Семейство вероятностных моделей для эволюционного эксперимента Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2014, № 4 (1), с. 350-360

УДК 519.21

СЕМЕЙСТВО ВЕРОЯТНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ ЭВОЛЮЦИОННОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

© 2014 г. М.А. Федоткин

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского [email protected]

Посоупила в редакцию 25.02.2014

В работах [1-3] для статистически устойчивого эксперимента Э, вероятностная модель (О, P(•))

которого неизвестна и принадлежит некоторому семейству {(О, P„(•)): и е и} перестановочных распределений, предлагается класс рандомизированных стратегий выбора искомой модели. Основным

результатом этих работ является как изучение свойств семейства {(О, Pu(•)): и е и}, так и рассмотрение фундаментальных свойств перестановочных и квазиперестановочных стратегий принятия решений о вероятностной модели (О, P(•)). Определение вероятностной модели управляющей системы [4-6] сводится к решению некоторой оптимизационной задачи по информации о единственном испытании над экспериментом Э. В этой работе, которая продолжает исследования из [1-3], изучается проблема построения и изучения свойств семейства вероятностных моделей для эволюционного эксперимента [7, 8] с целью уменьшения экстремальной функции риска или вероятности принятия неверного решения о выборе модели.

Ключевые слова: управляющие системы, эволюционный эксперимент, вероятностные модели, перестановочные распределения, перестановочные стратегии, квазиперестановочные стратегии, выборочные пространства, экстремальная функция риска.

Введение

В работах [1-3] рассмотрена общая постановка проблемы определения адекватной или

целевой вероятностной модели (О, Р(-)) для статистически устойчивого эксперимента Э в

случае, когда (О, Р(-)) е {(О, Ри(-)): и е е и}. Из практических соображений для дискретных управляющих систем можно считать, что при т > 2 множество и и множество V высказываний V относительно неизвестного параметра и удовлетворяют условию V = и = {1, 2, ..., т}. Без ограничения общности, предполагается, что каждый из измерителей ^(ю), Е2(ю), ••, Ет(ю) принимает значение из N = {0, 1, ...} для всех ю е О. Решение V = ^(ю): О ^ V о выборе

адекватной или целевой модели (О, Р(-)) =

= (О, Р^)) принимается только на основе единственного наблюдения х = (х1, х2, ..., хт) е е Мт над векторным измерителем Е = (Е,1, Е2, ..., Ет). В связи с этим условием в [1-3] при V е V, у = (хь х2, ., хт, V) е Ыт х V рассматривается случайный вектор (уь у2, ..., ут, у) на выборочном вероятностном пространстве вида (Кт х V,

2ытх¥ , Ри,*(■)), где У1(У) = Х1, У2(У) = Х2, ..., ут(у) = = Хт, у(у) = V и Ри,Х{(х, V)}) = Ри({ю: Е(ю) = х}) х х Ри({ю: С(ю) = v}|{ю: Е(ю) = х}) = ри(х^и^; х). Доказано, что при определении модели

(О, Р(-)) вместо класса 5" всех стратегий (решающих функций) 5 = Ри({ю: С(ю) = v}|{ю: Е(ю)= = х})= х): и х Vх Ыт ^ [0, 1] целесообразно использовать более узкий класс 5' = 50 и и 5С перестановочных или квазиперестановочных, или стационарных стратегий [2]. В предположении, что функция потерь 1(и, V) равна нулю при и ф V и равна единице при и = V, функция риска Н(и, 5,)=Ми>5(1(м, у))= = Ри,б({у: у (у) ф и}) определяет вероятность ошибочного выбора адекватной или целевой модели из класса {(О, Ри(-)): и е Ц}. Для каждой минимаксной стратегии 5 из такого класса в работе [3] была найдена формула (6), которая определяет значение Н(^) экстремальной функции риска или максимальной вероятности ошибки выбора адекватной (целевой) моделидля управляющих систем. Эти результаты были получены при следующих ограничениях: 1) решение или высказывание об истинном значении неизвестного параметра и принимается только на основе

информации о единственном испытании над случайным экспериментом Э; 2) семейство

{(О, &, Ри(0): и е и} вероятностных моделей для статистически устойчивого эксперимента Э предполагается фиксированным. Здесь возникает проблема уменьшения вероятности Н^) за счет ослабления указанных ограничений 1) или 2).

1. Построение семейства вероятностных моделей для эволюционного эксперимента

В этом разделе семейство {(О, &, Ри(-)): и е и} вероятностных моделей предполагается фиксированным. При этом вероятность Ри({га: Е(га) = = х}), обозначаемая через функцию ри(х), определяется с помощью соотношения

Ри(х) = Pu(x1, x2, . • ^ хт) =

хи

= Е Х')Р(X1, Х2 , хи - x', Хт ), (1)

х'=0

и е и,

где множество {м>(п): п е Щ и множество {р(хь Х2, ..., Хт): (XI, Х2, ..., Хт) е Щт } суть некоторые заданные распределения вероятностей на N и Щт соответственно.

Более того, при любом наборе (х1, х2, ..., хт) е е Щт и при любом взаимно однозначном отображении %(т) е П множества {1, 2, ..., т} на себя выполняется условие симметрии р(хп(1), ХП(2), ..., Хл(т)) = р(Х1, Х2, ..., Хт) из работы [1]. По лемме 1 из работы [1] семейство {Ри(х1, Х2, ..., Хт): (Х1, Х2, ..., Хт) е Щт } из распределений для вектора Е будет перестановочным. Определение семейства {ри(Х): и е и} соотношением (1) позволяет высказывание об истинном значении неизвестного параметра и интерпретировать на задаче обнаружения полезного сигнала х с распределением {м>(п): п е Щ} на фоне векторного шума 9 = (9Ь 92, ..., 9т) с распределением {р(х): х е Щт }. При этом = 9,, для всех V ф и и лишь компонента Еи для наблюдаемого сигнала (Еь Е2, .••, Ет) задается формулой Еи = X + 9и, где х и 9 являются независимыми случайными объектами на (О, &, Ри(0) при любом и е и. Итак, рассматриваем фиксированные семейства {(О, &, Ри(0): и е и}, {м>(п): п

е Щ} и {р(х): х е Щт }, но можно проводить конечное число t независимых испытаний над экспериментом Э. Поэтому принимать решение о выборе адекватной или целевой модели будем по t независимым наблюдениям Х1 = (х^ь х21,

Хт, 1), Х2 = (Х1 , Хт, 2), ..., X = (Х1, ь Х2,ь ...,

Хт) над векторным измерителем Е, где при каж-

дом k е {1, 2, ..., т}, i е {1, 2, ..., t} величина

Хк,г е N.

