CC BY
15
УДК 519.63:535.42
Ю. А. Еремин, И. В. Лопушенко2
ГИБРИДНАЯ СХЕМА МЕТОДА ДИСКРЕТНЫХ ИСТОЧНИКОВ ДЛЯ АНАЛИЗА ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ НАНООПТИКИ*
Рассматривается задача дифракции плоской линейно поляризованной волны на на-норазмерной протяженной частице, расположенной на проницаемой подложке. Для построения решения используется гибридная схема метода дискретных источников, учитывающая геометрию частицы. При сделанных ограничениях на толщину частицы проводится математическое обоснование предложенной схемы. Представлены численные результаты, иллюстрирующие возможности развитого подхода.
Ключевые слова: метод дискретных источников, нанооптика, дифракция, рассеива-тель на подложке.
1. Введение. Изучение рассеивающих свойств нанопленок и наночастиц имеет огромный потенциал для практических приложений в современной нанооптике. Плазмонные резонансы в пленках и отдельных частицах интенсивно изучаются исследователями с целью разработки перспективных инновационных устройств [1]. Особую роль применительно к предсказанию функциональных свойств подобных устройств играет математическое моделирование, для проведения которого необходимы строгие вычислительные методы, допускающие эффективную численную реализацию и позволяющие получать корректные результаты с контролем точности.
Одним из известных численных методов, эффективно решающих задачу дифракции электромагнитных волн на рассеивающих структурах, является метод дискретных источников (МДИ), в число отмеченных особенностей которого входит возможность проведения апостериорной оценки погрешности полученного результата и невысокие требования к вычислительным ресурсам [2]. В рамках МДИ рассеянное поле представляется в виде линейной комбинации полей дискретных источников (ДИ), которые могут быть расположены внутри рассеивателя различными способами. Классический способ размещения дипольных ДИ на вспомогательной поверхности не дает возможности проводить точные вычисления для тонких наноструктур, поскольку при уменьшении поперечного диаметра частиц источники становятся линейно зависимыми. В связи с этим появилась потребность в разработке специальной модификации МДИ, в которой дипольные источники будут располагаться вдоль линии внутри рассеивателя и останутся линейно независимыми при уменьшении толщины структуры. В данной статье будут подробно изложены теоретические основы гибридной схемы МДИ и представлен соответствующий вычислительный алгоритм.
2. Постановка задачи. Задача дифракции плоской линейно поляризованной волны на локальном объекте в слоистой среде формулируется следующим образом. Пусть задана среда с двумя однородными изотропными слоями 1>од и плоскостью границы раздела слоев Пусть вблизи £ в верхнем полупространстве 1?о находится однородная проницаемая частица с гладкой границей дБ г С С2. Введем цилиндрическую систему координат в которой ось г направлена перпендикулярно границе раздела полупространств {I! : г = 0} в 1)0. Пусть все необходимые параметры системы, включая длину волны А, показатели преломления сред щ, п\ и рассеивателя щ заданы. Тогда математическая постановка задачи рассеяния плоской волны {Е°,Н°}, падающей
1 Факультет ВМК МГУ, вед. науч. сотр., д.ф.-м.н., e-mail: ereminQcs.msu.su
2 Физический факультет МГУ, асп., e-mail: lopushenko.ivanQphysics.msu.ru
* Работа выполнена при финансовой поддержке G-RISC, программа DAAD, проект М-2014Ь-7.
под углом 7г — во относительно оси z на частицу / ),. принимает вид
rot H = jfce^E^, rot Е = —jfc/x^H^ в Dç, £ = 0,1, г,
пр х (Е<(р) -Е0(р)) = 0, х (Е0(р) — Ei(p)) = О,
np х (Hj(p) — Hq(p)) = 0, peaiJu ez х (Hq(p) — Hi(p)) = 0, P (J)
lim r • ( л/ёоЕп x - — д/п^Нп ) =0, г = |M| oo, z > 0,
r—too \ r /
(|Ef I, |Hf|) = o(exp{^|Imfci|r}), z < 0.
Здесь — полное поле в соответствующей области Dç, — рассеянное поле,
пр — единичная нормаль к поверхности ¿?D¿, кç = kyfëçjîç, M — некоторая точка соответствующего полупространства Dç. Временная зависимость выбирается в виде exp(ju;i), а параметры сред удовлетворяют соотношениям Ime0, /х0 = 0, Imsi, //i < 0. Тогда поставленная граничная задача (1) имеет единственное решение.
