CC BY
21
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 1
УДК 51-72
doi 10.18522/1026-2237-2021-1-15 -24
МЕТОД ГОДОГРАФА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О МЕЛКОЙ ВОДЕ
ПОД ТВЕРДОЙ КРЫШКОЙ
© 2021 г. Т.Ф. Долгих1
1Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия
HODOGRAPH METHOD FOR SOLVING THE PROBLEM OF SHALLOW WATER UNDER A SOLID LID
T.F. Dolgikh1
1Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia
Долгих Татьяна Федоровна - ассистент, кафедра вычислительной математики и математической физики, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, Россия, email: dolgikh@sfedu.ru
Tatiana F. Dolgikh - Assistant, Department of Numerical Methods andMathematic Physics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: dolgikh@sfedu.ru
Исследована одна из математических моделей, описывающих поведение двух бесконечных в горизонтальном направлении соприкасающихся слоев идеальной несжимаемой жидкости под твердой крышкой, движущихся с различными скоростями. При большой разности скоростей слоев возникает неустойчивость Кельвина - Гельмгольца, приводящая к искажению границы раздела. В первоначальный момент времени граница раздела необязательно является плоской. С математической точки зрения поведение слоев жидкости описывается системой, в общем случае -четырех, а в упрощенном варианте - двух квазилинейных уравнений либо гиперболического, либо эллиптического типа в частных производных первого порядка. Для построения модели используются уравнения типа мелкой воды. В простом варианте модели, рассматриваемые в представленной работе, в пространственно-одномерном случае неизвестными являются граница раздела слоев жидкости h(x, t) и разность их скоростей у(х, t). Основное внимание уделяется случаю эллиптических уравнений, когда |h| < 1 и у > 1. Для системы уравнений поставлена эволюционная задача Коши с произвольными достаточно гладкими начальными данными. Указана явная зависимость инвариантов Римана от исходных переменных задачи. Для решения задачи Коши, сформулированной в терминах инвариантов Римана, используется вариант метода годографа на основе некоторого закона сохранения. Такой метод позволяет преобразовать систему двух квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка к одному линейному уравнению в частных производных второго порядка с переменными коэффициентами. Для линейного уравнения указана функция Римана - Грина, с помощью которой строится двухпараметрическое неявное решение исходной задачи. Явное решение задачи строится на линиях уровня неявного решения (изохронах) путем решения некоторой задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В итоге исходная задача Коши в частных производных первого порядка преобразуется к задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которая решается численными методами. Ввиду громоздкости выражения для функции Римана - Грина рассмотрено некоторое асимптотическое приближение задачи, приведены результаты вычислений и их анализ.
Ключевые слова: метод годографа, мелкая вода под крышкой, квазилинейные эллиптические уравнения.
One of the mathematical models describing the behavior of two horizontally infinite adjoining layers of an ideal incompressible liquid under a solid cover moving at different speeds is investigated. At a large difference in the layer velocities, the Kelvin-Helmholtz instability occurs, which leads to a distortion of the interface. At the initial point in time, the interface is not necessarily flat. From a mathematical point of view, the behavior of the liquid layers is described by a system of four quasilinear equations, either hyperbolic or elliptic, in partial derivatives of the first order. Some type shallow water equations are used to construct the model. In the simple version of the model considered in this paper, in the spatially one-dimensional
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 1
case, the unknowns are the boundary between the liquid layers h(x, t) and the difference in their velocities y(x, t). The main attention is paid to the case of elliptic equations when |h| < 1 and y > 1. An evolutionary Cauchy problem with arbitrary sufficiently smooth initial data is set for the system of equations. The explicit dependence of the Riemann invariants on the initial variables of the problem is indicated. To solve the Cauchy problem formulated in terms of Riemann invariants, a variant of the hodograph method based on a certain conservation law is used. This method allows us to convert a system of two quasilinear partial differential equations of the first order to a single linear partial differential equation of the second order with variable coefficients. For a linear equation, the Riemann-Green function is specified, which is used to construct a two-parameter implicit solution to the original problem. The explicit solution of the problem is constructed on the level lines (isochrons) of the implicit solution by solving a certain Cauchy problem for a system of ordinary differential equations. As a result, the original Cauchy problem in partial derivatives of the first order is transformed to the Cauchy problem for a system of ordinary differential equations, which is solved by numerical methods. Due to the bulkiness of the expression for the Riemann-Green function, some asymptotic approximation of the problem is considered, and the results of calculations, and their analysis are presented.
Keywords: hodograph method, shallow water under the cover, quasilinear elliptic equations.