Пусть О = О1 = О2 = ... = О', га е О, га1 е Оь га2 е О2, ..., га( е О', & = &1 = &2 = ... = & и Р„(0 = Р«л(0 = Р«,20 = ... = РиХО. Рассмотрим теперь эволюционный эксперимент [8], который будем обозначать символом Э . Эксперимент Э определяется как прямое произведение t независимых экземпляров одного и того же эксперимента Э. В этом случае [8] семейство вероятностных моделей для эволюционного эксперимента Э' имеет вид {(О', & , Ри'(0): и е и}, где О' = О1 х О2 х ... х О', га' = (гаь га2, ..., га'),

га' е О', & = &1 х &2 х ... х & и Р„'({га'}) = = РиД({га1}) х Ри,2({га2}) х ... х Р„'({га'}). Введем в рассмотрение независимые векторы Е^ = (Е1,1, Е2,Ь Еm,1), "2 = Е2А ЕтдХ Е' = (Е1,', Е2,', ..., Ет,'). При этом векторы "1, "2, ..., Е' и Е = (Е1, Е2, Ет) одинаково распределены. Будем считать, что упорядоченный набор вида Е = (Е1, е2, ..., Е') является векторным виртуальным измерителем эволюционного эксперимента Э'. При проведении эволюционного эксперимента Э' определяем значения Х1 = (х1,1,

Х2, Ь Хт, 1), Х2 = (Х1 ,2, x2,2, Хт, 2), ..., X' = (Х1,',

Х2,', ..., Хт,') измерителей Е1, Е2, ..., Е' для произвольного его элементарного исхода {га'}. Эволюционному эксперименту Э' и его виртуальным измерителям Е1, Е2, ., Е' соответствует выборочное вероятностное пространство (Щт',

Ж', Ри'(В)), где множество содержит элементы вида Х ' = (Х1,1, Х2,1, ..., Хт,1, Х12, Х2,2, ..., xm,2, . x1,', x2,', Хт '), ст-алгебра Ж есть множество всех подмножеств множества . При каждом фиксированном значении параметра

и е и функция Ри'(В), В е Ж с учетом соотношения (1) единственным образом определяется распределением

ри'(Х') =

ри (Х1,Ь Х2,Ь Хт,Ь Х1, 2, Х2,2, . , Хт,2,

п

., Х1,', Х2,', ., Хт,') = _pu(x1,г, x2,г, . • Хт,г) =

(2)

* ЛЫ,1

= ПЕ ^(Х)Р( Хи , Х2,1 , ..., Хи^ - x', ..., Хт-),

/=1 Х=0

где ри (x1,1, Х2,1, xm,1, Х1 ,2, Х2,2, ., Хт,2, ., Х1,', Х2 ', ..., Хт,') = Ри'(В) при одноточечном множестве В = {(Х1,1, ,2, Х2,2, ., Хт,2, ., Х1,', x2,', Хт,') }.

Определение 1. Семейство {ри'(Х'): х ' е } распределений для элемента (Е1, Е2,

..., Е') называется перестановочным, если для любого и е Ц, тс(-) е П и для любого набора х ' е Ыт' имеет место соотношение

Put(xл(1),1, хя(2), 1, хя(т), 1, xra(1),2, ^Р)^ ■^(т)^ ■Х^О)' хл(2),Ь хл(т),') = = Ря(и)(х1,1, х2,1, ..., хт,1, х1,2, х2,2, ... , хт,2, .,

х1,', х2,', ., хт,').

Так как семейство {ри(х1, х2, ..., хт): (х1, х2, ..., хт) е Ыт } распределений для вектора (Е1, Е2, ..., Ет) является перестановочным, то из (2) сразу следует, что семейство { р'и (х'): х ' е Ыт' }

распределений для элемента Е = (е1, е2, ..., Е') будет также перестановочным.

Для эволюционного эксперимента Э' измеримые пространства (Ц, X), ^,Ж), (2, функция потерь 1(и, V) и семейство {^(и): и = 1, 2, ., т} определены в пятом разделе работы [1], т.е. остаются без изменений. Однако для решающей функции или стратегии = gu'(v; х '): {1, 2, ..., т} х {1, 2, ..., т} хЫт' — [0, 1] будут

теперь выполняться соотношения

' ' ' '

5 = ёи х ) = ёи (v; x1,1, х2,Ь xm,1, x1,2, x2,2, ., хт,2, ., х1,', х2,', ., хт,'),

т

X ёи (v; x1,1, х2,Ь xm,1, x1,2, x2,2, xm,2,

V=1

., х1,', х2,', ., хт,') = 1, и е {1, 2, ..., т}, х = (х1 х1 ,2, х2,2, ., хт,2, ., х1,',

x2,', хт,') е N .

Множество всех таких стратегий 5 ' обозначим через 5 ', а класс всех стационарных стратегий по аналогии с третьим разделом обозначим через 5'с.

Пусть пространство (Мт' х V, Ж' < Ж) есть прямое произведение [8] пространств (Ыт', Ж'), (V, Ж) при V = {1, 2, ..., т}, тогда произвольный элемент из множества Ыт> х V будем обозначать символом У = (х1,ь

х2,Ь хт,Ь х1, 2, х2,2, . , хт,2, ., х1,', x2,', хт,';

В общем случае дискретный случайный элемент (Е1, Е2, ... Е', не имеет поточечного задание [8] вида у ' = (Е1(ю'), Е2(ю'), ... Е'(ю'), С(ю')): О' — Ыт' х V. Поэтому при заданной стратегии = ёи(у; х') е 5 ' для дискретного случайного элемента (Е1, Е2, ... Е', используя равенства (2), будем рассматривать семейство выборочных вероятностных пространств {(Мт' х V, Ж' < Ж, Р' ' (■)): и е Ц}, где

I

Р'и ' ({У'}) = П Р"(х1.;, хц, ., хт,г) х

х ёи С^ Х1,1, Х2,1, xm,1, х1,2;, x2,2, xm,2, х1,Ь

х2,', ., хт,') =

= П X х' )р( х1,,., хг,, ..., хи,,- - х ', ..., хт,) х

/=1 х'=0

х ёи (v; x1,1, х2,Ь хт,Ь x1,2, x2,2, xm,2,

x1,', x2,', хт,') (3)

для любого у ' е Ыт' х V. Соотношение (3) определяет единственную вероятностную меру Р'' (Е'), Ее Ж' < Ж, для которой величина

С' (Е') = Р'у ({у'}) при Е = {у '} = {(хи, х2,1,

хт,Ь x1,2, x2,2, . xm,2, . х1,Ь х2,Ь . хт,'; v)}.