Прежде чем строить приближенное решение для рассеянных полей, запишем известное [3] решение задачи дифракции плоской линейно поляризованной волны на системе воздух-подложка в отсутствие частицы с учетом выбранной временной зависимости. Пусть с,..с,,.с_ — базис декартовой системы координат, соответствующей введенной ранее цилиндрической системе (р, (р, z);
0i — угол, под которым преломленная волна входит в подложку по закону Снеллиуса: nosing =
Р (—) Р(—)
= пi sin 01. Введем следующие обозначения: Е^ , Н^ — векторы напряженности электромагнитного поля плоской Р-поляризованной волны, падающей под углом ж — 0q относительно оси z на границу раздела сред; Е^ , Н^ — соответствующие векторы напряженности плоской волны, отраженной от границы раздела сред; ( — индекс полупространства. Аналогичные обозначения введем для S-поляризованной волны: Е*' \ Н*' \ Выражения для этих величин принимают следующий вид:
Е^^ = cosdç COS9P0 % cos0^ SÍ119P0 + ez sm0^) •
tj-P(±) ( \ (±)
Нс{ = (exsm9Po - e^cos^o) ■ п( • 7¿ J,
Ef(±) = (-e^sin^ + eycosipQ) "J^K
H^^ = cosdç COS9P0 % cosdç sin^o + ez sm0^) • n^ • 7^.
Здесь 7^-® = exp jkç (xsm0^ coscpa + y siné^ sin^o ± zcosé^)}, cpa — угол поворота плоскости падения плоской волны, щ = — показатель преломления в соответствующем полупростран-
стве Dç, Ç = 0,1. Выражения для коэффициентов Френеля
Hi COS 0q — Щ) COS 01 TIQ COS 0Q — П\ COS 0\
tip =-tí—;-7Г i tls =
Til COS 0q + По COS 01 TIq COS 0q + Tli cos 0i
используются для записи поля внешнего возбуждения в верхнем полупространстве, которое будет удовлетворять условиям сопряжения на границе раздела сред S:
Н0(Р,5) = НР,5(-) + Rp s . HP,S(+)) z ^ Q (2)
3. Гибридная схема МДИ. Для классической реализации метода дискретных источников доказано, что система электрических диполей, расположенных на некоторой аналитической поверхности внутри рассеивателя, является полной и замкнутой в пространстве Ь^(сШг) [2]. С помощью линейной комбинации полей данных диполей можно аппроксимировать рассеянное поле во всем пространстве. Однако, как было отмечено во введении, при исследовании рассеивающих характеристик тонких частиц источники, находящиеся на аналитической поверхности внутри частицы, располагаются очень близко друг к другу и становятся линейно зависимыми. В связи с этим возникла идея модифицированной схемы МДИ, в которой диполи будут расположены на некоторой линии внутри частицы, в частном случае — ее оси симметрии, чтобы исключить возникающую
линейную зависимость. Для моделирования поля при таком расположении дипольных источников оказывается недостаточно только электрических диполей, и возникает необходимость в использовании магнитных диполей.
Чтобы обосновать возможность расположения дипольных источников на оси симметрии частицы, обратимся к теории метода дискретных источников, изложенной в том числе в работе [2]. Для этого рассмотрим задачу дифракции в свободном пространстве. В качестве носителя множества ДИ рассмотрим незамкнутую цилиндрическую поверхность S С с радиусом рс. Для представления рассеянного поля вне рассеивателя будем использовать набор "внешних" дискретных источников, а для представления полного поля внутри рассеивателя введем набор "внутренних" дискретных источников. Строго говоря, дипольными источниками при этом будут являться только "внешние" ДИ. Покажем, что справедливо следующее утверждение.
Теорема. Пусть электрические и магнитные ДИ располагаются в точках Мп € S, множество которых {Мп}^=1 таково, что {Мп}п=1 = S, т. е. всюду плотно на S. Пусть, кроме того, ДИ в каждой точке Мп ориентированы вдоль пары векторов v(Mn), тангенциальных к поверхности в данной точке и которые образуют базис вместе с вектором внешней нормали к S. Тогда указанная система дискретных источников полна и замкнута в пространстве L^-(dDi).
Доказательство. Выберем некоторую точку Мп из данного множества. Соответствующие поля расположенных в ней электрических и магнитных ДИ, определенные через фундаментальное решение уравнения Гельмгольца в однородной среде ф(М, Мп), имеют вид
w„ = -i— rotrot{^(M,Mn)v(Mn)}, Vn = rot{^(M,Mn)v(Mn)}.
