Механизм образования неоднородной транспортной пачки и изучение динамики распределения ее величины Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ

УДК 519.21

МЕХАНИЗМ ОБРАЗОВАНИЯ НЕОДНОРОДНОЙ ТРАНСПОРТНОЙ ПАЧКИ И ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЕЕ ВЕЛИЧИНЫ

© 2012 г. А.М. Федоткин

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского fandr@vmk.unn.ru

Постунлла вредакцлю 27.09.2011

Впервые рассматривается теория транспортных потоков, которая частично учитывает свойства как пространственного, так и временного процесса. Динамика распределения числа машин в транспортной пачке находится с помощью решения системы линейных однородных дифференциальных уравнений. Найдено эргодическое распределение числа к0(ю) всех типов машин в транспортной пачке для важного в практике частного случая, когда их количество в пачке не может быть больше двух.

Ключевые слова: случайное событие, эргодическое распределение, динамика распределения, интенсивность потока, плотность потока.

Математической теории транспортных потоков посвящено большое число работ. В частности, материалы некоторых из них широко заимствованы в [1—5]. Следует заметить, что транспортный поток машин существенно отличается от потока случайных событий, который рассматривается в классической теории массового обслуживания. Для транспортного потока важно изучить не только вероятностные свойства последовательности из моментов пересечения машинами так называемой виртуальной стоп-линии, но также необходимо определить свойства случайного расположения автомобилей на автомагистрали. Пусть ^ (?) при t > 0 определяет случайное число машин, пересекающих некоторую поперечную линию магистрали за промежуток времени [0, 0, и ^(0 = ^ - 0), ^(0) = 0. Далее, обозначим через у^) при x > 0 случайное число машин, которые располагаются на участке [0, x) дороги в некоторый фиксированный момент времени, и у^) = у^ - 0), у(0) = 0. Поэтому классическая математическая модель транспортного потока может быть представлена в виде случайного процесса {"л(?): t > 0} во времени, и в виде случайного процесса {у^): x > 0} в пространстве. Для реального транспортного потока между этими различными случайными процессами существует сложная стохастическая зависимость. На это указывает, например, функциональная зависимость интенсивности X

(среднее число автомобилей/время) потока от плотности р (среднее число автомобилей/расстояние) потока, которая получена экспериментальным путем [1] и приведена на рис. 1. На этом рисунке для некоторого потока отмечены максимальное значение ртах плотности, оптимальное значение р0р плотности и максимальное значение Хтах интенсивности. Здесь следует отметить, что в настояшее время неизвестно ни одной работы, посвященной трудной проблеме совместного распределения процессов {"л(?): t >

> 0}, {у^): x > 0}.

В этой работе впервые рассматривается теория транспортных потоков, которая частично учитывает свойства как пространственного, так и временного процесса. При удовлетворительном состоянии дорожного полотна и хороших метеорологических условиях движение неоднородных автомобилей [1] по магистрали может

X

оказаться беспрепятственным и пуассоновским. При плохих погодных условиях (туман, снег, гололед и т.д.) обгон быстрыми машинами медленных является уже рискованным, зависимым и занимает значительное время. В этом случае на интенсивных магистралях будут возникать автоколонны (группы) машин, или транспортные пачки, т.е. транспортные потоки уже не будут пуассоновскими. С такой ситуацией впервые столкнулся в 1963 году Бартлетт [6] при наблюдении за движением машин вблизи Лондона. Для такого типа транспортного потока Бартлетту и другим исследователям не удалось найти подходящего закона распределения для промежутков времени между двумя последовательными пересечениями автомобилями виртуальной стоп-линии. В работе [7] приблизительно в это же время рассматривалась задача об оптимальном управлении транспортными потоками в городе Горьком (Нижний Новгород). При наблюдениях за движением машин на магистралях вблизи Горького и других крупных городов было подмечено, что транспортная пачка состоит из головной машины с медленным движением и очереди из быстрых машин, которые догнали медленную машину и ожидают возможности обгона. Здесь возникает проблема построения математической модели пространственного расположения потока машин на магистрали, свободной от перекрестков. При этом будем использовать идею нелокального описания [8, 9] произвольного потока событий и, тем самым, определять свойства случайного расположения некоторых групп из неоднородных автомобилей, а не случайное расположение каждой машины на автомагистрали. С этой целью в работе предложен простой механизм образования транспортных пачек небольшого размера или групп в потоке при движении машин на магистралях в плохих погодных условиях.

