МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА, МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
MSC 78A45
МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ В ЗАДАЧАХ ДИФРАКЦИИ НА СИСТЕМЕ ЗАМКНУТЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Ю.Н. Бахмат
Харьковский национальный университет им. В.Н.Каразина,
пл. Свободы, 4, 308015, Харьков, Украина e-mail: [email protected]
Аннотация. Построена математическая модель дифракции Н-поляризованной электромагнитной волны на системе идеально проводящих цилиндрических поверхностей (направляющие окружности или эллипсы). Построена дискретная математическая модель указанной задачи на базе метода дискретных особенностей и на ее основе исследована двумерная задача. Проведен численный эксперимент.
Ключевые слова: краевая задача, теория дифракции, граничные интегральные уравнения, метод дискретных особенностей.
Введение. Цель работы — построение дискретной математической модели дифракции Н-поляризованной электромагнитной волны на системе замкнутых цилиндрических поверхностей. Направляющие цилиндрических поверхностей — окружности или эллипсы. Для построения дискретной математической модели и для сведения краевой задачи к гипер сингулярному интегральному уравнению используется метод потенциалов. Для построения дискретной математической модели и проведения численного эксперимента применен метод дискретных особенностей. Численный эксперимент был проведен в отдельных частных случаях, где построены диаграммы направленности модуля комплексной амплитуды рассеянного поля.
1. Постановка задачи. Рассмотрение ведется в декартовой системе координат на плоскости Х1ОХ2, в которой расположены направляющие цилиндрических поверхностей — окружности или эллипсы. Обозначим
ь = и ь,
9=0
где Ь, — направляющие цилиндрических поверхностей (круговых или эллиптических цилиндров), образующие которых параллельны ОХ3. Рассматривается пересечение плоскостью, параллельною плоскости Х1ОХ2. Параметрические уравнения направляющих
(1)
цилиндрических поверхностей имеют вид:
Жі,д = Жі(<р) + q • а ;
Ж2,д = к(^), ф Є [0, 2п], q = 0,1,...,/.
(2)
В случае, когда направляющая окружность:
к1)Ц = г • сое ф + q • а ;
к2,ц = г • від ф, ф Є [0, 2п], q = 0,1,...,/.
(2.1)
а в случае, когда направляющая эллипс:
к1)Ц = г • сов ф + q • а ;
к2,ц = Ь • від ф, ф Є [0, 2п], q = 0,1,...,/
(2.2)
Обозначим
О = |^) іді Ьц .
ц=0
(3)
Падающая плоская монохроматическая волна (зависимость от времени дается множителем е-гш*), комплексную амплитуду которой обозначили и0(к), и, соответственно, и(к) — комплексная амплитуда рассеянного поля:
и0(к) = е
к = к(від а, — сов а), а = 0 .
(4)
Падающее и рассеянное поля удовлетворяет уравнению Гельмгольца:
Ди(к) + к и (к) = 0
к
є Со
(5)
2 2
к = е • ^ ш , где — диэлектрическая и магнитная проницаемость среды соответственно.
Рис. 1.
Рассматривается внешняя краевая задача, рассеянное поле удовлетворяет условиям излучения Зоммерфельда [1]:
и(х) = О ( —р ) , г —> оо ;
v (6) ди(х) / 1 \ 1~2 “
— г ■ к ■ иух) = о —= , г = \ х{ + хг2 —> оо .
дп V \/г
В случае Н-поляризации, на поверхности идеально проводящих цилиндров выполняется граничное условие Неймана:
+ = г = (х1,х2)єі. (7)
дп дп
Рассеянное поле ищем в виде потенциала двойного слоя [3]:
- I [ - д _ _ _ п—
и^у) = ^ у(х)—С(х,у)с1зх, у Є Ш, (8)
ь
где
в{х,у) = ^:Н£){к\х-у\). (9)
Векторы электромагнитного поля представляются в виде:
Е(к, і) = Е(к) • е-гш*, Н(к, і) = Н(к) • е-гш*,
где
Н(к) = (0, 0, Нг(к)) , Нг = и(к) ,
Е(х) = (Ех, Еу, 0), Ех = - — ^, Еу = —д^.
