CC BY
57
УДК 517.958
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НА ОСНОВЕ СИУ 2D ЗАДАЧ ДИФРАКЦИИ НА МНОГОСЛОЙНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ОТРАЖАЮЩИХ СТРУКТУРАХ Часть I. Случай Е-поляризации
Ю.В. Гандель, В.Д. Душкин
Харьковский национальный университет им. В.Н. Каразина, пл. Свободы 4, Харьков, 61077, Украина, e-mail: [email protected]
Академия ВВ МВС Украины, пл. Восстания 3, Харьков, 61005, Украина, e-mail: [email protected]
Аннотация. Задачи дифракции электромагнитных волн на многослойных отражающих структурах в 2Б случае приводят к краевым задачам для уравнений Гельмгольца. В случае Е-поляризации эти краевые задачи сведены к системам граничных сингулярных интегральных уравнений первого рода, для решения которых применяется вариант эффективного и строго обоснованного численного метода дискретных особенностей.
Ключевые слова: задачи дифракции, многослойные отражающие структуры, краевые задачи, сингулярные интегральные уравнения.
Сведение исходных краевых задач к системам сингулярных интегральных уравнений (СИУ) основывается на методе параметрических представлений сингулярных интегралов [1]-[3]. Этот метод позволил получить большое количество моделей разнообразных однослойных полупрозрачных структур [4]-[9]. В работе [10] рассматривалась модель многослойной полупрозрачной структуры. Однако модели многослойных отражающих структур, основанные на данном подходе, ранее не рассматривались.
Многослойные решётки, благодаря специальному подбору соотношений между размерами элементов структуры, позволяют получать поля с необходимыми физическими характеристиками. Поэтому построение математических моделей процессов рассеяния электромагнитных волн на многослойных структурах является актуальной задачей для исследователей.
Характерной особенностью систем СИУ данных задач является наличие нескольких неизвестных функций, каждая из которых связана с характеристикой поля на одном из слоёв. Каждое из СИУ зависит от двух неизвестных функций, и фактически представляет уравнение связи полей на двух соседних слоях.
Рис. 1. Сечение дифракционной структуры плоскостью У 02.
Рассмотрим следующую дифракционную структуру (см. рис. 1). В плоскости 2' = О лежит бесконечный экран, на котором расположены два слоя диэлектриков. Первый слой диэлектрика с диэлектрической проницаемостью £^ заполняет область й'_ < 2' < й'+, второй слой диэлектрика с диэлектрической проницаемостью £2, заполняет область О < 2' < й- .
Над описанной структурой, в области 2' > в!+ - полупространство с диэлектрической проницаемостью £о =1.
Между верхним и нижним слоями диэлектрика и на верхнем слое диэлектрика расположены 2/' -периодические системы, состоящие из бесконечно тонких идеально проводящих лент.
Пусть
м+ ^
у' е К1 у' е У (а+, &+), 0 < а\ <6+ < ... < а+ <6+ ... < аМ + < 6М + < 2/' \
а=1 )
(1)
- координаты точек у' плоскости 2 = й+, лежащих на отрезке у' е [0, 2/'] и свободных от лент.
Пусть также
м- ^
у' е Б,| у' е У (а-, 6-), 0 < а- <6- < ... < а- < 6— ... < аМ- < 6М- < 2/' >
р=1 )
(2)
- координаты у' точек плоскости 2 = й!_, лежащих на отрезке у' е [0, 2/'] и также свободных от лент.
Вообще говоря, а+ = а- и 6+ = 6-, если д = 8.
Введём обозначения для областей:
Рассматривается стационарная задача, в которой зависимость поля от времени задаётся множителем е-гш*.
