Метод конечных элементов в задачах флаттера треугольных и трапециевидных пластин Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И

Том VIII

197 7

№ 2

УДК 629.7.015.4:533.6.013.422:629.7.023.2

МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ЗАДАЧАХ ФЛАТТЕРА ТРЕУГОЛЬНЫХ И ТРАПЕЦИЕВИДНЫХ ПЛАСТИН .

Исследуется флаттер пластин в сверхзвуковом потоке газа. Методом конечных элементов получены частоты и формы колебаний ряда пластин при различных скоростях потока. Рассмотрена сходимость вычисляемых критических скоростей флаттера при разных способах разбиения пластин на элементы.

Метод конечных элементов [1] является эффективным средством решения задач динамики распределенных упругих систем. При расчете двумерных систем удобно использовать конечные элементы треугольной формы. Однако при использовании большинства известных треугольных элементов результаты расчета существенно зависят от ориентации элементов в разбиении. Один из возможных путей устранения этого недостатка рассмотрен в [2]. Для расчета свободных колебаний там предложен элемент в виде прямоугольного треугольника, имеющий четыре степени свободы. Два таких элемента, повернутые на 180°, образуют при совмещении известный прямоугольный элемент [3], ориентация которого в прямоугольной сетке разбиения не влияет на результаты расчета.

В настоящей работе треугольные элементы [2] применимы для исследования . флаттера пластин разной формы в сверхзвуковом потоке газа. Аэродинамические воздействия вычислялись по поршневой теории без учета аэродинамического демпфирования.

Изложим кратко идею треугольного элемента [2]. Рассмотрим элемент в виде прямоугольного треугольника с узлами 1, 2, 3 (фиг. 1). Область изменения переменных на нем обозначим Д. Дополним элемент до прямоугольника Д + Д', введя законтурный узел р и полагая, что в законтурной области Д' жесткость /5, плотность р и аэродинамическое давление равны нулю.

Матрицу жесткости элемента получим по известным формулам на основе полной системы базисных функций, определенных на всей области Д + Д' [3]. Для вычисления укороченных матриц масс и аэродинамической жесткости воспользуемся укороченной системой базисных функций [3]:

Получение этих матриц для прямоугольного элемента описано в работах [3] и [4].

Построенный таким способом треугольный элемент обозначим Д 1; он имеет четыре степени свободы. Его динамическими координатами являются поперечные смещения, взятые в каждом узле 1, 2, 3, р. Легко видеть, что два таких элемента, повернутые на 180°, образуют при совмещении прямоугольный элемент, описанный в работах [3] и [4].

У треугольного элемента, находящегося на свободном краю, его законтурная область Д' может выходить за пределы пластины (фиг. 2). В этом случае

В. П. Кандидов, С. С. Чесноков

М*- у)= ' !> хІа> у!ь> хУІаЬ !•

(1)

наряду с элементами Д I могут использоваться более простые элементы Д2. Для получения матриц масс и аэродинамической жесткости элемента Д2 возьмем следующую систему базисных функций [2]: .

Ы*. У) = { */«> У>ь )• (2)

Поперечное смещение законтурного узла р становится зависимым от смещений в остальных узлах и его можно исключить. Число колебательных степеней свободы элемента понижается до трех.

В качестве первого примера применения описанных элементов в задачах аэроупругости рассмотрим колебания двух консольных трапециевидных пластин

Фиг. 1

Модель 1 Модель 2

Фиг. 2

разного удлинения жестко защемленных, в конце, в сверхзвуковом потоке газа (фиг. 2). На пластинах нанесена сетка разбиения 4X5 с постоянным шагом, которая применялась в расчете.

Прямоугольные элементы, выделяемые этой сеткой, образованы из пар треугольных элементов типа Д I; на передней кромке использованы треугольные элементы как типа Д I, так и типа Д 2, В первом случае модель обозначается индексом I, во втором — индексом 2. В частности, для каждой из пластин, изображенных на фиг. 2, модель I имеет 18 степеней свободы, модель 2— 14 степеней свободы.

