Метод конечных элементов для несамосопряженных спектральных задач Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 148, кн. 4

Физико-математические пауки

2006

УДК 519.63

МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫХ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

С .И. Соловьёв

Аннотация

Исследуется метод конечных элементов с численным интегрированием для дифференциальной задачи па собственные значения второго порядка с песамосопряжеппым оператором. Получены оценки погрешности приближенных собственных значений и корневых подпространств.

1. Постановка задачи

В статье изучается метод конечных элементов с численным интегрированием для дифференциальной задачи на собственные значения

— (а,2и'У + а\ги + а^п = А(Ъ\и' + Ъои), х € (0,1), и(0) = и(1) = 0

(1)

с достаточно гладкими комплексными коэффициентами а^ = а^(х), г = 0,1, 2, Ъз = Ъ] (х), ] =0,1, х € [0,1]. Предполагаются выполненными условия

в2

11е ао(х) ^ 2«!, 11е ао(х) ^ -

4а 1

для положительной постоянной ах и

в = тах |ах(х)|, же [0,1]

Ие обозначает вещественную часть комплексного числа.

Дифференциальная задача (1) эквивалентна вариационной задаче на собственные значения: найти А € С, и € V \ {0} такие, что

а(и, V) = АЪ(и, V) Уу € V, (2)

а(и, у) = J(а2пУ + а\и'у + аопу) йх, 0

I

Ъ(и, у) = J(Ъхи'у + Ъоиу) йх,

V = {V : V € ^21(0,/), м(0) = м(/) = 0} - комплексное гильбертово пространство с нормой || • || = | • |1 и со скадярным произведением (•, •) = (•, •)1 при

(г У* г

|V 11 = / IV' (х) |2 ¿ж , (и^)1 = м'(ж>' (ж) ¿ж Ум, V € V.

\о / о

Разобьем отрезок [0,1] равноотстоящими точками жг = гН, г = 0,1,..., М, на элементы ек = (жк-1,жк ), к = 1, 2, ...,М, Н = //М. Обозначим через подпространство пространства V, состоящее из функций принадлежащих пространству полиномов п-й степени Рп(ек) та каждом элементе ек = (жк-1,жк), к = 1, 2,..., М.

Зададим па исходном элементе е = (-1,1) квадратурную формулу Гаусса с п узлами

1 п

/ ^е(ж) ¿е « ^ «¿З(Д0 -1 ¿=1

для непрерывной функции е(е), е € е. Здесь а > 0, г = 1, 2,..., п - коэффициенты квадратурной формулы, —1 < Д < У г = 1, 2, ...,п - узлы квадратурной формулы. Заметим, что узлами квадратурной формулы Гаусса являются корни полинома Лежандра степени п та отрезке [—1,1], а сама квадратурная формула точна для многочленов из Р2п-1(е).

Вариационная задача (2) аппроксимируется по методу конечных элементов с численным интегрированием: найти А^ € С, € \ {0} такие, что

а^(м^,^) = € У^, (3)

М п

= (а2м^ + а1м^ + аом^)(вк),

к=1 ¿=1 М п

Мм^,^) = (^м^л. + Ьом^)(вк),

к=1¿=1

Дгй = ^ ¿=1,2,..., к = 1,2,..., М.

Из предположений о коэффициентах дифференциальной задачи и свойств квадратурной формулы вытекают соотношения коэрцитивности форм:

Ие а^, V) > а1 IV!2 Vv € V,

Ие аЦ^,^) > «1 |К||2 € ^

В силу ограниченности коэффициентов задачи получаем свойства ограниченности форм с положительной постоянной «2 > не завнсящей от Н:

|а(м, V) ^ «2 ||м|| IV| Ум, V € V,

|аь(м^)| < «2 ||мь|| |К|| Умь, ^ € V,,

|Ь(м, V)| < а2 ||м| |v| Ум, V € V,

|Ммь,^)| < «2 ||мь| |К|| Умь,^ € V,.

Определим операторы T : V ^ V и Th : Vh ^ Vh по формулам

a(Tu, v) = b(u, v) Vu, v G V, ah(ThUh, vh) = bh(uh, vh) Vuh, vh G Vh.

