МЕТОД ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ТРАЕКТОРИИ ПОЛЕТА ПУЛИ, ВЫПУЩЕННОЙ ИЗ СТРЕЛКОВОГО ОРУЖИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Л ^ Î.sis^*

УДК 519.6

МЕТОД ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ТРАЕКТОРИИ ПОЛЕТА ПУЛИ, ВЫПУЩЕННОЙ ИЗ СТРЕЛКОВОГО ОРУЖИЯ

MATHEMATICAL DESCRIPTION OF THE BALLISTIC FLIGHT PATH OF THE BULLET, FIRED FROM A SMALL ARMS

© Семёнов Константин Петрович

Konstantin P. Semyonov кандидат технических наук, доцент, старший преподаватель кафедры математики и информатики, Саратовский военный ордена Жукова Краснознамённый институт войск национальной гвардии Российской Федерации (г. Саратов).

PhD(Technical), associate professor, senior lecturer of the department of mathematics and informatics, Saratov Military Zhukov's order Red Banner Institute of the National Guard Troops of the Russian Federation (Saratov).

И semcp@yandex.ru

© Якушкин Валерий Петрович

Valery P. Yakushkin доцент, начальник кафедры математики и информатики, Саратовский военный ордена Жукова Краснознамённый институт войск национальной гвардии Российской Федерации (г. Саратов).

associate professor, head of the department of mathematics and informatics, Saratov Military Zhukov's order Red Banner Institute of the National Guard Troops of the Russian Federation (Saratov).

И svivng@yandex.ru

© Семёнова Наталия Константиновна

Natalia K. Semenova учащаяся 11-го класса, физико-технический лицей № 1 (г. Саратов).

student of the 11th grade, Physical and Technical Lyceum No 1 (Saratov).

И natsemenova2003@gmail.com

Аннотация. При разработке программно-математического обеспечения электронных стрелковых тренажёров и комплексов, алгоритмов управления имеющими в составе вооружения стрелковое оружие боевыми роботами, и решении некоторых других зада ч, стоящих перед силовыми структурами Российской Федерации, необходима математическая модель, описывающая баллистическую траекторию полёта выпущенной из стрелкового оружия пули в различных условиях стрельбы. В настоящей статье предлагается методика построения таких моделей, основанная применении метода перехода от декартовых координа т к полярным. При помощи предложенной методики были построены уравнения траекторий полёта пули, выпущенной из 5,45-мм

Abstract. When developing software and mathematical support for electronic shooting simulators and complexes, control algorithms for combat robots containing small arms, and solving some other tasks facing the Armed Forces of the Russian Federation, is needed a mathematical model, that describes the ballistic flight path of a bullet, fired from a small arms into different shooting conditions. This article proposes a methodology for constructing such models, based on the application of the method of transition from Cartesian to polar coordinates. Using the proposed methodology, the equations for the trajectories of the flight of a bullet fired from a 5.45 mm AK-74 with different from the table throw angles were constructed. The constructed equations and the methodology for their preparation

АК-74 при отличающихся от табличных proposed by the authors is not currently available in углах бросания. Построенные уравнения the specialized literature. и предложенная авторами методика их получения в специальной литературе на настоящий момент времени отсутствуют.

Ключевые слова: декартовы ко- Key words: Cartesian coordinates, polar

ординаты, полярные координаты, аппрок- coordinates, approximation, ballistic flight path. симация, траектория.

Дл

[ ля правильного решения ряда .служебно-боевых задач, стоящих перед силовыми структурами Российской Федерации, при расчёте дальности стрельбы из стрелкового оружия необходимо учитывать углы между линиями прицеливания и горизонтом (так называемые углы места цели). Особенно актуально это при расчётах для проведения стрельб на максимальные дальности в холмистой и горной местностях. Методика таких расчётов установлена руководящими документами, однако в качестве исходных данных для расчётов используются максимальные табличные дальности стрельбы для равнинных условий, где углы места цели весьма близки к нулю [1]. В холмистой и горной местностях такие исходные данные не подходят, так как рельеф местности оказывает существенное влияние на углы места цели и, как следствие, на траекторию полёта пули (снаряда) и максимальную дальность выстрела. Для правильного численного решения таких задач необходима математическая модель (уравнения), описывающей баллистическую траекторию полёта пули при значительно отличающихся от нулевых углах места цели.

В настоящей статье предлагается методика построения таких математических моделей, базирующаяся на переходе от декартовых к полярным координатам. Для апробации предложенных методик были проведены расчёты для стрельбы из 5,45-мм автомата Калашникова (АК) в нормальных условиях для различных углов места, полученные результаты были сверены с имеющимися экспериментальными данными.