Введение
Задача о плоскопараллельном течении слоев (в частности, двух различающихся по плотности) идеальной несжимаемой жидкости в бесконечном горизонтальном слое, ограниченном твердыми поверхностями, так называемая задача о двухслойной мелкой воде под крышкой, достаточно хорошо известна [1, модели 1-111; 2, с. 133-140; 3, с. 56-58]. Интерес к этой задаче, во-первых, объясняется тем, что это достаточно простой пример возникновения в сдвиговых течениях неустойчивости Кельвина -Гельмгольца [4, 5], позволяющий изучить механизм образования неустойчивости, а также использовать такую информацию в более сложных задачах. Во-вторых, несмотря на обширные аналитические и асимптотические исследования задачи, полное исследование модели с эллиптическими уравнениями, насколько известно автору, отсутствует. В частности, в цитируемой литературе указывается, что эллиптичность уравнений приводит к возникновению некорректности по Адамару. Решение является неустойчивым относительно мелкомасштабных возмущений, имеются трудности в постановке краевых задач для уравнений в случае, когда одна из независимых переменных соответствует времени [1, с. 13, 14; 3, с. 135, 136]. Задачи такого типа уместно называть эволюционными эллиптическими уравнениями.
Отметим также монографию [6] (и другие работы авторов), где среды, описываемые эллиптическими квазилинейными уравнениями, в которых возникают неустойчивости, называются неустойчивыми сплошными средами (квазигазовыми, квазичаплы-гинскими). Такой термин не совсем удачен, так как возникновение неустойчивости - скорее не свойство среды, а свойство протекающего в среде процесса. В частности, уравнения, описывающие двухслойную мелкую воду под крышкой, в зависимости от вели-
чины сдвига скоростей между слоями могут иметь как гиперболический тип, так и эллиптический. Более уместно называть подобные задачи задачами (или уравнениями) смешанного типа по аналогии с уравнением Эйлера - Трикоми [7].
Для решения задачи о двухслойной мелкой воде под крышкой в рассматриваемой работе использован вариант метода годографа на основе закона сохранения, предложенный в [8] и существенно развитый в [9]. Метод применим для уравнений как гиперболического типа [10-13], так и эллиптического [14]. В основе метода лежит некоторое преобразование годографа, позволяющее заменить задачу Коши для системы двух квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка линейным уравнением в частных производных второго порядка и сконструировать двухпараметрическое неявное решение исходной задачи Коши. Восстановление явной формы решения возможно на линиях уровня неявного решения путем интегрирования некоторой задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).
Еще раз подчеркнем, что общий подход к решению эволюционных задач для эллиптических уравнений в настоящее время отсутствует. Хотя задача о двухслойной мелкой воде под крышкой интенсивно исследовалась качественными аналитическими и асимптотическими методами [1; 2, с. 10-136], ни инварианты Римана, ни окончательное точное решение для произвольных начальных данных не построено. В монографии [6] для исследования неустойчивости относительно спонтанных возмущений «горб», «ямка», «дублет горб - ямка» и пространственно-периодического возмущения использовался как классический метод годографа, так и метод решения, существенно опирающийся на свойства уравнения Эйлера - Дарбу - Пуассона и который для рассматриваемой задачи в случае полной постановки неприменим.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 1
Двухслойная мелкая вода под крышкой
Уравнения двухслойной идеальной несжимаемой жидкости с малым скачком плотности в безразмерных переменных имеют вид [1, модель III], где уравнение записано в иной форме, а также [2, с. 133140; 3, с. 55-58]
к + (у(к2 - 1))х = 0, (1)
П + (к(у2 - 1))х = 0, Щ<1, где к = к(х, ^ - положение границы раздела слоев жидкости; у = у(х, С) - полуразность скоростей верхнего и нижнего слоев (рис. 1).
Рис. 1. Схема двухслойной мелкой воды / Fig. 1. Scheme of two-layer shallow water
Область эллиптичности уравнений П определяется неравенствами
п = т < i, iyi > i}. (2)
Уравнения (1) описывают неустойчивость Кельвина - Гельмгольца, возникающую при большой разности скоростей слоев жидкости. Поведение решения в области эллиптичности качественно описано в [1-3]. В частности, указано, что в случае классического решения переход из области гиперболичности (при IyI < 1) в область эллиптичности невозможен. Уравнения (1) после замены переменных h = sin %, у = ch q (3)
принимают вид
%t + 2(ch r¡ sin Q — (sh r¡ cos Q ijx = 0, (4) Vt + (sh T\ cos O + 2(ch T\ sin О = 0. Такие уравнения справедливы в области
П = т <1,у> 1}, (5)
которая отличается от области (2). Однако это не имеет существенного значения, так как исходные уравнения инвариантны относительно замены у ^ —у и х ^ —X или t ^ —t. Иными словами, если не интересоваться разрывными решениями (условия Рэнкина - Гюгонио не инвариантны относительно указанных замен), то достаточно ограничиваться рассмотрением области (5).