Пусть из бесконечности сверху на дифракционную структуру наклонно падает Е-поляризованная плоская электромагнитная волна единичной амплитуды:
Необходимо найти полное поле и (У, 2), возникшее в результате рассеяния волны рассматриваемой дифракционной структуре. Оно удовлетворяет в областях (і =
0,1, 2), уравнению Гельмгольца:
условию Майкснера на ребре; разность полного и падающего полей удовлетворяет условию излучения Зоммерфельда:
Введём в рассмотрение функцию и0(у',2') - решение в области П0 вспомогательной краевой задачи дифракции плоской монохроматической волны и (у', 2'), определённой формулой (6), на бесконечном плоском идеально проводящем экране, лежащем в плоскости 2' = й+. Функция и0(у', 2') на поверхности экрана удовлетворяет граничному условию:
Полное поле «(У, 2), возникшее в результате дифракции волны на решётках м(у;, 2), будем искать в виде:
П0 = {(у', z') Є R2 | z' > d+, О К у' К 2l'| ,
П1 = {(у',z') Є R2 | d__ К z' К d+, О К у' К 2l'} ,
П2 = {(у',z') Є R2 | D' К z' К d__, О К у' К 2l'} .
(3)
(4)
(5)
U(у', z') = Ex(у', z') = exp (ifc (y' ■ sin — (z' — d++) ■ cos ^)) .
(б)
Au + к2\/єі ■ и = 0, (у', z') Є Qi, (і = 0,1, 2), к = —
(7)
Mo(y/, d+) = 0, y G R. (
Поле u0(y;, Z) имеет представление:
u0(y;, Z) = exp (ik (y; ■ sin ^ — (V — d+) ■ cos — exp (ik (y; ■ sin ^ + (Z — d+) ■ cos
(9)
(10)
причём
(11)
Поле u+(y°, z0) в области Q+ ищем в виде:
u+(y',z/) = a+ ■ e-70'"(z,-d'+)
+ ) • e ■
^pny
(13)
где
, , . nn ,
pn = k-smtp + —, 7o.
(14)
Условия излучения Зоммерфельда будут выполнены, если ветвь радикала выбрать так, чтобы Re(7o,n) ^ 0, 1т(т0,п) ^ 0, n G Z.
Пусть i = 1,2 - угол между волновым вектором в области Q, заполненной диэлектриком и вектором противоположным оси OZ. В силу закона Снеллиуса справедливы равенства:
к ■ sin ip = k\fe1 • sin i)i = ку/s2 • sin $2- (15)
Учитывая соотношение (15) поле ui(y°, z0) в области Q ищем в виде:
«м У) = v I ь+ •sh ("-С T~rf'-)) . r,sh (Vi,„ (-' - <-)) .
’ ' n sh № - d'_)) " sh(7ln(d'+-d'_))
(16)
где
Yl,n
■\/ip'nf - к;2 -£ь П G Z. Поле u2(y0, z0) в области Q2 ищем в виде:
/ / /\ (j2,ra ^0) j
(17)
(18)
где
\/ip'nf - k'2 -£2, n G Z. Введём безразмерные координаты и параметры:
т2,п
(19)
д() п А ’ п V=VV' п z = Fz, d! — —d' • u± — ^/a±> (20)
+ п + < = ’ Pt = ftt q = 1,...,M +; (21)
п = j7a* ’ Р7 = ft:, s = 1,...,M -; (22)
„ - 1'-Рп Рп п = dl ■ sin ^ + n, n G Z; (23)
То, п = J(РпУ ~ д£2, Ti,n = \J (pn) — dl2 ■ £j, i =1, 2, n G Z; (24)
п=—оо
м+
Ь+ = <{ У1 у Є У (а+, Д+), 0 < < ... < < ... < аМ+ < в++ < 2п } >
а=1
(25)
м
= < УІ у Є и(а-./З-), 0 < а- < в- < ... < а“ < в- < ... < аМ - < ем - < 2т (■ .