гшє дк2 гше дк1
Поставлена краевая задача во внешности П. Ищем и (к), через которую выражаются все компоненты электромагнитного поля.
2. Дискретная математическая модель. Перейдем к граничному интегральному уравнению. Рассмотрим
д _ _ д I д _ _ _ _ _ п—
Ит -т—м(у + єп) = Ит —-------1,(х)т;—С(х, у + єп^сів , (у + єп) Є Ш ,
є^о дп є^о дпу 2п У дпх
ь
где П — нормаль к области П. Используя граничное условия Неймана, получили
д д 1 Г д
.11’иа^с(Гг'й<&' е ь ■ <10)
ь
Интегральное уравнение (10) содержит сингулярный интеграл с логарифмическим ядром и гиперсингулярный интеграл, который нужно понимать в смысле конечной части по Адамару [1].
Пусть заданная 2п-периодическая функция f (ф), такая что для достаточно малых е > 0 существуют интегралы
Фо-£
/(ф)#
2п
/(0)# Jo- 2 Ф - Фо
фо+£ w S111 г)
и существует предел
lim
£—0
( Фо — 0
2п \
/(0)# 4/(ф0)
0 . 2 Ф — Фо
2 sm
2 sin2
ф — ф0
/
2 </>о+£ — 2
тогда этот предел называют интегралом в смысле конечной части по Адамару и пишут
2п
( Фо —
2 sin
, , Ит
2 Ф Ф0 е——0
2п ^
/(0)# + Г _/(ф)# 4/(0о)
V
2 sin
2 Ф - Ф0
Фо+е
2 sin
2 Ф - Ф0
/
Перейдем от криволинейного интеграла первого рода к определенному интегралу. Введем параметризацию контуров хд(ф), ф е [0, 2л) таким образом, чтобв1 <р = где в - натуральный параметр, |Ь,| - длина контура Ь,. И пусть на контуре Ь,0 подинте-гральная функция имеет указанные выше особенности. Тогда (10) перепишем следующим образом:
2п
д 1 ' д2
--^МУдоШ о^-д^О(Хд0(фо), Уд0(фо)) ■ п(Хд0(ф))с1ф +
2п
+ £ Ь!
-П--L — °
д2
G(xq (Ф),У90 (ф0)) ■ v(xq (Ф))#-
дп дП „ , -- ,/ дпхдпУ
9=0,,=,0 о
Первый интеграл имеет указанные выше особенности, выделим их:
(11)
2п
2п
J_ [ Фяо(Ф))^Ф _ (К - |Lg0|\ J_ Г 2тг J 0 2 фо - Ф V 27Г / 2тг У П
о z'sin о
Sill
Ф0 - Ф
■ v(Xqo (Ф)# +
2п
2п
+ £ ^ <?(*.(«• fWW»))' = -^м1 аад(МЛ))
, 2п / п dnxdny
9=0,q/qo о
дпо
(12)
где
ы\2-&
2п ) дщдп
н01)(к|х,о(фо) - х,о (ф)|) -
2 • sin
2 ф0 — ф
+ | ) 1п
, ч 2|<(0о)к2
д1(0о’0о)-з |д,0р
2п
“6 +
. ф0 — ф вт-----------------
к • 1 Ь,0 1
2п
2 2тг 2
(13)
(14)
Получено граничное интегральное уравнение, в левой части которого сумма гиперсин-гулярного интеграла, интеграла с логарифмической особенностью в ядре, а также интеграла с гладким ядром.
Далее в работе построена дискретная математическая модель рассматриваемой задачи. Сначала формулируется задача для приближенного решения в форме граничного интегрального уравнения — интерполяционного полинома, который нужно определить. Заменим все гладкие функции (12) соответствующими тригонометрическими интерполяционными полиномами [2]:
2п
_1_ [ (^1}^)(^о(ф))# ( «• \Lqol
2тг I
2 • sin
2 ф0 — ф
2п
2п
— [ 1п
2пУ
0
ф0 — ф эт —-—
• (РП1)^)(х,0 (ф))# +
2п
+ 2? / Ф°) ■ №"*)ШФ) +
0
I 2п
+ Ё ЬЖГЖГ0)^»^)-5®(<^о)) • (Р,1Л)(г,М)# ,=0 ,=,„ •/ х У
,=0,,=,0 0
1^<?о I /^(2) 5И0
=
1
п V дп0
2п
2п + 1
5>4‘,п))
0 (ф0)) • (рп ^)(х,(
(Х,0 (ф0)) ;
2п+1 / (*>п)ч
к=0
(15)
(15')
(1,п) о
п ) = П
К: = 0,1,..., 2».
