Метод дискретных особенностей в задачах дифракции на системе замкнутых цилиндрических поверхностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА, МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

MSC 78A45

МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ В ЗАДАЧАХ ДИФРАКЦИИ НА СИСТЕМЕ ЗАМКНУТЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Ю.Н. Бахмат

Харьковский национальный университет им. В.Н.Каразина,

пл. Свободы, 4, 308015, Харьков, Украина e-mail: bakhmat23@gmail.com

Аннотация. Построена математическая модель дифракции Н-поляризованной электромагнитной волны на системе идеально проводящих цилиндрических поверхностей (направляющие окружности или эллипсы). Построена дискретная математическая модель указанной задачи на базе метода дискретных особенностей и на ее основе исследована двумерная задача. Проведен численный эксперимент.

Ключевые слова: краевая задача, теория дифракции, граничные интегральные уравнения, метод дискретных особенностей.

Введение. Цель работы — построение дискретной математической модели дифракции Н-поляризованной электромагнитной волны на системе замкнутых цилиндрических поверхностей. Направляющие цилиндрических поверхностей — окружности или эллипсы. Для построения дискретной математической модели и для сведения краевой задачи к гипер сингулярному интегральному уравнению используется метод потенциалов. Для построения дискретной математической модели и проведения численного эксперимента применен метод дискретных особенностей. Численный эксперимент был проведен в отдельных частных случаях, где построены диаграммы направленности модуля комплексной амплитуды рассеянного поля.

1. Постановка задачи. Рассмотрение ведется в декартовой системе координат на плоскости Х1ОХ2, в которой расположены направляющие цилиндрических поверхностей — окружности или эллипсы. Обозначим

ь = и ь,

9=0

где Ь, — направляющие цилиндрических поверхностей (круговых или эллиптических цилиндров), образующие которых параллельны ОХ3. Рассматривается пересечение плоскостью, параллельною плоскости Х1ОХ2. Параметрические уравнения направляющих

(1)

цилиндрических поверхностей имеют вид:

Жі,д = Жі(<р) + q • а ;

Ж2,д = к(^), ф Є [0, 2п], q = 0,1,...,/.

(2)

В случае, когда направляющая окружность:

к1)Ц = г • сое ф + q • а ;

к2,ц = г • від ф, ф Є [0, 2п], q = 0,1,...,/.

(2.1)

а в случае, когда направляющая эллипс:

к1)Ц = г • сов ф + q • а ;

к2,ц = Ь • від ф, ф Є [0, 2п], q = 0,1,...,/

(2.2)

Обозначим

О = |^) іді Ьц .

ц=0

(3)

Падающая плоская монохроматическая волна (зависимость от времени дается множителем е-гш*), комплексную амплитуду которой обозначили и0(к), и, соответственно, и(к) — комплексная амплитуда рассеянного поля:

и0(к) = е

к = к(від а, — сов а), а = 0 .

(4)

Падающее и рассеянное поля удовлетворяет уравнению Гельмгольца:

Ди(к) + к и (к) = 0

к

є Со

(5)

2 2

к = е • ^ ш , где — диэлектрическая и магнитная проницаемость среды соответственно.

Рис. 1.

Рассматривается внешняя краевая задача, рассеянное поле удовлетворяет условиям излучения Зоммерфельда [1]:

и(х) = О ( —р ) , г —> оо ;

v (6) ди(х) / 1 \ 1~2 “

— г ■ к ■ иух) = о —= , г = \ х{ + хг2 —> оо .

дп V \/г

В случае Н-поляризации, на поверхности идеально проводящих цилиндров выполняется граничное условие Неймана:

+ = г = (х1,х2)єі. (7)

дп дп

Рассеянное поле ищем в виде потенциала двойного слоя [3]:

- I [ - д _ _ _ п—

и^у) = ^ у(х)—С(х,у)с1зх, у Є Ш, (8)

ь

где

в{х,у) = ^:Н£){к\х-у\). (9)

Векторы электромагнитного поля представляются в виде:

Е(к, і) = Е(к) • е-гш*, Н(к, і) = Н(к) • е-гш*,

где

Н(к) = (0, 0, Нг(к)) , Нг = и(к) ,

Е(х) = (Ех, Еу, 0), Ех = - — ^, Еу = —д^.

