CC BY
15
6. Сушко В. Г. Асимптотические решения некоторых сингулярно возмущенных уравнений смешанного типа // Фундаментальная и прикладная математика. 1997. 3. № 2. С. 579-586.
7. Розов Н.Х., Капустина Т.О. Одна краевая задача для эллиптико-параболического уравнения // Дифференц. уравн. 2001. 37. № 6. С. 847-848.
8. Loheac J.-P., Kapustina Т. Asymptotic and numerical analysis of mixed type equation // Proceedings of International Miniconference "Qualitative Theory of Differential Equations and Applications". M.: MESI, 2013. P. 179-189.
9. Лоэак Ж.-П., Капустина Т. О. Асимптотическое и численное исследование эллиптико-параболического уравнения // Таврический вестник информатики и математики. 2015. 26. № 1. С. 50-61.
10. Капустина Т. О. Об асимптотическом решении сингулярно возмущенной краевой задачи для уравнения смешанного типа // Ученые записки Таврического Национального ун-та им. В. И. Вернадского. Сер. Математика. Механика. Информатика и кибернетика. 2006. 19(58). № 2. С. 31-34.
11. Бутузов В.Ф. Угловой погранслой в сингулярно возмущенных задачах с частными производными // Дифференц. уравн. 1979. 15. № 10. С. 1848-1862.
12. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966.
Поступила в редакцию 21.06.17
УДК 519.63:535.42
Ю. А. Еремин, И. В. Лопушенко2
УЧЕТ ЭФФЕКТА НЕЛОКАЛЬНОСТИ ПРИ РАССЕЯНИИ СВЕТА НА ПЛАЗМОННЫХ НАНОЧАСТИЦАХ В ГИБРИДНОЙ СХЕМЕ МЕТОДА ДИСКРЕТНЫХ ИСТОЧНИКОВ
Рассмотрена трехмерная задача дифракции поля плоской волны на плазмонной на-ночастице с учетом эффекта нелокальности. Решение построено на основе модифицированной вычислительной схемы метода дискретных источников. Проведено численное исследование влияния эффекта нелокальности на рассеивающие свойства сферических наночастиц при их деформации.
Ключевые слова: метод дискретных источников, нанооптика, дифракция, эффект нелокальности.
1. Введение. В настоящее время ведутся активные исследования в области проектирования и оптимизации наноплазмонных структур с использованием математического моделирования, основанного на классической теории Максвелла. Если размер рассматриваемой структуры составляет менее 10 нм, то классическая электродинамическая теория не применима для описания возникающих физических эффектов. В этом случае необходим учет так называемого эффекта нелокальности (ЭНЛ).
В силу выдающихся успехов наноплазмоники и ее широкого внедрения во многие области человеческой деятельности, начиная от диагностики и лечения заболеваний до жидкокристаллических дисплеев и солнечных элементов, проблема учета ЭНЛ становится все более актуальной [1]. Как было установлено, ЭНЛ может существенно исказить рассеивающие свойства плазмонных структур. Задача исследователя, как правило, состоит в необходимости точно определить положение максимума и интенсивность плазмонного резонанса, происходящего в наноструктурах. Это положение зависит от материала их составляющих, от формы частиц и их размеров, от свойств окружающей среды и поляризации внешнего возбуждения. Учет ЭНЛ может существенно изменить положение и интенсивность пика плазмонного резонанса (ПР), а также структуру ближнего поля, которая может включать в себя неизлучающие компоненты полей [2, 3].
1 Факультет ВМК МГУ, вед. науч. сотр., д.ф.-м.н., e-mail: ereminQcs.msu.su
2 Физический факультет МГУ, асп., e-mail: lopushenko.ivanQphysics.msu.ru
* Работа выполнена при финансовой поддержке G-RISC, программа DAAD, проект № М-2017а-6.