Для модели двухслойной воды под твердой крышкой указано, что непрерывное решение не может попасть из области гиперболичности в область
эллиптичности и переход возможен только в разрывном решении [3, с. 135]. Заметим также, что уравнения (4) в отличие от (1) не приводятся к консервативной форме. Это означает, что при построении разрывных решений условия Рэнкина - Гюго-нио следует записывать для исходных уравнений (1), в которых должна быть произведена замена (3).
Для окончательной постановки эволюционной задачи Коши уравнения (1) следует дополнить начальными данными
h(x, 0) = h0(x), у(х, 0) = у0(х), (6)
где h0(x), Уо(х) - заданные функции, определяющие первоначальное расположение границы раздела между жидкостями и разность скоростей движения слоев.
Естественно, в случае уравнений (4) начальные данные (6) должны быть с учетом замены (3) переформулированы для переменных
Инварианты Римана
Эволюционная задача Коши для уравнений (4) с соответствующими начальными данными, записанная в инвариантах Римана, имеет вид
R^ + A1(R1,R2)R1x = 0, (7)
R¡2 + Á2(R1,R2)R;2 = 0,
R1(x, 0) = Rl(x), R2(x, 0) = R?(x), (8)
где R^(x), R?(x) - заданные функции.
Конструктивный способ нахождения инвариантов Римана хорошо известен [15, с. 27-31], опуская громоздкие преобразования, приведем окончательный результат
% = R1+R2, v = i(R2 — R1), (9)
Л1 = 2ch q sin % + i sh q cos Ü2 = 2ch q sin % — i sh q cos %. Инварианты Римана R1, R2 и характеристические направления Я1, X2 в случае эллиптических уравнений являются комплексно-сопряженными. Естественно, для определения функций R'¡)(x), ROÍ (х) в начальных условиях (8) используем соотношения (3), (6), (9).
Во избежание недоразумений укажем, что в работах [2, с. 133-140; 3, с. 55-58] хотя и упоминается о наличии инвариантов Римана, но замена (3) и соотношения (9) получены здесь впервые.
Неявное двухпараметрическое решение
Следуя методу, использованному в [9, с. 94-100] для построения решения эллиптического варианта уравнений электрофореза, двухпараметрическое неявное решение эволюционной задачи Коши (7), (8) разыскиваем в виде
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 1
я1(х,г) = р(и,У) + 1ц(и,У), (10)
и21х, 0 = р(и, V) - V), г = х = х(и, V), (11)
где вещественные функции р(Л^), д(Л^) полностью определены начальными данными (8) р(U,V) = ReR^(U (12)
ц(и,У) = ImRi(U-iV), P0(т) = ReR10(т), Q0(т) = ImRЪ(т).
Здесь и, V - вещественные параметры функций и, V), х(и^), которые задают значения независимых переменных от параметров; Р0(т), Q0(т) - реальная и мнимая части начальных данных.
Укажем основное отличие используемого метода годографа от классического варианта. В последнем осуществляются взаимозамена зависимых и независимых переменных (х,€) ^ и
определение функций t = t(R1,R2), х = х^1,^2) из линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка [15, с. 33, 34]. Как правило, для этих уравнений крайне сложно поставить дополнительные условия, соответствующие начальным условиям (8). Более того, для построения явного решения R1 = R1(х,t), R2 = R2(х,t) требуется нахождение функций, обратных к С = t(R1,R2), х = х^1^2), что достаточно трудоемко и зачастую накладывает существенные ограничения (в частности, на монотонность) на начальные данные R^(х), R'2(х). Напротив, метод годографа на основе закона сохранения, используя дополнительное звено - параметризацию С = и, V), х = х(и^), фактически свободен от всех недостатков классического метода. Изменяя параметры (и, V), легко строить явное решение, нет ограничений на начальные данные (кроме достаточной гладкости для некоторых частных случаев). Функция t(иопределяется соотношениями
[9]
t(и, V) = £ в (и, V;U + ( й(, (13)
i G( U,V;T) =
<P(Rl(T),R2(T)\r\r2)
+ X^-X2 X1-X2
Явное решение на изохронах
Построенное при помощи соотношений (10)-(13) неявное решение позволяет получить явное решение на линиях уровня функции С(и, V).
Пусть на плоскости ( и, V) имеется какая-либо линия уровня (изохрона), параметризованная при помощи параметра ^
и = ^ иМ^Ш (15)
где I* - момент времени, идентифицирующий линию уровня; и(ц), V(^) - значения и, V, соответствующие параметру ^.
