calculus of Variations and Optimal Control: An Intuitive Introduction / Levi M. — DOI: 10.1090/stml/069 // American Mathematical Society. — 2014. — 299 c.
23. Kaveh A. Optimal design of large-scale space steel frames using cascade enhanced colliding body optimization / Kaveh A., BolandGerami A. — DOI: 10.1007/s00158-016-1494-2 // Structural and Multidisciplinary Optimization. — 2017. — T. 55, № 1. — C. 237-256.
24. Schattler H. Geometric Optimal Control: Theory, Methods and Examples / Schattler H., Ledzewicz U. — DOI: 10.5860/choice.50-2714 // Springer. — 2012. — 640 c.
25. Rothwell A. Optimization Methods in Structural Design / Rothwell A. — DOI: 10.1007/978-3-319-55197-5 // Springer. — 2017. — 314 c.
26. Komzsik L. Mathematical optimization / Komzsik L. // Approximation Techniques for Engineers. — 2018. — C. 331-354.
27. Kelley C.T. Iterative Methods for Optimization / Kelley C.T. — Society for Industrial and Applied Mathematics Philadelphia. — 1999. — 180 c.
Lalin Vladimir Vladimirovich
Peter the Great Saint Petersburg Polytechnic University, Saint Petersburg, Russia
E-mail: vllalin@yandex.ru ORCID: https://orcid.org/0000-0003-3850-424X RSCI: https://elibrary.ru/author profile.asp?id=536375 SCOPUS: https://www.scopus.com/authid/detail.url?authorId=56091980300
Lalina Irina Igorevna
Peter the Great Saint Petersburg Polytechnic University, Saint Petersburg, Russia
E-mail: i.lalina@yandex.ru ORCID: https://orcid.org/0000-0002-2640-3591 RSCI: https://elibrary.ru/author profile.asp?id=640741 SCOPUS: https ://www.scopus. com/authid/detail.url?authorId=57195593143
Golovchenko Yury Yuryevich
Peter the Great Saint Petersburg Polytechnic University, Saint Petersburg, Russia
E-mail: yurijgolovchenko99@gmail. com RSCI: https://elibrary.ru/author profile.asp?id=957337
Shakirova Renata Maratovna
Peter the Great Saint Petersburg Polytechnic University, Saint Petersburg, Russia
E-mail: renshaxxx99@gmail.com
Lebedeva Anna Aleksandrovna
Peter the Great Saint Petersburg Polytechnic University, Saint Petersburg, Russia
E-mail: anyaleb99@gmail.com
Method for minimizing stress resultant in rod systems using nodal loads
Abstract. The problems of optimal control of the stress-strain state of building structures are one of the most actual areas of structural mechanics. The purpose of such control may be to minimize stresses (forces and moments) in the structural elements. One of the ways to achieve this goal is to use additional loads that are applied to some elements of the structure. In this paper, we propose a method for minimizing forces and moments in rod systems. Minimizing stresses will allow achieving an economic effect by reducing the cross sections of the rod system elements and reducing the material consumption of the structure.
The complexity of the algorithm for determining the optimal value of additional loads and obtaining the optimal solution (the least stressed state) largely depends on the choice of the objective function. The traditional approach is to choose an objective function in the form of a mean-square norm of stresses, which should be minimized by choosing control actions — additional loads. Such an objective function is not directly related to the mathematical formulation of the problem, which leads to rather complex algorithms for solving the optimization problem and the need to use general methods of mathematical programming.
In this paper, it is proposed to use the strain energy of the rod system as an objective function. The least stressed state of the system is the state in which the strain energy has a minimum value. Such an objective function is associated with the variational formulation of the problem of calculating the rod system. As a result, it is possible to formulate a fairly simple algorithm for solving the optimization problem. This algorithm does not require the use of mathematical programming methods and can be implemented on any existing software package for the calculation of building structures.
The article proves that the proposed solution is minimal in the energy norm associated with the strain energy. Examples of solving problems using the developed algorithm are given.
Keywords: optimal design; objective function; strain energy; energy norm; control load; rod system; stress state
35SAVN222
