CC BY
45SCIENTIFIC PROGRESS VOLUME 2 I ISSUE 6 I 2021 _ISSN: 2181-1601
MEMBRANANING ERKIN TEBRANISHLARINI MAPLE TIZIMIDA HAL
QILISH
Azimboy Raxmonberdi Azamat Raxmonberdi Muxammadyusuf Abduxakim o'g'li Yusupov o'g'li Yusupov o'g'li Abduvaliyev
O'zbekiston Milliy universiteti Toshkent axborot
texnologiyalari universiteti Farg'ona filiali
ANNOTATSIYA
Ushbu ishda matematik-fizika tenglamalarida ko'p uchraydigan membrananing erkin tebranishini Furye usuli bilan Maple muhitida modellashtirish ko'rib chiqilgan.
Kalit so'zlar: to'g'ri to'rtburchakli membrana, boshlang'ich va chegaraviy
shartlar.
SOLVE FREE OSCILATIONS OF MEMBRANE IN MAPLE SYSTEM
ABSTRACT
In this work is solved the problem of free oscillation of a membrane by the Fourier method in Maple system.
Keywords: rectangular membrane, initial and boundary conditions.
Kirish
Matematik fizika masalalari qo'llanish doirasi nihoyatda keng bo'lib, ular turli fizik, mexanik, biologik, kimyoviy va boshqa jarayonlarni o'rganish bilan uzviy bog'liqdir. Ushbu masalalarda xususiy hosilali differensial tenglamalarni yechish murakkab bo'lib, ko'p vaqtni talab etadi. Ularni yechishda tez- tez qo'llaniladigan bir qator usullar, jumladan o'zgaruvchilarni ajratish, integral almashtirishlar va Furye usullarini dasturiy vositalar yordamida hisoblash yuqoridagi muammolarni hal qilishda yordam beradi. Shunday dasturlardan biri Maple matematik paketi bo'lib, u xususiy hosilali differensial tenglamalar bilan ishlashda katta imkoniyatlarni yaratuvchi funksional amallarga ega: tenglama tartibini aniqlash amali, tenglamani o'zgaruvchilarni ajratish usulida yechishda o'zgaruvchilar bo'yicha tenglamalarni aniqlash amali, aniqlangan tenglamalarni pdsolve operatori asosida yechish amali, o'rniga qo'yish amali va hokazo. Bu imkoniyatlardan foydalanib, to'rt burchakli membrananing erkin tebranishni aniqlash masalasining quyidagi analitik usulda topilgan yechimini Maple dasturi asosida kiritamiz. Bu yechimdan bizga ma'lum bo'lgan [1,2] kvadratik membrana masalasining yechimi hosil bo'lishini ko'rish mumkin.
Membrananing tebranishini aniqlovchi ushbu tenglama berilgan bo'lsin [3] (1):
bir jinsli tenglamaning quyidagi :
u(x,y,0)=F(x,y), ut(x,y,0)=fx,y) (2)
boshlang'ich va chegaraviy:
u(0,y,t)=0, u(l,y,t)=0, u(x,0,t)=0, u(x,m,t)=0 (3)
shartlarni qanoatlantiruvchi u(x,y,t) - yechimini topish masalasini Maple muhitida hal qilinishini ko'raylik. Bu masalani Furye usulida yechish uchun noma'lum funksiyani quyidagi
u(x,y,t)=X(x)Y(y)T(t)
(4)
ko'rinishda izlaymiz. Boshlang'ich va chegaraviy shartlarni e'tiborga olgan holda, (1) tenglamani qanoatlantiruvchi funksiya:
ko'rinishda aniqlanadi, bu yerda ak,n va bk,n koeffitsientlar quyidagicha topiladi:
Q
Masala yechimini Maple dasturida aniqlash
Endi o'rganilayotgan masalaning yechimini Maple dasturi yordamida topishni ko'raylik.
