CC BY
57
Метод формирования модели пониженного порядка микроэлектромеханической системы встроенными средствами программного пакета А^У8
С.А. Синютин, О.Ю. Воронков Южный федеральный университет, Таганрог
Аннотация: В работе описана роль моделей пониженного порядка (М1111) в проектировании и испытаниях МЭМС, отражены их преимущества по сравнению с полными моделями метода конечных элементов (МКЭ) для поведенческого моделирования динамических характеристик МЭМС в реальном времени и разносторонних исследований свойств полученных объектов. Приведена математическая интерпретация процедуры понижения порядка системы уравнений динамики посредством перехода от полной модели, представленной в форме уравнений в переменных состояния, к уравнениям в переменных состояния МПП. Представлены два равноценных алгоритма последующей работы с МПП в программе Ма1ЬаЬ в целях моделирования динамики МЭМС и изучения временных и частотных свойств модели: путём конструирования схемы из готовых функциональных блоков Б1тиИпк и путём написания программы в М-файле на специальном языке программирования Ма1ЬаЬ.
Ключевые слова: микроэлектромеханическая система, метод конечных элементов, поведенческое моделирование, модель пониженного порядка, АКБУБ, Ма1ЬаЬ.
Введение
Микроэлектромеханические системы (МЭМС) характеризуются наличием непосредственной связи процессов из различных областей физики: механики, электростатики, гидродинамики и прочих [1-3]. В результате математическое описание динамики МЭМС требует применения уравнений в частных производных. Как правило, эти уравнения оказываются нелинейными, и по причине их взаимного влияния друг на друга поведенческое моделирование таких объектов значительно усложняется [4, 5]. Для аналитического решения упомянутых уравнений применяются методы конечных элементов (МКЭ) и разностей (МКР), сложность практической реализации которых напрямую зависит от точности математической модели. В большинстве случаев полные модели, предназначенные для этих методов, используют несколько сотен или тысяч переменных, влияние каждой из которых на общую динамику системы часто
недостаточно очевидно. Помимо этого, затруднительно поведенческое моделирование в реальном времени, которое при столь значительном количестве переменных нуждается в больших вычислительных мощностях. По этой причине полные модели для МКЭ и МКР используются, главным образом, для проверки характеристик готовых изделий, нежели для их проектирования. С другой стороны, для поведенческого моделирования в реальном времени, как правило, применяются сильно упрощённые модели из двух-трёх обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) [6, 7], которые не в состоянии с приемлемой точностью описать динамику объекта; кроме того, возникают значительные сложности при попытке вручную преобразовать модель МКЭ в поведенческую.
В данной работе ставится задача сокращения количества переменных модели МКЭ, отражающих движение изучаемой системы в пространстве состояний, до нескольких главных координат и преобразования этой модели в поведенческую в форме ОДУ. Предлагается решить эту задачу с применением моделей пониженного порядка (МПП), которые описывают лишь важнейшие динамические черты объекта с помощью нескольких переменных состояния и нескольких ОДУ [4]. Получаемую в результате упрощённую модель можно исследовать автономно или включить в совокупность моделей различных подсистем на уровне целой системы. В связи со значительно меньшим количеством переменных в МПП по сравнению с полной (исходной) моделью эффективность МПП для её использования в реальном времени не вызывает сомнений. Кроме экономии времени и машинных ресурсов, МПП также предоставляют возможность лёгкого построения на их основе поведенческих моделей, например, в среде МаЬаЬ БтиНпк, что является ещё одной их положительной чертой; при этом точность таких моделей оказывается значительно выше, чем точность сильно упрощённых поведенческих моделей из двух-трёх ОДУ.
Математически идея понижения порядка модели МКЭ заключена в том, что система уравнений в переменных состояния вида
x(t) = Ax(t) + Bf(t),
y(t) = Cx(t) + Df (t), ( )
обладающая высоким порядком (x - вектор состояния, f - вектор входных воздействий, y - вектор выхода; как правило, D = 0), подвергается сокращению числа переменных, которыми описывается динамика объекта, после чего приходит к виду:
Хпониж. (t) Апониж. Хпониж. (t) + Впониж. f (t), (2)
y(t) = C x (t). ( )
пониж. пониж.