2п +1 ’ ’ ’ ’
(2,п) п
П ) = По
2,7 + 1 ^ 2/г + 1
п, ] = 0,1,..., 2п.
Воспользовавшись интерполяционными квадратурными формулами [2], узлами которых являются указанные выше наборы точек, а в качестве точек коллокации взяли
1
2
2
второй набор точек, получили систему линейных алгебраических уравнений:
1
2п (sin2 |(0OJ - Фк) п ■ sH'n + \){Фоз - Фк)^
2n +1
fc=0
J^v(xqo (фП))
У sin2 ^ (ф0і - Фк ) sin ^ (ф” • - фпк) )
2 п 2n
+
/ 2тг ул / ул COS p(0oj 0fc) і
+ l^rj 2^TTEl,(x»fe))(ln2 + E------------------р------I+
7 fc=0 \ p=1 1
2n
+ ^ETT S Ь(*Яо(Фк)) ■ <Зі(Хяо(Фк),Хяо(Фоі)) +
2n +1
fc=0
l IL I 1 2n d2
+ £ ЧатE"(*»«)) - ^с(г,(й!),.ги(^.))
д=0,д=до ' к=0 0
Г Я
■^^г/'°(^о(фоі)), І = 0,1,..., 2/г, до = 0,1,...,/. (16)
3. Комплексная амплитуда рассеянного поля. Рассеянное поле представлено в виде потенциала (4). Перейдем от криволинейного интеграла первого рода к определенному интегралу. Тогда (4) перепишем:
1 2п
и(у) = I ЯМ'У) ' Фд(0))#, У Є СП, (17)
П 9=00
где
Заменяя все гладкие функции тригонометрическими интерполяционными полиномами [2], используя соответственные квадратурные формулы, окончательно имеем:
I 2n
и(у) = 9 I х Y1Y1 я(*я(Фк, V)) • фд(фк)), У е > (18)
q=0 fc=0
где значения v(xq(ФП)) — решения системы (16), а |u(y)| — амплитуда рассеянного поля.
4. Диаграмма направленности рассеянного поля в случае трех круговых цилиндров. Рассеянное поле представлено в виде потенциала (4). Рассмотрим случай, когда направляющие цилиндров — окружности радиуса R, центры которых лежат на оси абсцисс, и расстояние между центрами окружностей равно а, цилиндры не пересекаются. Тогда параметризацию контуров запишем следующим образом:
xi,q = R ■ cos ф + q ■ a ;
x2,q = R ■ sin ф, ф E [0, 2n] , q = 0,1, 2;
и пусть
yi = r ■ cos фо ;
y2 = r ■ sin ф0 , ф E [0, 2п]
Так как у Е Cf2, то предположим,что г R. Рассмотрим
|xq — y7|2 = R2 + r2 — 2rR ■ cos^ — ф0) + 2aq ■ (R ■ cos ф — r ■ cos ф0), (20)
9 -л ni uWf i- -^{пх,У-х)
- G(x, у) = к— ■ Hl (ф-у|) —--------— . (21)
dnx ’ 2 |x — y|
Теперь перейдем к определенным интегралам в (4) и обозначим u(y) = U(r, ф0), имеем
2 2п
^(^0о) = ^^ [ к~гН[1) (к\хд(ф) - у(фо)\) ^ Д • и{хд{ф))с1ф . (22)
9=0
0
При этом асимптотическое поведение функции Ханкеля первого рода на бесконечности
[5]: _
2
Диаграмма направленности рассеянного поля определяется формулой [1]:
£>я(фо) = Ит ^Г’ ^— • (24)
г^+оо 2
, ___ £*(“"-4)
V пг
Таким образом, найдя предел (24), получили диаграмму направленности комплексной амплитуды рассеянного поля:
2 2п
Дя(фо) = Y.J ( - к ' *' е-^Ясо^ф-м+2а^м cos(ф - фо))у(хд(ф))(1ф. (25)
гпЯ Обозначим
дд(ф, фо) = -к ■ г ■ е-гк(д-С08(ф-ф°)+2“«-С08фо) ^(ф - фо). (26)
Заменяя функции дд(ф, ф0) и ^(жд(ф)) соответствующими интерполяционными тригонометрическими полиномами (15‘) и используя соответственную квадратурную формулу [2], мы получим
„ 2 2га
ОиШ = тЧ £ £ 9,(«, ■ <27)
п V д=о к=о
Был проведен численный эксперимент по дискретной математической модели и построены диаграммы направленности.