В настоящей работе рассматривается задача дифракции плоской электромагнитной волны на металлической наночастице малого диаметра. Для ее решения предлагается модифицированная вычислительная схема метода дискретных источников (МДИ) [4, 5], позволяющая учесть ЭНЛ в приближениях гидродинамической теории (ГДТ) и теории обобщенного нелокального оптического отклика (ОНО) [6, 7]. С помощью данной схемы численно исследуется влияние эффекта нелокальности на рассеивающие свойства плазмонных сферических частиц при их деформации.
2. Особенности численного моделирования нелокального взаимодействия в плазменной среде. Физическая природа ЭНЛ заключается в следующем: по мере того, как размер частиц из благородных металлов (золота или серебра) становится меньше длины свободного пробега электронов в материале (< 10 нм), свободные заряды накапливаются у поверхности частицы, после чего формируется пространственный заряд, образуя ток внутри частицы. В этом случае внутреннее электрическое поле Е уже не является чисто поперечным полем (divE = 0), и для адекватного описания происходящих процессов требуется привлечение продольной составляющей поля (rotE = 0) [6]. Таким образом, представление внутреннего электрического поля требует введения дополнительного члена grad F, где F — решение уравнения Гельмгольца с волновым числом, отличным от волнового числа, связанного с поперечным полем. Это число в рамках различных теорий определяется по-разному. В настоящее время наиболее популярными являются ГДТ и ОНО, в рамках которых рассматривается уравнение движения свободных электронов внутри частицы. На основе этого рассмотрения определяется соответствующее продольное волновое число [8, 9].
Учет дополнительного члена внутреннего поля требует наличия дополнительного граничного условия для обеспечения единственности решения задачи рассеяния. Это условие формулируется как обращение в нуль нормальной составляющей внутреннего тока на границе, которое затем трансформируется в условие для нормальной составляющей поля вблизи поверхности частицы [6]. Заметим, что ЭНЛ необходимо учитывать и при анализе тонких металлических пленок, а также с учетом полостей в металлах или частицах, имеющих острия или участки малой кривизны [10].
В случае рассмотрения однородных плазмонных частиц наиболее подходящими являются поверхностно-ориентированные вычислительные методы [11]. Это связано с тем, что учет эффекта нелокальности приводит к необходимости рассмотрения решения уравнения Гельмгольца с волновым числом существенной величины (десятки единиц). Как было показано в ходе расчетов [12], соответствующее безразмерное волновое число (kd, где d — диаметр частицы) может превышать по амплитуде 20. Большинство прямых методов ограничено дискретизацией сетки, которая составляет около 0.2 нм, но в случае ЭНЛ эта дискретизация может оказаться недостаточной для достижения требуемой точности результата. Дело в том, что в этом особом случае размер ячейки сетки определяется длиной волны Ферми внутри частицы, которая, например, для золота составляет Хр = 0.5 нм.
Среди подобных методов определенными преимуществами обладает МДИ [4, 5]. Он не требует ни генерации сеток, ни использования процедур интегрирования по поверхности рассеивателя. Он позволяет в аналитическом виде получать как ближнее, так и дальнее поле, решая задачу одновременно для всего набора внешних возбуждений. Уникальной особенностью метода является то обстоятельство, что он дает возможность получить апостериорную оценку точности найденного решения. Это позволяет контролировать реальную сходимость приближенного решения к точному.
3. Постановка задачи. Рассмотрим задачу дифракции поля плоской электромагнитной волны {ЕШС,НШС} на металлической наночастице Dj в однородной изотропной среде DQ. Обозначим:
— рассеянное поле в Z)q, {Eq^, Hq^} — полное поле в каждой из областей Dq^, во, /¿о — материальные характеристики среды D0, к = 2я/\, где А — длина волны внешнего возбуждения, = к2£оЦо — волновое число в среде DQ. Кроме того, предположим, что поверхность наночасти-цы dDi С С2, а электромагнитное поле имеет гармоническую зависимость от времени вида e^ut. Здесь и далее j — комплексная единица.