Представим имеющие в справочной литературе [1] табличные данные графически в виде точечной диаграммы (рис. 1). Номер ряда обозначает номер прицела оружия, для которого построена соответствующая траектория.

Как видно, траектория полёта пули АК74 является достаточно гладкой функцией, следовательно, она хорошо аппроксимируется полиномиальными

функциями невысоких степеней. Так как сопротивление воздуха оказывает значительное влияние на полёт пули, восходящая и нисходящая части траекторий не являются симметричными. Следовательно, полином 2 степени (парабола) для аппроксимации траектории не подойдёт.

Экспериментально установлено, что оптимальным с точки зрения трудоёмкости расчётов и точности полученных результатов является использование для аппроксимации полинома 3-й степени вида:

h( x) = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0,

(1)

где щ - числовые коэффициенты. При построении аппроксимирующего полинома задаётся очевидное дополнительное условие:

an=0,

(2)

снижающее трудоёмкость расчётов и приближающее математическую модель к реалиям изучаемого процесса. Таким образом, аппроксимирующий полином имеет вид:

h(x) = a3x3 + a2x2 + ajx ,

(3)

Авторами при помощи табличного процессора Microsoft Excel были построены аппроксимирующие полиномы траекторий полёта пули для всех имеющихся в справочной литературе десяти прицелов (рис. 1). Все уравнения получены в форме полиномов 3-й степени, коэффициенты уточнены до 4 знака после запятой в мантиссе. В дальнейшем эти полиномы и соответствующие им траектории будем называть «табличными».

Например, для 10 прицела табличный полином имеет вид:

У10(Х)=-2,5534-10-8-Х3+1,0689-10-5-Х2+1,4757-10-2-Х (4)

Отметим, что полученные уравнение полиномов можно было получить и чисто математически, используя известный метод наименьших квадратов [2], однако применение табличного процессора существенно сокращает трудоёмкость, не влияет на точность и повышает наглядность полученного результата.

Рассмотрим часто встречающийся на практике случай жёстких траекторий: угол между осевой линией ствола оружия и горизонтом в момент выстрела (так называемый «угол

Рис. 1. Уравнения линий тренда, описывающих баллистические траектории пуль АК74 (АКС74),

соответствующие прицелам 1-10.

бросания») при прочих нормальных условиях стрельбы не превышает величину ±15°. В этом случае траектория полёта пули «жёсткая» и её форма мало зависит от угла места цели, построение траектории полёта пули АК74 в пределах наклонных дальностей, не превышающих максимальные дальности таблиц превышений средних траекторий над линией прицеливания, осуществляется «поворотом» ближайшей «та-

бличной» траектории на соответствующий угол и перерасчётом соответствующей табличной функции. Эту задача, весьма трудоёмкая для решения в декартовых координатах, легко может быть решена, если исходную «табличную» траекторию представить в полярных координатах.

В качестве исходных были приняты табличные данные наиболее полной траектории, соответствующей 10 прицелу (табл. 1).

Таблица 1

Характеристики баллистической траектории, соответствующей 10 прицелу

x 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200

h 0 1,7 3,3 4,8 5,9 6,7 7,1 6,8 5,6 3,4 0 -4,8 -11,1

Представим эти данные в полярных координатах. Для этого по каждой колонке вычислим:

- удаление пули от точки выстрела по формуле:

- угол между плоскостью горизонта и линией, соединяющей пулю и точку выстрела, по формуле:

я=ат0 0) . (6)

Результаты вычислений показаны в табл. 2, углы приведены в радианах, градусах и тысяч-ных1.

Представим данные таблицы 2 графически на координатной плоскости. По оси абсцисс будем откладывать удаление, а по оси орди-

1 1 тысячная примерно равна 0,0572958°.

А л Л<

Характеристики баллистической траектории, соответствующей 10 прицелу, в полярных координатах

Таблица 2

г 0,00 100,01 200,03 300,04 400,04 500,05 600,04 700,03 800,02 900,01 1000,00 1100,01 1200,05

а рад 0,017 0,016 0,016 0,015 0,013 0,012 0,010 0,007 0,004 0,000 -0,004 -0,009

град 0,974 0,945 0,917 0,845 0,768 0,678 0,557 0,401 0,216 0,000 -0,250 -0,530

тыс 16,996 16,496 15,997 14,747 13,398 11,832 9,714 7,000 3,778 0,000 -4,364 -9,249

нат - угол, выраженный в тысячных. Построим по полученной диаграмме линию тренда. Авторами экспериментально установлено, что наиболее

подходящим для описания рассматриваемого процесса с точки зрения точности является полином 3 степени. Графически исходные данные и результат показаны ни рис. 2.

