Анализ ошибки выбора вероятностной модели управляющих дискретных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2014, № 4 (1), с. 361-369

УДК 519.21

АНАЛИЗ ОШИБКИ ВЫБОРА ВЕРОЯТНОСТНОЙ МОДЕЛИ УПРАВЛЯЮЩИХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

© 2014 г. М.А. Федоткин

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского [email protected]

Поступила ноедарцию 18.03.2014

В [1-4] последовательно решается проблема выбора в одних случаях адекватной, а в других случаях целевой модели (О, P(•)) для статистически устойчивого эксперимента Э из некоторого параметрического семейства {(О, P„(•)): и е и}. Впервые предварительные результаты по этой проблеме докладывались в 1986 году в Математическом институте им. В.А. Стеклова АН СССР и на Десятой Пражской конференции по теории информации, статистическим решающим функциям и случайным процессам. Предлагаемый в [1-4] подход основан на общем представлении эксперимента (управляющей системы) в виде схемы, информации, координат и функции [5-9]. Это позволяет выделить т > 2 измерителей [1] Е,ь Е,2, ■■■, ^т элементарных исходов {ю} с О эксперимента и затем по единственному

испытанию над экспериментом Э построить его искомую вероятностную модель (О, P(•)). В классической теории статистических решений рассматривается более простая проблема, когда необходимо выбрать распределение случайного элемента = (Е,ь Е,2, ■.., Е,т) из некоторого параметрического семейства {Р„0: и е и}. При этом стратегия выбора указанного распределения не зависит от параметра и е и, а зависит только от наблюдений за элементом Е,. В этой работе, которая завершает исследования в [1-4], решается задача об уменьшении вероятности ошибки выбора модели (О, P(•)) из семейства {(О, Pи(•)): и е и}.

Ключеные слона: управляющая система, вероятностная модель, выборочное пространство, стратегия, функция риска, семейство перестановочных распределений.

Введение

Для статистически устойчивого эксперимента Э сложной структуры практически трудно назначить измерители ■.., Е,т, совместное

наблюдение которых однозначно определяло бы его элементарный исход {ю}. Поэтому легко понять, почему стратегия выбора модели

(О, ?(•)) из семейства {(О, ?„(•)): и е и} зависит не только от наблюдения за элементом но и от неизвестного параметра и. В отличие от традиционной теории статистических решений в работах [1-4] рассматривается именно такая постановка задачи. Ради простоты изложения, предлагаемого подхода результаты в [1-4] получены и проиллюстрированы для дискретных управляющих систем [5-9]. Для такого рода экспериментов наряду с семейством {(О, ГиС)): и е и} предполагается задание следующих основных математических объектов [1]:

- множества и = {1, 2, ■.., т} из т > 2 значений для параметра и;

- измерителей (случайных величин) ^(ю), ^2(ю), ■.., ^т(ю), принимающих соответственно

значения х\, х2, ■ .., хт из множества N = {0, 1, ■} для всех ю е О;

- высказывания V = ^(ю): О ^ V относительно истинного значения неизвестного параметра и, где V = {1, 2, ■.., т} и и е и;

- функции потерь 1(и, V): и х V ^ {0, 1}, которая равна нулю при и Ф V и равна единице при и = V;

- вероятностей ри(х) = ?и({ю: Е,(ю) = х}),

и е и, х = (х\, х2, ■, хт) е Nm ;

- условных вероятностей (стратегии или решающей функции) 5 = gu(v; х) = = ?и({ю: £(ю) = = v}|{ю: Е,(ю) = х}), и е и, V е V, х = (хь х2, ■ .., хт) е Кт .

1. Исследование вероятности ошибки

выбора модели в зависимости от свойств семейства распределений вектора наблюдений

Из леммы 4 работы [4] следует очевидное и вполне понятное на содержательном уровне утверждение. Нельзя уменьшить вероятность ошибочного выбора значения неизвестного па-

раметра за счет независимых испытании над экспериментом Э в случае, когда распределение полезного сигнала % является вырожденным в нуле. Ниже изучается изменение минимаксного значения функции риска в зависимости от параметра c е N который определяет распределение вероятностей {н'(и): п е Щ на N. В простейшем случае функция м>(п) равна единице при п = c и равна нулю при п ф c. Поэтому функции, которые определяются этим распределением, также зависят от параметра с. Например, вместо ранее принятого обозначения pu(xu х2, ..., хт) будем использовать обозначение Pu(с; Xl, X2, ..., Xm).

Рассмотрим теперь проблему уменьшения вероятности И^) ошибки выбора модели за счет изменения семейства распределений измерителей ..., Е,т. При этом нам доступна лишь информация о единственном наборе наблюдений над измерителями. В этой связи при с е N докажем следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть семейство {Ри( ): и е и} определяется соотношением (1) работы [4], функцией м>(п), которая равна 1 при п = с и равна нулю при п ф с, и, наконец, симметричным распределением вида

Р(хи Х2 , Хт ) = [0 при тах{х1, х1,.., хт} > L, (1)

[17т при тах{х1,х1,..,хт} < L,

где (х1, х2, ..., хт) е Nm и L есть некоторое заданное натуральное число. Тогда минимаксное значение И0(с; 5"') функции риска И(и, s) = = РиЛ{у: Т(у) ф и}) относительно класса 5' [2] стратегий определяется равенством И о(с; 5') = [0 при с > L, (2)

[1 -(стЕ-1 + Еп -ст)/тЕп при с <L.