Hi
Здесь МеД.В соответствии с утверждением теоремы надо доказать, что Vn € N и V J € L^(dDi) из выполнения системы уравнений замкнутости
{Wn, J)b2 = 0, (Vn,J)L2 = 0 (3)
следует равенство J нулю почти всюду в L^-(dDi): J ос 0.
Из (3) и соотношения {Мп}С^=1 = S следует, что для VM € S, Р € dDi справедливо
J rotp Totp{ip(P, M)v(M)} • J(P) dap = 0, J rotPj>(P, M)v(M)} • J(P) daP = 0.
dDi dDi
Используя известные формулы векторного анализа, перепишем эти соотношения в виде
v(M) • rotM rot д./ J ф(Р, M)J(P) dap = 0, v(M) • rotM J Ф(Р, M)J(P) daP = 0. (4)
dDi dDi
Теперь введем в рассмотрение функции, удовлетворяющие уравнениям Максвелла в Д и условиям излучения на бесконечности по способу своего построения:
Е(М) = —rotM rotM / 'Ф{Р, М)З(Р) dap = 0,
к£гЦг J
dDi
H(M) = ^ — rotM [ Ф{Р, M)3(P) dap = 0, М» J
M € Dj.
dDi
Эти функции в силу (4) также удовлетворяют на Б условиям
Е(М)-у(М) = 0, Н(М)-У(М) = 0. (5)
Это значит, что компоненты Л\г обращаются в ноль в произвольной точке М € в.
При наложенных условиях (5) нормальные компоненты НП(М), Еп{М) к данной поверхности дЩМ) Ш(М)
и производные —--, —-- на Ь будут также равны нулю. Это следует из покомпонентной
оп оп
3 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 1
записи уравнений Максвелла в локальном прямоугольном базисе с началом в точке Л /. образованном двумя перпендикулярными касательными векторами у(М) и вектором нормали к поверхности п(М), с учетом того, что ШуЕ = сНуН = 0. Равенство нулю компонент Еп, П^. II,, в произвольной точке М € в означает, что всюду на поверхности Б выполняется Е = О, Н = 0.
Покажем, что соотношения Е(М) = 0, Н(М) = 0 справедливы во всей области Е^. Для этого запишем задачу Коши для уравнения Гельмгольца:
' (Д + к2)Е = 0 всюду в /),.
Е = 0 на <5, ^^
дЕ
—— = 0 на Б.
оп
Первое уравнение в системе (6) можно легко получить из уравнений Максвелла и соотношений векторного анализа. Справедливость второго и третьего уравнения установлена выше. Поставленная задача Коши однозначно разрешима и имеет только тривиальное решение Е = 0 в некоторой окрестности поверхности 5сД. Тогда поскольку Е — аналитическая функция в области I),. то Е = 0 во всей области Е^ [4].
Из полученного соотношения Е(М) = 0 всюду в Е^ следует, что
rot rot J ф(Р, M)J(P) dap = 0 всюду в Dj.
9Di
Согласно лемме 3.1, приведенной в работе [2], это означает J ос 0 в L2(<9Dj), что и требовалось доказать.
В соответствии с концепцией гибридной схемы МДИ наша цель — расположить дискретные источники на линии внутри частицы. Рассмотрим случай осесимметричного рассеивателя Е^. Введем локальную сферическую систему координат (R,6,<f)), в которой угол в отсчитывается от оси симметрии. Согласно теореме расположим полную систему ДИ на незамкнутом цилиндре S d Е^ ось которого совпадает с осью симметрии рассеивателя.
Воспользуемся разложением в ряд фундаментального решения уравнения Гельмгольца ф(М, Р, к) по теореме сложения [2]
оо I
ф{М,Р,к) = -jk^ Е Nlmjl(kRM)Pr(coSeM)h\2\kRp)Pr(coSep)eim^-<l'MK (7)
1=0 т=-1
Здесь М (г S. /•' (г dEi, ji(-) — сферические функции Бесселя, h\2\-) — сферические функции Ханкеля второго рода, -Р™(-) — присоединенные многочлены Лежандра.
Устремим радиус рс выбранной цилиндрической поверхности S к нулю. Тогда получим следующий набор ДИ в каждой точке Мп на оси симметрии: три электрических источника, направленные вдоль орт прямоугольного базиса, и три магнитных источника, направленные аналогично.
При этом существенно изменится структура ДИ: P{n(cosвм) Р™(!)• В случае т > 0 это
слагаемое обращается в нуль и исчезают все члены ряда (7) с отличным от нуля т.