гшє дк2 гше дк1

Поставлена краевая задача во внешности П. Ищем и (к), через которую выражаются все компоненты электромагнитного поля.

2. Дискретная математическая модель. Перейдем к граничному интегральному уравнению. Рассмотрим

д _ _ д I д _ _ _ _ _ п—

Ит -т—м(у + єп) = Ит —-------1,(х)т;—С(х, у + єп^сів , (у + єп) Є Ш ,

є^о дп є^о дпу 2п У дпх

ь

где П — нормаль к области П. Используя граничное условия Неймана, получили

д д 1 Г д

.11’иа^с(Гг'й<&' е ь ■ <10)

ь

Интегральное уравнение (10) содержит сингулярный интеграл с логарифмическим ядром и гиперсингулярный интеграл, который нужно понимать в смысле конечной части по Адамару [1].

Пусть заданная 2п-периодическая функция f (ф), такая что для достаточно малых е > 0 существуют интегралы

Фо-£

/(ф)#

2п

/(0)# Jo- 2 Ф - Фо

фо+£ w S111 г)

и существует предел

lim

£—0

( Фо — 0

2п \

/(0)# 4/(ф0)

0 . 2 Ф — Фо

2 sm

2 sin2

ф — ф0

/

2 </>о+£ — 2

тогда этот предел называют интегралом в смысле конечной части по Адамару и пишут

2п

( Фо —

2 sin

, , Ит

2 Ф Ф0 е——0

2п ^

/(0)# + Г _/(ф)# 4/(0о)

V

2 sin

2 Ф - Ф0

Фо+е

2 sin

2 Ф - Ф0

/

Перейдем от криволинейного интеграла первого рода к определенному интегралу. Введем параметризацию контуров хд(ф), ф е [0, 2л) таким образом, чтобв1 <р = где в - натуральный параметр, |Ь,| - длина контура Ь,. И пусть на контуре Ь,0 подинте-гральная функция имеет указанные выше особенности. Тогда (10) перепишем следующим образом:

2п

д 1 ' д2

--^МУдоШ о^-д^О(Хд0(фо), Уд0(фо)) ■ п(Хд0(ф))с1ф +

2п

+ £ Ь!

-П--L — °

д2

G(xq (Ф),У90 (ф0)) ■ v(xq (Ф))#-

дп дП „ , -- ,/ дпхдпУ

9=0,,=,0 о

Первый интеграл имеет указанные выше особенности, выделим их:

(11)

2п

2п

J_ [ Фяо(Ф))^Ф _ (К - |Lg0|\ J_ Г 2тг J 0 2 фо - Ф V 27Г / 2тг У П

о z'sin о

Sill

Ф0 - Ф

■ v(Xqo (Ф)# +

2п

2п

+ £ ^ <?(*.(«• fWW»))' = -^м1 аад(МЛ))

, 2п / п dnxdny

9=0,q/qo о

дпо

(12)

где

ы\2-&

2п ) дщдп

н01)(к|х,о(фо) - х,о (ф)|) -

2 • sin

2 ф0 — ф

+ | ) 1п

, ч 2|<(0о)к2

д1(0о’0о)-з |д,0р

2п

“6 +

. ф0 — ф вт-----------------

к • 1 Ь,0 1

2п

2 2тг 2

(13)

(14)

Получено граничное интегральное уравнение, в левой части которого сумма гиперсин-гулярного интеграла, интеграла с логарифмической особенностью в ядре, а также интеграла с гладким ядром.