В дальнейшем все случайные события, величины и элементы [10, 11] будем рассматривать на основном вероятностном пространстве (О, 3, Г(-)). Обозначим через ш произвольный элемент достоверного события О. При этом ш определяет с помощью некоторого языка описание так называемого элементарного исхода случайного эксперимента, который задает процесс движения транспорта на магистрали и управление потоками машин на перекрёстке. Множество 3 является ст-алгеброй и содержит все наблюдаемые исходы А с О такого эксперимента, и, наконец, вероятностная функция Г(-4): 3 ^ [0,1] задается на ст-алгебре 3. В некоторых случаях символ ш є О будем опускать, если это не приводит к очевидным недоразумениям.

Для большого числа магистралей оказалось, что быстрые машины поступают в транспортную пачку, или, другими словами, догоняют медленную машину, по закону Пуассона. Это означает, что быстрые машины осуществляют относительно свободное движение на протяжённых участках дороги, где нет медленных машин. Подробно такой транспортный поток был изучен в работе [1] при рассмотрении задачи о свободном движении автомобилей по магистрали. В [1] получены условия, при которых пространственный случайный процесс {у(х): х >

> 0} и временной случайный процесс {"л(?): ? >

> 0} являются пуассоновскими. В соответствии с этим фактом обозначим символом "П0(?) = = "П0(ю; ?) случайное число быстрых машин, которые поступают по закону Пуассона с параметром Х0 в транспортную пачку за промежуток времени [0, ?).

Каждую машину с медленным движением можно интерпретировать как обслуживающий прибор для машин с быстрым движением. При этом под временем обслуживания машины с быстрым движением, естественно, понимается случайное время обгона. Пусть случайная величина ко(ю; ?) = ко(?) измеряет число всех типов машин в транспортной пачке в момент времени ? > 0. Если интенсивность поступления быстрых машин в транспортную пачку существенно меньше интенсивности обгона быстрыми машинами медленной машины, то образуются транспортные пачки относительно небольшого размера. В силу этого далее будем предполагать, что случайная величина ко(?) принимает значения из множества {1, 2, ..., Щ. Обозначим через £,0(ю; ?, А?) = £,о(?, Д?) случайное число быстрых машин, которые совершают обгон медленной машины за промежуток времени [?, ? + + А?). Напомним, что пуассоновский процесс {"П0(?): ? > 0}, который описывает движение быстрых машин на автомагистрали при их поступлении в транспортную пачку, обладает свойствами ординарности, стационарности и без последействия. Отсюда легко получаем [12]:

1) при ? > 0 и малом А? > 0 вероятность Г({ю: "Л0(ю; ? + А?) - "л0(ю; ?) = 0}) = 1 - Х0Д? + о(Д?) и вероятность Г({ю: "л0(ю; ? + А?) - "л0(ю; ?) = 1}) = = Х0А? - о(А?), где здесь и далее о(А?) есть бесконечно малая неотрицательная величина по сравнению с величиной А? при А? ^ 0;

2) при ?2 > ?1 > 0 вероятность Г({ю: "Л0(ю; ?2) -

- "П0(ю; = к}) не зависит от ?\, а зависит толь-

ко от разности ?2 - ?\ и к, т.е. вероятность Г({ю: ^0(ю; ?2) - П0(ю; ?0 = к}) = Г({ю: ^(ю; ?2 - ?0 =

= к}) для всех значений к = 0, 1, ..

Так как ^Г({ю : ^0;? + А?}) - "По(ю; ?) = к}) = 1

к=0

при ? > 0 и А? > 0, то из условий 1) и 2) непосредственно вытекает, что вероятность Г({ю:

^(ю; ? + А?) - "П0(ю; ?) > 2})= Г({ю: ^(ю; а?) >

>2}) = о(Д?). Поэтому в дальнейшем при определении условных вероятностей для случайной величины £0(ю;?,А?) можно рассматривать только события вида {ю: "л0(ю; ?, А?) = 0}, {ю: "л0(ю; ?, А?) = 1}). Отсюда, используя обозначение случайной величины "л0(? + А?) - ^0(?) через ^0(?, А?), для свободного движения быстрых машин по магистрали получаем, что при малом значении А? > 0

Г({ю: ЕДю; ?, А?) = 0} | {ю: ко(ю; ?) = 1, "Л0(ю; ?, А?) = 0}) = 1,

Г({ю: ^(ю; ?, А?) = 0} | {ю: ко(ю; ?) = 1,

"Л0(ю; ?, А?) = 1}) = 1 - о(А?). (1.1)

Первое равенство совершенно очевидно. Второе из равенств (1.1) на содержательном уровне означает, что для машины, которая присоединилась к автоколонне на промежутке [?, ? + А?), не существует возможности обгона в этом промежутке.