В то же время, поле плоской линейно поляризованной волны (2) раскладывается в ряд Фурье по азимутальным гармоникам с помощью соотношения
сю
exp(±ji/cos ф) = E(2^oTO)(±jrJ™Mcos(rm«, (8)
т=0
где Jm(-) — цилиндрическая функция Бесселя. Нулевой член такого разложения (2) во введенной локальной сферической системе координат будет содержать слагаемые cos(ф), sin(ф), все остальные члены будут содержать линейно независимые тригонометрические функции более высоких порядков по ф. Следовательно, с помощью полученной системы ДИ можно аппроксимировать поля, основной вклад в величину которых вносит нулевое слагаемое ряда Фурье (8).
Для оценки пределов применимости развитого подхода достаточно оценить ошибку при аппроксимации экспоненциального множителя в (2) нулевым слагаемым ряда Фурье (8). Поскольку данный ряд является знакопеременным, используем для оценки последний отброшенный член ряда
(слагаемое при т = 1). Полагая в частном случае сро = 0 (плоскость падения волны не поворачивается), бш^о = 1 (угол падения составляет ж/2, при котором достигается максимальная ошибка) и со б = 1, получим
(коа)
Ыкаа)
< (9)
где а — поперечный радиус рассеивателя, 8 — заданная точность аппроксимации, ко — волновое число вне рассеивателя.
Таким образом, в данном приближении на оси симметрии внутри рассеивателя всюду плотно располагается множество точек Мп, в каждой из которых находятся три электрических и три магнитных источника, ориентированные вдоль орт декартовой системы координат. При фиксированной длине падающей плоской волны и заданной точности 8 ее аппроксимации построенная система ДИ может быть использована для решения задачи дифракции на рассеивателе в свободном пространстве при сделанных ограничениях (9) на толщину частицы.
Сказанное выше может быть обобщено на случай задачи с подложкой, если вместо фундаментального решения уравнения Гельмгольца в однородной среде ф(М,Мп) использовать тензор Грина полупространства для построения полей внешних ДИ. Тензор Грина позволяет аналитически учесть взаимодействие между частицей и поверхностью подложки. В приведенной постановке задачи (1) он принимает вид [5]
Се,н(М, Мп) =
Компоненты тензора являются интегральными представлениями Зоммерфельда:
Ое'к О О
О Ое'н О
дде,н/дхм дде>н/дум Он>е
оо оо
Ое'к(М,Мп) = I «7о(Аде'к(М,Мп) = ^ «70(Аг)г/|^(А, г, гп)\й\. о о
Здесь использованы следующие обозначения: г2 = р2 + р2п — 2ррпсоз((р — (рп), где (рп,(рп,гп) — цилиндрические координаты точки источника Мп во введенной в п. 2 системе координат (р, (р, г); М — точка наблюдения, в которой будут вычисляться поля источников; Я2ММп = г2 + (г — гп)2, </о(') — цилиндрическая функция Бесселя. Спектральные функции электрического и магнитного типов г/®^, обеспечивающие выполнение условий сопряжения на границе раздела сред Е,
имеют следующие представления:
( ехр(-т70|г - хп\) е Н
е7г I -+ (А,гп) •ехр(-?7ог;), гп > 0, г ^ О,
(Х,г,гп) = < щ
А, >0, г < О,
е Ь ГЛз'^А^п) •ехр(-?7ог;), гп > 0, г ^ О,
^31 (А; хп) ~ N н
>0, г < 0.
Здесь г)2 = А2 — к2, к^ — волновое число в Д^. Спектральные коэффициенты А^, В^ определяются из условий непрерывности на границе раздела сред г = 0:
Ае,нп ч _ Хо'к - х\'Н ехРде,йа ч _ ^Хо* ехР(-^О^п)
Хо +Х1 % Хо +Х1 %
ле,кп ч _ 2«-ехр (-Г]дгп) е,ЛА ч _ (VI ^Л 2к-ехр (—77о^те)
А31 1л; гп) — , е , е\г Ь. , Ьл ' 31 1Л; гп) ~ I ; —
(Х§+Х!)(Х& + Х?) " ЧМо ео! (хео+ХеМ + х1)
е Щ П Щ 1 1
Хс = —, Хс = — , «=---
Мс £С
Щ((М) = -¿-V X Е%(М), С = 0,
Тогда векторные потенциалы внутренних и внешних ДИ для задачи с подложкой примут следующий вид во введенной в п. 2 декартовой системе координат:
A l'h( = {Ge'h, 0, dge'h/dxM}, = {МЬЯммЛ 0, 0},
А^ = {0, Ge>h, дд^/дум}, А^ = {0, jo{hRMMn), 0}, (10)
А^ = {0, 0, Gh>e}, A«J = {0, 0, j0(MWj}.