Размерность матриц A, B, C и внутренних векторов состояния в МПП (2) оказывается значительно меньше, чем в модели МКЭ (1); при этом размерность векторов f и y сохраняется.
Для получения МПП из полных моделей МКЭ используются разные методы, подробно изложенные в работе [4]. В частности, система ANS YS, выполняющая конечно-элементное моделирование объектов [8], применяет для получения МПП встроенный алгоритм, основанный на модальном разложении.
Формирование МПП при наличии только элементов структурной механики
Во многих случаях исходная модель МЭМС включает в себя как структурные, так и электростатические параметры, и этот случай выходит за рамки данной статьи. Однако если в полной модели МКЭ присутствуют только элементы структурной механики, но нет электростатических компонентов, то необходимо использовать команду SPMWRITE, которая создает МПП в переменных состояния после модального анализа. Матрицы уравнений непосредственно отображаются на экране, что даёт возможность
их копирования напрямую в среду MatLab. Подробное изложение этой процедуры приводится в материале [9].
Работа с полученной моделью в среде программного пакета MatLab
В дальнейшем для формирования уравнений в переменных состояния, передаточной функции и построения временных и частотных характеристик синтезированной системы с использованием матриц A, B, C, D, созданных командой SPMWRITE, целесообразно воспользоваться одним из двух способов, доступных в MatLab [10].
Первый способ заключается в построении поведенческой модели датчика в среде Simulink со вводом полученных матриц в блок уравнений в переменных состояния (State-Space) и последующим исследованием реакции системы на различные типы входных воздействий для проверки корректности полученной модели. Также уместно проведение линейного анализа (Linear Analysis) для отображения логарифмических частотных характеристик, исследования устойчивости системы и т.д.
Второй способ предполагает написание программы на языке MatLab (M-файла). Такая программа основывается на встроенных функциях MatLab. Результаты построения временных и частотных характеристик для уравнений в переменных состояния и для передаточной функции одной и той же системы будут одинаковы.
Пример получения МПП в ANSYS и моделирования её динамики в MatLab
В качестве примера предлагается рассмотреть процедуру формирования МПП датчика на основе первых шести собственных мод колебаний с использованием исходной модели МКЭ из 7 600 уравнений. Файл Jobname.SPM, созданный в результате выполнения этой команды,
содержит искомые матрицы уравнений в переменных состояния (2), структура которых имеет вид:
В результате получается система из 12-ти ОДУ. Поскольку в методе МКЭ используется СЛАУ с разреженными матрицами, для которых итерационные методы решения дают линейную зависимость времени решения от порядка матрицы, то при сокращении количества уравнений с 7 600 до 12-ти получается повышение производительности в 633% раз. Это позволяет при загрузке МПП в МаЬаЬ проводить моделирование в реальном масштабе времени, а значит, имеется возможность отлаживать данную модель чувствительного элемента совместно с реальной аппаратурой обработки данных, то есть осуществлять полунатурное моделирование МЭМС-датчика, образец которого описан ниже.
Если выбран первый из двух предложенных вариантов работы в Ма1;ЬаЬ, заключающийся в построении поведенческой модели БтиНпк, то один из возможных вариантов блок-схемы такой модели в рассматриваемом случае будет выглядеть, как показано на рис. 1.
(3)
Зсоре
м
Мапиа15^ИсЬ2
РыЬЕ
бЕПЕГЙЗГ
Рис. 1 - Схема опыта в среде БтиНпк программного пакета Ма1ЬаЬ
Матрицы уравнений в переменных состояния внесены в блок StateSpace, переключатели Manual Switch служат для смены входных воздействий, а пропорциональное звено Gain необходимо, чтобы совместить графики входного и выходного сигнала на экране Scope для большей наглядности.
На рис. 2 показана реакция полученной динамической системы на входные прямоугольные импульсы единичной амплитуды, длительности 300 мкс и периода следования 1 мс.