Считая изохрону достаточно гладкой (кусочно-гладкой) и дифференцируя соотношение (15) по параметру ^, получаем задачу Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений [9, с. 46, 47, 99, 100]
I лт/
(16)
^ = -tv(u,v), % = ta(u,n
A2(r1,r2)-A1(r1,r2)'
г1 = p(U,V) + iq(U,V), г2 = p(U,V) - iq(u,v), где Ф(Я1,Я21г1,г2) - функция Римана - Грина уравнения [16; 17, с. 446-457]
(14)
Уточним, что функция Ф^1^21г1,г2) по переменным R1, R2 является решением уравнения (14), а 12
по переменным 1, 2 - сопряженного уравнения.
Аналогичным образом определяется функция х(и^). Однако для нахождения явного решения она не требуется [9].
^ = в(г2(и^) + г2(и^)),
и(0) = и*, V(0) = V*, Х(0)=Х*, В(и^) = -1т Л1, где ( и*, V*) - точка на изохроне, соответствующая ^ = 0; функция Х(р) = х(а,Ь) = х(и([1)^(р)) -координата х на изохроне; Х* - значение Х(р) при ^ = 0; производные 1и(и, V), 1у(и, V) вычисляются при помощи (13).
Таким образом, интегрируя задачу Коши (16), с учетом (10) для момента времени * получаем явное решение
R1(х,t*) = р^)^)) + 1Ч(и01),V(]£)), (17) R2(х,t*) = р(и(]1)^(]1)) - 1Ч(и01)^Ш х = Х(/л), ^ = ^и*Х).
Сделаем ряд замечаний. Во-первых, решение (17) полностью определяется начальными данными Ro(х), Ro(х), которые могут быть разрывными. Это связано с тем, что функция t(и, V) определяется соотношением (13) при помощи интегрирования, и ограничения, накладываемые на начальные данные, фактически определяются условиями существования интеграла. Во-вторых, на практике вычисление интегралов в выражениях для t(и, V), tu(U,V), ¿у ( U, V) сводится к решению некоторых задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, что существенно упрощает вычисления при отсутствии в применяемом языке программирования комплексных чисел [9]. В-третьих, явное решение (17) по-прежнему является двухпараметрическим. Роль параметров играют момент времени t* и ^. В-четвертых, линии уровня функции t( U,V) (изохроны) можно идентифицировать при помощи как t*, так и точки ( U*, V*) на изохроне. Если удается построить
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 1
все изолинии функции 1(и, V), то, выбирая (и*, V*), легко вычислить значение t* при помощи (15). Наконец, правая часть уравнения для Х(^) совпадает с якобианом ](У,У) преобразования (и, V) ^ (х, I)
В(12 + 12)=](и,У) = ху1и — хи1у. (18) В частности, это означает, что знак производной может измениться, лишь когда В (и, V) = = —1т Л1 = 0, и функция Х(рС) является монотонной по параметру ^. Иными словами, на изохроне не может возникнуть неоднозначность решения по переменной х. Случай В (и, V) = —1т Л1 = 0 соответствует Л1 = Л2, что для исходных уравнений (1) отвечает у = 1, и тип уравнений не является эллиптическим (2). Эта ситуация соответствует гиперболическим уравнениям с кратной характеристикой и нуждается в дополнительном исследовании (также по причине того, что якобиан ](и, V) обращается в нуль и преобразование (и, V) ^ (х, ^ является вырожденным).
Функция Римана - Грина для уравнения (14)
Ключевым звеном предлагаемого метода решения является построение явного выражения функции Римана - Грина Ф(Я1,Я21г1,г2) для уравнения (14). Отсутствие явных соотношений существенно снижает прикладную значимость метода ввиду увеличения объемов вычислений.
Для построения функции Римана - Грина используем результаты работ [18-20] (обозначения изменены).
Запишем уравнение (14) в форме
ФК1К2 + а(Я1,Я2)ФК1 + Ф(Я1,Я2)иЯ2 = 0, (19)
где
„Гр1 D24 _ ÀR2 _ cos(?-iy) ) 2cos f sh rf
(20)
b(R1,R2) -
Ki _
cos(Ç+iy)
Б(Я1, Я2, г1, г2) (только в случае, когда коэффициенты а(Я1,Я2), Ь(Я1,Я2) определены соотношениями (20))
Sff + Snn +
^)5 = О,
3s2U
(22)
ЧГ' '
для которого функция Римана - Грина имеет вид ([19, формулы (4.84), (4.85)]), где функция приведена для более общего случая
Б(Я1,Я2,г1,г2) = (23)
= Рз (тг, тз, 1 — т.2,1 — тз;1; г2, г-3),
Рз (а1, а2, h, h; с; Z2, гз) =
0 (ai) п (bi) -im,n=0 (с)т+пт\п\ 22 2з,
= У0
¿-¡Г!