Вполне естественно предположить, что при малых значениях А? > 0 условные вероятности событий, которые порождаются дискретной случайной величиной £,0(ю; ?, А?), определяются следующими соотношениями:

Г({ю: £0(ю; ?, А?) = 0} | {ю: ко(ю; ?) = 2, "Л0(ю; ?, А?) = 0}) = 1 - 0Д? + о(А?),

Г({ю: ^(ю; ?, А?) = 1} | {ю: ко(ю; ?) = 2, "Л0(ю; ?, А?) = 0}) = 0А? - о(А?),

Г({ю: £0(ю; ?, А?) = 0} | {ю: ко(ю; ?) = к, "Л0(ю; ?, А?) = 0}) = 1 - Ц2, 0А? + о(А?), Г({ю: £0(ю; ?, А?) = 1} | {ю: ко(ю; ?) = к,

"Л0(ю; ?, А?) = 0}) = Ц2, 0А? - о(Д?) (1.2)

для всех к = 3, 4, ..., N - 1. При этом 0 < £0(ю; ?, А?) < ко(ю; ?) + ^0(ю; ?, А?) - 1. В равенствах (1.2) параметр ц-0 задает среднее время обгона каждой быстрой машиной медленную в случае, когда транспортная пачка состоит из двух машин. Аналогично параметр ц-„ в равенствах (1.2)

определяет среднее время обгона каждой быстрой машиной медленной, если транспортная пачка состоит из трёх или большего числа машин. Таким способом моделируется зависимость среднего времени обгона от числа машин в транспортной пачке. Параметры ц10 и ц20 будем называть интенсивностями обгона. Наконец, будем считать, что каждая быстрая машина, заставшая в автоколонне максимально возможное число N машин, присоединится к авто-

колонне. В этом случае машина, движущаяся непосредственно за медленной, мгновенно совершает обгон. Это позволяет не увеличивать максимальный размер пачки до величины N + 1. При этом не происходит потери машин в транспортном потоке. Из последнего предположения при N = 3, 4, ... получаем, что

Г({ю: £0(ю; ?, А?) = 0} | {ю: ко(ю; ?) = N,

"Л0(ю; ?, А?) = 0}) = 1 - Ц2, 0Д? + о(Д?),

Г({ю: ^(ю; ?, А?) = 1} | {ю: ко(ю; ?) = N,

^0(ю; ?, А?) = 0}) = Ц2, 0Д? - о(А?),

Г({ю: ^(ю; ?, А?) = 1} | {ю: ко(ю; ?) = N,

^0(ю; ?, А?) = 1}) = 1. (1.3)

С помощью равенств (1.1)—(1.3) моделируется зависимость условных вероятностей для случайного числа быстрых машин, которые могут обогнать медленную за промежуток [?, ? + А?), от числа ко(ю ; ?) машин в транспортной пачке и от числа поступивших быстрых машин за этот промежуток. При этом всегда имеет место соотношение вида 0 < £,0(ю; ?, А?) < ко(ю; ?) + ^0(ю; ?, А?) - 1. Вероятности в равенствах (1.1)-(1.3) не зависят от времени ?. Более того, для пуассо-новского потока {"П0(?): ? > 0} быстрых машин имеет место ограничение 2). Поэтому в дальнейшем ради упрощения будем опускать символ ? и обозначать случайные величины £,0(ю; ?, А?) и "Л0(ю; ?, А?) соответственно через £0(ю; А?) и "П0(ю; А?). Непосредственно из этого соглашения и соотношений (1.1)—(1.3), используя при фиксированном значении 5 = 1, 2, ..., N и п = 0, 1 условие нормировки

