CC BY
230УДК 519.6
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТРАЕКТОРИИ ПОЛЕТА ПУЛИ, ВЫПУЩЕННОЙ ИЗ СТРЕЛКОВОГО ОРУЖИЯ
MATHEMATICAL DESCRIPTION OF THE BALLISTIC FLIGHT PATH OF THE BULLET, FIRED FROM A SMALL ARMS
© Семёнов Константин Петрович
Konstantin P. Semyonov кандидат технических наук, доцент, старший преподаватель кафедры математики и информатики, Саратовский военный ордена Жукова Краснознамённый институт войск национальной гвардии Российской Федерации (г. Саратов).
PhD(Technical), associate professor, senior lecturer of the department of mathematics and informatics, Saratov Military Zhukov's order Red Banner Institute of the National Guard Troops of the Russian Federation (Saratov).
© Якушкин Валерий Петрович
Valery P. Yakushkin доцент, начальник кафедры математики и информатики, Саратовский военный ордена Жукова Краснознамённый институт войск национальной гвардии Российской Федерации (г. Саратов).
associate professor, head of the department of mathematics and informatics, Saratov Military Zhukov's order Red Banner Institute of the National Guard Troops of the Russian Federation (Saratov).
© Семёнова Наталия Константиновна
Natalia K. Semenova учащаяся 11-го класса, физико-технический лицей № 1 (г. Саратов).
student of the 11th grade, Physical and Technical Lyceum No 1 (Saratov).
Аннотация. При разработке программно-математического обеспечения электронных стрелковых тренажёров и комплексов, алгоритмов управления имеющими в составе вооружения стрелковое оружие боевыми роботами, и решении некоторых других зада ч, стоящих перед Вооружёнными сила ми Российской Федерации, необходима математическая модель, описывающая баллистическую траекторию полёта выпущенной из стрелкового оружия пули в различных условиях стрельбы. В настоящей статье предлагается методика построения таких моделей, основанная на применении метода неопределённых коэффициентов к имеющимся в литературе экспериментальным данным. При помощи предложенной методики построена таблица превышений траекторий полёта пули7,62-ммпулемёта Калашникова
Abstract. When developing software and mathematical support for electronic shooting simulators and complexes, control algorithms for combat robots containing small arms, and solving some other tasks facing the Armed Forces of the Russian Federation, is needed a mathematical model, that describes the ballistic flight path of a bullet, fired from a small arms into different shooting conditions. This article proposes a methodology for constructing such models, based on the application of the method of uncertain coefficients to the experimental data available in the literature. Using the proposed methodology, a table was constructed of the excess of the flight paths of a 7.62-mm Kalashnikov tank machine gun over the aiming line, which is not currently available in the literature.
танкового над линиеи прицеливания, отсутствующая в специальной литературе на настоящий момент времени.
Ключевые слова: метод неопре- Key words: uncertain coefficient method,
делённых коэффициентов, метод Крамера, Cramer method, ballistic flight path. траектория.
ТУ*ак Кпс
*ак известно [1], траектория толёта выпущенной из стрелкового оружия пули, является достаточно гладкой функцией (рис. 1). Следовательно, она должна хорошо описываться многочленами невысоких степеней.
Так как сопротивление воздуха оказывает значительное влияние на полёт пули, восходящая и нисходящая ветви траекторий не являются симметричными. Следовательно, многочлен 2 степени (парабола) для аппроксимации траектории не подойдёт.
Исследования, проведённые для различных образцов вооружения, показали, что наилучшим образом для аппроксимации траекторий пуль, выпущенных из стрелкового оружия, подходят стандартные многочлены 3 и 4 степеней, которые и использовались при решении поставленной задачи.
Введём систему координат hOx так, как показано на рис. 1.