На вероятностном пространстве (Ыт' х V, Ж' <

< Ж, Ри,/(0) при каждом k е {1, 2, ..., т} и , е е {1, 2, ..., '} введем случайную величину у к, ,(■): х V —> N с поточечным заданием [8] вида ук, ,(у') = хк, и случайную величину Г(-): #т' х V — V с поточечным заданием вида Г(у ') = V. Итак, вместо векторного случайного элемента (Е1, Е2, ... Е', на основном вероятностном пространстве (О', &', Ри'(0) будем изучать на выборочном вероятностном пространстве (Ыт' х V, Ж' < Ж, Р' ' (■)) случайный эле-

мент (ПС), Г2С), ..., Г'(-), Г(-)): Мт' х V — — Ыт> х V с поточечным заданием [8] вида

Г1(у ') = (у1,1(у '), уг,1(у 'X ут,1(у')) =

= (х1,Ь х2,Ь хт,1),Г2(у ) =

= (у1,2(у '), у2,2(у 'X ут,2(у ')) =

= С^А x2,2, xm,2), .,Г'(у ) = =(у1,'(у '), у2,'(у '), ут,'(у ')) = = (х1,ь x2,', -хт.'Х Г(у ) = v. Первые ' компонент случайного векторного элемента (Г1, Г2, ., Г', Г) являются другого типа математическими моделями измерителей эволюционного эксперимента Э'. Последняя компонента Г этого элемента определяет точечную оценку неизвестного параметра и в случае, когда над экспериментом Э проводится конечное число ' независимых исп^1таний. В следующем разделе изучим свойства векторного элемента (Г1, Г2, ..., Г', Г), который определен на выборочном вероятностном пространстве х V, Ж' < Ж, Р'' (■)).

2. Проблема выбора модели по независимым повторным выборкам

Лемма 1. Случайные векторы Г1, Г2, ..., Г' являются независимыми одинаково распреде-

ленными на вероятностном пространстве

(Щт' х V, Ж' < Я, Р'' (•)).

Доказательство. Все рассматриваемые здесь случайные объекты являются дискретными. Поэтому для доказательства этой леммы достаточно показать, что

Р' ({у':ЦСУ) = ВД^')=Х2,...,Г'(у')=X'}) =

=ПО ({у': Г (у')=X }) •

(4)

Принимая вид поточечного задания случайных векторов Г1, Г2, ..., Г', обозначение X1 = (х1Д,

Х2,1, Хт, 1), X2 = (Х1 А x2,2, Хт, 2), ..., X' = (Х1,',

Х2', ..., Хт,') и соотношение (3), легко находим: Р' ({у': Ц(у') = X1,

Г2( у') = X 2,..., Г' (у') = X'}) =

т

= ЕС' ({у' : Г1(У') = X1,Г2(у') =

У=1

= X 2,..., Г' (у') = X', Г( у') = V}) =

т '

= ЕП Ри (Х1,-' , Х2,-'^ Хт,, ) х

v=1 ¿=1

х ёи (v; Х1,1, Х2,1 ,..., Хт,1 ,..., Х1,' , Х2,' ,..., Хт,' ) = I

= П Р" (Х1,', Х2,'- Хт,< ^ ¿=1

Р'у ({у': Ц(у') = X1}) =

т

= Е Е К, ({у': Г1(у')=X1,

X 2,..., X, v=1

Г2( у') = X 2,..., Г' (у') = X', Г( у') = V}) =

т '

= Е Е П Р" ^ Х2,' ,..., Хт,, ) х

X2,...,X, V=1 ¿=1 х ёи (V; Х1,1 , Х2,1 ,..., Хт,1 ,..., Х1,' , Х2,' ,..., Хт,' ) =

= Ри (Х1,1, Х2,1 ,..., Хт,1).

Точно так же выводим, что

Р'у ({у' : Г, (у') = X,}) = Ри (Хи,Х2,,,...,Х„,,), i = 1,2,...,'.

Сравнивая эти результаты, получим соотношение (4) и утверждение этой леммы.

Определение 2. Будем называть стратегию , = ёи (V; Х ) е Л перестановочной, если для любого параметра и е и, решения V е V, отображения тс(-) е П и любого набора Х ' = (х1Д,

Х2,Ь Хт,Ь x1,2, x2,2, Хт2 x1,', Х2,Ь Хт,') е

е Щт' имеет место равенство

ёи'С^ Хп(1),Ь Хж(2), 1, Хж(т), 1, xл(1),2, xл(2),2, ■^(т)^ xrt(1),', Хл(т),') =

, Хт,2,

., Х1,', Х2,', ., Хт,').

Множество всех перестановочных стратегий обозначим символом 50'.

Определение 3. Будем называть стратегию

' '/ '\ о ' __^

, = ёи (V; Х ) е 5 квазиперестановочной, если для любого параметра и е и, решения V е V, отображения тс(-) е Пи любого набора Х ' =

=(Х1

,Ь Х2,Ь Хт,Ь Х1 ,2, Х2,2, ., Хт,2, ., Х1,', Х2,',

..., Хт,') е Щт' имеет место равенство

ёи'С^ Хж( 1),^ Хж(2), 1, Хж(т), 1, xл(1),2, xл(2),2,

= ёи

'(Ж^)

, Хт,2,

., Х1,', Х2,', ., Хт,').

Множество всех квазиперестановочных стратегий обозначим символом 51'. Класс перестановочных и одновременно квазиперестановочных стратегий будем обозначать через 50' П 51'. Класс 50' П 51' составлен только из стационарных стратегий. Для эволюционного эксперимента Э функция потерь 1(и, V) равна единице, если и ф V, и равна нулю при и = V. Поэтому при

' '/ К О '

стратегии , = ёи (V; Х) е 5 функция риска Н'(и,')= Ш'и/ (I (и, Г) = 1 - Р'у ({у' : Г( у') = и}). В связи с этим, обозначим Н )= тах{Ри'^({у' :Г(у') фи}):и еи} и Но '(5 ') =

= тДН '(,'): е 5 '}. Для эволюционного эксперимента Э' будем называть величину Н'(,') экстремальной функцией риска и величину Н0 '(5 ') -минимаксным значением функции риска Н '(и, ,') относительно класса 5 '. При этом минимакс-

', + о '

ная стратегия , относительно класса 5 для эволюционного эксперимента Э' определяется из условия Н0 '(5 ') = Н '(,'' +), где + е 5 '. В частном случае величина Н0 '(50' и 51' и 5С') определяет минимаксное значение функции риска Н '(и, ,') е 5 ' относительно класса 50' и 51' и 5С', который в дальнейшем обозначим через 5 '' .