Прежде, чем перейти к математической формулировке задачи, введем новые понятия, необходимые для корректного учета ЭНЛ. В первую очередь нам потребуются Ет — электрическое поле поперечных волн с соответствующим волновым числом кт и Е^ — поле продольных волн с волновым числом кь- Далее, введем обозначения для экспериментально измеренной диэлектрической проницаемости металла Ет и вклада в диэлектрическую проницаемость от связанных электронов
и ионов с учетом межзонных переходов ер. Связь между этими величинами определяется по формуле, записанной в соответствии с теорией Друде-Зоммерфельда оптических свойств металлов с учетом выбранной временной зависимости [13]:
£ь = £т - ш2р/ у7Ш - ш2) ,
где ш — частота колебаний электромагнитного поля, 7 — частота столкновений электронов, шр — плазменная частота металла.
Кроме того, нам так же потребуется величина характеризующая пространственный масштаб ЭНЛ. Следует отметить, что значение данной величины сильно зависит от выбранного теоретического подхода, используемого для описания ЭНЛ, а также от сделанных при этом предположений. В частности, в настоящей работе предполагается, что диэлектрическая проницаемость е(г, г',ш) однородной плазмонной среды является скалярной величиной и нелокальный отклик определяется как поправка /(г — г',ш) к данной величине
ф, г', ш) = е(и)6(г - г') + /(г - г', ш),
удовлетворяющая для каждого ш следующим условиям [6]:
У"г/(г,а;)йг = 0, у"г2/(г,о;)(гг = 2С2.
В рамках подходов ГДТ и ОНО значения обозначенные как и соответственно, могут быть вычислены по формулам
= еьР2/ {ш2 - лш) , <2; г,. (/З2 + В (7 + ]ш)) / (о;2 - леи) ,
где I) — коэффициент диффузии электронов, /З2 = 3/5Ур, Ур — скорость Ферми. Далее при использовании обозначения £ будем подразумевать, что вместо него можно подставить любую из величин £я и в зависимости от выбранного подхода к учету ЭНЛ. Отметим, что при /3 = 0 и I) = О величина £ обращается в нуль, что соответствует локальному случаю.
С учетом сказанного выше для продольных и поперечных волновых чисел справедливы следующие выражения:
кт = к2ет^и = етЦ2,
где /¿г — магнитная проницаемость наночастицы.
Теперь, воспользовавшись основным уравнением для напряженности электрического поля в плазмонной среде и необходимым дополнительным граничным условием, сформулированными в работе [6] в рамках подходов ГДТ и ОНО, запишем полную математическую постановку рассматриваемой граничной задачи дифракции:
гоШДМ) = ]к [егЕг(М) + £2 graddivEi(M)] , гоШ0(М) = </&£0Е0(М),
тоЬВг(М) = -^//¿НДМ), кЛЕ0(М) = —¿кцоНоЩ),
Щ{М) = ЕГ(М) + Еь(М), М € А, Е0(М) = Е5(М) + Е'ПС(М), М е А,
Пр X [Е¿(Р) - Е31 (Р)] = Пр х Е'ПС(Р), Пр X [Нг(Р) - Н3(Р)} =ПрХ №ПС(Р),
пр-^Е<(Р) = пр-е0Ео(Р), Ре 9А, М
Нт г
г—>оо
^Е^М) х ^Н^М^ = 0, г = \М\^оо.