5+п-1

^Г({ю : £0;(ю;А?)) = г} | {ю: ко(ю; ?) = 5,

г=0

"Л0(ю; А?) = п}) = 1, получаем при малых значениях А? > 0 соотношение

Г({ю: ^(ю; ?, А?) = 1} | {ю: ко(ю; ?) = 1,

"Л0(ю; ?, А?) = 0}) = 0,

Г({ю: ^(ю; ?, А?) = 1} | {ю: ко(ю; ?) = 1,

"Л0(ю; ?, А?) = 1}) = о(А?),

Г({ю: ЕДю; А?) = 0} | {ю: ко(ю; ?) = N,

■П0(ю; А?) = 1}) = 0,

Г({ю: £0(ю; А?)) > 2} | {ю: ко(ю; ?) = к,

"Л0(ю; ?, А?) = 0}) = о(Д?), к = 2, ..., N - 1, Г({ю: ^(ю; А?) > 2} | {ю: ко(ю; ?) = N,

^0(А?) = 0}) = о(Д?),

Г({ю: ^(ю; А?) > 2} | {ю: ко(ю; ?) = N,

^0(ю; А?) = 1}) = 0. (1.4)

Каждое из равенств (1.4), исключая первое, второе и третье, можно проинтерпретировать следующим образом. При заданном размере транспортной пачки и при заданном числе по-

ступивших быстрых машин условная вероятность того, что за (где угодно расположенный) промежуток Д/ по меньшей мере две машины обгонят медленную, есть величина, бесконечно малая по сравнению с Д/. При любых фиксированных t > 0 и k = 1, 2, ..., N обозначим через функцию Q(t, Щ) вероятность Г({ю: ко(ю; /) = Щ}).

Рассуждениями, которыми обычно пользуются в теории массового обслуживания, мы можем получить систему дифференциальных уравнений для вероятностей Q(t, к), t > 0, k = 1,

2, ., N. В самом деле, имеет место соотношение ко(ю; t + Д/) = ко(ю; t) + "л0(ю; Дt) - £,0(ю; Дt). Отсюда равенства в событиях

N да

{ю: ко(ю; t + ДО = Щ} = ^ ^ {ю: ко(ю; t) = 5,

5=1 п=0

"Л0(ю; Дt) = п, £,о(ю; Дt) = 5 + п - Щ}, k = 1, 2, ..., N, и соотношения (1.1)—(1.4) позволяют написать следующие равенства в вероятностях:

Q(t + Д, 1) =

=(1 -ХоД)6(/, 1) + Q(t, 2)щ,оД/ + о(Д),

Q(t + Дt, 2) = XоДtQ(t, 1) + (1 - (Хо + М1,о)Д/) х х Q(t, 2) + Q(t, 3)м2,оД/ + о(Д/),

Q(t + Дt, Щ) = Q(t, k - 1)ХоД/ + (1 - (Хо + М2,о)Д/) х х Q(t, Щ) + Q(t, Щ + 1)м2,оД/ + o(Дt),

Щ = 3, 4, ..., N - 1,

Q(t + А/, Л/) = Q(t, N - 1)ХоД/ + (1 - (Хо + М2, о)Д) х х Q(t, N + ХД2(/, N + о(Д).

Отсюда при Д/ > о имеем:

т + Д, 1) - Q(t, 1))/Д/ =

= -ХоQ(t, 1) + М1^(/, 2) + о(Д/)/Д/ ,

(Q(t + М 2) - Q(t, 2))/Д/ = XоQ(t, 1) - (Хо + М1,о) х х Q(t, 2) + Му£(/, 3) + о(Д/)/Д/,

(Q(t + Дt, Щ) - Q(t, щ))/Д/ = Хо^ Щ - 1) -

- (Хо + М2, о) Q(t, Щ) + М2,оQ(t, Щ + 1) + о(Д/)/Д/,

Щ = 3, 4, ..., N - 1,

(Q(t + Д, N - Q(t, ^/Д/ =

=ХсО(/, N - 1) - м^(/, N + о(Д/).