(26)
Из граничного условия обращения полного поля на поверхности идеально проводящей структуры в ноль следуют равенства:
и+(у, ^+) = иі(у, ^+) = 0, у Є СЬ+ = [0, 2п] /Ь+; (27)
и1(у,^-) = м2(у,^-) = 0, у Є СЬ- = [0, 2п] /Ь-. (28)
Из условий связи полей на границе раздела двух сред в "щелях" между ленточными структурами получаем равенства
и+(У^+)= «і(У,^+), У Є Ь+; (29)
и1(у,^-) = м2(у,^-), у Є Ь-; (30)
(31)
дио/ ч ди+ . . ди . , , ,
-^г(У^+) + ^г(У^+) = УЄІ+; (32)
^(у,^_) = ^(у,с?_), У Є І”. (33)
Из представлений полей (13), (16), (18), граничных условий (27), (28), условий связи полей на границе раздела двух сред (29) — (33) получаем следующие соотношения для
7+ а-
*пЧ п Ч '-'и Ч '-'и *
коэффициентов а+, а-, Ь+, Ь-
а
^ а+ ехр (іРпу) = °, у Є СХ+; (34)
оо
^ а+ ехР (фпу) = ^ Ь+ ехР (грпу), у Є Ь+; (35)
а
— 2ідІ ■ від ^ ■ еід181П 'р'у — а+ ■ Жо>п ехр (фпу)
а / А- \
5 Г:'и/1'"+ лГйЖзх»)'ехр {‘РпУ)' »еі+; (36)
п=
п=
п=
п=
^ а- ехр (грпу) = °, у Є ; п=-а
а а
^ а- ехР (іРпу) = — ^ ехР (іРпу), у Є ь- ;
(37)
(38)
где
^ а- ■ ^2,п ехР(іРпу)
( Ь- ■ ^1,п +
Ь+ ■ 71,
^ (71,п (й+ — й-))
■ ехР (ірпу), у Є Ь ; (39)
^о,п = 7о,п, ^1,п = 71,п-сШ (71,п (й+ — Й-)) , ^2,п = 72,псШ (72,п (й- — £))
Из равенств (32), (33), (35), (36) следует, что:
+
ап — Ь+, а- — — Ь-, п Є ^.
Из представлений
, 2дІ від ю ді2 ■ сов2 ю
^о,п = N \/1 +----------------—-----------------п ф 0;
п
п2
п Є
(40)
(41)
(42)
^1,п = сШ (71,п (й+ — й-)) ■ |пЫ 1 +
2дІ від ю ді2 ■ (від2 ю — Є1)
+
п
п2
п = 0; (43)
чч . . , 2дІ від ю ді2 ■ (від2 ю — є2)
И^2,п = сИі (72,„ (<І- - £>)) • N \/1 Ч----------------------------------1----------------- —5----- , п ф 0
п
п2
получаем асимптотические равенства:
^0 = Ы + ді від ір ■ — + О (— і , п —> оо ;
п \ п
га = Н + ді від Ю ■ -—- + О (— ] , п —> оо , г = 1,2. пп
Введём в рассмотрение функции:
ди+
Р+(у) = (1+) = ф„ • а+ ехр (грпу)
ду
ди
п=-а
ОО
(44)
(45)
(46)
(47)
(48)
п=
п=
п=
п=
п=
В силу граничных условий (27), (28), функции ^ + (£) и ^ (£) обладают свойствами:
г в+