3. Экстремальные стратегии для эволюционных экспериментов

Как и в [1-3], обозначим через П множество взаимно-однозначных отображений ж(,): {1, 2, ..., т} ^ {1, 2, ..., т}. Пусть теперь ж(-) е П переводит фиксированный вектор Х ' = (Х1,1, Х2,1,

Хт,Ь x1,2, x2,2, xm,2, x1,', x2,', Хт,') в

вектор (Хж(1),1, Хж(2),1, ., Хж(т),1, Хп(1),2, Хп(2),2, .,

хП(т),2, ., хП(1),', хП(2),', ., хЛ(т),'). Обозначим через W (х1,Ь х2,Ь хт,Ь x1,2, x2,2, хт2 x1,',

х2 ', ..., хт,') = W'(х') множество всех попарно различных наборов, каждый из которых образуется из одного и того же набора х' с помощью различных отображений тс(-) е П. Установим взаимно-однозначное соответствие между заданным вектором вида (х11, х21, ..., хт1, х12, х2,2, ..., хт,2, ..., х1,', х2,', ..., хт,') и упорядоченным набором (х11, х12, . •., х1', х2,1, х2,2, . • • хт,2, ..., хт,'). Обратно, вектор вида (хП(1)>ь х^^,

xл(1),', хя(2), 1, xrc(2),2, xл(2),'), . хя(т), 1, xrc(m),2,

., хп(т),') соответствует (хл(1),Ь хп(2),1, ..., хп(т),1,

xл(1),2, xrc(2),2, xrc(m),2, . ^О)^ xrc(2),', . xra(m),'),

где тс(-) е П. Такое соответствие позволяет в дальнейшем найти число элементов множества W'(х'). Для этого при каждом к = 1, 2, ..., т рассмотрим вектор хк = (хк1, хк 2, ..., хк,') е N, который определяет последовательные значения измерителя Ек в результате проведения ' независимых испытаний над экспериментом Э. Заметим, что при единственном испытании над экспериментом Э рассматривали элемент хк е N

вместо вектора хк. Допустим, что среди всех т

' ' ' '

векторов вида х1, х2, ..., хт ровно е = е(х ) векторов являются различными. Все эти различные векторы обозначим следующими символами:

¿'(1) = (Ь 1(1), Ь2(1), ..., Ь(1)) = =(Ь1(1; х '), ¿2(1; х '), ..., Ь'(1;х ')),

¿'(2) = (¿1(2), ¿2(2), ..., Ь(2)) = (¿1(2; х '), ¿2(2; х '),..., ¿(2; х')), ...¿(е) =

= (¿1(е), ¿2(е), ...,

¿'(е)) = (¿1(е; х '), ¿2(е; х '), ..., ¿(е; х ')). Если при каждом фиксированном у = 1, 2, ..., е

величина с'(/) = с (у; х') определяет число тех

' ' '

векторов из х1, х2, ..., хт, которые совпадают с вектором вида ¿'(у) = (^(у), ¿2(3), ..., ¿Ц)) = (¿1/; х '), ¿2(3; х '), ., ¿'(у; х ')), то с'(1) + с'(2) + +.+ с (е) = т. Вектор (х1, х2, ..., хт), который состоит из е различных компонент вида b (1), b (2), ..., b (е), однозначно определяет вектор х . Число всех попарно различных векторов вида

( хя(1) , хя(2) , хя(т) X 40 е П каждый из которых образуется из одного и того же вектора (х1', х2', ..., хт') с помощью различных отображений тс(-) е П, равно т!((с'(1))!(с'(2))! х ... х (с'(е))!)-1 [8]. Поэтому

число элементов множества W'(х') также равно т!((с'(1))!(с'(2))! х ... х (с'(е))!) 1. Будем говорить, что мы определили число элементов множества W (х) для задачи с параметрами т, с'(1), с'(2), ... с'(е).

Разобьём теперь множество W'(x') на классы. При фиксированном значении к = 1, 2, ., т в один класс собираем все такие пары

(и1,1, и2,1, ., ит,1, и1,2, и2,2, ., ит,2, ., и1,', и2,', ., ит,'), (х1,Ь х2,Ь 2 m,1, ¿12

z2,2, zm,2, z1,', z2,', 2т,')

элементов из множества W '(х'), для которых последовательные значения ик' = (ик1, ик2, ., ик,') и хк = (2к,1, 2к,2, ., 2к,') измерителя Ек в результате проведения ' независимых испытаний над экспериментом Э совпадают, т.е. вектор ик' = хк'. Легко видеть, что такой способ образования пар элементов из множества W (х) является рефлексивным, симметричным и транзитивным. Поэтому, этот способ позволяет множество W (х ) разбить на классы [9]. Построим эти классы. Напомним, что вектор / г г к

(х1, х2, ..., хт) состоит из е различных компонент ¿'(1), ¿'(2), ..., ¿'(е). Поэтому зафиксировав любую из этих е компонент, например ту, которая совпадает с b'(/), получаем класс W'kj (х')

= (x1,1, х2,Ь xm,1, x1,2, x2,2, xm,2, х1,Ь

х2', ..., хт,') с номером/. Можно сказать, что для каждого элемента из класса Wk, у'(х') последовательные значения измерителя Ек в результате проведения ' независимых испытаний над экспериментом Э совпадают с компонентами вектора ¿'(у). Итак, множество W'(х') разбили на е классов ^^(х '), ^л(х '), ..., ^ь',. (х '). Рассмотрим далее следующий вектор (х1', х2', ..., хк-1, ¿'(у), х\+1, ..., х'т). Для этого вектора компонента с номером к всегда равна ¿'(у). В результате получаем новую задачу с параметрами т - 1, с'(1), с'(2), ..., с (у) - 1, ..., с'(е). Значит, число элементов множества Wk,у'(х') равно (т - 1)!((с'(1))!(с'(2))! х ... х (с (у) - 1)! х...х (с'(е))!)-1. Отсюда легко получаем, что т х | W'kj (х ')| = с (у) х | W'(х')|.

Для эволюционного эксперимента Э' в дальнейшем будем рассматривать стратегию, которая учитывает экстремальные свойства последовательных значений хк1, хк2, ..., хкл каждого измерителя \к в результате проведения ' независимых испытаний над экспериментом Э. С этой целью для любого фиксированного элемента х = (х1 х1 ,2, х2,2, ., хт,2, ., х1,', х2,',

..., хт,') из множества Nm' введем функцию х(к; х') = хк1 + хк,2 +... + хк': {1, 2, ..., т}х х Nm' — N, множество вида L'У (х ) = {к: х(к; х ) = = тах{х(1; х '), х(2; х '), ..., х(т; х ')} и, наконец,

множество L'(x') = {и: и е и, ри'(Х') = р' *(х')}, где p'' *(х') = тах{р1Х(х'), Р2Х(х'), ..., Рт'(х')}. Теперь для эксперимента Э можно определить экстремальную стационарную стратегию вида

, " = ёУ (V; Х) =

)0 приVйГ(Х),

(х') I"1 для всех V е (х').