Т-1-1-1-1-г
О 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
■3
T¡meDffзet: 0 к 10
Рис. 2 - Реакция системы на прямоугольные импульсы
Линейный анализ, являющийся встроенной возможностью Ма1ЬаЬ, требуется для более глубокого и разностороннего изучения динамических свойств объекта, его переходной функции, амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик. Результаты линейного анализа рассматриваемой модели представлены на рис. 3, 4.
_3
x 10 From: Manual Switch To: State-Space
Time (seconds) -3
Рис. 3 - Переходная функция МПП
m
"О
ш
"О
100
50
■1ï -50
-100
1440 1080 ^ 720
(Я
¡5 360
0
-360
10
From: Manual Switch To: State-Space
linsys2
10
10
Frequency (rad/s)
Рис. 4 - Логарифмические амплитудно-частотная (вверху) и фазочастотная (внизу) характеристики МПП
0
В случае, если предпочтительнее второй метод работы в виде составления М-файла с программой на языке Ма1;ЬаЬ, то в результате выполнения программы в командном окне Ма1;ЬаЬ отображаются математические модели системы в виде уравнений в переменных состояния и
в виде передаточной функции. Помимо этого, всплывают окна с графиками переходной функции (рис. 5) и частотных характеристик (рис. 6).
1.4 1.2
■й 0.8
| 0.6
x 10'
Step Response
0.4 0.2
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
Time (seconds) x 10-3
Рис. 5 - Переходная функция МПП
Bode Diagram
10
10
10
Frequency (rad/s)
Рис. 6 - Логарифмические амплитудно-частотная (вверху) и фазочастотная (внизу) характеристики МПП
Посредством сравнения графиков на рис. 3 и 5, а также на рис. 4 и 6 можно констатировать их идентичность, что означает равноценность обоих
0
способов моделирования полученной системы уравнений в переменных состояния в среде программного пакета MatLab.
Заключение
В данной работе изложен алгоритм автоматического получения МПП МЭМС встроенными средствами программного пакета АКБУБ из полной модели МКЭ при наличии только элементов структурной механики в таком виде, который позволяет использовать эту модель в программе MatLab для поведенческого моделирования динамики объекта в реальном времени с сохранением его главных динамических характеристик после сокращения числа уравнений сразу после получения МПП, то есть без дополнительной трансформации вручную, что значительно снижает трудоёмкость и исключает ошибки в расчётах. Предлагаемый подход позволяет рассматривать АКБУБ и MatLab совместно как единую среду для проектирования и моделирования МЭМС и прочих объектов. При необходимости сформированная МПП может быть адаптирована к различным языкам описания аппаратуры, например, VHDL, что существенно расширяет сферу её применения.
Если в полной модели микроэлектромеханического датчика необходимо учитывать не только механические, но и электростатические параметры, то процедура получения модели пониженного порядка усложняется, и её развёрнутое описание содержится в работе [11].
Результаты исследований, изложенные в данной статье, получены при финансовой поддержке Минобрнауки РФ в рамках реализации проекта «Создание высокотехнологичного производства для изготовления комплексных реконфигурируемых систем высокоточного позиционирования объектов на основе спутниковых систем навигации, локальных сетей лазерных и СВЧ маяков и МЭМС технологии» по постановлению
правительства №218 от 09.04.2010 г. Исследования проводились в ФГАОУ ВО ЮФУ.
Авторы выражают искреннюю благодарность сотрудникам НТЦ «Техноцентр» ЮФУ Данилу Науменко и Филиппу Бондареву, принимавшим непосредственное участие в работе над получением МПП, приведённой в данной публикации в качестве примера.
Литература
1. Лысенко И.Е. Проектирование сенсорных и актюаторных элементов микросистемной техники. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2005. 103 с.
2. Jan G. Korvink and Oliver Paul. MEMS: a practical guide to design, analysis, and applications. Norwich: William Andrew, Inc., 2006. 965 p.