Будем искать уравнение траектории полёта пули в виде функции:
к(х) = д47? -{-О^Х* + Д^Х2 + +Д0,(1)
где а1 - неизвестные пока числовые коэффициенты, х) - превышение траектории над линией прицеливания. Зададим очевидное дополнительное условие:
а=0,
(2)
снижающее трудоемкость расчетов и приближающее математическую мо-
дель к реалиям изучаемого процесса. Физически оно означает, что превышение траектории над линией прицеливания в точке вылета равно нулю. Таким образом, аппроксимирующий траекторию многочлен будем искать окончательно в виде:
к (л) = + o-fT? + а2х2 + flji •
(3)
Неизвестные числовые коэффициенты щ уравнения (3) могут быть найдены методом неопределённых коэффициентов на основе данных, имеющихся в справочной литературе. Покажем поэтапно методику их нахождения на примере траектории полёта пули, выпущенной из пулемёта Калашникова танкового (ПКТ).
В справочной литературе имеется основная таблица для данного вида вооружения [2], в которой приведены геометрические характеристики траекторий при стрельбах на различные дальности.
Для стрельбы на дальность 2000 м указано:
а) горизонтальная дальность - 2000 м;
б) угол бросания - 3°50';
в) угол падения - 8 °50';
г) высота траектории - 54,5 м;
д) горизонтальная дальность до вершины траектории - 1192 м.
Рассмотрим данную траекторию полёта пули в общем виде (рис. 2).
Изучим три основные точки траектории: Точка А (х = 0) - начало траектории. Для этой точки известны:
а) значение функции (1), равное нулю, что, как указывалось ранее, приводит к уравнению (2), а функцию (1) приводит к виду (3);
Рис. 1. Схематичное изображение траектории полёта пули, выпущенной из стрелкового оружия
Рис. 2. Схематичное изображение траектории полёта пули ПКТ
б) первая производная функции (3), равная тангенсу угла бросания 3°50' (соответствует 0,0669 рад.), что приводит к уравнению
или:
Я. =0,0670
(4)
Точка В (х = 1192) - вершина траектории. Для этой точки известны:
а) значение функции (3), равное максимальной высоте траектории, что приводит к уравнению
или:
а4 '11924 ■ 11923 +Й3 ■ 11922 + ■ 1192 = 54,5 .(5)
б) первая производная функции (3), равная нулю (так как точка В является вершиной траектории), что приводит к уравнению
или:
Точка С (х = 2000) - конец траектории. Для этой точки известны:
а) значение функции (3), равное нулю, что приводит к уравнению
или:
д+-20004 ■ 20003 +а2 ■ 20002 + ^'2000 = 0.(7)
б) первая производная функции (3), равная тангенсу взятого с обратным знаком
угла падения 8°50' (соответствует 0,1541 рад.), что приводит к уравнению
¿'(2000)^(0,1541), или:
4■ сг4 ■ 20003 + 3-аг 2000::+2-а2 -2000 + ^ = 0,1554. (8)
Уравнения (4)-(8) дают пять линейных алгебраических уравнений для отыскания четырёх неизвестных коэффициентов щ уравнения (3). Количество неизвестных на одно меньше, чем количество связывающих их уравнений, поэтому одно из уравнений является лишним. Его необходимо исключить из системы и использовать для проверки адекватности полученного решения.
Представляется наиболее рациональным исключить из системы уравнение (8), так как параметр, описание которого привело к формированию данного уравнения (угол падения), не является практически важным и не может быть измерен с достаточной степенью точности. Уравнение (8) будет использовано в дальнейшем для проверки адекватности построенной модели.
Исключив уравнение (8), получаем систему четырёх линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
(9)
для нахождения неизвестных числовых коэффициентов а1, а2, аз, а4.
Для решения СЛАУ (9) рациональным будет использование метода Крамера [3]. Распишем главный определитель (9):
(10)
Вычислим определитель (10). Учитывая большие величины его компонентов, вычисление удобнее проводить при помощи средств вычислительной техники, например, табличного процессора
д =
1
1192+ 4-11Э23 20004
О
11923 3 11Э22 20003
О 0
11922 1192 2-11Э2 1
20002 2000
= —5,27214Э7 1 4116 0 2 1 02,[ц).