(5)

Итак, эволюционный эксперимент Э , который специальным образом построен с помощью многократного и независимого проведения эксперимента Э, будем рассматривать теперь как единый эксперимент [8]. При этом основные

математические объекты вида: {(О', &', Ри'(•)):

и е и}, га', (и, X), (Щт', Ж'), (V, Я), (г, <^), 9, Е, С, к, х', V, ¡(и, V), (Щт', Ж', Ри'(В)), ри'(Х), ёи'(V; х'), 5', 5', 50', 5/, (Е, С), у ', (Щт' х V,

V

', + т'/ '\ т', V/ '\ ', V

, , L (х), ^ (х ), , для эволюционного эксперимента Э аналогичны основным математическим объектам следующего вида: {(О, &, Ри(0): и е и}, га, (и, X), (Щт , Ж), (V, Я), (г, <^), 9, Е, С, к, х, V, ¡(и, V), ( Щт , Ж, Рв(В)), Ри(х), ё«^; х), ,, 5, 5с, 50, 51, (Е, С), у, (Щт х V, Ж < Я, Р„,, (•)), 1к,

у, Н (и, ,), Н"(,), Н0(5), , +, L(x), LV(x), , У для эксперимента Э. Поэтому для изучения эксперимента Э , используя равенство (2), можно полностью воспользоваться методикой исследования эксперимента Э из [1-3]. В частности для эксперимента Э будут справедливы утверждения, которые аналогичны лемме 1 из [1], леммам 1-4 и теоремам 1-6 из [2] и теоремам 1-3 из [3]. В качестве примера приведем несколько утверждений, которые справедливы для эксперимента Э .

4. Свойства экстремальных стратегий для эволюционных экспериментов

Теорема 1. Пусть стратегия , = ёи'(V; х') является перестановочной. Тогда вероятность

Р ({ у : Г( у ) = и}) выбора верного значения и

Ж' < Я, Р' ' (•)), ук,, , Г, Н'(и, Д #'(Л Н0Х(5'),

ляется перестановочным, то для каждой пары векторов

(Х1,1, Х2,1,..., Хк-1,1, Ь1 О ), Хк+1,1,...,

Хт,1 ,..., Х1,' , Х2,' ,..., Хк-1,' , Ь' О ), Хк+1,' ,..., Хт,' ),

(Х ' Х ' ' Х ' Ь ( 7') Х ' ' Х '

^,1 , А-2,1 ,..., Л-к-1,1 ), Л, к+1,1 V?

х ' ' Х ' Х ' Ь (7) х ' ' Х ' )

"Ч" "Ч,"' • • > кк +1,' V • 5 т,')

из множества Wtkj (х') выполняются соотношения

Рк (Х1,1, Х2,1,..., Хк-1,1, Ь1 ОХ Хк+1,1,...,

Хт,1 ,..., Х1,' , Х2,' ,..., Хк-1,' , Ь' ), Хк+1,' ,..., Хт,' ) =

= рк (Х1,1, Х2,1,..., Хк -1,1, Ь1('), Хк+1,1,..., Х' ' Х ' Х ' ' Х ' ' Ь ( 7) Х ' Х ' ) =

Лт,1 ' "Ч" "Ч,"' • • > к-1," ^ Л к+1,' V • ? т,' /

=р/ к,' (х')).

Лемма 3. Пусть стратегия = ёи (у; х ') является перестановочной. Тогда для каждой пары векторов

(Х1,1, Х2,1,..., Хк-1,1, Ь1 ОХ Хк+1,1,..., Хт,1,..., Х1,', Х2,',..., Хк-1,',Ь' ОХ Хк+1,',..., Хт,'),

(Х ' х ' ' Х ' Ь (7) х ' ' Х '

^,1 , А-2,1 ,..., Л-к-1,1 ), Л, к+1,1 V? Ат,1г-ч

х ' ' Х ' Х ' Ь (7) х ' ' Х ' )

"Ч" "Ч,"' • • > кк +1,' V • 5 т,')

из множества К'к 7 (х') выполняются соотношения

ёк (к;Х1,1,Х2,1,...,хк-1,1,Ь1 ОХХк+1,1,...,

Хт,1 ,..., Х1,' , Х2,' ,..., Хк-1,' , Ь' О ), Хк+1,' ,..., Хт,' ) =

= ёк (к; Х1, 1, Х2 , 1,..., Хк-1,1,Ь1('X Хк+1,1,...,

Х ' Х' ' Х ' Х ' Ь (7) х' ' х' ' ) =

= ёк' (к ;Wk,' (х')).

Теорема 2. Если стратегия = ёи'О; х') = = ё'О; х') является квазиперестановочной и стационарной, то для любого х' е Щт' выполняются соотношения

*(х')

Е О; х') ё' (к; (х')) = 1, к = 1,2,..., т•

'=1

Теорема 3. Пусть стратегия = ёи'О; х ') является перестановочной. Тогда

Н(,') = 1 - Р', ({у' : Г(у') = к}) = 1-

( х')

неизвестного параметра не зависит от и и при

V / ( , Л . т^/, Л \

1 _ е(х )

-1 е К (х' )| Ес' ' х') х

х1,1 —х2,1 — .. —Хт1, '=

любом V ф и вероятность Р , ({у : Г(у ) = V}) = = (т - 1)-1тах{ Р({у' : Г(у') ф и}): и е и}. Лемма 2. Если семейство {ри'(х'): х е Щт' }

х1,1 —х2,1— .. —xm1, х1,2 —х2,2 — .. — хт,2,

х1,' — х2' — .. — хт'

распределений для элемента (Е

12

) яв-

х рк' (Кк,' (х'))ёк' (к; Кк,' (х')).

Теорема 4. Для того чтобы стационарная стратегия вида

Отсюда выводим, что Н '+1(и, 5,'+1) = Н '(и, 5') для любого параметра и е Ц, любой стратегии

'+1 о '+1 Г " 'о ' тт

5 е 52 и любой стратегии 5 е 5 . Поэтому

Я'+1г '+1\ и 'г '\ '+1 О '+1 ' о ' тт

(5 ) = Н (5 ) при 5 е 52 и 5 е 5 . При-

о '+1

нимая во внимание, что множество 52 являет-

о '+1

ся подмножеством множества 5 , получаем, что при каждом ' = 1,2, ...