Доказательство. Из равенства (1) работы [4] и определения функции м>(п) выводим, что

ри(с; x1, x2, хт) p(x1, x2, хи с xm),

и е и, (хь х2, ..., хт) е Nm. Отсюда, принимая во внимание равенство (1), получаем, что функция

Р (с; x1, x2, хт) = = тах{ри(с; хь х2, хт): и е и} = = тах{р(х1, х2, хи - с , хт):

и е и} = Гт > 0, (3)

если имеет место хотя бы одно из следующих неравенств: тах{х! - с, х2, ..., хт} < Е, тах{х1, х2 — с, ..., хт} < Е, ..., тах{х1, х2, ..., хт - с} < Е. Вычисление значения И0(с; 5') по формуле (6) из работы [3] связано с рассмотрением только

монотонных наборов вида х1 < х2 < ... < хт. Изучим свойства такого рода наборов. Для некоторого монотонного набора х1 < х2 < . < хт будет выполняться соотношение (3), если существует такое и е и, что тах{хь х2, ..., хи - с , ..., хт} < Е. Отсюда получаем ограничение на элементы х1, х2, ..., хт в таком виде: х1, х2, ..., хи- 1 е {0, 1, ... , Е - 1} , хи е {с, с + 1, ... , с + Е - 1} , хи + ¡, хи + 2, ..., хт е {с, с + 1, ... , Е - 1}. Так как мы рассматриваем только монотонные наборы х1 < х2<

< . < хт, то получаем следующие окончательные ограничения: х1, х2, ..., хи- 1 е {0, 1, ... , Е - 1}, хи е {с, с + 1, ... , Е - 1}, хи + 1, хи + 2, ..., хт е {с, с + 1, ... , Е - 1} при и < т. Заметим, что при и = 1 такими ограничениями являются х! е {с, с + 1, ... , Е - 1}, х2, х3, ...,хт е {с, с + 1, ... , Е - 1}, и при и = т эти ограничения примут вид: хь х2, ..., хт - 1 е {0, 1, ... , Е - 1}, хт е {с, с+1, ... , с+Е-1}. Если и < т и (х[,х2,...,хт) е

е {(х1, х2, ., хт) е ^ : х1 < х2 < . < хт, 0 < х1, х2, ., хи - 1 < Е - 1, с < хи < Е - 1, с < хи + 1, хи + 2, ..., хт < Е - 1}, то (х[, х2,..., хт) е ^ (с) = {(х1,

х2, ., хт) е е ^ : х1 < х2 < . < хт, 0 < х1, х2, ., хт_ 1 < Е - 1, с < хт < с + Е - 1}. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать лишь элементы (х1, х2, ..., хт) из множества ^ (с), для которых р*(с; х1, х2, ..., хт) = р(хь х2, ..., хт - с) = Е т. Для остальных элементов (х1, х2, ..., хт) из

множества {(х1,х2, ..., хт) е Nm : х! < х2 < ...<

< хт} \ ^ (с) будет иметь место равенство р*(с;

хЬ x2, хт)

Каждому вектору (х1, х2, ..., хт) с неубывающими компонентами из множества ^ (с)

отвечает единственный набор х1 < х2 < ... < хт. Поэтому непосредственно из формулы (6) работы [3] и результатов предыдущего абзаца для минимаксного значения И0(с; 5') вероятности Ри, «({у: Т(у) ф и}) ошибочного выбора неизвестного параметра и получаем, что И0(с; 5') =

= 1 - тЕ-т 2 К(х1, х2,..., хт). (4)

(х1,х2,...,хт )еNm (с)

В соотношении (4) при любом фиксированном (хь х2, ..., хт) е ^ (с) множество ^(хь х2, ..., хт) есть совокупность всех размещений с повторениями [9], каждое такое размещение с повторениями образуется путем перестановок компонент вектора (х1, х2, ..., хт). Поэтому для

вычисления 21 ^(х1, х2,..., хт )| требуется

(х1,х2,...,хт (с)

определить число всех размещений с повторе-

ниями, которые образуются с помощью всех элементов множества ^ (с). Эта комбинаторная задача решается следующим образом.

Заметим [10], что существует взаимнооднозначное соответствие между каждым вектором (х1,х2, ■.., хт) е ^(с) и элементом вида ((х1, х2, ■ .., хт _]), хт). Поэтому для вычисления величины ^(х1, х2,..., хт)| вместо век-

(х1,х2,...,хт (с)

тора (хь х2, ■, хт) будем рассматривать элемент ((х1, х2, ■ .., хт _]), хт). Так как каждая компонента вектора (хь х2, ■ .., хт _1) принимает значения из множества {0, 1, ■.., L _ 1}, то с помощью перестановок компонент этого вектора можно

тт _ 1 «

построить всего L всех размещений с повторениями из L элементов по т _ 1. Компонента хт элемента ((хь х2, ■ .., хт _1), хт) принимает значения из множества {с, с + 1, ■.. , с + L _ 1}. Рассмотрим первый случай, когда число с < L. В этом случае разобьём множество {с, с + 1, ■.. , с + L _ 1} на множество {с, с + 1, ■.. , с + (Г _ 1 _ _ с)} Ф 0 и на множество {Г, L + 1, ■.., с + L _ 1} Ф Ф 0. Пусть сначала компонента хт принимает с различных значений из множества {Г, L + 1, ■.., с + L _ 1}. Тогда по правилу умножения комбинаторики [9] получаем Г 1с размещений с повторениями вида (х1, х2, ■ .., хт _1, хт). Так как компонента хт > шах{х1, х2, ■ .., хт _]}, то можно с помощью перестановок компонент вектора (х1, х2, ■.., хт_1, хт) получить Lт_ :ст размещений с повторениями.