Аналогично распишем и вычислим вспомогательные определители (12-15):
(12)
(13)
(14)
(15)
Используя формулы Крамера, с учётом результатов (11-15) при помощи табличного процессора вычислим значения неизвестных коэффициентов а1 с точностью до 7 знаков в мантиссе
_Л4_ 1,41315673316429 ■ 1013 " _ — 5,27214971411602 -Ю* Л3 _ 5,69905759860775 ■ 1016 ~Д~ _ —5,27214971411602 '1034 6,12090907399692'Ю18 " "д~ _ — 5,27214971411602 '1031 Д1 _ -3,53256660745447 ■ Ю23
' д"
= —2,6804134 10
= -1,0809742.10"
-12.
= -1,1609892.10
-б.
-5,27214971411602.10
24
: 6,7004292.10
-2
(16)
(18)
Таким образом, баллистическая траектория полёта пули ПКТ при стрельбе на дальность 2000 м описывается уравнением вида (17), в котором значения коэффициентов а указаны в (16), Для проверки адекватности уравнения (17) вычислим первую производную функции Ъ{х) в конце траектории (точке х = 2000) (18).
Первая производная в конце траектории равна тангенсу взятого с обратным знаком угла падения. Из (18)
получаем теоретическии угол падения для исследуемой траектории:
Согласно (8), указанный в [1] угол падения равен 0,1541. Погрешность в расчётах, таким образом, составила не более:
Расчёт (20), учитывая наличие большого количества случайных факторов, влияющих на характер процесса выстрела, показывает приемлемую для практических целей погрешность и, как следствие, пригодность предлагаемой методики для построения уравнений баллистических траекторий полёта пуль.
Для расчёта превышений траектории полёта пули ПКТ над линией прицеливания при помощи табличного процессора MS Excel были вычислены значения функции (17) в точках, соответствующих кратным 100 м дальностям. Результаты расчётов, округлённые до десятых долей метра, в табличном виде приведены в таблице 1.
Таблица: Превышения траектории полёта пули ПКТ над линией прицеливания при стрельбе на дальность 2000 м
Таблица
Коэффициенты уравнений баллистических траекторий полёта пули ПКТ при стрельбе на различные дальности
№ п.п. дальность x, м превышение h(x), м
1 0 0
2 100 6,7
3 200 13,3
4 300 19,7
5 400 25,8
6 500 31,7
7 600 37,1
8 700 42,0
9 800 46,2
10 900 49,7
11 1000 52,4
12 1100 54,0
13 1200 54,5
14 1300 53,7
15 1400 51,6
16 1500 47,8
17 1600 42,4
18 1700 35,1
19 1800 25,7
20 1900 14,0
21 2000 0
№ п.п. x, м a4-1012 a3-109 a2-106 a1-102
1 2 3 4 5 6
1 100 644,57489 -136,60925 1,2151754 0,06
2 200 48,252502 -24,399167 -4,0502712 0,14
3 300 12,211301 -12,775020 -4,5998562 0,22
4 400 3,9668460 -9,6680080 -5,0175221 0,33
5 500 5,5934212 -13,462092 -3,4673659 0,440003
6 600 -1,4609214 -6,7588002 -5,0855632 0,580007
7 700 -4,3102586 -3,8782527 -5,8876830 0,750014
8 800 -4,2109697 -5,2889245 -4,8241859 0,940028
9 900 -6,3601669 -2,3036459 -6,1089569 1,2000576
10 1000 -4,5864140 -6,8131254 -2,6013753 1,4000915
11 1100 -5,7700732 -4,5126366 -3,5103455 1,7001638
12 1200 -6,6367513 -2,7336848 -4,6652293 2,1003088
13 1300 -6,3890713 -3,1393629 -4,3560744 2,5005210
14 1400 -5,4913357 -4,7879485 -3,2539488 2,9008132
15 1500 -5,0767691 -4,8011552 -4,0509417 3,4013107
16 1600 -4,9183382 -4,3040672 -5,8072402 4,0455510
17 1700 -3,9190987 -7,1719701 -3,7074753 4,6284233
18 1800 -3,3836522 -8,3924317 -3,2080737 5,2699471
19 1900 -3,0368095 -9,2675055 -2,8514188 5,9702867
20 2000 -2,6804184 -10,809742 -1,1609892 6,7004292
Аналогичные расчёты были проведены для остальных 19 строк основной таблицы ПКТ [1, с. 44-45], таким образом, всего было получено 20 уравнений траекторий, соответствующих стрельбе на различные дальности. Результаты проведённых расчётов приведены в таблице 2.