Я0 (5 ') = inf{H'(5'): 5' е 5 '} = М{Н '+У+1):

'+1 О '+Ь ^

5 е 52 } >

г<и'+1/ '+1\ '+1 о '+Ь и'+^о'+1ч

> iní{H (5 ): 5 е 5 } = Н0 (5 ).

Итак, Н0+1(5 '+1) < Н0 (5 ') при каждом ' > 1, и утверждение теоремы 5 доказано.

Лемма 4. Пусть стационарная стратегия 5 ' = Теорема 5. Пусть 5 = ёи (V; х ) е 5 и 5 = =ё'^; х') является перестановочной и распределение {м>(п): п е Щ на множестве N таково, что ^(0) = 1. Тогда при любом фиксированном ' > 1

' V / ' \

5, = ё (V; х ) = = |0 при V Й П» (х'), = (х') I"1 для всех V е П^ (х') была минимаксной относительно класса 5 '', необходимо и достаточно, чтобы для каждого вектора х е Nm' выполнялось соотношение П V (х ') с П'(х').

Рассмотрим теперь изменение в зависимости от ' величины Н0 (5') минимаксного значения функции риска Н '(и, 5') относительно класса 5 ' или минимаксного значения вероятности ошибочного выбора значения неизвестного параметра и из множества Ц.

'+4 '+1\ с'+1 т

= ёи (V; х ) е 5 . Тогда при каждом значении ' = 1, 2, ... относительно класса 5 ' минимаксное значение Н0 (5 ') вероятности ошибочного выбора значения неизвестного параметра и из множества Ц удовлетворяет неравенству Н0 (5 ') > Н0+1 (5 '+1).

Доказательство. Введем класс 52'+1 всех та-

~ '+1 '+1, '+К о '+1

ких стратегий 5 = ёи (V; х ) из 5 , для которых при любых х1'+1 е N, х2'+1 е N, ..., хт,'+1 е N функция вида 5'+1 = ёи'+^; хи, х2,1, ...,

хт,Ь x1,', x2,', хт,и x1,'+1, x2,'+1, хт,'+1) совпадает с функцией ^ = ё«'^; хи, х2,1, ., хт,1, .,

х1,', х2,', ., хт,').

Таким образом, между множеством 5 ' стра-

1-4' о '+1

тегий для эксперимента Э и множеством 52

Э'+1

установлено взаимно однозначное соответствие. Используя это обстоя-

(и, 5 ) и равенство (2), для любого параметра и е Ц и любой стра-

'+1 о '+1

тегии 5 е 52 последовательно найдем:

Н '+1(и, 5'+1) = 1 - Р'+1+1(^'+1: Г(у'+1) = и}) = 1 -

X П Ри (хц, х2,,,..., хт,.)ё':1(и; х'+1) =

х1,1,х2,1,... >хт1, ,-1 х1,2, х2,2,..., хт, 2,

х1,'+1,х2,'+1,...,хт,'+1

= 1 - X П Р" (х1,,, х2,, ) х

х1,1,х2,1, ...,хт1, ,=1 х1,2 ,х2,2 , ...,хт,2 ,

х1,'+1 ,х2/+1, ...,хт/+1

х ёи (и; х1,1, х2,1,..., хт,1,..., х1,' , х2,' ,..., хт,1) = _ '

= 1 - X П Ри (х1,,, х2,, ,■■■, хт,, ) х

х1,1,х2,1, ■■■,хт1, ,=1 х1,' ,х2,' ,...,хт,'

х ёи (и; х1,1, х2,1 ,■■■, хт,1 ,■■■, х1,' , х2,' ,■■■, хт,' ) =

= 1 - Р' ({у' : Г(у') = и}) = Н'(и, Д

имеет место равенство Н'0 (50' П 51') = (т - 1)/т.

Доказательство. Из условия н,(0)=1, свойств стратегии 5 ' е 50' П 51', равенства (3) и соотношения Г(у ') = V находим, что при каждом фиксированном V е V

Р'у ({у': Г(у') = V}) =

X, Ри,/ ({(х1,1 , х2,1 ,..., хт,1 , х1,2

и.

х1,Ьх2,1, ■■■,хт1, x1,2, x2,2,..., xm,2,

х1,',х2,', ■■■,хт,'

х2,2 ,..., хт,2,..., х1,' , х2,' ,..., хт,' ; v)}) = '

= X П Р( х1,, , х2,, ,..., хт, ) х

х1,Ьх2,1, ■■■,хт1, ,=1 x1,2, x2,2,..., xm,2,

хи,х2,', ■■■,хт,

х ё (V; х1,1, х2,1 ,..., хт,1,..., х1,' , х2,' V", хт,' ) =

= ({у': Г(у') = V}) = Р' ({у' : Г(у') = V})

сразу для всех и е Ц. Отсюда и из теоремы 1 выводим

т

1 = X С' ({у': Г(у') = V}) =

г=1

т

= X К*' ({у': Г(у') = V}) =

т

= X Р!.' ({у' : Г(у') = 1}) =

= тР^ ({у' : Г(у') = 1}), Р^ ({у': Г(у') = 1}) = Р[ , ({у' : Г(у') = и}) =

= т ', и = 1, 2,..., т.

Окончательно H t(st) = 1- m 1 = (m - 1)/m в классе стационарных перестановочных стратегий при

w(0) = 1. Поэтому Н0 (Sot П Sit) = (m - 1)/m, и лемма 4 доказана.

5. Асимптотическое поведение функции риска

Утверждение теоремы 5 указывает на возможность уменьшения вероятности ошибочного выбора значения неизвестного параметра u е U за счет независимых испытаний над экспериментом Э. Имеет место следующая теорема.

Теорема 6. Пусть распределение {w(n): n е N} полезного сигнала % и распределение {p(x\, x2, ..., Xm): (xi, X2, ..., Xm) е Nm } шума 9 = (9Ь 92, ..., 9m) таковы, что w(0) <1 и величина d(p)=

= Е XkP(X1, Xk Xm ) < +< Тогда

(x1,X2 v.^Xm )eNm

имеет место предельное равенство

lim H 0t (St) = 0.

t

Доказательство. Из леммы 1 следует, что при каждом фиксированном k = 1, 2, ..., m величин^! Yt,b Yk,1, . ••, lk,t независимы в совокупности и одинаково распределены. Из формулы (1), равенств EU = % + 9U, Ev = 9v, v ф u, и симметрии распределения {p(xb X2, ..., Xm): (x1, x2, ..., Xm) е Nm } для шума 9 = (91, 92, ..., 9m) получаем, что при любом i = 1, 2, ..., t и каждом k ф u математическое ожидание

MU (Ek, i)= ми/(7 k, i) = = Е ^tPO^ X2,..., Xk ,..., Xm ) = d(p)

(X1, X2,..., Xm )eNm

и

м U (Eu, i) = M U,st (7 u, i) = d(p)+l(w), где l(w) = МU (%) = Е nw(n). Так как w(0) < 1,

neN

то l(w) > 0. Если принять во внимание условие d(p) < +< теоремы и допустить сначала выполнение неравенства l(w) < +<, то для каждого фиксированного k = 1, 2, ..., m будет иметь место неравенство M' t (7k 1) < +<.