z7 =
zч =
cosh(y-tfo)-cos(Ç-Ço) 2sh ■q sh '
cos(Ç-Ço)-cosh(y-4o) 2cos Çcos Ç0 '
Х1-Х2 2cos ^ г/'
Я1 + Я2 = ^, я1 — Я2 = щ, г1 + г2 = г1 — г2 = Ь, Используем замену переменных ([18, с. 93, 94]; аналогичные формулы в [19, (4.12), (4.13)] содержат опечатку - А является функцией переменных Я2 и Я1, тогда как В должна зависеть лишь от Я1),
А(Я2,г2,Я1) = ехр/" а(Я1,1) (И, (21)
В(Я1,г1,г2) = ехр /Д Ь(г,г2) (И, Ф(Я1,Я2\г1,г2) =
(Я1, Я2, г1, г2)А(Я2, г2, Я1)В(Я1, г1, г2), позволяющую преобразовать уравнение (19) к уравнению для определения функции Римана - Грина
3 3
^2(1 — т2) = --, тз(1-тз) = —-.
Здесь F3 - гипергеометрическая функция двух переменных (серия Аппеля) [21, с. 23; 22, с. 220]. На самом деле в [19] указана гипергеометрическая функция FB четырех переменных - гипергеометрическая функция Lauricella [21, с. 33], но в рассматриваемом случае она преобразуется к F3.
Обоснование использования для эллиптического уравнения (22) комплексных переменных и приведение его к виду (19) имеются, в частности, в [23, с. 136-144]. В данном случае применен обратный переход - от (19) к (22).
Приведенных соотношений (21)-(23) вполне достаточно для того, чтобы в конечном итоге получить выражение для функции Римана - Грина уравнения (19) (или (14)), которое здесь не приведено ввиду громоздкости. Заметим лишь, что все функции, в том числе и функции А(Я2,г2, Я1), B(R1,r1,r2) (21), записываются в явном виде.
Построение асимптотики
В случае, когда граница раздела между слоями жидкости h = sin % (3) находится в окрестности h и 0, т.е. в середине области, можно использовать приближение cos % и 1, sin % и что существенно упрощает уравнение (14) (или (19)) и вид функции Римана - Грина. Аналогично можно считать sh ij и -q, ch и 1, подразумевая, что сдвиг скоростей у и 1, т.е. находится в окрестности у = 1. Это тем более интересно, так как при у < 1 тип системы (1) - гиперболический, а при у > 1 - эллиптический. Иными словами, возникает возможность сравнения решений в окрестности смены типа уравнений. Заметим, что решение для случая у < 1 также строится без труда при помощи приведенного метода [9-13].
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 1
Исследование окрестности И и 0, у & 1 (81) или £ и 0, т] и 0 (82) можно проводить различными способами: используя либо соотношения (20)-(23), либо непосредственно уравнения (4) (но не (1)). Уравнения (4) (а не (1)) в окрестности 81 заменяем в окрестности 82, например, системой
& + 2{&-щх = 0, (24)
+ + = 0 или системой с сохранением большего количества членов разложения функций в ряд. Естественно, при построении решения (и его анализе) следует помнить, что функции т] должны оставаться малыми.
Инварианты Римана R1, R2 и характеристические направления Л1, Л2 для системы (24) имеют вид
(25)
R1 = R2 = $ + щ,
Л1 =21;- щ, Л2 = 2{ + щ, а уравнение (14) (или (19)) для определения функции Римана - Грина принимает форму уравнения Эйлера - Дарбу - Пуассона
Фr1r2 +
<PR1-<PR2
= 0.
2(R1-R2)
Л1 = 2Ç- щ, Л2 = 2% + щ, для которого ([16] и ср. с (19), (20))
(26)
/р1_р2\ 2/2 ф(К1,К2\г1,г2) = {^1-^2) F(z),
FW =2Fl(¿,--2■Л,z),
=
(R1-r1)(R2-r2) (R1-R2)(r1-r2).
В терминах функций р^^), д^^), Р0(т), Q0(т) функция ОД^т), позволяющая вычислить U, V) (12), имеет вид
G(U,V-,T) = -Q2^F(Z(U,V,T)),
2q2(U,V)
z{U 7т) = (po(r)-P(u,v))2+(Qo(r)-g(u,v))2
(27)
(28)
i;(x,0) = ¿¡(0)(Х) = £COSX, l(x, 0) = = const, где £ - амплитуда пространственно-периодического возмущения ^(0)(x) первоначально плоской границы раздела слоев жидкости, находящейся в середине области; - параметр, характеризующий разность скоростей движения слоев. С учетом (12), (25) имеем Rl(x) = %(0)(x) - щ(0), (29)
Po(j) = £COST, Qo(T) p(U,V) = £ cos U chV,
q(U,V) = EsinUshV
= -\\(0)
1(0)
В переменных q решение задачи (24), (28) записывается в виде
Ç(x,t,) = p(U(ii),V(ii)), v(x,t,) =
= -q( U(ß),V(ß)).