Пусть теперь компонента хт принимает L _ с различных значений из множества {с, с + 1, ■.. , с + (Г _ 1 _ с)} = {с, с + 1, ■.. , L _ 1}. Предположим, что компонента хт принимает ещё дополнительно значения из множества {0, 1, ■, с _ 1}. Тогда любая компонента вектора (хь х2, ■, хт) принимает значения из множества {0, 1, ■ .., L _ 1}. Поэтому путем перестановок компонент такого вектора можно построить L всех размещений с повторениями из L элементов по т. Компонента хт £ {0, 1, ■.., с _ 1}. Поэтому с помощью такого рода перестановок компонент вектора (хь х2, ■.., хт) были образованы лишние размещения с повторениями из с элементов по т в количестве ст . Учитывая все эти рассужде-

тт _ 1 . т-т т

ния, получаем L ст + L — с всех искомых размещений с повторениями. Напомним, что эти размещения с повторениями строятся с помощью элементов из множества ^ (с). Итак, имеем

2 К(х1, х2,..., хт )| = Гт _1ст + Гт _ ст .

(х1,х2,...,хт )е^ (с)

Подставляя это в соотношение (4), получим

Н)(с; S') = 1 _ (Гт _ 1ст + Гт _ ст )/тГт при всех с < Г.

Если с > Г, то множество {с, с + 1, ■.. , Г _ 1} = 0. В этом случае компонента хт принимает всегда Г различных значений из множества {Г, Г + 1, ■.., Г + Г _ 1}. С учетом этого доказательство завершается так же, как и в случае с < Г. Поэтому получаем всего Г Гт = Г т размещений с повторениями при каждом с > Г. Следовательно, Н0(с; S') = 1 _ Гт т/тГт = 0 при с > Г. Теорема 1 доказана.

2. Выбор наименьшего значения уровня полезного сигнала

Проиллюстрируем теперь применение этой теоремы. Из формулы (2) легко видеть, что минимаксное значение Н0(с; S') функции риска относительно класса S' строго убывает от (1 _ т до нуля при изменении параметра с от нуля до Г. Пусть для реального эксперимента необходимо, чтобы минимаксное значение Н0(с; S') вероятности ошибочного выбора значения неизвестного параметра и не превосходило некоторого фиксированного числа е при 0 < е < 1. Тогда математическое ожидание

= с0 полезного сигнала естественно выбирать из условия с0 = шт{с: Н0(с; S') < е}. Такой выбор наименьшего уровня с0 полезного сигнала, для которого имеет место неравенство Н0(с0; S') < е, можно объяснить практическими соображениями. Во-первых, реализация полезного сигнала с большим значением его уровня, как правило, требует значительных экономических затрат. Во-вторых, полезный сигнал с большим значением его уровня часто нарушает условия проведения реального эксперимента, например, в медицинских и биологических опытах с использованием методов компьютерной томографии. Современные томографы для получения информации о реальном эксперименте используют полезный сигнал самой различной физической природы. Это ультразвук, радио- и оптические сигналы, рентгеновские и у-лучи и т.д. Изучаемый эксперимент может быть настолько чувствительным к такого рода полезным сигналам, что всегда учитываются ограничения на величину уровня ¡^) = с0 полезного сигнала. Такая ситуация типична в физике плазмы, газовой динамике, геофизике, астрономии, медицинской диагностике и в биологии при исследовании структуры макромолекул. Наконец, полезный сигнал с большим значением его уровня легко можно обнаружить, и, тем самым, создаются условия нежелательного уничтожения как источника полезного сигнала, так и реального эксперимента, например, в технологи-

чески и информационно закрытых (секретных) опытах.

Трудоемкость определения величины c0 из условия c0 = min{c: H0(c; S') < s} численными методами существенно зависит от значения числа т. Однако при больших значениях числа т в качестве c0 можно рекомендовать приближенное значение, равное (1 - s)L. Этот результат легко проверить, если соотношение (2) записать в следующем виде:

H o(c; S') = 10 при c > L, = [l - cL- - [1 - (c / L)m ]m - при c < L.

Отсюда при c < L выводим, что H0(c; S') « 1 -- cL_1, и, значит, 1 - cL- < s, c > L(1 - s). Следовательно, c0 « L(1 - s). Из соотношения (1) находим, что математическое ожидание d(p) шума равно (L - 1)/2. Как правило, математическое ожидание полезного сигнала можно назначать при проведении эксперимента. Пусть математическое ожидание l(w) полезного сигнала приближенно равно L(1 - s). Отсюда получаем, что отношение приближенного значения математического ожидания полезного сигнала к математическому ожиданию шума при достаточно большом значении т равно l(w)/d(p) = = 2L(1 - s)/(L - 1) « 2(1 - s). Это отношение можно применять для того, чтобы минимаксное значение H0(c; S') вероятности ошибочного выбора параметра u не превышало заданного числа s.

Рассмотрим теперь другую задачу, исходные данные которой несколько отличаются от условий теоремы 1 и имеют более конкретный вид. Пусть семейство {PuQ: u е U} определяется соотношением (1) из работы [4]. Распределение w(n) полезного сигнала равно единице при n = c и равно нулю при n Ф c, где c есть целое неотрицательное число. Наконец, при (xj, x2, ..., xm) е е Nm, 0 < b <1 распределение шума имеет

т

вид: p(x\, x2, ..., xm) = ^^ (1 - b)bxi. Так как в

k=1

этой задаче выполнены все условия теоремы 4 из работы [3], то стратегия sv = gv(v; xi, x2, ..., xm) является минимаксной. Используя соотношение (35) из работы [3], для минимаксного значения Н0(с; S') функции риска относительно класса S'

получим: Ho(c; S') = 1 - — Ъ-[1 - (1 -bc)т]. От-

т

сюда при 0 < Ъ < 1 выводим, что lim H0 (c; S') =

= lim {1 - — b-c [1 - (1 - bc)т ]} =

т

л т

= —ьс [1 ст (-1)кьск ]}=

1 т

= Нш{1--Ь с[-У ст(-1)к Ьск)]} =

т ^

л т

= Нш{1--Ь с[тЬсСкт(-1)кЬск)]} = 0.