Рассмотрим теперь последовательность 7k1, 7k2, ... независимых и одинаково распределенных случайных величин с ограничением

Mt ^ (7k 1) < +<, которые можно задать на одном выборочном вероятностном пространстве

[8]. Для последовательности ук1, ук2, ... и любого 8 > 0 введем следующие события:

Лк,, = {у ' = (х '; V): (х '; V) е Nт'х V,

й (р)-8 — п-1 Е У к,, ( у' ) — й (Р) + 8 } =

1=1

= {у ' = (х '; V): (х '; V) е Nт'х V,

'

й(р)-8 — п-Ехк,, — й(р) + 8 }, кф и, (6)

,=1

Ли,' = {у ' = (х '; V): (х '; V) е Nт'х V,

й (Р) +1 (м) -8 — п-1 ЕЕ у и, (у') — й (Р) +1 (м) + 8 }=

,=1

= {у ' = (х '; V): (х '; V) е Nт'х V,

й(Р) +1(м) -8 — п-1 Е ХИ,, — й(Р) +1(м) + 8 }. (7)

,=1

Предыдущие выводы для этой теоремы были получены для любой стратегии в' = ёи (V; х') е е5 '. Поэтому в дальнейшем при доказательстве теоремы можно и удобно использовать экстремальную стратегию в1 ^ . Для каждой последовательности вида ук1, ук2, ... применяем закон больших чисел [8]. Так как число таких последовательностей конечно и равно т, то в силу закона больших чисел [8] для всякого е > 0 и для любого 8 > 0 найдётся такое число Т(е,8), что для , > Т(е, 8) будут справедливы соотношения

Р^ (Лк,,) > 1 - е/т, к = 1, 2, ..., т. (8)

Пусть при каждом фиксированном значении V = 1, 2, ., т событие

С^) = {у ' = (х '; V): х 'е Nт',

'

й(р) +1(м) - 8 — п- Е хи,, — й(Р) +1(м) + 8 ,

,=1

'

й(р)-8 — п-Ехк, — й(р) + 8 , кф и}. (9)

,=1

Тогда из определений событий Лк ,, где к ф и, событий Ли, ' и Су) соответственно с помощью формул (6), (7) и (9) получим:

Ли ПЛ2,' П...ПЛи,' П...ПЛт,' =

= {у ' = (х '; V): (х '; V) е Nт'х V,

'

й(р) +1(м) - 8 — п- Е хи,, — й(р) +1(м) + 8 ,

,=1

' т

й(р)-8—п-'Ехк,, — й(р)+8, к ф и} = UC(v). (10)

1=1 v=1

Выберем теперь такое значение для величины 8, что 0 < 8 < ¡(м)/2. Тогда для каждого фиксированного (х '; V) е С^) и для всех V ф и получим, что

п 1X х„,, < d(р) + 8 < d(р) +1{м>)/2 < ,=1

'

< d (р) +1 (м>)-8 < п- X хи,,, ,=1

x(v; х ') < х(и; х ') = =тах{х( 1; х '), х(2; х '), ..., х(т; х ')}, и, значит, V й П' V (х '). Из определения стратегии по формуле (5) легко найдем, что Р' ({(х';V)}) = 0 при всех V ф и, если только

(х '; у)е С^). Отсюда выводим, что Р'^ (С(V)) =

= 0 для V ф и. Заметим, что события С(1), С(2), ..., С(т) попарно не пересекаются. Поэтому, учитывая соотношение (10), получим:

Р^ (4,' П Л2,' П... П лт_,) = Р^ (С (и)). (11)

Рассмотрим теперь событие {у = (х ; V):

(х '; V) е Nт'х V, Г(у ') = и} е Ж' < Ж, которое заключается в том, что значение неизвестного параметра равно и. Из очевидного равенства {у ' = (х '; V): (х '; V) е Nт'х V, Г(у ') = и} = {у ' = =(х '; и): х' е Nm'} последовательно выводим, что {у' = (х'; и): х е ^} П (Лм П Л2 ' П... П Ля,') =

= {у' = (х; и): х' е Nm'} П ^ ^ (V) ^ =

т

= и у' = (х'; и): х' е ^ } П С (V) =

({У = (X;«): x' е Nm' }) > > P^ ({У = (x';u): x' е Nm'} П

П ли n A2 ' n... n AmJ) =

= P' (Au П Л2 П... П Am,') =

=1 -P'uJ,, (Ли П A2j П... П Am,') = = 1 - PM',s',v (Ai,' U Л2,' U... U Am,') >

m

>1 -S C- (4,')=

k=1

m

= 1- S(1 -Py v (Ak,'))> 1 -в . (12)

k=1

Так как {y' = (x '; v): (x '; v) е Nm'x V, Г(у ') = u}= = {y ' = (x '; u): x ' е N m'} и соотношение (12) имеет место для любого в > 0, то будет выполняться равенство

lim р' v ({y' = (x';v):

' m'

(x;v) е Nm' x V,Г(y') = u}) = 1.

(13)

= C(u)П{y' = (x';u):x' еNm'} =

= {y' = (x'; u): x е Nm',

'

d(p) +1(w) - 8 < и- S x„,,■ < d(p) +1(w) + 8,

i=1 '

d(p)-8<и- Sxki <d(p) + 8,

i=1

kф u}П{y' = (x',u): x еNm'} =

= {y = (x; u): x' е Nm',

'

d(p) +1(w) - 8 < и-1S xu,i < d(p) +1(w) + 8,

i=1

'

d(p)-8 <и4Sxki <d(p) + 8, kф u} = C(u).

i=1

Тогда

PIs' v ({y' = (x;u): x' е Nm'} П П A1,' П A2,' П ... П Am,') = P,s',v (C (u)),

и, принимая во внимание (11) и (8), окончательно получим:

Для стратегии V функция риска Н '(и, ^ при ' > 0 удовлетворяет соотношению вида

Н'(и, > 1 - Р^ ({у' = (х';V):

(х'; V) е Nm' х V, Г(у') = и}) > Н0' (5'). Отсюда, используя соотношение (13), получим,

что Нт Н 0' (5') = 0.

