CC BY
23
МЕТОД ДИНАМИЧЕСКОГО ИНТЕРФЕРОМЕТРИЧЕСКОГО КОНТРОЛЯ ТОПОГРАФИИ ПОВЕРХНОСТИ И ПРИПОВЕРХНОСТНОЙ ТОМОГРАФИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ ОБЪЕКТОВ И МАТЕРИАЛОВ В.Н. Васильев, И.П. Гуров, А.С. Захаров
Интерферометрические методы широко используются при бесконтактном контроле различных объектов. Интерференционные полосы содержат информацию об исследуемом объекте, которую требуется выделить при обработке интерферометрических сигналов с высокой точностью и помехоустойчивостью. Во многих случаях требуется обрабатывать значительные объемы информации о рельефе поверхности объекта на участках большой площади, а также о приповерхностной томографической структуре объекта, поэтому необходимо обеспечивать повышенное быстродействие интерферометрических систем.
Известные методы обработки интерференционных полос на основе использования метода преобразования Фурье [1, 2] и интерферометрии фазового сдвига [3, 4] не обеспечивают возможности обработки в реальном времени поступления данных вследствие необходимости регистрации полного объема данных перед их обработкой. Кроме этого, для восстановления фазы интерференционных полос, которая, как правило, содержит наиболее важную информацию об исследуемом объекте, в известных методах используется нелинейное функциональное преобразование, которое в условиях воздействия случайных факторов не является оптимальным с точки зрения достигаемой точности восстановления фазы. Значения фазы вычисляются только в пределах [0, 2п), и необходимы специальные операции развертывания фазы, которые не всегда устойчивы в условиях случайных отклонений фазы и воздействия помех.
Метод динамического интерферометрического контроля объектов, предложенный в работе [5] и детально рассмотренный в публикациях [6, 7], обеспечивает анализ интерферометрических сигналов в реальном времени поступления данных при повышенной помехоустойчивости. Метод основан на применении рекуррентных алгоритмов, в которых значение интерферометрического сигнала на каждом шаге дискретизации предсказывается на основе информации, полученной на предыдущем шаге. Ошибка предсказания используется для апостериорной динамической коррекции искомых параметров полос на каждом шаге [8].
Предложенный метод успешно использован при анализе профиля поверхности объектов [9], в оптической когерентной томографии [10], а также при анализе двумерных картин интерференционных полос [11, 12].
В настоящей работе рассматриваются особенности рекуррентных алгоритмов и представлены экспериментальные результаты обработки двумерных картин интерференционных полос и интерферометрических сигналов при интерферометрическом контроле топографии поверхности и приповерхностной томографической структуры объектов.
В интерферометрической системе значения интенсивности интерференционных полос преобразуются в последовательность отсчетов интерферометрического сигнала
где ^о (к) и $т (к) являются, соответственно, последовательностями значений фоновой
к
составляющей и огибающей полос, к = 1,2,..., К, Ф(к) = /(г)Ах - фаза полос,_/(/) -
г=1
локальная частота полос, Ах -шаг дискретизации в области независимой переменной х,
s(k) = 50 (к) + 8т (к) ^[Ф(к)] + п(к),
(1)
T
Параметры полос составляют вектор параметров 0 = (s0, sm, Ф, f) , компоненты
которого могут быть определены в форме решений стохастических дифференциальных уравнений
(2)
djm = Wsm ((3)
— = 2nfAx + (x), (4) dx
f = wf(x), (5)
учитывающих априорную информацию об интерференционных полосах и возможных случайных отклонениях параметров полос. Случайные возмущения параметров полос
определяютс вектором шума w = (wSo , wSm , , w f) с некоррелированными компонентами, такими, что (w>i (x)) = 0, (wj (x)wy (x')^ = (Gf /2) 5 у 5(x - x'), где Gf -спектральная плотность f-го компонента, 5гу -символ Кронекера, 5(x) - дельта-
функция. Уравнения (2)-(5) показывают, что локальные отклонения фоновой составляющей, огибающей и частоты полос носят случайный характер. Уравнения не учитывают детерминированные значения и изменения параметров за исключением уравнения (4), в соответствии с которым фаза полос изменяется по линейному закону в случае эквидистантных полос. Случайные отклонения фазы учитываются вторым слагаемым в (4). Если доступна априорная информация о детерминированных изменениях параметров, она должна быть соответствующим образом включена в уравнения (2)-(5) [12].