Поскольку пространство V компактно вложено в L2(0, l), то форма &(•, •) является вполне непрерывной, и, следовательно, T : V ^ V есть компактный оператор. Поэтому задача (2) сводится к следующей задаче о нахождении характеристических чисел и собственных элементов компактного оператора: найти A G C, u G V \ {0} такие, что

u = ATu

Точнее, / = A-1 и U есть собственное значение и корневое подпространство оператора T тогда и только тогда, когда A и U являются собственным значением и корневым подпространством задачи (2). Аналогично, задача (3) эквивалентна

Ah G C uh G Vh \ {0}

uh = Ah ThUh. (5)

Определим проектор Ph : V ^ Vh по формуле

a(PhU, vh) = a(u, vh) Vvh G Vh, Vu G V.

Справедливы соотношения: ||Ph|| ^ c, || (PhT — Th)|Vh || ^ ch2 , здесь и далее c - постоянные, не зависящие от h, T |vh - сужение оператора T на подпространство Vh. Г.М. Вайникко [1, 2] доказал оценки погрешности

0(U,Uh) < c (£h + ||(PhT — Th)|vfc ||), |A — Ah| < c(eh£h + ||(PhT — Th)|vfc||),

£h = sup inf ||u — vh|| ^ chn,

«eu,||«|| = i vhtvh

£h = sup inf ||u* — vh|| ^ chn,

tt«£U *,||«*|| = 1 vh£vh

U A Uh U

U* - корневое подпространство сопряженной задачи для (2), в - раствор под-

V

Дж. Фнкс [3] получил оценки

e(U,Uh) < c (£h + ¿h + ¿ь),

|A — Ah| < c (£h£h + ¿h + ¿h),

¿h = sup |a(uh,vh) — ah(uh,vh)| < ch2,

«h,vhevh,||uh|| = ||vh|| = i ¿h = sup |b(uh,vh) — bh(uh,vh)| < ch2.

«h,vhevh,|«h| = |vh| = i

Таким образом, оценки погрешности Вайникко и Фикса применительно к сформулированной задаче имеют вид

e(U,Uh) < c(hn + h2), |A — Ah| < c(h2n + h2).

Эти результаты дают оптимальные по порядку оценки только при n = 1.

Целыо настоящей статьи является получение абстрактных оценок погрешности. приводящих к оптимальным результатам для метода конечных элементов при п ^ 1. Ранее в работах [4-9] были установлены оптимальные оценки точности лишь в самосопряженном случае. При исследовании несамосопряженных спектральных задач будем опираться на известные результаты, содержащиеся в работах [1 3.

Пусть Т : X ^ X - компактный оператор в комплексном банаховом пространстве X с норм о й || • ||, С - комплексная плос кость, i - тождественный оператор. Обозначение || • || используется также для нормы oneраторов из X в X. Обозначим через р(Т) резольвентное множество оператора T, то есть множество точек z £ С, для которых существует ограниченный оператор (zi — Т)-1 из X в X. Обозначим через а(Т) спектр оператора Т, то есть множество а(Т) = С \ р(Т). Для любого z £ р(Т) определим резольвентный оператор Rz (Т) = (zI — Т)-1. Множество а(Т) не более чем счетно и не имеет конечных точек сгущения. Ненулевые числа из а(Т) являются собственными значениям и оператора Т, а пуль может быть или не быть собственным значением.

Предположим, что p £ а(Т) — ненулевое число. Существует наименьшее целое число а, называемое рангом собственного значения p £ а(Т) такое, что N ((pi—Т )а) = N ((pi—Т )а+1), где N обозначает ядро оператора. Подпространство N ((pi — Т )а) является конечномерным, и m = dim N ((pi — Т )а) называется алгебраической кратностью собственного значения р £ а(Т). Элементы из множества N ((pi — Т )а) называются корневыми элементами оператора, Т, соответствующими собственному значению p £ а(Т). Порядком корневого элемента u называется наименьшее целое i такое, что u £ N ((pi — Т )г). Корневой элемент порядка 1,

то есть элемент из N (pi — Т), является собственным элементом оператора Т, pp

размерности подпространства N (pi — Т) и не превосходит алгебраической кратности.