На ЭВМ вычислены собственные частоты и собственные векторы моделей

„ Poo V*L3

пластин при различных значениях безразмерного параметра х =-------------- - ■■

D У М2 - 1

скорости потока V (здесь — плотность воздуха). По собственным векторам, компонентами которых являются амплитуды поперечных колебаний в узлах, получены линии равного смещения. Результаты для пластины (модель 1) представлены на фиг. 3. Там изображены линии равного смещения для первого и второго тонов пластины при ряде и. Смещение свободного конца задней кромки принято за единицу.

Видно, что с увеличением скорости потока угол атаки на первом тоне возрастает и появляется узловая линия, которая смещается вниз по потоку. Одновременно узловая линия на втором тоне движется вверх по потоку. Частоты первого и второго тонов при увеличении скорости сближаются. Наконец, при критическом значении формы первого и второго тонов становятся одинаковыми,

I тон

Л тон У/////////////

частоты сливаются. С дальнейшим ростом скорости собственные значения и векторы этих тонов становятся комплексными. Действительная часть собственного значения первого тона является положительной; возникает неустойчивость типа флаттера.

В табл. 1 представлены критические значения безразмерных параметров скорости *. и частоты а = и>!~\/Г——— для обеих пластин, полученные с помощью

/ г р Л £*

разных моделей.

Сходимость результатов при различных разбиениях на элементы рассмотрим на примере колебаний плоского прямоугольного треугольника (фиг. 4). В табл. 2 помещены критические значения х. и а для случаев, когда пластина разбита на элементы с постоянным шагом.

Фиг. 4

Из табл. 2 видно, что значения критических параметров для каждого из типов моделей монотонно сближаются при увеличении числа степеней свободы. Расчетные данные согласуются с приведенной в [5] величиной ■х.кр = 86,2, которая получена при использовании треугольных элементов с шестью степенями свободы на узел. Отличие между результатами для моделей 1 и 2 связано, по-видимому, с действием в законтурных узлах р аэродинамических сил и сил инерции.

Таблица 1

Модель 1 Модель 2

Пластина а Пластина б

7'Кр 45,9 24,2

“кр 12,796 9,1637

хкр 61,1 29,5

акр 13,818 9,5074

Таблица 2

Разбиение Число степеней свободы

кр

кр

Модель 1

Число степеней свободы

1 х Модель 2 і

) “і

кр

кр

3X3 4X4 5X5

9 14 20

47,2 72,8 77,2

13,864 17,486 17,814

6 10 15

131,8 109,5 102,7

19,865 19,465 19,230

Влияние этих сил можно уменьшить, применив переменный шаг разбиения: более крупный у корня и более мелкий у свободного конца пластины (фиг. 4). Соответствующие результаты приведены в табл. 3.

Таблица 3

Разбиение зхз 4X4 5X5

Число степеней свободы 9 14 20

Модель 1 ) *кр 68,7 80,1 83,2

1 “кр 16,701 17,907 18,120

Число степеней свободы 6 10 15

) ^кп 20,8 101,4 94,3

Модель 2 > р

.1 “кр 19,514 19,183 18,987

Видно, что при одинаковых разбиениях критические параметры для моделей / и 2 лежат значительно ближе друг к другу и к данным работы [5].

В заключение отметим, что рассмотренные здесь элементы позволяют использовать гораздо более мелкое разбиение, чем обычно применяющиеся треугольные элементы, при одном и том же общем числе степеней свободы. Это является существенным преимуществом описанных элементов при расчете неоднородных систем.

ЛИТЕРАТУРА

1. Zienkiewicz О. С. The finite element method in structural and continuum mechanics. Me Graw-Hill, 1967.

2. Кандидов В. П., Ч е с н о к о в С. С. Треугольный элемент для расчета колебаний пластин. Вестник МГУ. Физика, астрономия. 1972.

3. V у s 1 о u k h V. А., К a n d i d о v V. P., Chesnokov S. S. Reduction of the Degrees of Freedom in Solving Dynamic Problems by the Finite Element Method. Int. J. for Num. Meth. Engng, 1973.

4. Кандидов В. П., Чесноков С. С. Расчет устойчивости прямоугольных пластин в потоке воздуха методом конечных элементов. Вестник МГУ. Физика, астрономия, 1972.

5. Olson М. D. Some flutter solutions using finite eleMents. AIAA J, 1970, N 4.

Рукопись поступила 28jX 1974 г.