т к"? поэтому для любого заданного числа е > 0 существует такое число с0 = с0(е), для которого Н0(с; S') < е при с > с0. В нашей задаче естественно потребовать ограничение е < 1. Для определения величины с0 при заданных параметрах т и Ь требуется решить неравенство

1 - — Ь с[1 - (1 - Ьс)т] < е или неравенство вида т

1 -(1 -s^b > (1 -bc)т.

(5)

Пусть сначала 1 > е > 1 - т" . Отсюда т(1 -- е) < 1 и 1 - (1 -е)тЬс > 1 - Ьс. Поэтому неравенство (5) выполняется для всех с >1. Если с = 0, то Н0(с; S') = 1 - тГ < е. Следовательно, наименьшее значение с, для которого имеет место неравенство Н0(с; S') < е, равно с0 = 0. Изучим теперь случай е < 1 - тх, где т > 2. Для этого обозначим Ь через г и рассмотрим уравнение

1 - (1 -srn=(1 - 2)т.

(6)

Линейная функция /¡(г) = 1 - (1 -е)тг строго убывает при 0 < г < 1 от единицы до 1 - (1 - е)т < 0. Так как т > 2, то выпуклая вниз

функция /2(г) = (1 - г)т также строго убывает

при 0 < г < 1 от единицы до нуля. Тогда существует корень г0 уравнения (6), для которого 0 < г0 < 1.

Отсюда, учитывая равенство г = Ьс, получим, что при всех 0 < г < г0 или при всех с > logbг имеет место неравенство (5). Значит, в качестве наименьшего значения с, для которого имеет место неравенство Н0(с; S') < е, можно взять число с0 = logbг0, если logbг0 есть целое число, и величину [ёьг0] + 1, если 1о&ьг0 является дробным числом. Здесь [¿ьг0] есть наибольшее целое число, не превосходящее gbг0. Итак, для этой задачи получена формула для наименьшего уровня с0 полезного сигнала.

3. Предельное поведение минимаксного значения функции риска

Рассмотрим теперь свойства минимаксного значения вероятности ошибочного выбора неизвестного параметра и при изменении математического ожидания полезного сигнала или распределения %.

Теорема 2. Пусть выполняются условия леммы 1 из работы [1], функция м>(п): N ^ [0, 1] равна 1 при п = с и равно нулю при п Ф с для фиксированного значения с е N, и пусть стра-

V V/ \

тегия 5 = § (у; х1, х2, ..., хт) является минимаксной также для любого фиксированного значения с е N . Тогда для любых целых неотрицательных чисел с2 > с1 имеет место неравенство Ио(с2; Б') < Н)(сь 5').

Доказательство. Так как распределение {м>(п): п е N1 на N сосредоточено в точке с и семейство {ри(с; х1, х2, ..., хт): (х1, х2, ..., хт) е е Nm, с е N1 определяется согласно условиям леммы 1 из работы [1], то для каждого фиксированного с е N

Ри (с; ^ Х2 , Хт ) = 10 при хи < с, (7)

[рС^ x2, хи - c,..., хт ) при хи > с.

В соответствии с (6) из работы [3], учитывая также обозначение ри(хь х2, ..., хт) через ри(с; х1, х2, ..., хт), для минимаксного значения Н0(с; Б') вероятности ошибочного выбора неизвестного параметра и получим, что

Но(с; Б') = (8)

= 1- — У \ (xl, Х2 , Хт ^ Р* (с; X1, Х2 , Хт ),

т ^^

Х1<Х2<... <Хт

где |\(хь Х2, ..., Хт)| = т!/((с(1))! х (с(2))! х ... х х (с(е))!) есть число элементов множества всех размещений с повторениями для заданного набора х1 < х2 < . < хт. При этом набор х1 < х2 < . < хт содержит е = е(х) различных компонент в количестве с(1), с(2), ..., с(е), где с(1) + с(2) + ...+ с(е) = т, и значение максимальной компоненты хт повторяется в количестве с(е).

Обозначим через N0" (0) = {(х1, х2, ..., хт) е е ^: х1 < х2 < ... < хт} и установим, что на любом векторе (х1, х2, ..., хт) е N0т (0)

Р*(с; Х1, Х2, Хт) = тах{ри(с; Х1, Х2, Хт): и е и} = Рт(с; Х1, Х2, Хт). (9)

Действительно, из определения множества ^ (0) выводим, что хт = тах{х1, х2, ..., хт}. Поэтому т е Ь^(х1, х2, ..., хт) = {: х: = тах{х1, х2, ..., Хт}, : = 1, 2, ..., т}. Так как стратегия = = § Х1, х2, ..., Хт) является минимаксной, то в силу теоремы 3 из работы [3] имеем ЬУ(х1, х2, ..., хт) с .(х1, х2, ..., хт). Отсюда, учитывая соотношение т е ЬУ(х1, х2, ..., хт), выводим, что т е Ь(х1, х2, ..., хт). Вспоминая равенство Ь(х1, Х2, ., Хт) = { и: Ри (с; Х1, Х2, ..., Хт) = Р (с; Х1, Х2,

..., Хт)}, имеем (9).