Зададим семейство замкнутых подпространств Xh, 0 < h < 1, пространства X. Определим ограниченные проекторы Ph : X ^ Xh такие, что ||v — Phv|| ^ 0 при h ^ 0 для v £ X, и существует постоянная c, те зависящая от h, для которой ||Ph|| ^ с, 0 < h < 1. Заметим, что ||Т — PhT|| ^ ^и h ^ 0. Введем операторы Th : Xh ^ Xh такие, что ||(Т — Th)|Xh || ^ ^и h ^ 0, где Т|W обозначает сужение оператора Т на подпространство W пространства X.

Пусть p - ненулевое собственное значение оператора Т алгебраической кратности m и ранга а. Обозначим через Г окружность на комплексной плоскости с

центром p, лежащую в р(Т) и те содержащую других точек из а(Т). Определим

p

Т, те формуле

Оператор Е является оператором проектирования па корневое подпространство, соответствующее собственному значению р оператора Т, то есть на подпространство Я(Е) = N((р1 — Т)а), где Я обозначает область значений оператора. Для достаточно малого Н окружность Г находится в р(Т^) и существует спектральный проектор

10 13].

2. Абстрактные оценки

г

г

Имеет место сходимость ||(E — Eh)|xh || ^ ^и h ^ 0 и равенство dimR(E) = = dimR(Eh) = m для достаточно малых h. Оператор Eh есть спектральный проектор, соответствующий собственным значениям оператора Th, лежащим в круге Br с границей Г, и является проектором па прямую сумму корневых подпространств. соответствующих этим собственным значениям, то есть

R(Eh) = ^ N ((¡rJ — Th)a(Mh)),

Мнея(Тн)пБт

где a(^h) есть ранг собственного значения ¡h. Обозначим через ¡h, ¡h,..., 'п собственные значения оператора Th, лежащие в Br и занумерованные с учетом алгебраической кратности. Если Г' - другая окружность с центром достаточно малого радиуса, то ¡h, ¡h,..., ¡¡m лежат в ВГ' для достаточно малого h, то есть ^ ¡и при h ^ 0 для i = 1, 2,... ,m.

Подпространства R(E) и R(Eh) есть инвариантные подпространства для операторов T и Th соответственно, и справедливы равенства TE = ET, ThEh = = EhTh. Заметим, что oneратор Rz (Th) является ограниченным оператором для z £ Г и достаточно малого h.

Если есть собственное значение оператора T алгебраической кратности m и ранга а, то ^ является собственным значением алгебраической кратности m и ранга а сопряженного оператора T' : X' ^ X', где X' - двойственное пространство для X. Оператор E' является спектральным проектором, соответствующим собственному значению ¡и оператора T', так же, как E'h является спектральным проектором, соответствующим собственным значениям ¡h, ¡h,..., ¡¡m оператора Th ■ Значение линейного функционала u' £ X' на элементе u £ X будем обозначать

(u, u'). Через || • || будем обозначать также норму элементов из X' и операторов X' X'

T' X

ство, то естественно работать с гильбертово сопряженным оператором T* : X ^ X.

При этом ^ есть собственное значение оператора T тогда и только тогда, когда ¡2

T*

Для замкнутых подпространств M и N пространства X определим раствор подпространств M и N по правилу [13]:

в(М, N) = max{d(M, N), d(N, M)},

d(M,N) = sup inf ||u — v||.

«ем,||и||=1 veN

Заметим [13], что если dim M = dim N < то, то d(N,M) < d(M, N )[1 — d(M,N )]-1. Известно, что если X - гильбертово пространство, то d(M,N) = d(N,M), и e(M,N) < 1.

¡T

кратности m и ранга а, ¡h ¡h,...-, ¡m """"" собственные значения оператора Th, ¡

1 m

№ = — , m

i=1

Sh = ||(I — Ph)|R(E) ||, Sh = ||(T — Th)|R(Ph E)|, Sh = ||(I — Ph )|R(E) ||,

¿h = ll(T' - Th )\R{P, E) ||,

Ah = sup \((T - Th)u,u')\.

u£R(Ph E),u' eR(Ph E' ),||u|| = ||u'|| = 1

В дальнейшем через c (в том числе с индексами) будем обозначать различные постоянные, не зависящие от h.