(30)
4ч(иу)00(т)
Обратим внимание на то, что уравнение (26), соотношения (27) и функции Л1^1^2), Л2^1^2) в точности совпадают с аналогичными зависимостями для задачи об опрокинутой мелкой воде [6, с. 87-90; 24]. Различие проявляется лишь в зависимости исходных переменных от инвариантов Римана, т.е. в функциях ^ф1, R2), т]^1, R2).
Пример решения для пространственно-периодических начальных данных
В качестве примера приведем результаты численного решения задачи Коши для уравнений (24) с начальными данными, имеющими вид
R1(х, ^) = рОКц), V(Ji)) + Ьд^М, V(ц)),
х = Х(р), ^ =
Здесь U(p), V(Jл), Х(/л) определяются в результате интегрирования задачи Коши (16).
Результаты расчетов для начальных данных (28), (29) при е = 0,01, т(0) = -0,02 приведены на рис. 2-4.
На рис. 2 показаны зависимости %(х,€), т(х,€) для различных моментов времени.
Хорошо видно, что со временем пространственная периодичность сохраняется. Профиль скорости т(х^) принимает гребешкообразную форму, а на первоначально гладкой свободной поверхности ( х, ) образуется пилообразная структура. Интересно отметить, что в случае задачи об опрокинутой мелкой воде наблюдается обратная картина -профиль скорости является пилообразным, а свободная поверхность имеет гребешкообразную структуру.
На рис. 3а показано поведение линий уровня функции t( U,V) (изохрон) в окрестности седловой стационарной точки (30) при U0 и 1,55, V0 и 1,38. Наличие картины изолиний позволяет на практике легко определять при заданном * начальные данные (и*, V*) для задачи Коши (28).
На рис. 3б приведены изолинии якобиана преобразования годографа } (U,V) (18), показывающие, что в стационарных точках (седлах) происходит обращение якобиана в нуль. Отметим, что именно в таких стационарных точках происходит потеря гладкости решения, отчетливо видная на рис. 2 при С = 52,871.
1
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 1
Рис. 2. Решения f (x, t) (пунктирная линия), r/(x, t) (сплошная линия) в моменты времени t = 0,993, 9,296, 46,917, 52,871 для значений параметров Ut = 1,55 и Vt = 0,01, 0,10, 0,80, 1,10 соответственно / Fig. 2. Solutions £(x,t) (dotted line), n (x,t) (solid line) at time points t=0.993, 9,296, 46,917, 52,871 for the values of the parameters №=1.55 and V*=0.01, 0.10, 0.80, 1.10,
respectively
б/b
Рис. 3. Линии уровня функции t(U, V) (изохроны) (а) и якобиана J(U, V) (б) на плоскости (U, V) в окрестности седловой точки U0 ~ 1,55, V0 ~ 1,38 / Fig. 3. The level lines of the function t (U, V) (isochrons) (a) and the Jacobian J(U,V) (b) on the plane
(U, V) in the vicinity of the saddle point Ш=1.55, VM .38
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2021. № 1
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 1
На рис. 4 показано поведение функций U(p), Заметим, что изменение параметров е, q(0) практи-V(^), Х(р) на изохроне t* = 1,019. чески не влияет на качественное поведение решения.
Заключение
Представленный в работе метод решения эволюционной задачи Коши позволяет строить точное двухпараметрическое неявное решение. Использование численного метода требуется только на заключительном этапе при интегрировании ОДУ (16) (если отсутствует точное решение ОДУ в квадратурах) для восстановления явного решения на изохро-нах. При этом не используются никакие конечно -разностные аппроксимации исходных уравнений. Погрешности решения могут возникать лишь при численном интегрировании задачи Коши для ОДУ. Наиболее эффективно метод работает в случае, когда имеются явные соотношения между инвариантами Римана и исходными переменными, а также явное выражение для функции Римана - Грина линейного уравнения, возникающего в результате преобразования годографа. Заметим, что для системы двух квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка инварианты Римана существуют всегда, но для их построения необходимо интегрировать дифференциальное уравнение в полных дифференциалах, которое может не иметь решения в квадратурах [15].