Принимая теперь во внимание (7) и (9), легко преобразуем (8) к виду

Н0(с; Б') = 1- (10)

- — У \W(Х1, Х2 , ..., Хт )\Рт (с; Х1, Х2 , Хт X

т ^^

(Х1,Х2,...,Хт )еNom (с)

где множество N0'^) = {(х1, х2, ..., хт) е ^ :

Х1 < Х2 < . < xm, с < Хт}.

Пусть х = (х1, х2, ..., хт) е N0" (0), с2 > с1 и хт > хт - 1. Тогда в силу равенства |\(х1, х2, ..., хт)| = т!/((с(1))! х (с(2))! х ... х (с(е))!) имеем | \(Х1, Х2, Хт) | = \(Х1, Х2, Хт + с2 - с1>|, так как в наборах вида Х1 < Х2 < . < Хт и Х1 < Х2 < ... < хт + с2 - с1 числа с(1), с(2), ..., с(е) не изменились. Если (х1, х2, ..., хт) е N0"(0), с2 > с1 и хт = хт - 1, то хт - 1 < хт + с2 - с1. Поэтому набор х1 < х2 < ... < хт + с2 - с1 содержит е(х) + 1 различных компонент в количестве с(1), с(2), ., с(е) - 1, 1, и |\(Х1, Х2, ..., Хт) | < | \(Х1, Х2, ..., Хт + с2 - с1)|. Итак показали, что

0 < |\(Х1, Х2, ..., Хт)|< < | \(Х1, Х2, ..., Хт + с2 - с1)|, (11)

если только х = (х1, х2, ..., хт) е N0т (0), с2 > с1. Теперь из соотношения (7) имеем

Рт(с1; x1, x2, Хт) = Рт(с2; x1, x2, Хт + с2 - с1 ). (12)

Если умножить равенство (12) на соотношение (11) и затем просуммировать по всем элементам Х = (Х1, Х2, ..., Хт) е N0" (с1), то

У \(xl, Х2 , ..., Хт ^ Рт (с1; Х1, Х2 , ..., Хт ) <

(Х1, Х2,..., Хт )е^т (С1)

< У ^^^ Х2 , ..., Хт + с2 - с1^ х

(х1,Х2,...,Хт )е^т (С1) (13)

х Рт (с2; Х1, Х2 , ..., Хт + с2 - с1).

Правую часть соотношения (13) последовательно приведем к виду

У Х2 , ..., Хт + с2 - с1^ х

(Х1,Х2,...,Хт )еNom (Ч)

х Рт (с2; Х1, Х2 , ..., Хт + с2 - с1) =

_ Хт Х2

= У У ... У \(хи Х2 , ..., Хт + с2 - с1^ х

Хт >с1 Хт-1 =0 Х1 =0

х Рт (с2; Х1, Х2 , ..., Хт + с2 - с1) =

Хт-с2 +с1 Х2

= У У ... У \ (xl, Х2 , ..., Хт ^ х

Хт >с2 Хт-1 =0 Х1 =0

х Рт (с2; Х1, Х2 , ..., Хт ) <

_ Хт Х2

<У У ... У \ (Х1, Х2,..., Хт )| х

Хт >с2 Хт-1 = 0 Х1 =0

х Рт (с2; Х1, Х2, ..., Хт ) =

= 2\W (X1, Х2 , ..., Хт ^ *

(х1,х2,...,хт )е^0т(С2 ) (14)

X Рт (c2; X1, X2, ..., Хт ),

где множество N0" (c2) = {(x1, x2, ..., хт) е е Nт :

x1 < x2 < ... < хт, c2 < хт}. Непосредственно из соотношений (13) и (14) выводим, что

— 2 W (X1, Х2 , ..., Хт i Рт (c1; X1, Х2 , ..., Хт ) <

(хьx2,...,хт )еЩт (c1)

< — 2 W(X1, Х2 , ..., Хт ^

11/1 ""

т (x1,x2, ..,хт )еN0m (c2)

чения c е N и p(x1, x2, ..., хт) = ^^ w2(xk),

Ck

= 1-2 w2(n-c)2 f^ w2k (n)q™-1-k (n-1), (16)

n=c k=0 k + 1

n

где q1 (n) = 2 w2 (?) для всех n е N. Нетрудно

i=0

показать, что

-1 Ck

lm^f^ w2 k (n)qr1-k (n-1) = k +1

= lim q™ (n -1) +

•• ->ro

+ lim > -rn! w2 k (n)qm1-k (n -1) =

-1 Ck

пользуя равенство (16), для каждого с > с получаем, что

Н(с; =

(15)

* Рт (с?; X1, Х2 , ..., Хт ). Из (15) и (10) получаем, что Н0(с2; S') < < Н0(с\, S'), и теорема 2 доказана.

Теорема 3. Пусть ри(хьх2,...,хт) =

= 1>(х';>Р(х1, Х2..... хи-х\ ..., хт), и е и,

х'=0

функция м>(п): N ^ [0, 1] равна 1 при п = с и равно нулю при п Ф с для фиксированного зна-

где

{w2(n): n е N} есть некоторое распределение вероятностей на N. Тогда lim H0(c; S') = 0.

c^ro

Доказательство. Установим для экстремальной стационарной стратегии sv = gv(v; x1, x2, ..., хт), что limH(c;sv) = 0. Так как выпол-

c^ro

няются условия теоремы 5 из [3], то из (26) работы [3] с учетом распределения {w(n): n е N} найдем:

H(c; sv)

lim 2—^

n^ro^^ k + 1 k=1 K ^ A

т-1 k

= 1 + lim 2 f-1 w2k (n)^ (n -1) = 1.

n^ro^^ k + 1 k=1

Поэтому для любого 8 > 0 существует такое c = c'(8) > 0 , что для всех n > c имеем:

m-1 fk

2 ^ m~1 w2 (n)q1m-1- (n -1) > 1 -8. Отсюда, ис-

ro m-1 s~i k

= 1 - 2 W2(n - c)2 f+7 W2k (n)q™ (n -1) <

n=c k=0 k + 1

ro

< 1 - (1 - 8)2 w2 (n - c) = 8.