Графы 3-6 каждой из строк таблицы 2 содержат коэффициенты уравнения (3) траектории полёта пули ПКТ при стрельбе на дальность, указанную в графе 2 соответствующей строки. Например, коэффициенты уравнения (17) находятся в строке 20 таблицы 2.
При помощи табличного процессора MS Excel 2016 были вычислены значения функции (3) в точках:
а) кратным 10 м дальностям - для уравнений, соответствующих траекториям стрельбы на дальности 100 м, 200 м (строки 1, 2 таблицы 2), результаты расчётов приведены в таблице 3;
б) кратным 50 м дальностям - для уравнений, соответствующих траекториям стрельбы на дальности 300 - 1000 м (строки 3-10 таблицы 2), результаты расчётов приведены в таблице 4;
в) кратным 100 м дальностям - для уравнений, соответствующих траекториям стрельбы на дальности 1100 - 2000 м (строки 11-20 таблицы 2), результаты расчётов приведены в таблице 5.
удаление, м дальность, м О ю 20 ЗО 40 50 6о 70 8о 90 юо но 120 130 140 150 160 170 180 190 200
превышение, см
юо 0 0,6 1Д 1,6 1,9 2,0 1,9 1,7 1,2 о,7 0
200 0 1,4 2,6 3,8 4,8 5,7 6,5 7Д 7,6 7,9 8,0 3,8 7,8 7,4 6,8 6,1 5,2 4,1 2,9 1,5 0,0
Таблица 4. Превышения баллистической траектории полёт пули ПКТ над линией прицеливания при стрельбе на дальности 300 - 1000 м
удаление, м дальность, м о 50 юо 150 200 250 300 350 400 450 500 550 боо 650 700 750 8оо 850 900 950 ЮОО
превышение, м
300 0,00 0,10 0,16 0,19 0Д7 0,11 0,00
400 0,00 0,15 0,27 0,35 о,39 0,38 0,31 0,19 0,00
500 0,00 0,21 0,39 0,54 0,64 0,69 0,69 0,62 0,49 0,28 0,00
боо 0,00 0,28 0,52 о,73 0,90 1,02 1,09 1,10 1,04 0,90 0,69 о,39 0,00
700 0,00 0,36 0,69 0,98 1,23 1,43 1,58 1,67 1,70 1,65 1,52 1,30 0,98 0,55 0,00
8оо 0,00 0,46 0,89 1,28 1,64 1,95 2,21 2,41 2,54 2,60 2,57 2,45 2,22 1,87 1,39 0,77 0,00
900 0,00 0,58 1,14 1,65 2,13 2,56 2,94 3,26 3,51 3,69 3,79 3,79 3,68 3,45 3,09 2,58 1,91 1,05 0,00
юоо 0,00 0,69 1,37 2,02 2,63 3,21 3,74 4,22 4,63 4,96 5,21 5,36 5,40 5,31 5,09 4,71 4,17 3,44 2,52 1,38 0,00
Таблица 5. Превышения баллистической траектории полёт пули ПКТ над линией прицеливания при стрельбе на дальности 1100 - 2000 м
удаление, м дальность, м 0 0 0 и 0 0 01 0 0 м 0 0 0 0 1С 0 0 0 0 0 0 ее 0 0 а ооот 0 0 и и 0 0 01 и 0 0 м и 0 0 ^ и 0 0 1С и 0 0 и 0 0 [> и 0 0 ее и ообт 0 0 0 01
превышение, м
1ЮО 0 1,7 3,2 4,6 5,8 6,7 7,2 7,2 6,7 5,4 3,2 0,0
1200 0 2,1 4,0 5,8 7,3 8,6 9,5 9,9 9,7 8,8 7,0 4,1 0,0
1300 0 2,5 4,8 7,0 8,9 10,6 н,9 12,8 13,0 12,5 11,1 8,7 5,1 0,0
1400 0 2,9 5,6 8,2 10,6 12,7 14,5 15,8 16,4 16,4 15,5 13,6 10,5 6,0 0,0