Berilgan masaladagi tenglamani dastur tilida quyidagicha kiritamiz:
> diff(u(x,y,t),t$2)=diff(u(x,y,t),x$2)+diff(u(x,y,t),y$2);
Maple muhitida foydalanuvchi kiritadigan buyruqlari qizil rangda, buyruq natijasi esa ekranda ko'k rangda namoyon bo'ladi [4-5]. Boshlang'ich
> u(x,y,0)=F(x,y);
> Diff(u(x,y,0),t)=f(x,y); äF u{Xty'0) =fiXty) Chegaraviy shart:
> u(0,y,t)=0;u(l,y,t)=0; t)=Q 0=0 Uzbekistan www.scientificprogress.uz
shart:
Page 453
I
> u(x,0,t)=0;u(x,m,t)=0; u(x, o, t) = o u(x, m, t) = o
Bir jinsli differensial tenglamaning o'zgaruvchilarini ajratish usulida yechish:
> PDE:=diff(u(x,y,t),t$2)=aA2*(diff(u(x,y,t),x$2)+ diff(u(x,y,t),y$2)); struc:=pdsolve(PDE,HINT=X(x)*Y(y)*T(t));
Hosil bo'lgan uchta oddiy differensial tenglamalarni yechimini topishda dsolve operatoridan foydalanamiz:
> dsolve(diff(T(t),t$2) = aA2*(_c[l]+_c[2])*T(t));
> dsolve(diff(X(x),x$2) = _c[l]*X(x));
> dsolve(diff(Y(y),y$2) = _c[2]*Y(y));
lex
X{x) = CI eV 1 + _C2 e À1
C X - 1
Bu yechimlarda o'zgarmaslarni quyidagicha almashtiramiz:
> _c[l] = - lambdaA2; c'= r
> _c[2] = - etaA2; -c2= _lf
> dsolve(diff(X(x),x$2) = -lambdaA2*X(x)); X{x) = -C1 + -C2 cos(M
> dsolve(diff(Y(y),y$2) =-etaA2*Y(y)); y0>) = _C1 sin(ri.y) + cos(tiv)
> dsolve(diff(T(t),t$2) =- aA2*(lambdaA2+etaA2)* T(t));
Birinchi tenglamaning X(0)=0 boshlang'ich shartga asosan yechimini topamiz:
> _EnvAllSolutions:= true:
> dsolve( {diff(X(x),x$2)=-lambda A2 *X(x),X(0)=0} ,X(x)) ;
X(0)=0 da C7=0:
Birinchi tenglamaning X(l)=0 boshlang'ich shartga asosan yechimini topamiz:
> solve(cos(lambda*l)=0, lambda);
Ikkinchi tenglamaning Y(0)=0 boshlang'ich shartga asosan yechimini topamiz:
> EnvAllSolutions:= true:
I
> dsolve({diff(Y(y),y$2) =-etaA2*Y(y),Y(0)=0}, Y(y));
Y(0)=0 da Cl= 0:
Ikkinchi tenglamaning Y(m)=0 boshlang'ich shartga asosan yechimini topamiz:
> solve(cos(eta*m)=0,eta);
7i(l + 2_Z2-~) 2 m
Xos qiymatlar : > lambda[k]=k*Pi/l;
K =
kn
I
> eta[n]=n*Pi/m;
Xos qiymatlar asosida xos funksiyalarni topamiz : > X[k,n](x):=sin(k*Pi*x/l);
knx N
X, (x) := sin
k, nv '
/
> Y[k,n](y):=sin(n*Pi*y/m);
Xos qiymatlar asosida uchinchi tenglamaning yechimini topamiz: > dsolve(diff(T(t),t$2) = -aA2*(lambda[k]A2+ eta[k]A2)*T(t));
T{t) =_C1 sin(ö J \ + X2k tj + _C2 cos[a J ï\k + if t > dsolve(diff(T(t),t$2) =- aA2*((k*Pi/l)A2+ (n*Pi/m)A2)*T(t));
na-J k2 m2 + /2 n2 t