Здесь С = 0,1 — индекс полупространства, jo(-) — сферическая функция Бесселя, ki = к^/ЕЦц — волновое число в /),. Яммп — расстояние между точками М и Мп.
4. Вычислительный алгоритм. С учетом выбранной структуры ДИ (10) для приближенного решения справедливо следующее представление:
nC 3 Г 1 1
ЕЖ (М) = Е Е iin7-Vv X V X А® ^ + q<-v X ,
п=1а=1 1 Е( ) (И)
С (1\л\ — Х7 v т?С кц(
Здесь N^ — число координат ДИ для представления поля в соответствующей области (т. е. число точек в соответствующем наборе располагающихся на линии внутри рассеивателя), р — амплитуды полей электрических диполей, q — амплитуды полей магнитных диполей. Выбранные таким образом поля ДИ аналитически удовлетворяют системе уравнений Максвелла в задаче (1) в областях -Сод,?, условиям на бесконечности для рассеянного поля в _D0,i и обеспечивают выполнение условий непрерывности для тангенциальных компонент полей на границе раздела сред z = 0. Полное поле также удовлетворяет условиям сопряжения на поверхности подложки, поскольку и для поля внешнего возбуждения (2), и для построенного рассеянного поля (11) эти условия выполнены. Следовательно, для решения задачи дифракции необходимо определить неизвестные наборы амплитуд ДИ д£, аппроксимируя соответствующие условия сопряжения полей только на поверхности рассеивателя, которые принимают форму
ПрХ(Е<-Е^) = ПрХЕ8, пр х (Hj - Hq ) = np xHj. (12)
Для определения неизвестных амплитуд ДИ используется вычислительный алгоритм, известный как обобщенный метод коллокаций. Его реализация осуществляется в три этапа. В первую очередь генерируется сетка из точек коллокации, принадлежащих поверхности рассеивателя. На втором этапе в каждой точке коллокации осуществляется сшивка полей с использованием известных представлений (2) и (11), и граничные условия (12) аппроксимируются переопределенной системой линейных уравнений. Неизвестными в данной системе являются амплитуды ДИ. Наконец, сформированная в матричном виде переопределенная система решается относительно амплитуд ДИ методами минимизации невязки в норме I2 на поверхности частицы. Вычисление значения поверхностной невязки выполнения граничных условий на другом наборе точек коллокаций дает апостериорную оценку погрешности результата.
Определив амплитуды ДИ, мы получаем полную информацию о рассеянном поле вне частицы, в том числе о распределении интенсивности рассеянного поля в дальней зоне. В верхнем полупространстве оно характеризуется дифференциальным сечением рассеяния (или Differential Scattering Cross-Section, DSC), в подложке — индикатрисой рассеяния. Диаграмма рассеяния F(0, во, <р) в обоих случаях зависит от угла падения плоской волны и определяется следующим образом:
EfW =ехр{фЩ¥С{вЛи(р) + 0{1,К% Д=|МНоо, Л/ е />,,
—" - — К
Е °(М)
Здесь в — зенитный угол сферической системы координат, которая соответствует введенной при постановке задачи цилиндрической системе (р, (р, z).
Выражения для DSC и индикатрисы рассеяния через величину F^ могут быть получены в явном виде, если воспользоваться асимптотикой интегралов Зоммерфельда при i? —> оо [2]. В результате искомую диаграмму можно построить без существенных вычислительных затрат, поскольку
ее компоненты будут представлены в виде линейной комбинации элементарных функций с весовыми множителями р, д.
Итоговое распределение интенсивности в дальней зоне в верхнем полупространстве выражается формулой
DSC, мкм2
-90 -60
eemjrinnnnnnRnnnuuw.