1500 0 3,4 6,6 9,7 12,5 15Д 17,3 19,0 20,1 20,5 20,1 18,7 16,2 12,3 7,0 0,0
1600 0 4,0 7,8 н,5 14,8 17,9 20,6 22,8 24,4 25,3 25,4 24,5 22,5 19,3 14,6 8,2 0,0
1700 0 4,6 9,0 13,3 17,4 21,1 24,4 27,2 29,4 30,9 31,5 31Д 29,7 27,0 22,8 17,0 9,5 0,0
1800 0 5,2 ю,3 15,3 19,9 24,3 28,2 31,6 34,4 36,5 37,7 38,о 37,1 35,0 31,5 26,4 19,6 10,8 0,0
1900 0 5,9 н,7 17,4 22,7 27,8 32,4 36,5 39,9 42,7 44,5 45,4 45,2 43,8 40,9 36,5 30,4 22,4 12,3 0,0
2000 0 6,7 13,3 19,7 25,8 31,7 37,1 42,о 46,2 49,7 52,4 54,0 54,5 53,7 51,6 47,8 42,4 35Д 25,7 14,0 0,0
Таблицы 3-5 представляют собой таблицы превышений баллистических траекторий полёта пули ПКТ при стрельбе на различные дальности.
Таким образом, показана методика построения таблицы превышений траектории над линией прицеливания при стрельбе на различные дальности на основе данных основной таблицы для выбранного образца оружия. Предложенная методика является универсальной и может быть
применена для любого стрелкового оружия при разработке алгоритмов функционирования интерактивных тренажёров, систем автоматического управления стрелковым вооружением робототехнических комплексов, и в других необходимых случаях.
Материалы поступили в редакцию 23.03.2020
Библиографический список (References)
1. Таблицы стрельбы по наземным целям из стрелкового оружия калибров 5,45 и 7,62 мм.
- М. : Военное издательство Министерства Обороны СССР, 1977. - 263 с.
2. Наставление по стрелковому делу. 7,62-мм пулемёт Калашникова (ПК, ПКС, пКб и ПКТ).
- М. : Военное издательство Министерства Обороны СССР, 1986. - 256 с.
3. Бронштейн, И. Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов : справочник / И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев. - М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. - 718 с.
1. (1977). Tablicy strel'by po nazemnym celjam iz strelkovogo oruzhija kalibrov 5,45 i 7,62 mm [Tables of shooting at ground targets from small arms of 5.45 and 7.62 mm]. Moscow. Voennoe izdatel'stvo Ministerstva Oborony SSSR. 263 p.
2. (1986). Nastavlenie po strelkovomu delu. 7,62mm pulemjot Kalashnikova (PK, PKS, PKB i PKT) [Manual on shooting. 7.62-mm Kalashnikov machine gun (PC, PKS, PKB and PKT)]. Moscow. Voennoe izdatel'stvo Ministerstva Oborony SSSR, 256 p.
3. Bronshtejn, I. N. (1981). Spravochnik po matematike dlja inzhenerov i uchashhihsja vtuzov : spravochnik [Handbook of mathematics for engineers and students of higher education institutions: reference]. Moscow. Nauka. Glavnaja redakcija fiziko-matematicheskoj literatury. 718 p.