Здесь пр — внешняя единичная нормаль к поверхности ¿?А- Следует отметить, что продольная компонента внутреннего поля не вносит вклад в магнитное поле
В качестве внешнего возбуждения в данной работе мы будем рассматривать плоскую Р-поляризованную волну, распространяющуюся вдоль оси г декартовой системы координат:
Е'ПС(М) = ехр (-¿к0г)ех, Н1пс(М) = щ ехр(-3к0г)еу. (2)
Здесь {е^е^е^} — базис декартовой системы координат, п1 = В качестве металлической
наночастицы будем рассматривать сфероид как сплюснутой, так и вытянутой формы. Условимся,
что начало системы координат всегда лежит в центре сфероида, а направление оси г совпадает с направлением большей оси в случае вытянутого сфероида и с направлением меньшей оси в случае сплюснутого сфероида. Пусть также 1т £т, 1т е^ < 0. Тогда будем полагать, что граничная задача дифракции (1) с внешним возбуждением (2) имеет единственное решение.
4. Математическая модель трехмерной задачи дифракции на основе гибридной схемы метода дискретных источников. Будем строить решение для полей вне и внутри рассеивателя на основе гибридной схемы МДИ [14]. В рамках данного подхода решение поставленной задачи дифракции строится на основе суперпозиции полей электрических и магнитных дискретных источников (ДИ), являющихся аналитическими решениями системы уравнений Максвелла. Для построения полей в каждой из областей £>о,г выбираются различные ДИ, вид которых
определяется на основе решений соответствующих уравнений Гельмгольца: сферической функции
(2)
Бесселя ]п{-) порядка п внутри частицы и сферической функции Ханкеля второго рода кп (•) вне частицы. При этом для учета ЭНЛ выражение внутреннего электрического поля Е^ = Ет + Е^ строится на основе решений двух уравнений Гельмгольца с волновыми числами кт и к^, независимо описывающих поперечную и продольную компоненты [6]:
(V2 + к?) кЛЕг(М) = 0, (У2 + &|)сНУЕь(М) = 0. (3)
Следуя гибридной схеме МДИ, для описания поперечного поля мы воспользуемся решением в виде источников с векторными потенциалами
А',..„ — jo(kтRммn)ex■, А1,п ~ Зо(ктЯммп)^у, А'. _„ — зо{ктЛммп)Ъх,
где М — точка наблюдения, Мп — точка, в которой располагается источник, еа — один из орт введенной декартовой системы координат, Я\.1М = (ж — хп)2 + (у — уп)2 + {г — гп)2. Для описания продольного поля в настоящей работе мы выберем решение второго из уравнений (3) в виде grad(jl(fc¿i?млfn) вт®созф), где ©и ф — сферические координаты точки М относительно точки Мп. Тогда для полей соответствующих ДИ получим следующие выражения:
Е ¿(М,МП) = grad(il(fciiгMMn)sm©cos^),
п
Е® Г(М, Мп) = --пЛ пЛ Ага п,
кет^г
к 1 Еа = — гot А^, пч
' £т '
Мп) = кЛ Е^г(м, Мп).
Рассеянное поле во внешней области {Е5,Н5} строится аналогично (4) на основе функций
(2)
(ко11ммп), удовлетворяющих условию излучения. Дискретные источники располагаются в N точках {Мп} € А, локализованных внутри рассеивателя. Подчеркнем, что для построения рассеянного поля продольные поля не привлекаются, поэтому для его описания достаточно величин и где индекс 0 означает вычисление поля в области 1)0. Таким образом, итоговые пред-
ставления для внешнего и внутреннего полей принимают следующий вид:
N
Е /V (Л 7) = ^Г^ЕЦЛ/.Л/,,).