Так как при Д/ ^ о предел правых частей этих равенств существует, то в пределе для / > о получаем конечную систему линейных дифференциальных уравнений

dQ(t, 1)/dt = -XоQ(t, 1) + Мl,оQ(t, 2), dQ(t, 2)/dt =

= XоQ(t, 1) - (Хо + Мl,0)Q(t, 2) + М2,0Q(t, 3), dQ(t, k)/dt =

= XоQ(t, Щ - 1) - (Хо + М2,о)Q(t, Щ) + М2,оQ(t, Щ ^ Щ = 3, 4, ..., N - 1, dQ(t, N)/dt = XоQ(t, N - 1) - М2^(/, ^. (1.5) Тогда динамика распределения числа машин в транспортной пачке определяется решением системы линейных однородных дифференци-

альных уравнений (1.5), например, с начальными условиями Q(0, г) = 1 при некотором фиксированном значении г = 1, 2, ..., N и Q(0, Щ) = 0 для всех Щ Ф г. Явное решение системы дифференциальных уравнений (1.5) с матрицей Якоби [13] может быть найдено с помощью различных методов, которые применяются в теории линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Однако в этом случае процесс решения является очень громоздким и далеко не тривиальным. К счастью, нам потребуются здесь только свойства распределения числа машин в транспортной пачке при / ^ да, т.е. некоторые свойства решений системы (1.5) при / ^ да. Проиллюстрируем это далее.

Рассмотрим важный для практики частный случай, когда в транспортной пачке число машин не может быть больше двух, т.е. N = 2. В этом случае м1>0 = М2,0 и система линейных однородных дифференциальных уравнений (1.5) примет вид:

dQ(t, 1)/dt = -XоQ(t, 1) + М1, оQ(t, 2),

dQ(t, 2)/dt = XоQ(t, 1) - М1, оQ(t, 2). (1.6)

Неизвестные функции Q(t,1) и Q(t, 2), которые удовлетворяют системе дифференциальных уравнений (1.6), могут быть получены с помощью следующего простого способа. В самом деле, так как при любом значении / > 0 выполняется условие нормировки Q(t,1) + Q(t, 2) = 1, то вместо системы (1.6) можно рассмотреть одно неоднородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами

dQ(t, 1)/dt = -(Хо + М1, о)Q(t, 1) + М1, о (1.7) с произвольным начальным условием Q(0, 1) = = р0 , где 0 < р0 < 1. Решая простое уравнение (1.7), получим, что Q(t, 1) = М1,о(Хо + М1,о)-1 + [Ро -

- М1,о(Хо + М1,о)-1]ехр{-(Хо + М1,о)/}. Следовательно, Q(t, 2) = 1 - Q(t, 1) = Хо(Хо + М1,о)-1 + + [М1,о(Хо + М1,о)-1 - Ро]ехр{-(Хо + М1,о)/}. Изучим свойства распределения числа машин в транспортной пачке при / ^ да, т.е. предельные свойства решений системы (1.6) при / ^ да. Легко вычислить следующие пределы: Нт 0(/,1) =

г^да

= Q(1) = М1,о(Хо + М1,о) 1 > 0, lim 0(/,2) = Q(2) =

/^да

= Х0(Х0 + м1>0)-1 > 0. Распределение №(к); Щ = 1, 2} называется предельным или эргодическим для числа ко(ю) всех типов машин в транспортной пачке. Это распределение характеризует так называемый установившийся или стационарный режим движения небольшого размера автоколонн по магистрали. Заметим, что случайная величина ко(ю; /) измеряет число всех типов машин в произвольной транспортной пачке в

момент времени / > 0, а случайная величина ко(ю) определяет число всех типов машин в произвольной транспортной пачке для стационарного режима движения. При этом эргодиче-ское распределение Ш(Щ); Щ = 1, 2} не зависит от начальных условий Q(0, 1), Q(0, 2) и его можно также получить из решения уравнения

-(Хо + М1,0)Q(1) + М1, о = 0. (1.8)

Уравнение (1.8) получается с помощью предельного перехода при / ^ да одновременно в правой и левой частях уравнения (1.7) с учётом равенств Нт (dQ(t, \)/dt) = 0, lim Q(t, 1) = Q(1),

да да

Q(1) + Q(2) = 1. Отметим, что при каждом фиксированном Щ = 1, 2 предел Нт (dQ(t, k)/dt) су-

/^да

ществует. Более того, каждый такой предел равен нулю. В противном случае модуль величины Q(t, к) при / ^ да возрастал бы неограниченно, что невозможно в силу смысла величины Q(t, Щ) как вероятности.