Лемма 1. Справедливы, неравенства:

sup ||Rz(T)|| < c, sup ||Rz(Th)\xh ll < c,

z£Г z£Г

h

Доказательство. Первое неравенство выполняется в силу непрерывной обратимости оператора zl — T для z ££ Г. А второе - вытекает из следующих соотношений для z ££ Г и достаточно малых h:

||R(Th)\xh || = ||(zl — Th)-1 \xh || = ||((zl — T) + (T — Th))-1 \xh || <

!!(,/-T)-1|A-JI iK^j-r)-1!!

^ i - ||(т-?л)|л-Л • ^ i-\\(T-Th)\Xh\\-\\(zi-T)-4\ ^

supaer \\Rz(T)\\ с

" l-||(T-Tft)LvJ|-Supser||fls(T)|| ^ l-c\\(T-Th)\Xh\\

где || (T — T/i)|a"J| —^ 0 при h. —>■ 0. Лемма доказана. □

Лемма 2. Для непрерывного оператора A : X ^ X и достаточно малых h справедливы неравенства:

ci ||A\R(Phe)|| < ||(APh)\r(e)|| < c2 |A\R(phE)|. Доказательство. Имеют место соотношения

||Aw|| ||APh v|| ||v||

Рад = SUP Vr= SUP

wER(PbE)\{0} ||w| ȣR(E)\{0} ||v| ||Phv|

sup Mpfl=c]lAPh] ||.

v£R(E)\{0} ||v|

Аналогично получаем

II4PI II 1ИРИ1 \\APhv\| \\Phy\\ ^

№вд = sup || || = sup IIP II -¡ПГ <

v£R(E)\{0} ||v| v£R(E)\{0} ||Phv| ||v|

sup M!d = cp| ||.

w£R(PfcE)\{0} ||w|

При получении этих соотношений было учтено, что

||v|| N

sup --- ^ sup -—Г---- ^ с,

v£R(E)\{0} ||Phv| v£R(E)\{0} ||v| — ||v — Ph

sup sup 11-11+ f-^11 <c,

v£R(E)\{0} ||v| v£R(E)\{0} ||v|

так как ||n — Ph'v\\ —0 при Лемма доказана. □

Теорема 1. Для достаточно малых к выполняются оценки погрешности: в(Е(Е),Е(Ен)) < с(ен + 6Н), в(Е(Е'),Е(Е'н)) < с(е'н + \\(Рн - Ен)Рн1я(Е)\\ < с(ен + 5Н), \\(РЬ - Е'М|й(Е')\\ < с(е'н + 6'н).

Доказательство. Согласно лемме 1 для V € Е(Е) имеем

\\(Рн - Еъ)Рку\\ = \\PhV - ЕнРну\\ = \\РкЕу - ЕнР^\\ =

1

Ъг1

т I РкЕ,(ТУо сЬ - I Е,(Тк)РК'0сЬ

2п\

Ег(Тн)(РнТ - ТнРн)Ег(Т)уйг

<

< —1еп^Ь(Г)8ир||Да(Тл)|л-Л \\(ЕНТ -ТНРН)\ЩЕ)\\ 8ир||Да(Т)|| |М| <

2П геГ геГ

< С\\(РнТ - ТнРн)|д(е)\\ \М\.

Отсюда с учетом леммы 2 получаем первую и третью оценки теоремы:

\\(Рн - Ен)Рн1п(Е)\\ < С\\РТ - ТнРн)|д(е)\\ <

< С{\\Т (I - Рн)Ы(Е) \\ + \\(1 - Рн )Т | И(Е) \\ + \\(Т - Тн )Рн |Д(Е)\\} <

< С{\\(1 - Рн)|ц(Е)\\ + \\(Т - ТнУщрье)\} = С(ен + 8К),

в(Е(Е),Е(Ен)) < сй(Е(Е),Е(Ен)) « \\(1 - ЕнРн)Ы(Е)\\ <

< \\(1 - Рн)Ы(Е)\\ + \\(Рн - Ен)Рн|д(е)\\ « с(ен + 5н).