п= i
N
Е = £ Е [р1,пК,т(М1Мп) + я1пКт(М,Мп)},
п= 1 a=x,y,z N
Н f{M) = Y, Yj ba,„H^(M,Mn) + gJ)nH^(M,Mn)], (5)
п= 1 a=x,y,z N
B%(M) = Y, E ba,„E^0(M,Mn) + g°)nE^0(M,Mn)],
n=l a=x,y,z N
Щш) = E 2 + •
n=l a=x,y,z
Поля (5) удовлетворяют всем условиям поставленной граничной задачи (1), за исключением условий сопряжения на поверхности частицы. Неизвестные амплитуды ДИ {pjп, р°а n, g^ni 9а п}гГ=1 определяются с помощью метода коллокаций из граничных условий вида:
£ь [Е£(Р,) + E¿ (Pt)} ■ nP¡ = eQ [E&(P,) + Einc(P;)] • nPj, [Е£(Р,) + Е£(Р,)] .TPj = [Е|(Рг)+Е1пс(Рг)] -tpj,
[е£(Р,) + Е£(Р,)] -tPj = [Е|(Рг) + Е1пс(Рг)] -tPj, (6)
Hf (Рг) • tPj = [HsN(Pi) + Н1пс(Рг)] • rPj,
Hf (Рг) -tPj = [Hjy-(Pí) + Hinc(P¿)] • tP(, {P,}^ G ад,
где r, t,n — касательные и нормальный векторы к поверхности рассеивателя 9А; образующие правую тройку. Система (6) выбирается переопределенной: число точек коллокаций К превышает число неизвестных амплитуд 13N. Амплитуды ДИ определяются как нормальное псевдорешение данной системы с использованием регуляризации А. Н. Тихонова в норме 12В данной работе для вычисления координат точек коллокаций поверхность сфероида разбивается на участки равной площади, в центре каждого из которых и располагается точка P¡. Вычисление апостериорной оценки погрешности осуществляется с помощью ввода другого набора точек {Bi}¡_1 G dDi, координаты которых соответствуют границам данных участков. Тогда погрешность вычислений определяется как невязка системы граничных условий на A в норме 1,2 для набора точек {B^¡_1 относительно решения, полученного с помощью системы (6).
Получив амплитуды ДИ, легко вычислить диаграмму направленности рассеянного поля F, которая определяется как
Е S(M)/ |Einc(M) I = ехРЬ-роД)р(0од ^ + о(Р"2), Р —У сю.
К
На ее основе вычисляются такие характеристики рассеяния, как дифференциальное сечение рассеяния (DSC) и полное сечение рассеяния а:
DSC(0o,#,¥>) = \F0(e,he,ip)\2+ \F^(e,he,cp)\\ а(во) = J DSC(0o, в,<р) dÜ.
п
Здесь fi — единичная сфера, {Р, в, ip} — сферические координаты точки Л /. соответствующие выбранным ранее декартовым координатам.
5. Результаты численных экспериментов. В качестве рассеивателя будем поочередно рассматривать серебряные наносфероиды с различными соотношениями сторон г и варьируемым эквиобъемным диаметром d. Расчетные параметры равны Ншр = 8.99 эВ, lij = 0.025 эВ, vp = 1-39 • 106 мс-1. D = 3.61 • 10~4 м2с-1 [6]. Кроме того, будем полагать, что £q = /¿о = = 1. Показатели преломления серебра в рассматриваемой спектральной области определим с помощью работы [15].
Для апробации предложенного алгоритма рассмотрим сферическую наночастицу (?• = 1) с диаметром 6 нм. На рис. 1 приведено сравнение соответствующего полного сечения рассеяния в локальном приближении, а также в приближениях ГДТ и ОНО. Графики, представленные сплошными линиями, получены с помощью аналитического решения, выписанного для сферических на-ночастиц [6]. На данных графиках нанесены точки, соответствующие результатам, полученным по вычислительной схеме МДИ и демонстрирующим хорошую степень точности предложенной модели. Апостериорная оценка погрешности МДИ во всех рассмотренных случаях не превышает 1%. Видно, что учет ЭНЛ с помощью ГДТ и ОНО оказывает значительное влияние на положение максимума плазмонного резонанса и интенсивность рассеяния.