□ Бобберт, Влигер: Р о Бобберт, Влигер: S
— МДИ, гибридная схема: Р
— МДИ, гибридная схема: S
-30
Рис. 1. Диаграммы рассеяния для сферы а = 7 нм, падение под углом во = 60°
DSC, мкм2
10 1
10"
10"1
□ МДИ, общая схема: Р о МДИ, общая схема: Б — МДИ, гибридная схема: Р —МДИ, гибридная схема: Б
-90 -60 -30 0 30 60 90
Рис. 2. Диаграммы рассеяния для сфероида а = 7 нм. b = 28 нм. падение под углом во = 60°
DSC, мкм2
е
Рис. 3. Диаграммы рассеяния для сфероидов а = 10 нм с различным соотношением полуосой, падение под углом в0 = 60° (гибридная схема МДИ)
DSC, мкм2
Рис. 4. Диаграммы рассеяния плоской Р-поля-ризованной волны для сфероида а = 20 нм, Ь = 200 нм
5. Численные результаты. Тестирование предложенной модели проведено с помощью построения DSC, его сравнения с другими методами для идентичных частиц и проведения апостериорной оценки погрешности (рис. 1 4).
Рассматривается дифракция плоской волны (2) с длиной А = 532 нм на вытянутом сфероиде из оптического стекла (крон, щ = 1.52), расположенном на кремниевой подложке {п\ = = 4.15 — 0.047j). Большая ось симметрии сфероида параллельна оси х. Варьируется радиус его поперечного сечения а и большая полуось Ь. Теоретическая оценка (9) при заданной величине а является априорной оценкой погрешности. Диаграммы DSC строятся в плоскости падения волны
(ра = 0.
На рис. 1, 2 приведено сравнение диаграмм рассеяния, полученных по гибридной схеме МДИ, с аналогичными диаграммами, полученными по методу Бобберта, Влигера [6] и по общей схеме МДИ [2] для сферы радиуса а = 7 нм и сфероида с полуосями а = 7 нм, b = 28 нм. Априорная оценка
погрешности при выбранном а составляет 9%. Апостериорная оценка погрешности не превышает 1% для сферы и 4% для сфероида. Сравнение также подтверждает работоспособность развитого подхода.
На рис. 3 приведены диаграммы рассеяния для двух вытянутых сфероидов с одинаковыми а = 10 нм и различными Ь\ = 50 нм, Ьг = ЮО нм, полученные по гибридной схеме. Априорная оценка погрешности равна 12%. Апостериорная оценка погрешности не превышает 10%.
Вычислительный эксперимент показал, что гибридная схема МДИ работоспособна и при больших поперечных размерах рассеивателя (рис. 4). В данном случае проведено сравнение построенных диаграмм с общей схемой МДИ для сфероида с параметрами а = 20 нм, b = 200 нм при различных углах падения плоской Р-поляризованной волны. При этом апостериорная оценка погрешности составляет 13%, тогда как априорная оценка равна 24%.
6. Заключение. Предложена гибридная схема метода дискретных источников, позволяющая проводить анализ рассеивающих свойств тонких вытянутых наноструктур, находящихся на подложке. Проведено теоретическое обоснование данной схемы и реализован соответствующий вычислительный алгоритм. Верификация метода проведена с помощью сравнения численных результатов с другими методами, а также с помощью апостериорной оценки точности расчетов. В результате вычислительных экспериментов показано, что априорная оценка точности, полученная теоретически, является завышенной и гибридная схема МДИ может работать в более широком диапазоне параметров.
Авторы выражают благодарность Томасу Вриду за полезные обсуждения в ходе подготовки работы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Климов В. В. Наноплазмоника. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010.
2. Еремин Ю. А., Свешников А. Г. Метод дискретных источников в задачах рассеяния электромагнитных волн // Успехи современной радиоэлектроники. 2003. № 10. С. 3-40.
3. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1970.
4. Колтон Р., Кресс Д. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир, 1987.
5. Дмитриев В. И., Захаров Е. В. Метод интегральных уравнений в вычислительной электродинамике. М.: МАКС Пресс, 2008.
6. Bobbert P.A., Vlieger J. Light scattering by a sphere on a substrate // Physica. 1986. 137A. N 1, 2. P. 209-242
Поступила в редакцию 23.03.15
HYBRID SCHEME OF THE DISCRETE SOURCES METHOD TO ANALYZE BOUNDARY VALUE PROBLEMS IN NANO-OPTICS
Eremin Yu. A., Lopushenko I. V.
The problem of plane linearly polarized wave scattering by a nanoscale elongated particle deposited on a penetrable substrate is considered. The discrete sources method hybrid scheme is used to construct the solution taking into account the particle's geometry. The mathematical justification of the proposed scheme is conducted under the given limitations on the particle's cross-section. Numerical results illustrating the capabilities of the developed approach are presented.
Keywords: discrete sources method, nano-optics, diffraction, scatterer on a substrate.