Оставшиеся две оценки теоремы для сопряженных операторов выводятся аналогично. Теорема доказана. □

Теорема 2. Для достаточно малых к выполняется оценка погрешности:

- £н1 < с(Ан + (ен + 6н)(е'н + ё'н)). Доказательство. Для достаточно малых к определим операторы: Т = Е-1ТЕ1п(РьЕ) : Е(РнЕ) ^ Е(РнЕ), Тн = Е^ТнЕнЫ^Е) : Е(РнЕ) ^ Е(РнЕ). По определению следа оператора [13] имеем

1 ^ ^ 1 т ^ ^ М - = -Нас е(Т -Ть) = - ]Г((Т -т т —'

г=1

г

г

г

где у>1, у2, • • • > Ут _ некоторый базис в Д(РлЕ), у!, у>2, • • • > Ут _ двойственный базис.

Положим Ь = Е-1Е, = Е-1 Ел и заметим, что Е(Ь — I) = О, Ел— I) = 0, Ь|д(р^Е) = I, Ьл|д(рьЕ) = I, ТЕ = ЕТ, ТлЕл = ЕлТл. Тогда получим

((Т — Тл)у, У> = (Е-1ТЕу — Е^ТлЕлу, У> =

= ((Т — Тл)у, У> + ((Ь — 1)Ту — (Ьл — 1)Тлу, У> = ((Т — Тл)у, у> +

+ ((Ь — I)Ту, (I — Е')У> — ((Ьл — I)Тлу, (I — Е£)у<> =

= ((Т — Тл)у, У> + ((Ь — I)((Т — РлТ) + (РлТ(Рл — I)Р-1))у4, (I — Е')У> —

— ((Ьл — I)((Тл — РлТ) + (РлТ(Рл — I)Р-1))у4, (I — Е^)^ Отсюда выводится оценка

|((Т — Тл)у,У>| < |((Т — Тл)у,У>|+

+ С (||(/ — Рл )|д(Е)|| + ||(Т — Р;Т )|д(^Е)||) -||(1 — Е')|д(р/£') || + + С (|| (I — Рл) | д(Е) || +|| (ТЛ — РлТ) | д(^Е) ||) ■ || (I — ел) | д(^ Е') || <

< с(Дл + (ел + ¿л)(еЛ + ¿Л))

Здесь были использованы оценки, приводимые далее. Согласно теореме 1 и лемме 1 имеем

||(/ — ЕЛ)|Д(^е')|| < с ||(РЛ — ЕЛ)РЛ|д(Е')|| < с(еЛ + ¿Л)•

Из определения величины Дл находим, что

|((Т — Тл)у,У>| < сД^

Как и при доказательстве теоремы 1, с помощью леммы 2 выводим оценки

||(1 — Е)|Д(Р„Е)|| < С ||(Рл — Е)Рл|Д(Е) || =

= с||((Рл — I) + (Е — ЕРл))|д(Е)|| <

< с{||(1 — Рл)д(е)|| + ||Е(1 — Рл)|д(Е)||} < с||(1 — Рл)|д(Е)|| = сел• Отсюда для сопряженных операторов получим:

||(1 — Е')|д(Р,е')|| < сеЛ•

Далее по лемме 2 имеем

||(Т — РлТ)|д(^Е)|| < с ||(Т — РлТ)Рл |д(Е) || <

< с{||(1 — Рл)Т(I — Рл)|д(Е)|| + ||(1 — Рл)Т|д(Е)||} <

< с ||(1 — Рл)| д(Е) || = сел•

И, наконец, снова используя лемму 2. выводим ||(Т; — Р;Т)|Д(РьЕ}| < с ||(Т; — Р;Т)Рь|Д(Е) || <

< с{||(/ — РЛ)|Д(Е)|| + ||(Т — Ть)Рь|Д(Е)||} <

< с{||(/ — РЛ)|Д(Е)|| + ||(Т — ТЛ)|Д(Р„Е)|} = с(£Л + й).