10,005

0,005

-10,М0

3 -20.000

| -ЗСгООО

-40,000

-50,000

-60,000

-70,000

• * ■ I-. 1

5 200 ЧЙ» 600 еоо 1«50 1И)и 1Ю0 1600 1500 ги

-н^ч^-иы-' -

Удэпечие п^ли фт точи и вьктрелл И, м

Рис. 2. Полиномиальная 3-й степени линия тренда, построенная на диаграмме зависимости угла от удаления для полярных координат

Таким образом, изучаемая траектория в полярных координатах (а, г) с хорошей степенью точности описывается следующим уравнением:

а=-7,3б30-10-9г3-8,49б5-10-6г2--1,2934-10-3г+17,205. (7)

Учтём, что, согласно данным основной таблицы, угол бросания пули АК74 (АКС74) при стрельбе с 10 прицела составляет 0-19. Придерживаясь гипотезы, что при небольших углах бросания траектория полёта пули жёсткая и её форма мало зависит от угла места

цели, траекторию полёта пули, выпущенной под углом ф к горизонту можно описать полярным уравнением:

а=-7,3б30-10-9г3-8,49б5-10-6г2-1,2934-10-3г+ +17,205+(ф-19) = ф - 7,3б30-10-9г3--8,49б5-10-6г2-1,2934-10-3г-1,795. (8) где г - удаление пули от точки выстрела;

ф - угол бросания, заданный как параметр; а - угол между плоскостью горизонта и линией, соединяющей пулю с точкой выстрела.

Очевидно, что уравнение (8) может использоваться для определения характера траектории полёта пули для любого угла бросания

%

SIS4Ü'

Ф в пределах жестких траектории, в том числе и за пределами табличных дальностей.

Практическое использование полярного уравнения весьма затруднено, а его наглядное представление (рис. 4) не дает представление о характере траектории полета пули. Поэтому переведем уравнение (8) в декартовы координаты. Воспользовавшись формулами:

х = r-sin(a), y = r-cos(a),

(9)

вычислим значения х и у для удалении, кратных 100 м.

Результаты перевода для некоторых углов бросания в графическом виде (с продолжением траектории до дальностей 2000 м) показаны на рис. 3 и 4. Полученные данные хорошо согласуются с имеющимися результатами натурных экспериментов и хорошо отражают реальные траектории полета пуль.

HS

К '

ЙЕ

м ■ I "■■

ns .г'"

Й6

1№

ш J-U.

лп

-■г IS

■ —- "--т_

!й

in ■ IX X

ш N

Н я

13 &

и

Д ■

I >

im- ^х' ни "-да МР ад № ü..».! k.i.i im ил tnu ute ы№ IB» IW пкд!

Рис. 3. Рассчитанная траектория полета пули (снаряда), выпущенного под углом бросания 1-50 (150 тыс. » 8,6°)

Рис. 4. Рассчитанная траектория полёта пули (снаряда), выпущенного под углом бросания - 1-50 (-150 тыс. » -8,6°)

■^mi

SISK^ '

Таким образом, предложенная методика использования перехода от декартовых координат к полярным для построения траектории полёта пули (снаряда), выпущенного из стрелкового оружия в оговорённых выше условиях

стрельбы, является эффективной и может быть рекомендована к практическому применению.

Материалы поступили в редакцию 22.06.2020 г. Библиографический список (References)

1. Таблицы стрельбы по наземным целям из стрелкового оружия калибров 5,45 и 7,62 мм.

- М. : Военное издательство Министерства Обороны СССР, 1977. - 263 с. - Текст : непосредственный.

2. Бронштейн, И. Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов : справочник / И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев.

- М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. - 718 с. - Текст : непосредственный.

1. (1977). Tablicy strelby po nazemnym celjam iz strelkovogo oruzhija kalibrov 5,45 i 7,62 mm [Tables of shooting at ground targets from small arms of 5.45 and 7.62 mm]. Moscow. Voennoe izdatel'stvo Ministerstva Oborony SSSR. 263 p.

2. Bronshtejn, I. N., Semendjaev K. A. (1981).

Spravochnik po matematike dlja inzhenerov i uchashhihsja vtuzov : spravochnik [Handbook of mathematics for engineers and students of higher education institutions: reference]. Moscow. Nauka. Glavnaja redakcijafiziko-matematicheskoj literatury. 718 p.