Далее в работе построена дискретная математическая модель рассматриваемой задачи. Сначала формулируется задача для приближенного решения в форме граничного интегрального уравнения — интерполяционного полинома, который нужно определить. Заменим все гладкие функции (12) соответствующими тригонометрическими интерполяционными полиномами [2]:

2п

_1_ [ (^1}^)(^о(ф))# ( «• \Lqol

2тг I

2 • sin

2 ф0 — ф

2п

2п

— [ 1п

2пУ

0

ф0 — ф эт —-—

• (РП1)^)(х,0 (ф))# +

2п

+ 2? / Ф°) ■ №"*)ШФ) +

0

I 2п

+ Ё ЬЖГЖГ0)^»^)-5®(<^о)) • (Р,1Л)(г,М)# ,=0 ,=,„ •/ х У

,=0,,=,0 0

1^<?о I /^(2) 5И0

=

1

п V дп0

2п

2п + 1

5>4‘,п))

0 (ф0)) • (рп ^)(х,(

(Х,0 (ф0)) ;

2п+1 / (*>п)ч

к=0

(15)

(15')

(1,п) о

п ) = П

К: = 0,1,..., 2».

2п +1 ’ ’ ’ ’

(2,п) п

П ) = По

2,7 + 1 ^ 2/г + 1

п, ] = 0,1,..., 2п.

Воспользовавшись интерполяционными квадратурными формулами [2], узлами которых являются указанные выше наборы точек, а в качестве точек коллокации взяли

1

2

2

второй набор точек, получили систему линейных алгебраических уравнений:

1

2п (sin2 |(0OJ - Фк) п ■ sH'n + \){Фоз - Фк)^

2n +1

fc=0

J^v(xqo (фП))

У sin2 ^ (ф0і - Фк ) sin ^ (ф” • - фпк) )

2 п 2n

+

/ 2тг ул / ул COS p(0oj 0fc) і

+ l^rj 2^TTEl,(x»fe))(ln2 + E------------------р------I+

7 fc=0 \ p=1 1

2n

+ ^ETT S Ь(*Яо(Фк)) ■ <Зі(Хяо(Фк),Хяо(Фоі)) +

2n +1

fc=0

l IL I 1 2n d2

+ £ ЧатE"(*»«)) - ^с(г,(й!),.ги(^.))

д=0,д=до ' к=0 0

Г Я

■^^г/'°(^о(фоі)), І = 0,1,..., 2/г, до = 0,1,...,/. (16)

3. Комплексная амплитуда рассеянного поля. Рассеянное поле представлено в виде потенциала (4). Перейдем от криволинейного интеграла первого рода к определенному интегралу. Тогда (4) перепишем:

1 2п

и(у) = I ЯМ'У) ' Фд(0))#, У Є СП, (17)

П 9=00

где

Заменяя все гладкие функции тригонометрическими интерполяционными полиномами [2], используя соответственные квадратурные формулы, окончательно имеем:

I 2n

и(у) = 9 I х Y1Y1 я(*я(Фк, V)) • фд(фк)), У е > (18)

q=0 fc=0

где значения v(xq(ФП)) — решения системы (16), а |u(y)| — амплитуда рассеянного поля.

4. Диаграмма направленности рассеянного поля в случае трех круговых цилиндров. Рассеянное поле представлено в виде потенциала (4). Рассмотрим случай, когда направляющие цилиндров — окружности радиуса R, центры которых лежат на оси абсцисс, и расстояние между центрами окружностей равно а, цилиндры не пересекаются. Тогда параметризацию контуров запишем следующим образом:

xi,q = R ■ cos ф + q ■ a ;

x2,q = R ■ sin ф, ф E [0, 2n] , q = 0,1, 2;

и пусть

yi = r ■ cos фо ;

y2 = r ■ sin ф0 , ф E [0, 2п]

Так как у Е Cf2, то предположим,что г R. Рассмотрим

|xq — y7|2 = R2 + r2 — 2rR ■ cos^ — ф0) + 2aq ■ (R ■ cos ф — r ■ cos ф0), (20)

9 -л ni uWf i- -^{пх,У-х)

- G(x, у) = к— ■ Hl (ф-у|) —--------— . (21)

dnx ’ 2 |x — y|

Теперь перейдем к определенным интегралам в (4) и обозначим u(y) = U(r, ф0), имеем

2 2п

^(^0о) = ^^ [ к~гН[1) (к\хд(ф) - у(фо)\) ^ Д • и{хд{ф))с1ф . (22)

9=0

0

При этом асимптотическое поведение функции Ханкеля первого рода на бесконечности

[5]: _

2

Диаграмма направленности рассеянного поля определяется формулой [1]:

£>я(фо) = Ит ^Г’ ^— • (24)

г^+оо 2

, ___ £*(“"-4)

V пг

Таким образом, найдя предел (24), получили диаграмму направленности комплексной амплитуды рассеянного поля:

2 2п

Дя(фо) = Y.J ( - к ' *' е-^Ясо^ф-м+2а^м cos(ф - фо))у(хд(ф))(1ф. (25)

гпЯ Обозначим

дд(ф, фо) = -к ■ г ■ е-гк(д-С08(ф-ф°)+2“«-С08фо) ^(ф - фо). (26)

Заменяя функции дд(ф, ф0) и ^(жд(ф)) соответствующими интерполяционными тригонометрическими полиномами (15‘) и используя соответственную квадратурную формулу [2], мы получим

„ 2 2га

ОиШ = тЧ £ £ 9,(«, ■ <27)

п V д=о к=о

Был проведен численный эксперимент по дискретной математической модели и построены диаграммы направленности.

Выводы. Таким образом, в работе приведена математическая модель задачи дифракции электромагнитных волн на системе цилиндрических поверхностей на базе граничных интегральных уравнений соответственной краевой задачи для стационарного волнового уравнения. Построена дискретная математическая модель рассматриваемой задачи с использованием метода дискретных особенностей. Приведены результаты численного эксперимента и построены диаграммы направленности для модуля комплексной амплитуды рассеянного поля в дальней зоне в отдельных случаях.

Результаты численного эксперимента.

Рис. 2. Диаграмма направленности, R=1, a=3, к = п, а = 0.

Рис. 3. Диаграмма направленности, R=1

а=3, к = £, а = 0.

Рис. 4. Диаграмма направленности, R=1,

а=3, к = j, а = 0.

Рис. Б. Диаграмма направленности, R=1,

а=3, к = а = 0.

Литература

1. Бахмат Ю.М. Дискретна математична модель задачi дифракції на систємі замкнених циліндричних поверхонь (випадок Е-поляризації) // Вестник Херсонского национального технического университета. - 2013. - Вып.2 (47). - C.47-50.

2. Gandel’ Yu.V. Boundary-Value Problems for the Helmholtz Equation and their Discrete Mathematical Models // Journal of Mathematical Sciences. - 2010. - 171, №1. - Springer Science+Business Media, Inc. - P.74-88.

3. Гандель Ю.В., Еременко С.В., Полянская T.M. Обоснование численного метода дискретных особенностей решения двумерных задач дифракции электромагнитных волн / Учебное пособие. Часть 2 / Харьков: ХГУ, 1992. - 14Б с.

4. Гандель Ю.В. Введение в методы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов / Учебное пособие / Харьков: ХНУ, 2002. - 92 с.

5. Гандель Ю.В., Душкин В.Д. Математические модели двумерных задач дифракции: Сингулярные интегральные уравнения и численные методы дискретных особенностей / Х.: АВВ МВСУ, 2012. - 544 с.

6. Лифанов И.К. Метод сингулярних интегральных уравнений и численный эксперимент / М.: ТОО «Янус», 1995. - 520 с.

7. Панасюк В.В., Саврук М.П., Назарчук З.Т. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумерных задачах дифракции / Киев: Наук.думка, 1984. - 344 с.

8. Справочник по специальным функциям / под ред. М. Абрамовица и И. Стиган / М.: Наука, 1979. - 832 с.

METHOD OF DISCRETE SINGULARITIES IN DIFFRACTION PROBLEMS OF CLOSED CYLINDRICAL SURFACES

Yu.N. Bakhmat

Karazin Kharkiv National University,

Svobody Sq. 4, Khavkiv, 61022, Ukraine, e-mail: bakhmat23@gmail.com

Abstract. In frameworks of the mathematical model of diffraction the boundary value problem of the scattering of H-polarized electromagnetic waves on the system of closed ideally conducting cylindrical surfaces (guides — circles or ellipses) is studied. The discrete mathematical model based on discrete singularities has been built for diffraction problems pointed out. The two-dimensional problem is investigated using the numerical experiment.

Key words: boundary-value problems, diffraction theory, boundary integral equations, method of discrete singularities.