3. Stephen Beeby, Graham Ensell, Michael Kraft, Neil White. MEMS Mechanical Sensors. London: In-Print-Forever, 2003. 282 р.
4. Anatolii I. Petrenko. Macromodels of micro-electro-mechanical systems (MEMS) // Institute of the Applied System analysis of NTUU "KPI" URL: grid.kpi.ua/files/2011-2.pdf.
5. Инженерный анализ в ANSYS Workbench: учебное пособие / Бруяка В. А., Фокин В.Г., Солдусова Е.А. и др. Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2010. 271 с.
6. Синютин С.А., Лысенко И.Е., Воронков О.Ю. Разработка поведенческой модели сенсора линейного ускорения с двумя осями чувствительности для моделирования в среде Simulink программного пакета MatLab. Инженерный вестник Дона, 2014, №4. -URL:ivdon.ru/ru/magazine/archive/N4y2014/2672.
7. Лысенко И.Е., Синютин С.А., Воронков О.Ю. Поведенческая модель микромеханического сенсора угловых скоростей для моделирования в среде Simulink программного пакета MatLab. Инженерный вестник Дона, 2014, №4. - URL:ivdon.ru/ru/magazine/archive/N4y2014/2674.
8. Моделирование элементов микросистемной техники в программе ANSYS: учебно-методическое пособие / Лысенко И.Е., Куликова И.В., Полищук Е.В. и др. Таганрог: Изд-во Технологического института ЮФУ, 2007. 42 с.
9. Справочная система программного пакета ANSYS Workbench 15.0.
10.Поршнев С.В. Компьютерное моделирование физических процессов в пакете MATLAB. М.: Горячая линия-Телеком, 2003. 592 с.
11.Воронков О.Ю., Синютин С.А. Метод создания макромоделей МЭМС в программном пакете ANSYS. // Известия ЮФУ. Технические науки. 2015. № 3 (164). С. 193-200.
References
1. Lysenko I.E. Proektirovanie sensornyh I aktyunyuatornyh elementov mikrosistemnoy tehniki [Design of sensor and microsystem technology aktyuatornyh elements]. Taganrog: TSURE, 2005. 103 p.
2. Jan G. Korvink and Oliver Paul. MEMS: a practical guide to design, analysis, and applications. Norwich: William Andrew, Inc., 2006. 965 p.
3. Stephen Beeby, Graham Ensell, Michael Kraft, Neil White. MEMS Mechanical Sensors. London: In-Print-Forever, 2003. 282 p.
4. A. I. Petrenko. Macromodels of micro-electro-mechanical systems (MEMS) Institute of the Applied System analysis of NTUU "KPI" URL: grid.kpi.ua/files/2011-2.pdf.
5. Inzhenerny analiz vANSYS Workbench: uchebnoe posobie [The engineering analysis in ANSYS Workbench: Tutorial] Samar. state. tehn. University Press, 2010. 271 p.
6. Sinyutin S.A., Lysenko I.E., O.Yu.Voronkov Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2014, №4. URL:ivdon.ru/ru/magazine/archive/N4y2014/2674.
7. Sinyutin S.A., Lysenko I.E., O.Yu.Voronkov Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2014, №4. URL:ivdon.ru/ru/magazine/archive/N4y2014/2674.
8. Lysenko IE, IV Kulikova, Elena Polishchuk etc. Modelirovanie elementov mikrosistemnoy tehniki v programme ANSYS [Modeling elements of microsystem technology in the ANSYS program: teaching manual] Taganrog Univ. of Technology Institute of Southern Federal University, 2007. 42 p.
9. The help system of ANSYS Workbench 15.0 software package.
10.Porshnev S.V. Kompyuternoe modelirovanie fizicheskih protsessov v pakete физических процессов в пакете MATLAB [Computer modeling of physical processes in the MATLAB package]. M.: Goryachyaya liniya-Telecom, 2003. 592 p.
11.Voronkov O.Yu., Sinyutin S.A. Izvestiya YuFU. Tehnicheskie nauki. 2015. №3 (164). pp. 193-200.