T{t)=_Cl sin
I in
+ C2 cos
71 ajk2 m + l2 n2 t l m
> omega[k,n]=Pi*a*sqrt(kA2*mA2+lA2*nA2)/(l*m);
O), =
k, n
„ ii 2 2 , ,2 2 KUyj k m + I n
l m
> T[k,n](t):=A[k,n]*cos(omega [k,n]*t)+B[k,n]* sin(omega[k,n]*t);
Page 455
I
nny
Uk, n& >• ') == {Ak. n C0s(n f) + \ „ Sin(„ f) ) Sln ( ^T ) Sin( '
> U(x,y,t):=Sum(Sum(U[k,n](x,y,t),k=1..infinity), n=1..infinity);
00 00
U(x,y,t) ■■= K*cosK nt) +Bk nsm(<zk j)) sin —
n = 1 k = 1 v
knx
sin
nny m
Bu yechimdagi Ak,n va Bk,n o'zgarmaslarni u(x,y,0)=F(x,y), ut(x,y,0)=f(x,y) boshlang'ich shartlar asosida quyidagicha topamiz, Simplify operatori yordamida ifodalarni soddaroq ko'rinishga keltiramiz:
> simplify(subs(t=0,U(x,y,t)=F(x,y)));
00 00
. f knx | . i nny
- k «Slt1 ~~T sm -~~
« = 1 k=\ ^ 1 ) V m
= F(x,y)
> ut[k,n]:=diff(U(x,y,t),t);
utt -:=
00 CO
2 S(
, UJ, 3111 (CO, t) + B, CO, cos/ Ö), )
k, n k, n V k, n J k, n k, n \ k,n ) )
-A, CO, sini
sin
n — \ k = 1
> simplify(subs(t=0,diff(U(x,y,t),t))=f(x,y));
knx
sin
nny m
B, co, sin,
k, n k, n n = 1 k = 1 v '
knx ] . | nny sin
=f(x,v)
> A[k,n]:=4/(l*m)*int(int(F(x,y)*sin(Pi*k*x/l)* sin(Pi*n*y/m), x=0..l),y =0..m);
> B[k,n]:=4/(l*m*omega[k,n])*int(int(f(x,y)* sin(Pi*k*x/l)* sin(Pi*n*y/m),x=0..l),y =0..m);
> U(x,y,t):=Sum(Sum(U[k,n](x,y,t),k=1..infinity), n=1..infinity);
00 GO
U(x,y, t) := n cos(coA_ n t) + Bk n sin(co^ B t)) sin
n - I k= 1
knx ] . f nny —— sin --
I J V m
Xulosa
Furye usulini faqat tor tebranish tenglamasi uchun emas, balki umumiyroq tenglamalar, xususan issiqlik tarqalishi uchun ham qo'llash mumkin.Furye usulining afzalliklari shundaki, uni fazoviy kordinatalarning soni ko'p bo'lganda ham qo'llash mumkin. Yuqoridagi masala ikki o'lchamli x,y kordinatalar uchun ko'rib chiqildi. Bu Uzbekistan www.scientificprogress.uz Page 456
SCIENTIFIC PROGRESS VOLUME 2 I ISSUE 6 I 2021 _ISSN: 2181-1601
kabi masalalarni kompyuter dasturlari yordamida yechish foydalanuvchini murakkab hisoblashlardan xalos etadi.
REFERENCES
1. Салохиддинов М. Математик физика тенгламалари. Узбекистон-2002
2. Голоскоков Д.П.Уравнение математичеткой физики. Решение задач в среде Maple. Срб: Питер, 2004.
3. Тихонов А.Н.,Самарский А.А. Уравнение математической физики. М.: Наука,1999.
4. James Claycomb, Mathematical Methods for Physics using Matlab and Maple 2018
5. Lori Nichols, Programm Maple Board book 2019.