Естественно, применимость метода не ограничивается лишь задачей (1), (6). В принципе, его можно использовать для любых уравнений эллиптического типа [9, 14]. Сравнение результатов расчетов для задачи (1 ), (6) и аналогичных задач для зонального электрофореза [9, 14], для задачи об опрокинутой мелкой воде [24], для задачи о длинноволновом приближении уравнения Шредингера и т.д. позволяет указать общую тенденцию поведения решений. При возрастании параметра ? в случае периодических начальных данных профиль функции р^^)^^)) = р(х,1*) по переменной х имеет пилообразный вид (в данном слу-
чае ^(x, t*) (30), а профиль функции q(U(fi), V(ji)) = = q(x,t*) - гребешкообразную структуру. В случае, когда начальное распределение является гауссовой кривой, профили p(x, t*), q(x, t*) имеют кинкоподоб-ную и солитоноподобную структуры соответственно.
Литература
1. Овсянников Л.В. Модели двухслойной «мелкой воды» // ПМТФ. 1979. № 2. С. 3-14.
2. Овсянников Л.В., Макаренко Н.И., Налимов В.И. и др. Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн. Новосибирск: Наука, Сиб. отделение, 1985. 319 с.
3. Ляпидевский В.Ю., Тешуков В.М. Математические модели распространения длинных волн в неоднородной жидкости. Новосибирск: Изд-во Сиб. отделения РАН, 2000. 420 с.
4. Gerwin R.A. Stability of the interface between two fluids in relative motion // Rev. Mod. Phys. 1968. Vol. 40, No. 3. P. 652-658.
5. Степанянц А.Л., ФабрикантА.Л. Распространение волн в сдвиговых потоках. М.: Наука, 1996. 240 с.
6. Жданов С.К., Трубников Б.А. Квазигазовые неустойчивые среды. М.: Наука, 1991. 174 с.
7. Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. М.: Наука, 1959. 165 с.
8. Senashov S.I., Yakhno A. Conservation laws, hodograph transformation and boundary value problems of plane plasticity // SIGMA. 2012. Vol. 8, 071. 16 p.
9. Жуков М.Ю., Ширяева Е.В., Долгих Т.Ф. Метод годографа для решения гиперболических и эллиптических квазилинейных уравнений. Ростов н/Д.: Изд-во ЮФУ, 2015. 126 с.
10. Shiryaeva E.V., Zhukov M.Yu. Hodograph Method and Numerical Integration of Two Hyperbolic Quasilinear Equations System. Part I. The Shallow Water Equations // arXiv:1410.2832. 2014. 19 p.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 1
11. Shiryaeva E.V., Zhukov M.Yu. Hodograph Method and Numerical Solution of the Two Hyperbolic Quasilinear Equations System. Part II. Zonal Electrophoresis Equations // arXiv:1503.01762. 2014. 23 p.
12. Shiryaeva E.V., Zhukov M.Yu. Hodograph Method and Numerical Solution of the Two Hyperbolic Quasilinear Equations System. Part III. Two-Beam Reduction of the Dense Soliton Gas Equations // arXiv:1512.06710. 2015. 22 p.
13. Долгих Т.Ф. Решение задачи о переносе массы под действием электрического поля в двухкомпонент-ной смеси // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2017. № 3-1 (195-1). С. 28-35.
14. Долгих Т.Ф., Жуков М.Ю., Ширяева Е.В. Решение эллиптических уравнений с периодическими данными для задачи зонального электрофореза // Вестн. ВГУ. Физика. Математика. 2017. № 2. С. 85-96.
15. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений. М.: Наука, 1978. 668 с.
16. Copson E.T. On the Riemann-Green Function // Arch. Ration. Mech. Anal. 1958. Vol. 1. P. 324-348.
17. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. 830 c.
18. Daggit E.A. The Use of Infinitesimal Transformations in Predicting the Form of the Riemann (-Green) Function // J. of Mathematical Analysis and Applications. 1970. Vol. 29. P. 91-108.
19. Zeitsch P.J. On the Riemann Function // Reviews in Mathematical Physics. 2017. URL: https://www.re-searchgate.net/publication/318755787_On_the_Riemann_ Functionresearchgate.net (дата обращения: 10.10.2020).
20. Zeitsch P.J. On the Riemann Function // Mathematics. 2018. Vol. 6, No. 316. Doi: 10.3390/math6120316. URL: https:www.mdpi.com/journal/mathematicsmdpi.com (дата обращения: 10.10.2020).
21. Srivastava H.M. Multiple Gaussian hypergeometric series. Ellis Horwood Limited, 1985. 422 p.
22. Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1986. Т. 1. 295 с.
23. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 449 с.
24. Долгих Т. Ф. Задача об опрокинутой мелкой воде // Современные проблемы механики сплошной среды: сб. тр. XIX Междунар. конф. Ростов н/Д., 2020. Т. I. С. 94-98.