' ^^

Докажем теперь эту теорему при 1(м>) = +<». По теореме Колмогорова [10] для всякого е > 0 и для любого 8 > 0 найдётся такое число Т(е,8), что для ' > Т(е, 8) будут справедливы соотношения (8), где события Лк, ' для всех к ф и определяются соотношением (6), а событие Ли' при 1(м>) = +<» задается следующим равенством: Ли, ' = {у ' = (х '; V): (х '; V) е Nт'х V,

п- X у и,, ( у' ) > d (р) + 28 } = ,=1

= {у ' = (х '; V): (х '; V) е Nт'х V,

п- X хи,, > d(р) + 28}. ,=1

Так как d(p) < +<» и 8 > 0, то для каждого фиксированного (х '; V) е СУ) и для всех V ф и следует,

''

что п- X хи,, > d(р) + 28 > d(p) + 8 > п- X х„,,, ,=1 ,=1 х^; х ') < х(и; х ') = тах{х(1; х '), х(2; х '), ., х(т; х ')}. Поэтому V й L'' V (х ') и доказательство этой теоремы в случае 1(м>) = +<» завершается совершенно так же, как и при 1(м>) < +<».

В заключение этого раздела сделаем следующее замечание. Предельное равенство (13) доказывает, что экстремальная стратегия в'^ асимптотически дает нулевое значение функции риска Н'(и, в' У) или, другими словами, асимптотически обеспечивает нулевую вероятность ошибки оценивания неизвестного параметра и. Это утверждение является достаточным основанием для практического использования стратегии при больших значениях ,. Более того, для вычисления стратегии в' V требуется вычисление функции х(к; х ). Так как имеет место рекуррентное соотношение х(к; х '+1) = х(к; х ') + +хк ,+1 по * при всех к = 1, 2, ..., т, то для вычисления стратегии в*' V можно применить итеративную процедуру по ,. Это обстоятельство естественно указывает на применение этой стратегии в исследовании реальных задач.

Список литературы

1. Федоткин М.А. Задача оптимизации для перестановочного семейства вероятностных моделей систем с управлением // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2012. № 5(2). С. 222-227.

2. Федоткин М.А. Свойства перестановочных и квазиперестановочных стратегий управляющих дискрет-

ных систем // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2014. № 2(1). С. 190-197.

3. Федоткин М.А. Построение класса экстремальных стратегий управляющих дискретных систем // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2014. № 3. С. 109-119.

4. Zorine A.V., Fedotkin M.A. Optimization of Control of Doubly Stochastic Nonordinary Flows in TimeSharing Systems // Automation and Remote Control. 2005. Vol. 66. № 7. P. 1115-1124.

5. Пройдакова Е.В., Федоткин М.А. Управление выходными потоками в системе с циклическим обслуживанием и переналадками // Автоматика и телемеханика. РАН. 2008. № 6. С. 96-106.

6. Федоткин М.А., Федоткин А.М. Анализ и оптимизация выходных процессов при циклическом управлении конфликтными транспортными потоками Гнеденко-Коваленко // Автоматика и телемеханика. РАН. 2009. № 12. С. 92-108.

7. Fedotkin M.A. Construction and analysis of probability models for controlled evolutionary systems // Theory of Probability and Mathematical Statistics. 2012. Vol. 85. P. 133-147.

8. Федоткин М.А. Модели в теории вероятностей. М.: Наука-Физматлит, 2012. 608 с.

9. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981. 544 с.

10. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1980. 576 с.

A FAMILY OF PROBABILISTIC MODELS FOR THE EVOLUTIONARY EXPERIMENT

M.A. Fedotkin

A class of randomized strategies has been proposed in [1-3] for selecting the desired model for a statistically steady experiment E whose probabilistic model (Q, T, PQ) is unknown and belongs to some family {(Q, T, P„Q): u e U} of permutation distributions. The main result of these works is the study of the family features and the fundamental features of permutation and quasi-permutation strategies for making decisions on the experiment E probabilistic model. The determination of the control system probabilistic model [4-6] is reduced to the solution of some optimization problem with regard to the information on a single trial of the experiment E. Being a continuation of [1-3], this work studies the problem of construction and features of a probability model family for the evolutionary experiment [7, 8] to reduce the extreme risk function or the probability of making a wrong decision on the choice of the model.

Keywords: control systems, evolutionary experiment, probabilistic models, permutation distributions, permutation strategies, quasi-permutation strategies, sample spaces, extreme risk function.

References

1. Fedotkin M.A. Zadacha optimizacii dlya peresta-novochnogo semejstva veroyatnostnyh modelej sistem s upravleniem // Vestnik Nizhegorodskogo universiteta im. N.I. Lobachevskogo. 2012. № 5(2). S. 222-227.

2. Fedotkin M.A. Svojstva perestanovochnyh i kvazipe-restanovochnyh strategij upravlyayushchih diskretnyh sis-tem // Vestnik Nizhegorodskogo universiteta im. N.I. Loba-chevskogo. 2014. № 2(1). S. 190-197.

3. Fedotkin M.A. Postroenie klassa ehkstremal'nyh strategij upravlyayushchih diskretnyh system // Vestnik Nizhegorodskogo universiteta im. N.I. Lobachevskogo. 2014. № 3. S. 109-119.

4. Zorine A.V., Fedotkin M.A. Optimization of Control of Doubly Stochastic Nonordinary Flows in TimeSharing Systems // Automation and Remote Control. 2005. Vol. 66. № 7. P. 1115-1124.

5. Projdakova E.V., Fedotkin M.A. Upravlenie vyhodny-mi potokami v sisteme s ciklicheskim obsluzhivaniem i perenaladkami // Avtomatika i telemekhanika. RAN. 2008. № 6. S. 96-106.

6. Fedotkin M.A., Fedotkin A.M. Analiz i optimizaciya vyhodnyh processov pri ciklicheskom upravlenii konflikt-nymi transportnymi potokami Gnedenko-Kovalenko // Avtomatika i telemekhanika. RAN. 2009. № 12. S. 92-108.

7. Fedotkin M.A. Construction and analysis of probability models for controlled evolutionary systems // Theory of Probability and Mathematical Statistics. 2012. Vol. 85. P. 133-147.

8. Fedotkin M.A. Modeli v teorii veroyatnostej. M.:

Nauka-Fizmatlit, 2012. 608 s.

9. Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Ehlementy teorii funkcij i funkcional'nogo analiza. M.: Nauka, 1981. 544 s.

10. Shiryaev A.N. Veroyatnost'. M.: Nauka, 1980. 576 s.