Уравнения (2)-(5) можно объединить в векторное стохастическое дифференциальное уравнение в форме Ланжевена [6, 7] d0
— = f (x, 0) + w( x), (6) dx
где f (x, 0) - детерминированная составляющая, w (x) - случайный вектор. Уравнение (6) определяет эволюцию стохастической динамической системы в пространстве состояний {0}. Такое определение позволяет построить рекуррентные алгоритмы динамического оценивания параметров интерференционных полос в форме алгоритма нелинейной фильтрации Калмана [9, 11, 12]. При этом интерферометрический сигнал характеризуется нелинейной моделью (уравнением наблюдения) вида s(k) = h[0(k)] + n(k), (7)
где h[.] - известная векторная функция, эволюция вектора параметров определяется матрицей перехода F(k) в форме
0(k +1) = F(k )0(k) + w(k), (8)
динамическая оценка вектора параметров вычисляется как
0(k)= 0pr(k)+P(k){s(k)-h[0pr(k)]}, (9)
где 0pr(k) -вектор параметров, предсказанный для k-го шага с (k-1)-ro шага, P(k) -коэффициент усиления фильтра Калмана, определяемый с учетом конкретного вида модели (7) и значений дисперсий параметров и шума наблюдения [9].
Рассмотренный подход обобщается для двумерного случая динамической обработки картин полос [12]. При этом предсказание осуществляется с учетом значений параметров полос в предыдущей строке и предыдущем столбце матрицы отсчетов.
В двумерном случае вводится расширенный вектор параметров 0 = (5о, ¿т, Ф, /н, /у )т, включающий пространственные частоты полос в горизонтальном /н и вертикальном /у направлениях. В окрестности точки (/, у) значения сигнала полос характеризуются вектором [¿-(г, у), ¿(/, у+1), 8(/+1, у), 8(/+1, у+1)]т, в котором
¿(Л 7)=5о(Л У^тО; „/^^^(л /»Х
¿(/+1, /Но^ уН^тО; у^0^^^ 7)+2п/н(/,7)Аx),
¿(г, 7+1)=^о(/, /)+^т(/, у)cos(Ф(/, 7)+2п/у(/,7)Ау),
¿(/+1, у+1)=о(/, №т(г, у)cos(Ф(/, 7)+2п/н(/,7)Ах+2п/у(/,7)Ау).
На рис. 1 представлены примеры обработки картин полос при малом отношении сигнала к шуму, что характерно для задач исследования объектов с шероховатой поверхностью. Из рисунков видно значительное улучшение видности
Рис. 1. Исходные двумерные картины полос, при отношении сигнала к шуму 0.5 (а) и 1.0 (в), и картины полос, полученные в результате двумерной фильтрации Калмана (б), (г)
Алгоритм двумерной нелинейной фильтрации Калмана был использовани для определения профиля поверхности различных материалов, подвергнутых воздействию интенсивных фемтосекундных лазерных импульсов [11]. В качестве примера на рис. 2, в полутонами показан кратер, глубина которого характеризуется разностью развернутых фаз интерференционных картин, полученных до воздействия импульса (рис. 2, а) и после воздействия (рис. 2, б).
Рис. 2. Экспериментальные интерферограммы [11] до (а) и после (Ь) модификации рельефа поверхности и разность развернутых фаз интерференционных полос (в), полученная методом двумерной фильтрации Калмана
Уравнения (6)-(9) составляют основу рекуррентного алгоритма обработки сигналов в интерферометрах малой когерентности, используемых для исследований приповерхностной структуры объектов и материалов [9, 1 о].
Типичный вид интерференционных полос малой когерентности иллюстрируется на рис. 3, в.