Следовательно, lim H (c; sv) = 0. Так как при

c^ro

каждом c е N выполняется очевидное неравенство H(c; sv) > H0(c; S'), то limH0(c;S') = 0.

c^ro

Теорема 3 доказана.

4. Определение расположения транспортной пачки на оси времени

При управлении конфликтными транспортными потоками на перекрестке очень важно знать не только место расположения каждой машины транспортной пачки на магистрали или на пространственной оси Ох, но и моменты пересечения такими машинами некоторой поперечной линии магистрали. Можно сказать, что эти моменты задают расположение каждой машины транспортной пачки на оси времени Ot. Расположение каждой машины транспортной пачки на магистрали определяет так называемую пространственную характеристику потока. Расположение каждой машины транспортной пачки на оси времени определяет временную характеристику потока. Между этими характеристиками существует сложная стохастическая зависимость. На эту зависимость опосредованно указывает связь интенсивности потока -среднего числа всех типов требований, поступающих за единицу времени в некоторую точку пространственной оси, с плотностью потока -средним числом всех типов требований, которые располагаются на участке единичной длины пространственной оси в некоторый фиксированный момент времени. Качественная зависимость между интенсивностью и плотностью для потока движения транспорта по магистрали приведена и подробно проинтерпретирована в работе [11]. Очень часто сначала определяют расстояние головной (медленной) машины транспортной пачки до стоп-линии ближайшего перекрестка. Затем, зная это расстояние и закон распределения скорости движения головной машины, можно с достаточной степенью точности определить время прибытия транспортной пачки к стоп-линии пересечения магистралей. Это, в свою очередь, позволяет назначить момент начала переезда транспортной пачкой перекрестка. Последнее обстоятельство значи-

тельно сокращает как время пребывания машин на перекрестке, так и их общее число стартов и остановок.

Выберем теперь такой участок магистрали, на котором располагается не более одной транспортной пачки потока автомобилей. Разобьем такой участок транспортной магистрали на т не обязательно одинаковых по длине секторов. Далее будем наблюдать, например фотографировать с вертолета транспортной инспекции, количество Х\, х2, ..., хт машин в секторах с номерами 1, 2, ..., т соответственно. Обозначим через ^ е N случайную величину, которая определяет число всех типов машин в секторе с номером V е{1, 2, ..., т}. Пусть величина 9У е е N означает случайное число машин в секторе с номером V, каждая из которых не принадлежит транспортной пачке. Наконец, случайная величина % е N задает число так называемых быстрых машин в транспортной пачке. Согласно принятой выше терминологии случайные величины 9,, и % определяют шум и полезный сигнал соответственно. Номер сектора, в котором располагается транспортная пачка, считается неизвестным параметром и е{1, 2, ..., т}. Для любого V е{1, 2, ..., т} случайные величины 9,, и % очевидно связаны следующей простой функциональной зависимостью: ^ _ [9* при V Ф и, У [% + 9„ при V _ и.

В соответствии с изучаемой в этой работе проблемой случайные величины ..., Е,т

подвергаются наблюдениям и принимают значения х1, х2, ..., хт. Как правило, случайные величины %, 91, 92, ..., 9т независимы в совокупности. При этом случайные величины 91, 92, ., 9т одинаково распределены по следующему закону [11]: {н2(п) _ е-ХХп/п!: п е Щ. Здесь Х есть плотность машин, которые не принадлежат транспортной пачке. Из работы [12] следует, что распределение {н(п): п е N1 числа % быстрых машин в транспортной пачке имеет вид: Г1 - ^ при п _ 0,

н(п) _Г 1 „1 (17)

1^(1 -^2)^2„ при п > 0.

В равенстве (17) параметр определяет вероятность появления пачки хотя бы из одной быстрой машины, а параметр d2 определяет математическое ожидание dl(1 - ^2) 1 величины транспортной пачки из быстрых машин. Известно, что параметры dl и d2 существенно зависят от среднего времени обгона быстрыми машинами медленной машины и от плотности быстрых машин на магистрали [13].

Для этой конкретной задачи получаем, что

п

2 н(х )н2 (п - х') / н2 (п) _

х'_0

_ п!Х-пеХ [(1 - ^)Хп (п!)-1 е ~Х +

п

+ 2^(1 -d2у2х -1 Xп-х е-Х((п -х ' )!)-1] _

х _1

п

= 1 -d1 + -1 (1 -d2)2d2x Х-х п!((п -х)!)-

х _1

2 н(х )н2 (п +1 - х) / н2 (п + 1) _

х' _0

_ 1 - d1 + d1d2 (1 - d2) х

х 2d2x Х-х (п + 1)!((п +1 -х')!)-1 .