/ ^ +(*) (И = 0, (д = 1,...,М+) , (49)
Г вз
/ ^-(^) а = о, = 1,... ,м-) , (50)
*/ «л
(у) = 0, у е СЬ+ , ^- (у) = 0 , у е СЬ- . (51)
Из определений (47), (48) функций ^ + (£) и ^-(£) и соотношений (49) - (51), для
коэффициентов а+, а-, Ь+, Ь- получаем интегральные представления:
ап = — ^+(^) ехР (-фп^) ей , /г € ^; (52)
2пгРп ,/ь+
аТ = —Ъ~ =-------- [ Р~(1) ехр (—1рп1) сЫ , /г € . (53)
2пгр„ ,/ь-
Используя свойства (49) - (51), получаем следующие представление для коэффициентов а+ и а-:
<4 = ~[ Р+(*)еХР (~‘р0<) ~ 1 Д, (54)
2п Уь+ гр
%- = - / Р-МеХрНр°*Ь1Д. (55)
2п У ь- гро
Производя преобразования, аналогичные тем, которые были проведены в работах [6] — [9], получаем:
5м+
(У^+) = - 5^ а« • ^о,« ехр (ф„у) = - [ е1дЫт^у Р+(^сИ+
„=_^ I- ^ ь+ V /
+1 [ 1— ■(ехр—- ~ ~1 п Л+ 2гро
1 г ^ д
+ “ ^ 9^ ехр ^ “ *)) с11
П Л+ 2гРп
(56)
„=0
^(У^_) = £ • ^2,«ехр (ф„у) = I
„=-о ^ь- ' '
1 [ ^2,0 ■ (ехР (гР0 (У — ^)) — ^
+ - -------------------^^ (*)^+
П Л- 2гро
1 г 0 Д
П Л- га=-00 2гР„
„=0
9
где
\,п = ^о,„ - N - 91 эт Ч> ■ — = О ( -
п
п
Д2.п = Щ,п - N -девт (£■ — = 0 (пп
п.
п.
(58)
(59)
Действуя аналогично, для функций ^(у,с?+) и ^(у,с?_) находим следующие интегральные представления:
д2
ьм = ~I (*_«!) л+
+}_ [ ^1,0 • (ехр {ту) - 1) 7Г Л+ 2-фо
+ 1- [ У
П ./ь- „=-0 2гР„ ■ (Т1,п ((+ — (-))
„=0
1 Г 0 д
г+(^)сЫ + - V —1— ехр {грп (у - г)) г+(г) сй+
П Ь+ „=-0 2гР„
(60)
„=-о
„=0
5м 1
5л
(у,(_) = —
___I [ егд^имр{у-1)с^(1 У
' ь-
+ 1 [ ^1,0 • (ехр (фоу) - 1) Г7_
7Г .//, 2фо
^ (г) (г+ Д1,-
+1/ П ь-
]Г 71-" • “р (гр;(у ~ь)\. -^+ (г) (г
2ф„ ■ йЬ (71>га ((+ — (-))
1 Г л д
г- (г)<и + - V —1— ехр (ф„ (у -1))г~ (г) сй+
П Л- „=-0 2гР„
(61)
„=0
„=0
где
п
Д1 »г = „ — Ы — д£ вт р ■ —
п
0[ -п
п.
(62)
Введём обозначения:
К1 (у,г)
гд1 зт <^(у-£)
г— у
1
2 V 2 ) г — у
(^0,0 + ^1,0) ■ (ехР (гР0 (у — г)) — 1)
4гр0
(Д0,»г + Д1,»г) / . / чч /роч
2^ -----------тт:---------ехр (грп (У ~ *)) ’ (63)
„=-0
„=0
К2 (у,г) = — X]
„=-о
„=0
71,п • ехр (ф>г (у - г))
2ф„ • вЬ (71,„ (а!+ - с1-))
4гр„
ехр (гр„ (у — г)) .