References
1. Ovsyannikov L.V. (1979). Models of two-layer "shallow water". PMTF, No. 2, pp. 3-14. (in Russian).
2. Ovsyannikov L.V., Makarenko N.I., Nalimov V.I., et al. (1985). Nonlinear problems in the theory of surface and internal waves. Novosibirsk, Nauka Publ., Siberian Branch, 319 p. (in Russian).
3. Lyapidevsky V.Yu., Teshukov V.M. (2000). Mathematical models of long wave propagation in an inhomo-geneous liquid. Novosibirsk, Siberian Branch Press, Russian Academy of Sciences, 420 p. (in Russian).
4. Gerwin R.A. (1968). Stability of the interface between two fluids in relative motion. Rev. Mod. Phys., vol. 40, No. 3, pp. 652-658.
5. Stepanyants A.L., Fabrikant A.L. (1996). Wave propagation in shear flows. Moscow, Nauka Publ., 240 p. (in Russian).
6. Zhdanov S.K., Trubnikov B.A. (1991). Quasi-gas unstable environments. Moscow, Nauka Publ., 174 p. (in Russian).
7. Bitsadze A.V. (1959). Equations of mixed type. Moscow, Nauka Publ., 165 p. (in Russian).
8. Senashov S.I., Yakhno A. (2012). Conservation laws, hodograph transformation and boundary value problems of plane plasticity. SIGMA, vol. 8, No. 071, 16 p.
9. Zhukov M.Yu., Shiryaeva E.V., Dolgikh T.F. (2015). Hodograph method for the solution of hyperbolic and elliptic quasilinear equations. Rostov-on-Don, Southern Federal University Press, 126 p. (in Russian).
10. Shiryaeva E. V., Zhukov M. Yu. (2014). Hodograph Method and Numerical Integration of Two Hyperbolic Quasilinear Equations. Part I. The Shallow Water Equations. arXiv:1410.2832, 19 p.
11. Shiryaeva E. V., Zhukov M. Yu. (2014). Hodograph Method and Numerical Solution of the Two Hyperbolic Quasilinear Equations System. Part II. Zonal Electrophoresis Equations. arXiv:1503.01762, 23 p.
12. Shiryaeva E. V., Zhukov M. Yu. (2015). Hodograph Method and Numerical Solution of the Two Hyperbolic Quasilinear Equations System. Part III. Two-Beam Reduction of the Dense Soliton Gas Equations. arXiv:1512.06710, 22 p.
13. Dolgikh T. F. (2017). Solution of the problem of mass transfer under the action of an electric field in a two-component mixture. Izvestiya vuzov. Severo-Kavkazskii region. Estestvennye nauki (Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science), No. 3-1 (195-1), pp. 28-35. (in Russian).
14. Dolgikh T.F., Zhukov M.Yu., Shiryaeva E.V. (2017). Solution of elliptic equations with periodic data for the zonal electrophoresis problem. Vestn. VGU. Fizika. Matematika, No. 2, pp. 85-96. (in Russian).
15. Rozhdestvensky B.L., Yanenko N.N. (1978). Systems of quasilinear equations. Moscow, Nauka Publ., 668 p. (in Russian).
16. Copson E. T. (1958). On the Riemann-Green Function. Arch. Ration. Mech. Anal., vol. 1, pp. 324-348.
17. Courant R. (1964). Equations with partial derivatives. Moscow, Mir Publ., 830 p. (in Russian).
18. Daggit E.A. (1970). The Use of Infinitesimal Transformations in Predicting the Form of the Riemann (-Green)
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2021. No. 1
Function. J. of Mathematical Analysis and Applications, vol. 29, pp. 91-108.
19. Zeitsch P.J. (2017). On the Riemann Function. Reviews in Mathematical Physics. Available at: https:// www.researchgate.net/publiction/318755787_On_the_Rie-mann_Functionresearchgate.net (accessed October 10, 2020).
20. Zeitsch P.J. (2018). On the Riemann Function. Mathematics, vol. 6, No. 316. Doi: 10.3390/math6120316. Available at: https: //www.mdpi.com/journal/mathemat-icsmdpi.com (accessed October 10, 2020).
Поступила в редакцию /Received
21. Srivastava H. M. (1985). Multiple Gaussian hyper-geometric series. Ellis Horwood Limited, 422 p.
22. Bateman G., Erdelyi A. (1986). Higher transcendental functions. Moscow, Nauka Publ., vol. 1, 295 p. (in Russian).
23. Bitsadze A.V. (1981). Some classes of partial differential equations. Moscow, Nauka Publ., 449 p. (in Russian).
24. Dolgikh T. F. (2020). The problem of overturned shallow water. Modern problems of continuum mechanics/ Collected works XIX international conference, vol. I, pp. 94-98. (in Russian).
_30 ноября 2020 г. /November 30, 2020
