CC BY
371
УДК 621.332.3
Е. В. Кудряшов
МЕХАНИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ КОНТАКТНЫХ ПОДВЕСОК НА ОСНОВЕ СТАТИЧЕСКИХ КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНЫХ МОДЕЛЕЙ
Рассмотрены статические математические модели контактных подвесок, построенные на основе метода конечных элементов. Приведены примеры механических расчетов контактных подвесок, выполненные с использованием моделей. Результаты расчета эластичности приведены в сравнении с экспериментальными данными.
контактная сеть, контактная подвеска, метод конечных элементов, моделирование.
Введение
Стратегия развития железнодорожного транспорта в Российской Федерации до 2030 г. предусматривает реконструкцию действующих линий и организацию скоростного движения между крупными региональными центрами (скорость движения 160-200 км/ч), а также строительство выделенных высокоскоростных магистралей (ВСМ), на которых будет реализовано движение со скоростями до 350 км/ч.
В целях обеспечения надежного и экономичного токосъема при высоких скоростях движения возникает необходимость в совершенствовании и разработке новых конструкций контактных подвесок. Для этого требуется выполнение инженерных расчетов, значительная часть которых относится к классу механических расчетов контактных подвесок в статике. В их числе расчеты длины струн, расчеты статического положения и натяжения проводов подвески, расчеты эластичности, расчеты изменения параметров подвески при изменении внешних воздействий (температуры, образования гололеда, действия ветра и др.). Для разработки методик высокоточного монтажа контактной подвески особую важность приобретают расчеты чувствительности подвески к отклонению различных монтажных параметров.
Однако методики механических расчетов контактных подвесок, разработанные в 1930-1990-х гг. и широко применяемые в нашей стране до настоящего времени [1, 2] не позволяют определять параметры скоростных подвесок с необходимой степенью достоверности. В этих методиках использовались приближенные формулы и эмпирические
коэффициенты, значения которых были получены во времена СССР экспериментально - для подвесок, предназначенных для скоростей движения до 140 км/ч. Современные скоростные подвески имеют множество конструктивных отличий, в частности, применяются провода со значительно большими удельными напряжениями. Экспериментальных исследований с целью уточнения приближенных формул и эмпирических коэффициентов для скоростных подвесок не проводилось.
Во многих европейских странах для выполнения механических расчетов контактных подвесок применяется математическое моделирование методом конечных элементов (МКЭ) [3]. Важное преимущество метода заключается в том, что в качестве исходных данных используются только достоверно известные геометрические и физические параметры компонентов подвески. Какие-либо эмпирические коэффициенты отсутствуют.
До настоящего времени в России имелась только одна модель контактной подвески, созданная на основе модифицированного метода конечных элементов в Уральском государственном университете путей сообщения [4]. Однако эта модель сложна для воспроизведения другими специалистами с целью выполнения практических инженерных расчетов.
В настоящей статье рассмотрены две модели контактной подвески, разработанные на основе классического метода конечных элементов [5, 6]. В первой части статьи описана двухмерная линейная модель, преимуществом которой является простота и доступность для
воспроизведения широким кругом специалистов. Во второй части рассмотрена пространственная нелинейная модель, позволяющая выполнять все виды статических механических расчетов контактных подвесок при отсутствии допущений, принятых для простой модели.
Модели имеют следующие преимущества:
1. В моделях применен широко известный классический алгоритм МКЭ, многократно апробированный в других отраслях науки и техники и доказавший свою высокую эффективность.
2. Разбивка проводов на малые конечные элементы позволяет определять параметры подвесок не только под струнами, но и в межструновых пролетах.
3. Автоматически учитывается возможная разгрузка струн.
4. Метод конечных элементов является инвариантным по отношению к схеме и геометрии подвески и может быть применен для расчетов подвесок любых типов.
В третьей части статьи приведены примеры статических расчетов контактных подвесок, выполненных на основе моделей, а также сравнение расчета эластичности подвески с экспериментальными данными,
полученными на участке Лихославль железной дороги в 2006 г.
Калашниково Октябрьской
1 Двухмерная линейная модель
Для построения простой модели примем следующие допущения:
1. Натяжения несущего троса, контактного провода и рессорных тросов подвески считаются заданными.
2. Рассчитываются только вертикальные перемещения элементов контактной подвески. Продольные перемещения не учитываются.
3. Моделирование выполняется в двухмерном пространстве.
4. Струны считаются вертикальными. Возможный перекос струн не учитывается.
5. Высота подвешивания несущего троса принимается одинаковой на всех опорах.
Для математического описания основных элементов контактной подвески - несущего троса и контактного провода, а также рессорного троса используем модель предварительно натянутого стержня в рамках классической теории Эйлера - Бернулли. Дифференциальное уравнение изгиба такого стержня имеет вид
EJylN(x) - Ну"(х) = q(x), (1)
где х, у - соответственно продольная и поперечная координаты оси стержня; E - модуль упругости;
J - момент инерции сечения;
H - продольное натяжение;
q(x) - распределенная поперечная нагрузка.
Если пренебречь изгибной жесткостью стержня, выражение (1) преобразуется в дифференциальное уравнение гибкой нити
Ну"(х) = -q(x). (2)
В общем случае желательно иметь возможность моделирования проводов в двух вариантах: с учетом либо без учета их изгибной жесткости - соответственно в модели стержня либо в модели гибкой нити. Рассмотрим оба варианта.