(64)
'e*dl sin ^(y-t) /1 — y
Ks (y, t) = ( ---------------------ctg ( —— , f _ y
— --- i —
_ + 1У,л) • (exp (m (»-«))-1) _ ^ (A.,„ + A,„) exp _
4iP0 n^ 4iPn
n=-<^ n=0
Подставляя в условия сопряжения (36), (39) интегральные представления полей (56), (57), (60), (61) получаем систему сингулярных интегральных уравнений первого рода:
— [ ------F+(t)dt.-\— [ К\ (у, t) F+(t) dt+
п J l+ t — y п JL+
+ - [ K2(y,t)F-(t)dt = id£ smtp-e*9*™™, yeL+, (66)
п JL-
— [ -------F {i)dt^— [ К3(у,{) ^ (Ь) dt+
П 3 ь- г — у П ./ь-
Н— [ К2 (у, £) -Р+(£) dt = 0, у € Ь~\
П ь+
решения которой удовлетворяют дополнительным условиям (49) — (50). В силу условий Майкснера на ребре,
(67)
F +(y)= O (r-1/2) F-(y) = O (r.-1/2)
где
r1 = min
q = 1,...,M+
r2 = min
s = 1,...,M -
y — а+| , ly — e+
(Iy — 1 , |y — As D •
(68)
(69)
(70)
(71)
Условия Майкснера будут выполнены, если мы будем искать сужение функции F + (у) на интервалы (а+,Д+) и функции F-(у) на интервалы (а-,в- в виде:
F +(y)
F -(y)
v+ (У)
vv - а+) (e+ — y)
^7 (y)
y—
а-
p j vp
—y
y G (а+Д+) , (q = 1,...,M+) , (72)
У G (ap,ep) , (p = 1,...,M ) , (73)
где
(y) G C [а+, Д+] , (q = 1,..., M+) , v- (y) G C [а-, £-] , (p = 1,..., M") .
q
Введем отображения:
г , , т в+ _ а+ в+ + а+
$ '■ [-1> !] -»■ [«?, А ] > (*) =------9-----т +-------9-----
0г7 : [-1 Л] -»■ [о“, /3“] , д- (*) = °р Г + + °р
2
и обозначения
(д = 1,...,М+) . (75)
(р =1,...,М-) . (76)
Я*д,т(£,Т)= К (0+ (0 ,0* (Т
(д = 1,..., М +, т = 1,
^д,т) ■
0+ (т ) — 0+ (С)
М+) ;
(77)
1
Я*9)((£,Т)= К2 (0+ (£) ,£- (тЙ ,
(д = 1,...,М+, в = 1,...,М-) ; (78)
Д-р,„(£,Т) = К2 (0- (С) ,0+ (тЧ ,
(р =1,...,М- , п =1,...,М+) ; (79)
Т) = Аз {9р (0,91 (Л) + (1 - £Р,г) ' _ / ч 1 _ >
0р (Т) — 0р (^)
(р =1,...,М- , I = 1,...,М-) ; (80)
V* (т) = < (0+ (т)) , (д = 1,..., М+) ; (81)
V- (т)= ^-(0-(т)) , (р =1,...,М-) . (82)
Учитывая (72) - (76), производя замену переменных в соответствии с (75) - (76), переходим от СИУ (66) - (67) на системе отрезков Ь к системе СИУ на стандартном интервале (-1, 1):
I ^ ________I_____^ + 1 V" ^ К+ (£,Г)^ И С1Т +
7Г У_! 0+ (Л - 0^ (Л VI - Г2 ТГ^У-! 1,9’т ’ VI - Г2
+ ; Е £, ^’■)■7г=1 = ^ ™ ^ - еа'™^+К),
|С| « 1, (« = 1,...,М+) ;
(83)
м-
7Г д- (г) - д- (С) Vх! — г2
Vp-(r)ir+l , r_^t)
П ---- / 1
i=l J-1
1 м+ Г1 1
Д-Р,п(Є,т )
\/1 — т2
\/1 — г2
ІЄІ ^ 1, (p = 1,...,M-) ;
решения которой удовлетворяют дополнительным условиям Г1 К+ (т) dT
1-1 \J\- т2 Г1 V- (т) ^г
1-і \/1 —
о,
о,
(q = 1,...,M+)
т2
p= 1,
M-
(84)
(85)
(86)
Таким образом, построена математическая модель рассматриваемой задачи теории дифракции на основе системы граничных сингулярных интегральных уравнений. Дискретная математическая модель задачи и алгоритм численного решения системы уравнений (83) - (86) основываются на методе дискретных особенностей [11].