х _1

Отсюда, так как п + 1 > п + 1 - х', и, значит, (п + 1)!((п +1 - х ' )!)-1 > п!((п - х ' )!)-1,

п+1

2 d2x Х-х(п + 1)!((п +1 - х )!)-1 >

> 2d2х Х-х п!((п - х)!)-

х _1

Поэтому имеем

1 - d1 + d1d2 '(1 - d2) х

х 2d2x X-х (п + 1)!((п +1 - х)!)-1 >

> 1 -^ + ^2(1 -d2)2d2x Х-х п!((п-х')!)-1. (18)

х ' _1

Так как н2(п) _ е- Хп/п! > 0 и имеет место неравенство (18) для всех п е N, то условия теоремы 4 из работы [3] выполнены. Поэтому экстремальная стационарная стратегия ^ _ хь х2, ..., хт) будет минимаксной, и эту стратегию можно применять для определения места положения транспортной пачки на выбранном участке магистрали.

К сожалению, доказательство и справедливость соотношения (18) существенно зависят от вида распределения {н(п): п е N1 числа % быстрых машин в транспортной пачке. Это распределение определяется механизмом образования транспортной пачки [13]. Приведем достаточно общие ограничения на распределение {н2(п): п е N1, при котором будут справедливы условия теоремы 4 из [3] для любого распределения {н(п): п е N1. Имеет место следующее утверждение.

Лемма. Пусть для каждого п, х е N распределение {н2(п): п е N1 удовлетворяет условиям н2(п) > 0, н2 (п)н2 (х) > н2(п + 1)н2 (х -1),

п

н2(-1)_0. Тогда функция 2 н(х') х н2(п - х ') х

х _0

х н2(п)-1 монотонно не убывает по п е N.

Доказательство. Из условий н2(п) > 0, н2 (п)н2 (х ') > н2(п + 1)н2 (х -1), где п е N и 1 < < х < п, найдем, что н2 (п +1 - х ')н2 '(п +1) - н2 (п - х)н2 '(п) > 0 .

х

х _1

Отсюда имеем:

п

0 <2 н(х')[н2 (п +1 - х')н2-1 (п +1) -

х'=1

- н2 (п - х')н-1 (п)] =

= н(0)н2 (п +1)н2-1 (п +1) +

п

+ 2 н(х ')н2 (п +1 - х(п +1) -

х = 1

- н(0)н2 (п)н-1 (п) -

п -1

- 2 н(х ')н2 (п - х '(п) =

х'=1

п

= 2 н(х )н2 (п +1 - х ') / н2 (п +1) -

х=0

п

- 2 н(х )н2 (п - х) / н2 (п) <

х'=0

п+1

< 2 н(х')н2 (п +1 - х')/н2 (п +1) -

х'=0

п

- 2 н(х ')н2 (п - х') / н2 (п).

х=0

Итак,

п+1

2н(х' )н2(п +1 - х) /н2(п +1) >

х=0

п

> 2 н(х')н2 (п - х')/н2 (п),

х'=0

и лемма доказана.

Эта лемма позволяет использовать экстремальную стационарную стратегию ^ = хь х2, ..., хт) для определения номера сектора, в котором расположена единственная транспортная пачка, и, следовательно, её величины хи на каждом выбранном участке магистрали. Имея достаточное число г такого рода участков данной магистрали, можно найти г реализаций случайной величины Е,и числа всех типов машин в транспортной пачке. Далее методами математической статистики можно решить проблему выбора адекватной вероятностной модели для механизма образования транспортной пачки из некоторого класса. Различные типы механизмов образования транспортной пачки были рассмотрены и изучены в работах [9, 12-15].

Список литературы

1. Федоткин М.А. Задача оптимизации для перестановочного семейства вероятностных моделей систем с управлением // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2012. № 5(2). С. 222-227.

2. Федоткин М.А. Свойства перестановочных и квазиперестановочных стратегий управляющих дис-

кретных систем // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2014. № 2. С. 190-197.

3. Федоткин М.А. Построение класса экстремальных стратегий управляющих дискретных систем // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2014. № 3. С. 109-119.

4. Федоткин М.А. Семейство вероятностных моделей для эволюционного эксперимента // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2014. № 4 (1). С. 350-360.

5. Zorine A.V., Fedotkin M.A. Optimization of Control of Doubly Stochastic Nonordinary Flows in TimeSharing Systems // Automation and Remote Control. 2005. Vol. 66. № 7. P. 1115-1124.

6. Пройдакова Е.В., Федоткин М.А. Управление выходными потоками в системе с циклическим обслуживанием и переналадками // Автоматика и телемеханика. РАН. 2008. № 6. С. 96-106.

7. Федоткин М.А., Федоткин А.М. Анализ и оптимизация выходных процессов при циклическом управлении конфликтными транспортными потоками Гнеденко-Коваленко // Автоматика и телемеханика. РАН. 2009. № 12. С. 92-108.

8. Fedotkin M.A. Construction and analysis of probability models for controlled evolutionary systems // Theory of Probability and Mathematical Statistics. 2012. Vol. 85. P. 133-147.

9. Федоткин М.А. Модели в теории вероятностей. М.: Наука-Физматлит, 2012. 608 с.

10. Халмош П.Р. Теория меры. М.: ИЛ, 1953. 292 с.

11. Хейт Ф.А. Математическая теория транспортных потоков. М.: Мир, 1966. 288 с.

12. Fedotkin A.M., Fedotkin M.A. Model for refusals of elements of a controlling system // Materials of the first French-Russian Conference on «Longevity, Aging and Degradation Models in Reliability, Public Health, Medicine and Biology, LAD' 2004» St. Petersburg, St. Petersburg State Polytechnical University, 2004. V. 2. P. 136-151.