Рассмотрим стационарный режим движения всех типов автомобилей на магистрали в один ряд. Выберем за начало отсчета такую точку на магистрали, в которой находится некоторый медленный автомобиль. Пронумеруем в последовательном порядке только медленные автомобили, начиная с автомобиля, который находится в начале отсчета. Присвоим такому автомобилю номер ноль, а ближайший к нему медленный автомобиль, естественно, будет иметь номер один и т.д. В реальном транспортном потоке с малой плотностью движения [6] нередко наблюдаем, что движение медленных машин происходит независимым образом. Другими словами, медленные машины передвигаются по магистрали без препятствий со стороны всех других автомобилей. В связи с этим можно считать [6], что при абсолютно непрерывном распределении скорости каждого медленного автомобиля в стационарном режиме транспортный поток из медленных машин будет пуассо-новским с некоторой плотностью. В то же время для такого типа транспортного потока можно допустить, что плотность медленных машин (среднее число медленных машин на единичном по длине участке автомагистрали) значительно больше плотности быстрых машин и интенсивность Хо быстрых машин значительно меньше интенсивности М1,о обгона. Допустим, что каждый автомобиль занимает некоторый участок магистрали, длина которого равна L. Обозначим для стационарного режима движения через ко,г(ю) случайную величину, которая определяет число всех типов машин в транспортной пачке с номером г. Ясно, что каждая из случайных ве-

личин к0, к0,1, к^>2, ... имеет одинаковый закон распределения. Поэтому длина v, = L к0>г- пачки, которая определяется медленной машиной с номером i, имеет распределение вида: P({ra: Vi(ra) = L}) = Ц1,о(^о + M-1,o)_1, P({®: v,(q) = 2L}) = = X0(X0 + ц1>0) 1. В этих предположениях нелокальное описание транспортного потока с точки зрения его пространственной характеристики можно описать в виде векторной случайной последовательности {(Q, vi); i = 0, 1, ...}. Здесь случайная величина Q измеряет координату медленной машины с номером i. Это обстоятельство позволяет обосновать и найти простое локальное описание временной характеристики стационарного движения транспортного потока [14].

Список литературы

1. Хейт Ф. Математическая теория транспортных потоков. М.: Мир, 1966. 288 с.

2. Дрю Д. Теория транспортных потоков и управление ими. М.: Транспорт, 1972. 424 с.

3. Иносэ Х., Хамада Т. Управление дорожным движением. М.: Транспорт, 1983. 248 с.

4. Буслаев A.H, Новиков A^., Приходько В.М. и др. Вероятностные и имитационные подходы к оптимизации автодорожного движения. М.: Мир, 2003. 368 с.

5. Беляев Ю.К. Об упрощенной модели движения без обгона // Изв. ДН СССР. Техн. кибернетика. 1969. № 3. С. 17-21.

6. Bartlett M.S. The spectral analysis of point processes // J. R. Statist. Soc. B. 1963. Vol. 25. № 2. P. 264-296.

7. Федоткин МА. О работе автомата, регулирующего уличное движение на перекрестке при показательном законе обслуживания машин // Изв. вузов. Радиофизика. 1967. Т. 10. № 7. С. 912-925.

8. Федоткин МА. Неполное описание потоков неоднородных требований // В кн.: Теория массового обслуживания. М.: МГУ, ВНИИСИ, 1981. С. 113-118.

9. Федоткин МА. Процессы обслуживания и управляющие системы // Математические вопросы кибернетики. М.: Наука, 1996. Вып. 6. С. 51-70.

10. Ширяев A.H Вероятность. М.: Наука, 1980. 576 с.

11. Федоткин МА. Основы прикладной теории вероятностей и статистики. М.: Высшая школа, 2006. 368 с.

12. Хинчин A^. Работы по математической теории массового обслуживания. М.: Физматгиз, 1963. 236 с.

13. Климов Г.П. Стохастические системы обслуживания. М.: Наука, 1966. 244 с

14. Федоткин AM. Управляющие конфликтные системы и аппроксимация потока Гнеденко-Коваленко // Проблемы теоретической кибернетики. Материалы Международной конференции. 2011. С. 354-361.

FORMATION MECHANISM FOR A NONUNIFORM TRAFFIC PACKET AND THE STUDY OF ITS VALUE DISTRIBUTION DYNAMICS

A.M. Fedotkin

For the first time, we consider the theory of traffic flows, which partially takes into account the properties of both the spatial and temporal process. The distribution dynamics of the number of vehicles in the traffic packet is found by solving a system of homogeneous linear differential equations. The ergodic distribution of the number of all types of vehicles in the packet K0(ro) has been found for a practically important case when this number cannot be greater than two.

Keywords: random event, ergodic distribution, distribution dynamics, traffic flow intensity, traffic flow density.