1
1
1
f
о
Литература
1. Гандель Ю.В. Параметрические представления сингулярных интегральных преобразований и краевые задачи математической физики // Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. - Киев: институт математики НАН Украины, 1995. - С.65-66.
2. Gandel Yu.V. Parametric Representations of Singular Integral Transforms in Boundary Value Problems of the Diffraction // International Conference Boundary Value Problems, Special functional and Fractional Calculus. - placeCityMinsk, 1996. - P.131.
3. Гандель Ю.В. Параметрические представления сингулярных интегральных операторов и математическое моделирование в задачах электродинамики / / Труды Vn Международного симпозиума МДОЗМФ’97. - Феодосия, 1997. - С.176-178.
4. Гандель Ю.В. О парных рядах Фурье некоторых смешанных краевых задач математической физики // Теория функций, функциональный анализ и их приложения, Вып. 38. - Харьков: Вита, школа, 1982. - С.15-18.
5. Гандель Ю.В. Забуга Т.А. Численный метод дискретных особенностей в задачах дифракции волн на решётках // Харьков, 1983. Рукопись представлена Харьк. ун-том. Деп. в УкрНИИНТИ 21 ноября 1983, № 1286Ук-Д83. - 37 с.
6. Гандель Ю.В. Душкин В.Д. Численное решение сингулярного уравнения задач дифракции электромагнитных волн на решётке // Харьков. ун-т, Харьков, 1993. -20 с. Деп. в УкрИНТЭИ № 208-УК93, 18.02.93.
7. Гандель Ю.В. Парные сумматорные и сингулярные интегральные уравнения в задачах дифракции: теория и численные методы / Ю.В. Гандель // Автореферат дисс. доктора физ.-мат. наук, Харьков, 1994, 31 с.
8. Гандель Ю.В. Душкин В.Д. Фельдман М.Б. Численный анализ дифракции электромагнитных волн на периодических многоэлементных решётках, состоящих из прямоугольных брусьев // Харьков, 1994. - 21с. Рукопись представлена Харьк. ун-том. Деп. в ГНТБ Украины 5.12.94. № 2290-Ук94.
9. Гандель Ю.В. Душкін В.Д. Сингулярні інтегральні рівняння двовимірних задач дифракції електромагнітних хвиль // Штегральні перетворення, Зб. наук. праць. -Київ: !н-т математики НАН України, вип. 13, 1996. - С.14-24.
10. Гандель Ю.В. Мищенко В.О. Псевдодифференциальные уравнения электромагнитной дифракции на плоскопараллельной структуре и их дискретная модель // Вісник Харк. нац. ун-ту. Серія "Математичне моделювання, Информаційні технології. Автоматизовані системи управління". - 2006. - вып. 6. - №733. - С.58-75.
11. Gandel’ Yu. V., Lifanov placeI. K., Polyanskaya. T. S. On the Justification of the Method of Discrete Singularities for Two-Dimensional Diffraction Problems // Differential Equations. - 1995. - 31;9. - P.1491-1497.
MATHEMATICAL MODELS BASED ON SIE 2D DIFFRACTION PROBLEMS ON PERIODIC MULTILAYER REFLECTIVE STRUCTURES
Part I. The case of E-polarization.
Yu.V. Gandel, V.D. Dushkin
V.N. Karazin Kharkiv National University,
Svobody Sq., 4, Kharkov, 61077 Ukraine, e-mail: [email protected]
Academy IF of MIA of Ukraine,
Povstanya Sq., 3, Kharkov, 61005, Ukraine, e-mail: [email protected]
Abstract. 2D problems of electromagnetic wave diffraction on multilayer reflecting structures lead us to boundary-value problems for the Helmholtz equation. In the case of E-polarization, these boundary problems are reduced to systems of boundary singular integral equations of the first kind. The numerical solution of these equations is based on the variant of efficient and roughly proved method of discrete singularities.
Keywords: Diffraction problems, multilayer reflecting structures, boundary-value problems, singular integral equations.