Выводы. Таким образом, в работе приведена математическая модель задачи дифракции электромагнитных волн на системе цилиндрических поверхностей на базе граничных интегральных уравнений соответственной краевой задачи для стационарного волнового уравнения. Построена дискретная математическая модель рассматриваемой задачи с использованием метода дискретных особенностей. Приведены результаты численного эксперимента и построены диаграммы направленности для модуля комплексной амплитуды рассеянного поля в дальней зоне в отдельных случаях.
Результаты численного эксперимента.
Рис. 2. Диаграмма направленности, R=1, a=3, к = п, а = 0.
Рис. 3. Диаграмма направленности, R=1
а=3, к = £, а = 0.
Рис. 4. Диаграмма направленности, R=1,
а=3, к = j, а = 0.
Рис. Б. Диаграмма направленности, R=1,
а=3, к = а = 0.
Литература
1. Бахмат Ю.М. Дискретна математична модель задачi дифракції на систємі замкнених циліндричних поверхонь (випадок Е-поляризації) // Вестник Херсонского национального технического университета. - 2013. - Вып.2 (47). - C.47-50.
2. Gandel’ Yu.V. Boundary-Value Problems for the Helmholtz Equation and their Discrete Mathematical Models // Journal of Mathematical Sciences. - 2010. - 171, №1. - Springer Science+Business Media, Inc. - P.74-88.
3. Гандель Ю.В., Еременко С.В., Полянская T.M. Обоснование численного метода дискретных особенностей решения двумерных задач дифракции электромагнитных волн / Учебное пособие. Часть 2 / Харьков: ХГУ, 1992. - 14Б с.
4. Гандель Ю.В. Введение в методы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов / Учебное пособие / Харьков: ХНУ, 2002. - 92 с.
5. Гандель Ю.В., Душкин В.Д. Математические модели двумерных задач дифракции: Сингулярные интегральные уравнения и численные методы дискретных особенностей / Х.: АВВ МВСУ, 2012. - 544 с.
6. Лифанов И.К. Метод сингулярних интегральных уравнений и численный эксперимент / М.: ТОО «Янус», 1995. - 520 с.
7. Панасюк В.В., Саврук М.П., Назарчук З.Т. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумерных задачах дифракции / Киев: Наук.думка, 1984. - 344 с.
8. Справочник по специальным функциям / под ред. М. Абрамовица и И. Стиган / М.: Наука, 1979. - 832 с.
METHOD OF DISCRETE SINGULARITIES IN DIFFRACTION PROBLEMS OF CLOSED CYLINDRICAL SURFACES
Yu.N. Bakhmat
Karazin Kharkiv National University,
Svobody Sq. 4, Khavkiv, 61022, Ukraine, e-mail: [email protected]
Abstract. In frameworks of the mathematical model of diffraction the boundary value problem of the scattering of H-polarized electromagnetic waves on the system of closed ideally conducting cylindrical surfaces (guides — circles or ellipses) is studied. The discrete mathematical model based on discrete singularities has been built for diffraction problems pointed out. The two-dimensional problem is investigated using the numerical experiment.
Key words: boundary-value problems, diffraction theory, boundary integral equations, method of discrete singularities.