Теперь, собирая полученные оценки, приходим к требуемому результату. Теорема доказана. □

3. Исследование погрешности

Сформулируем сопряженную задачу для задачи (2): найти А € С V € V \ {0} такие, что

а(м, V) = Аб(м^) Ум € V. (6)

Определим сопряженный относительно формы а(-, •) оиератор Т* : V ^ V равенством

а(м, Т^) = 6(м, V) Ум, V € V.

Заметим, что а(Тм^) = а(м, Т^) для любых м, V € V. По теореме Рисса существует непрерывное взаимно однозначное отображение А : V ^ V, определяемое соотношением

а(м, V) = (Ам, V) Ум, V € V. Введем сопряженное отображение А' : V ^ V по правилу

а(м, V) = (м, А^) Ум, V € V.

Оператор А' задает непрерывное взаимно однозначное отображение.

Оператор Т* : V ^ V связан с обычным гильбертово сопряженным оператором Т* : V ^ V, (Тм, V) = (м, Тдля любых м, V € V с помощью преобразования Т * = А'Т*А'-1. Операто ры Т * : V ^ V и Т* : V ^ V являются компактными.

Сопряженная задача (6) имеет следующую операторную формулировку: найти А € С V € V \ {0} такие, что

V = АТ^. (7)

Поскольку Т* = А'-1Т *А', то ст(Т*) = а(Т *) и N ((А-1/ — Т*)г) = А'-1Ж ((А-1/ — Т*)г). Пара А и и * является собственным значением и корневым подпространством задачи (6) тогда и только тогда, когда А-1 и и * есть собственное значение

и корневое подпространство оператора Т^и А-1 и А'и * есть собственное зна-

Т*

Сформулируем сопряженную задачу для задачи (3): найти € С ^ € V; \{0} такие, что

аь(м^,^) = ) Ум; € V;. (8)

Определим сопряженный относительно формы а^(-, •) оператор Т;* : Vh ^ Vh равенством

а;(м;, Тк*^) = 6ь(мь, V;) Ум;, V; € V;!.

Заметим, что а;(Ткм;,^) = а;(м;, Т;*^) для любых м;, V; € V;. По теореме Рисса-Фишера существует непрерывное взаимно однозначное отображение А; : V; ^ V; такое, что

а;(м;, V;) = (А;м;, V;) Ум;, V; € V;.

Зададим сопряженное отображение А'н : Vн ^ Ун но правилу ан(ин,Ун) = (ин,А'нуо) Уин,УО € Vh.

Ан

Оператор Тно : Vн ^ Vн связан с обычным гильбертово сопряженным оператором ТЦ : Vh ^ Vн, (Тнин, Ун) = (ин, ТЦун) для любых ин, Ун € Vh с помощью преобразования ТО = А'н Т0оА'-1.

Сопряженная задача (8) имеет следующую операторную формулировку: найти Хн € С, Ун € Vh \ {0} такие, что

УН = \Тн*Ун. (9)

Поскольку Ты = А/-1Т*А'н, то а(Ты) = а(Т*) и N((\-11—ТЫУ) = А'-^((\-11— ТО )г). Пара Хн и ио является собственным значением и корневым подпространством задачи (9) тогда и только тогда, когда А-1 и и О есть собственное значение и корневое подпространство оператора А-1 и A'hUОí есть собственное зна-

Тно

Обозначим через ГО окружность та комплексной плоскости с центром р = \-1, лежащую в р(ТО) и та содержащую других точек из а(ТО). Введем спектральные проекторы

г» г»

Ен* = ¿1 /

г» г»

Заметим, что ЕО = А'ЕоА'Е° = А'нЕооА'-1.

и

ному значению Х алгебраической кратности т и ранга а иО - корневое подпространство сопряженной задачи (6) или эквивалентной ей задачи (7). Имеем и = Я(Е), иО = Я(ЕО) = N((А-11 — ТО)а) = А'-1 N((А~11 — ТО)а) = А'-1Я(ЕО).

Пусть Хн,Хн,..., Х!т - собственные значения задачи (3), сходящиеся к Х, ин -прямая сумма корневых подпространств, отвечающих

ин = Я(Ен)= £ N ((рн1 — Тн)а)),

^неа(Тн) ПБг

ио = Я(Ено) = £ N ((рн1 — ЪоТ^) =

^неа(Тн) ПБг

= К1 £ N ((рн I — ТО)а(^)= А^ЯЕ).