4cr/(itd2)
X, нм
Рис. 1. Полное: сечение рассеяния для сферы диаметром й = 6 нм. Аналитическое решение: 1 локальное: приближение; 2 ГДТ; 3 ОНО. Численная схема МДИ: 4 локальное: приближение; 5 ГДТ; 6
ОНО
4a/(nd2)
X, нм
Рис. 2. Полные сечения рассеяния для сфер диаметром от 4 нм до 10 нм. Локальное приближение
сплошные линии; ОНО-приближение пунктирные линии
На рис. 2 показано изменение полного сечения рассеяния в зависимости от размеров наносферы в локальном и ОНО-приближениях. Эти результаты получены с помощью гибридной схемы МДИ, апостериорная оценка погрешности составляет менее 1%. Видно, что у нелокальных частотных
характеристик меняется не только интенсивность рассеяния, но и происходит сдвиг ее максимума в коротковолновую область с уменьшением размера частицы: для сфер диаметром 4 нм и 10 нм разница между положениями пика плазмонного резонанса составляет А = 5 нм. Локальные расчеты при этом отражают лишь изменение интенсивности рассеяния, что также иллюстрирует влияние ЭНЛ на оптические свойства наноструктур. Кроме того, изображение на рис. 2 подтверждает, что учет ЭНЛ важен именно для небольших частиц, так как с увеличением диаметра частицы влияние нелокальных эффектов постепенно уменьшается.
4ет/(яс1 ) 7,0x10"3-]
4ст/(тсс1)
2,0x10-
5,0x10"-
-г =1.0
-г =1.2
-г =1.5
.......г =1.0
----г =1.2
---г =1.5
а Л, нм б X, НМ
Рис. 3. Полные: сечения рассеяния: а для сплюснутых сфероидов; б для вытянутых сфероидов. Локальное приближение сплошные линии; ОНО-приближение пунктирные линии. Эквиобъемный диаметр
в, = 6 нм
Перейдем к анализу рассеивающих свойств деформированных сферических частиц методом дискретных источников. В качестве образцов рассмотрим сплюснутые (рис. 3,а) и вытянутые (рис. 3,6) наносфероиды с фиксированным эквиобъемным диаметром в, = 6 нм и будем варьировать г. Вычислительный эксперимент с оценкой погрешности менее 2% показывает, что при увеличении г для сплюснутого сфероида происходит смещение пика плазмонного резонанса в длинноволновую область и увеличение его интенсивности, что согласуется с существующими экспериментальными данными [16]. В случае вытянутого сфероида при его деформации вплоть до г = 1.5 происходит спад интенсивности резонансного пика одновременно с его сдвигом в коротковолновую часть спектра. Данные результаты в целом справедливы как в локальном, так и нелокальном ОНО-приближении. Однако, как показывают расчеты, нелокальные спектральные характеристики наноразмерных рассеивателей существенно отличаются от классических.
Отметим, что сплюснутые сфероиды являются одним из возможных способов описания на-нодисков, широко распространенных в современных приложениях наноплазмоники. Поэтому особый интерес представляет корректное моделирование соответствующих дифференциальных и интегральных характеристик рассеяния, требующее строгого учета ЭНЛ и осуществимое в рамках предложенного подхода. Кроме того. ЭНЛ необходимо учитывать при анализе рассеивателей из других материалов, таких, как золото или полупроводник.
6. Заключение. Для анализа рассеяния электромагнитных волн на плазмонной наночастице предложена вычислительная схема метода дискретных источников, учитывающая эффект нелокальности в рамках гидродинамического подхода и теории обобщенного нелокального оптического отклика. Тестирование разработанного алгоритма проведено с помощью сравнения результатов с аналитическим решением для нелокальной сферической частицы. На основе численного моделирования установлено, что при деформации сжатия серебряной сферической наночастицы происходит смещение пика поверхностного плазмонного резонанса в длинноволновую область спектра вместе с ростом его интенсивности, в то время как при деформации растяжения смещение происходит в коротковолновую область с уменьшением интенсивности рассеяния. Приведенные примеры наглядно демонстрируют важность учета вклада ЭНЛ в спектральные характеристики рассеяния наночастиц.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Maier S. A. Plasmonies: Fundamentals and Applications. Springer, 2007.