Рис. 3. Реализации огибающей (а) и фазы (б) интерференционных полос
малой когерентности (в)
В отличие от уравнения (3) для полос с априорно постоянным значением огибающей, уравнение для огибающей полос малой когерентности имеет вид
йЛ (х - х0 ) ,
— = ---Л + ws
йх
(х),
(10)
а
где Хо - положение максимума огибающей, а - параметр, определяющий ширину контура огибающей. Решениями уравнения (10) являются возможные реализации огибающей, которые в качестве примера иллюстрируются на рис. 3, а.
Для восстановления приповерхностной томографической структуры объекта требуется определять положение максимумов огибающих при контролируем перемещении опорного отражателя в интерферометре [10], при этом максимумы огибающей соответствуют отражению от различных слоев объекта по глубине и тем самым характеризуют внутреннюю структуру объекта.
На рис. 4 представлены экспериментальные томограммы, полученные при исследованиях внутренней структуры материала бумаги и древесных микроволокон [10] с обработкой интерферометрических сигналов методом нелинейной фильтрации Калмана.
Рис. 4. Результаты исследования внутренней микроструктуры материала бумаги (а) и древесных микроволокон (б): исходные данные (вверху) и результаты обработки сигналов малой когерентности методом фильтрации Калмана
Из рис. 4 видно значительное повышение качества получаемой информации при использовании метода фильтрации Калмана, что подтверждает эффективность
разработанного метода анализа внутренней структуры объектов и материалов в динамическом режиме.
Полученные результаты показывают перспективность применения разработанных методов и алгоритмов при осуществлении интерферометрического контроля топографии поверхности и приповерхностной томографической структуры объектов и материалов в научных исследованиях и различных отраслях промышленности.
ЛИТЕРАТУРА
1. Takeda M., Ina H., Kobayashi S. Fourier transform method of fringe-pattern analysis for computer-based topography and interferometry // J. Opt. Soc. Am. 1982. V. 72. P. 156160.
2. Roddier C., Roddier F. Interferogram analysis using Fourier transform techniques // Appl. Opt. 1987. V. 26. P. 1668-1683.
3. Lai G., Yatagai T. Generalized phase-shifting interferometry // J. Opt. Soc. Am. A. 1991. V. 8. P. 822-827.
4. Creath K. Phase measurement interferometry technique // Prog. Opt. 1988. V.26. P. 349383.
5. Gurov I.P., Sheynihovich D.V. Noise-immune phase-shifting interferometric system based on Markov non-linear filtering method, in Statistical and Stochastic Methods for Image Processing / E.R. Dougherty, F. Preteux, and J.L. Davidson, eds. //Proc. SPIE 1996.V. 2823, 121-125.
6. Гуров И.П., Шейнихович Д.В. Определение фазовых характеристик интерференционной картины методом нелинейной марковской фильтрации //Оптика и спектроскопия. 1997. Т.83, №1. С. 147-152.
7. Gurov I.P., Sheynihovich D.V. Interferometric data analysis based on Markov nonlinear filtering methodology // J. Opt. Soc. Am. A. 2000. V. 17. P. 21-27.
8. Гуров И. П. Анализ интерференционных полос на основе методологии рекуррентной нелинейной фильтрации //Оптический журнал. 2000. Т.67, №4. С.17-21.
9. Gurov I., Ermolaeva E., Zakharov A. Analysis of low-coherence interference fringes by the Kalman filtering method //J. Opt. Soc. Am. A. 2004. V. 21. P. 242-251.
10. Alarousu E., Gurov I., Hast J., Myllyla R., Prykari T., Zakharov A. Optical coherence tomography evaluation of internal random structure of wood fiber tissue, in Sixth International Conference on Quality Control by Artificial Vision / K.W. Tobin, Jr., and M. Meriaudeau, eds. // Proc. SPIE. 2003. V. 5132. P. 149-160.
11. Захаров А.С., Волков М.В., Гуров И.П., Темнов В.В., Соколовски-Тинтен К., фон дер Линде Д. Интерферометрическая диагностика кратеров абляции при воздействии фемтосекундных лазерных импульсов //Оптический журнал. 2002. Т.69, №7. С. 40-45.
12. Гуров И.П., Захаров А. С. Анализ характеристик интерференционных полос методом нелинейной фильтрации Калмана // Оптика и спектроскопия. 2004. Т. 96. Вып. 2. С.