^неа(Тн) ПБг

Положим

1 т

Ал = — У. •

т

1=1

Определим проекторы Рн : V ^ Vh и Рно : V ^ Vh по формулам

а(Рни, уо) = а(и, уо), а(ун, Рноп) = а(ун, и) Ууо € Vh Уи € V.

Справедливы соотношения:

a(Phu, v) = a(Phu, Ph*v) = a(u, Ph*v) Vu, v £ V. Заметим, что P* = A'P**A'-1.

h

e(U,Uh) < chn, e(U*,U*) < chn, |A — Ah| < ch2n.

Доказательство. Вывод оценок погрешности теоремы основан на применении абстрактных результатов теорем 1, 2 к операторным постановкам (4), (5), (7), (9) вариационных задач (2), (3), (6), (8) и использовании традиционной для метода конечных элементов техники получения оценок погрешности интерполяции и численного интегрирования [9 12, 14]. □

Работа выполнена при финансовой поддержке Фонда Гумбольдта (Alexander von Humboldt Foundation).

Summary

S.I. Suluvyev. Finite element method for non-selfadjoint. spectral problems.

The finite element method with numerical integration for a differential eigenvalue problem of second order for non-selfadjoint operator is investigated. Error estimates for approximate eigenvalues and generalized eigensubspaces are obtained.

Литература

1. Вайиикко Г.М. О быстроте сходимости приближеппых методов в проблеме собственных значений // Жури, вычисл. матем. и матем. физ. 1967. Т. 7. Л' 5. С. 977 987.

2. Красносельский М.А., Вайиикко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.В., С'пмщеи-ко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969. 456 с.

3. Fix G.J. Effects of quadrature errors in finite element approximation of steady state, eigenvalue and parabolic problems // Aziz A.K. (ed.) The mathematical foundations of the finite element method with applications to partial differential equations. N. Y.: Academic Press, 1972. P. 525 556.

4. Соловьёв С.И. Исследование точности сеточных схем МКЭ с численным интегрированием для задачи па собственные значения // Применение информатики и вычисл. техники при решении пародпохоз. задач: Тез. докл. Республ. копф. Минск. 1989. С. 127 128.

5. Соловьёв С.И. Метод конечных элементов для симметричных задач па собственные значения с нелинейным вхождением параметра: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. -Казань: Казап. гос. уп-т. 1990.

6. Соловьёв С.И. Погрешность метода Бубнова Галеркипа с возмущениями для симметричных спектральных задач с нелинейным вхождением параметра // Журп. вычисл. матем. и матем. физ. 1992. Т. 32. Л' 5. С. 675 691.

7. Соловьёв С.И. Суперсходимость копечпо-элемептпых аппроксимаций собственных функций // Дифферепц. уравнения. 1994. Т. 30, Л' 7. С. 1230 1238.

8. Соловьёв С.И. Суперсходимость копечпо-элемептпых аппроксимаций собственных подпространств // Дифферепц. уравнения. 2002. Т. 38, Л' 5. С. 710 711.

9. Banerjee U., О shorn J.E. Estimation of the effect of numerical integration in finite element eigenvalue approximation // Numer. Mat.li. f990. V. 56. P. 735 762.

fO. О shorn. J.E. Spectral approximation for compact operators // Math. Сотр. 1975. V. 26. P. 712 725.

11. Bahuska I., О shorn J.E. Eigenvalue problems // Ciarlet. P.G., Lions J.L. (eds.) Handbook of numerical analysis. V. II. Finite element methods. Amsterdam: North-Holland. 1991. P. 642 787.

12. Kolata W. Approximation of variat.ionally posed eigenvalue problems // Numer. Math. 1978. V. 29. P. 159 171.

13. Kama Т. Теория возмущений лилейных операторов. М.: Мир. 1972. 740 с.

14. Сья'рле. Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир. 1980. 512 с.

Поступила в редакцию 23.05.06

Соловьёв Сергей Иванович кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры вычислительной математики Казанского государственного университета. E-mail: Sergei.SolovyevQksu.ru