2. Garcia de Abajo F.J. Nonlocal effects in the plasmons of strongly interacting nanoparticles, dimers and waveguides //J. Phys. Chem. C. 2008. N 112. P. 17983-17987.
3. Toscano G., RazaS., Jauho A-P., et al. Modified field enhancement and extinction by plasmonic nanowire dimers due to nonlocal response // Opt. Exp. 2012. N 20. P. 4176-4188.
4. Еремин Ю.А., Свешников А. Г. Математические модели задач нанооптики и биофотоники на основе метода дискретных источников // ЖВМиМФ. 2007. 47. № 2. С. 266-284. (Eremin Yu. А., Sveshnikov A. G. Mathematical models in nanooptics and biophotonics based on the discrete sources method // Comput. Math, and Math. Phys. 2007. 47. N 2. P. 262-279.)
5. Еремин Ю.А., Свешников А. Г. Метод дискретных источников в теории рассеяния // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 1992. № 4. С. 3-14.
6. Raza S., Bozhevolnyi S.I., Wubs М., Mortensen N. A. Nonlocal optical response in metallic nanostructures (Topical Review) //J. Phys.: Condens. Matter. 2015. N 27. P. 183204.
7. Mortensen N. A., Raza S., Wubs M., et al. A generalized non-local optical response theory for plasmonic nanostructures // Nature Commun. 2014. N 5. P. 3809.
8. Hiremath K.R., Zschiedrich L., Schmidt F. Numerical solution of nonlocal hydrodynamic Drude model for arbitrary shaped nano-plasmonic structures using Nedelec finite elements //J. Сотр. Phys. 2012. 231. N 17. P. 5890-5896.
9. McMahon J. M., GrayS.K., SchatzG.C. Calculating nonlocal optical properties of structures with arbitrary shape // Phys. Rev. B. 2010. 82. N 3. P. 035423.
10. Esteban R., Zugarramurdi A., Zhang P., et al. A classical treatment of optical tunneling in plasmonic gaps: extending the quantum corrected model to practical situations // Faraday Discussions. 2015. 178. P. 151-183.
11. Kahnert M. Numerical solutions of the macroscopic Maxwell equations for scattering by non-spherical particles: a tutorial review //J. Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer. 2016. 178. P. 22-37.
12. Еремин Ю.А., Свешников А. Г. Анализ влияния эффекта нелокальности на рассеивающие свойства плазмонного наноцилиндра методом дискретных источников // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физика, астрономия. 2016. № 5. С. 31-35. (Eremin Yu. A., Sveshnikov A.G. Analyzing the effect of nonlocality on the scattering properties of a plasmonic nanocylinder using the discrete-source method // Moscow Univ. Phys. Bulletin. 2016. 71. N 5. P. 492-497.)
13. Климов В. В. Наноплазмоника. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010.
14. Еремин Ю. А., Лопушенко И. В. Гибридная схема метода дискретных источников для анализа граничных задач нанооптики // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2016. № 1. С. 310. (Eremin Yu. A., Lopushenkol. V. A hybrid scheme of the discrete sources method for analyzing boundary value problems of nano-optics // Moscow Univ. Comput. Math, and Cybern. 2016. 40. N 1. P. 1-9.)
15. Johnson P.B., Christy R. W. Optical constants of the noble metals // Phys. Rev. B. 1972. 6. N 12. P. 4370-4379.
16. Ameer F. S., Varahagiri S., Benza D.W., et al. Tuning localized surface plasmon resonance wavelengths of silver nanoparticles by mechanical deformation //J. Phys. Chem. C. 2016. 120. N 37. P. 20886-20895.
Поступила в редакцию 14.07.17