13. Fedotkin M.A., Rachinskaya M.A. Investigation of Traffic Flows Characteristic in Case of the Small Density // Queues: Flows, Systems, and Networks. Proceedings of the International Conference «Modern Probabilistic Methods for Analysis und Optimization of Information and Telecommunication Networks». Minsk: BSU-RIVH, 2011. № 21. P. 82-87.

14. Федоткин М.А., Кудрявцев Е.В. Построение и исследование математической модели неоднородного дорожного трафика // В сб.: Массовое обслуживание: потоки, системы, сети. Минск: РИВШ, 2011. № 21. С. 76-81.

15. Федоткин М.А., Федоткин А.М., Кудрявцев Е.В. // Автоматика и вычислительная техника. 2014. № 6. С. 62-74.

ANALYSIS OF AN ERROR IN THE SELECTION OF A PROBABILISTIC MODEL OF CONTROLLING DISCRETE SYSTEMS

M.A. Fedotkin

The problem of selection of an adequate, in some cases, and a target model (Q, T, PQ), in other cases, for a statistically steady experiment E from some parametric family {(Q, T, P„(-)): u e U} has been consistently solved in [14]. Preliminary results on this problem were first presented in 1986 at the Steklov Mathematical Institute of the Russian Academy of Sciences and at the Tenth Prague Conference on information theory, statistical decision functions and random processes. The approach proposed in [1-4] is based on the general idea of the experiment (control system) in the form of a scheme, information, coordinates and function [5-9]. This allows one to select m > 2 meters ..., [1] of elementary outcomes {<»} c Q of the experiment and then build its probabilistic model (Q, T, PQ) with the use of the information on a single trial of the experiment. A simpler problem is considered in the classical statistical decision theory when it is necessary to choose the distribution of a random element E, = ..., ^m) from some parametric family

{P„(-): u e U}. In this case, the strategy of choice of the distribution does not depend on the parameter u e U, and depends only on observations of the element In this work, which completes the studies in [1-4], the problem is solved on the reduction of the selection error probability of the model (Q, T, PQ) from the family {(Q, T, P„Q): u e U.

Keywords: control system, probabilistic model, sample space, strategy, risk function, family of permutation distributions.

References

1. Fedotkin M.A. Zadacha optimizacii dlya peresta-novochnogo semejstva veroyatnostnyh modelej sistem s upravleniem // Vestnik Nizhegorodskogo universiteta im. N.I. Lobachevskogo. 2012. № 5(2). S. 222-227.

2. Fedotkin M.A. Svojstva perestanovochnyh i kva-ziperestanovochnyh strategij upravlyayushchih diskret-nyh sistem // Vestnik Nizhegorodskogo universiteta im. N.I. Lobachevskogo. 2014. № 2. S. 190-197.

3. Fedotkin M.A. Postroenie klassa ehkstremal'nyh strategij upravlyayushchih diskretnyh system // Vestnik Nizhegorodskogo universiteta im. N.I. Lobachevskogo. 2014. № 3. S. 109-119.

4. Fedotkin M.A. Semejstvo veroyatnostnyh modelej dlya ehvolyucionnogo ehksperimenta // Vestnik Nizhe-gorodskogo universiteta im. N.I. Lobachevskogo. 2014. № 4 (1). S. 350-360.

5. Zorine A.V., Fedotkin M.A. Optimization of Control of Doubly Stochastic Nonordinary Flows in TimeSharing Systems // Automation and Remote Control. 2005. Vol. 66. № 7. P. 1115-1124.

6. Projdakova E.V., Fedotkin M.A. Upravlenie vy-hodnymi potokami v sisteme s ciklicheskim obsluzhiva-niem i perenaladkami // Avtomatika i telemekhanika. RAN. 2008. № 6. S. 96-106.

7. Fedotkin M.A., Fedotkin A.M. Analiz i op-timizaciya vyhodnyh processov pri ciklicheskom uprav-lenii konfliktnymi transportnymi potokami Gnedenko-Kovalenko // Avtomatika i telemekhanika. RAN. 2009. № 12. S. 92-108.

8. Fedotkin M.A. Construction and analysis of probability models for controlled evolutionary systems // Theory of Probability and Mathematical Statistics. 2012. Vol. 85. P. 133-147.

9. Fedotkin M.A. Modeli v teorii veroyatnostej. M.: Nauka-Fizmatlit, 2012. 608 s.

10. Halmosh P.R. Teoriya mery. M.: IL, 1953. 292 s.

11. Hejt F.A. Matematicheskaya teoriya transportnyh potokov. M.: Mir, 1966. 288 s.

12. Fedotkin A.M., Fedotkin M.A. Model for refusals of elements of a controlling system // Materials of the first French-Russian Conference on «Longevity, Aging and Degradation Models in Reliability, Public Health, Medicine and Biology, LAD' 2004» St. Petersburg, St. Petersburg State Polytechnical Uni-versity, 2004. V. 2. P. 136-151.

13. Fedotkin M.A., Rachinskaya M.A. Investigation of Traffic Flows Characteristic in Case of the Small Density // Queues: Flows, Systems, and Networks. Proceedings of the International Conference «Modern Probabilistic Methods for Analysis und Optimization of Information and Telecommunication Networks». Minsk: BSU-RIVH, 2011. № 21. P. 82-87.

14. Fedotkin M.A., Kudryavcev E.V. Postroenie i issle-dovanie matematicheskoj modeli neodnorodnogo dorozh-nogo trafika // V sb.: Massovoe obsluzhivanie: potoki, sis-temy, seti. Minsk: RIVSH, 2011. № 21. S. 76-81.

15. Fedotkin M.A., Fedotkin A.M., Kudryavcev E.V. // Avtomatika i vychislitel'naya tekhnika. 2014. № 6. S. 62-74.