Для решения уравнений (1) и (2) используем стандартную процедуру метода конечных элементов в варианте метода перемещений. Разобьем стержень (нить) на малые конечные элементы, связанные друг с другом в узлах. Если не учитывать продольные перемещения, каждый узел элемента предварительно натянутого стержня имеет две степени свободы, связанные с вертикальным перемещением у и с углом поворота сечения стержня ф (рис. 1, а). Узел элемента натянутой гибкой нити имеет только одну
степень свободы - вертикальное перемещение у (рис. 1, б). Запишем вектор узловых перемещений - для элемента стержня и нити соответственно:
0л
I
<Pi
У2 Фг ZL Qf
\
где у1, ф1 - вертикальное перемещение и угол поворота сечения левого узла элемента (№ 1);
у2, ф2 - то же, для правого узла (№ 2).
а) yi® в) L©
/ P2V Г х
б) Y\ 1®_
Рис. 1. Конечные элементы: а) стержня; б) гибкой нити; в) струны
В соответствии с процедурой МКЭ распределенная нагрузка q(x) заменяется дискретными нагрузками, приложенными к узлам. Каждый конечный элемент загружен внешними нагрузками и усилиями взаимодействия со смежными элементами. Они образуют вектор узловых усилий P. Связь между узловыми усилиями P и узловыми перемещениями Q, происходящими под действием усилий, определяется матрицей жесткости элемента R. Матрица жесткости элемента стержня имеет размерность 4x4, нити - 2x2.
Компоненты матриц жесткости элементов могут быть найдены на основании принципа возможных перемещений. При этом функцию перемещения y(x), являющуюся решением уравнения (1), в пределах одного стержневого элемента целесообразно аппроксимировать кубическим полиномом. При этом обеспечивается непрерывность при переходе от элемента к элементу перемещений и угла поворота сечения стержня. Для элемента нити используем аппроксимацию по линейному закону. Тогда для элемента предварительно натянутого стержня матрица жесткости и вектор узловых усилий в случае действия равномерно распределенной весовой нагрузки g будут иметь вид
Rb =
12 EJ 6 Я
--4--1----
/3 5/
вы H
/2 10 12Я/ 6Я
6 EJ H
/2 10
4Я/ 2 HI
-----1----
/ 15
6 EJ H
12 EJ 6 Я
l3 5/
6EJ H
l3 5/
вы H /2 10
/2 10
2EJ HI
-----1----
/ 30
/2 10 12Я/ 6Я
--4---1---
/3 5/
6EJ H
V
10
Для элемента натянутой нити
HU -H/l
Rf —
HU H/l
Rf —
6 EJ H
/2 10
2 EJ HI
-----1---
/ 30
6 EJ H
T2 To
4 EJ 2 HI
-----1----
/ 15 „
-gl/2 ~ gH 2
Pu =
_g[
2
gl2
12
_g[
2
12
Для моделирования струн контактной подвески могут быть использованы вертикальные эластичные элементы, растяжимые по закону Гука (рис. 1, в). Матрица жесткости и вектор узловых усилий для таких элементов будут иметь вид
Rs =
ES/e
-ES/e
-ES/e
ES/e
Rs =
-get 2 -get 2
где S - площадь поперечного сечения струны;
E - модуль упругости струны;
e - длина струны;
g - равномерно распределенный вес.
Такая модель позволяет определять натяжение струн. Струны не могут работать на сжатие. Поэтому в программной реализации модели предусматривается проверка: при возникновении в струне сжимающего усилия струна разгружается и удаляется из системы.
При моделировании подвески необходимо учитывать вертикальные составляющие реакций фиксаторов Рв ф (рис. 2):
■р»Ф=^-‘ё
j<i> j
где Ьф - длина дополнительного фиксатора;
Hs - вертикальное расстояние от оси контактного провода до центра шарнира крепления дополнительного фиксатора к стойке;
Ри - усилие от излома контактного провода в месте крепления фиксатора.
Рис. 2. Фиксатор
Струновые и другие зажимы контактной подвески моделируются заданием сосредоточенных узловых вертикальных нагрузок (весов).
В месте крепления дополнительного фиксатора необходимо учесть часть его веса, передаваемую на контактный провод.
Алгоритм статического расчета контактной подвески методом конечных элементов предусматривает следующие этапы:
1. Задание исходного (недеформированного) состояния системы. Разбиение подвески на конечные элементы.
2. Формирование глобальной матрицы жесткости всей системы R на основе известных матриц жесткости отдельных элементов.
3. Формирование глобального вектора узловых усилий P.
4. Нахождение глобального вектора узловых перемещений Q путем решения системы линейных алгебраических уравнений R • Q = P. Нахождение координат всех узлов в нагруженном (деформированном) состоянии.
5. Проверка натяжения в струнах. При наличии сжимающих усилий в струнах они должны быть удалены из системы, а расчет выполнен заново.
Приведенный алгоритм реализован в компьютерной программе, которая позволяет выполнять значительное число видов механических расчетов контактных подвесок - кроме расчетов, связанных с изменением натяжения проводов подвески (в соответствии с принятыми допущениями эти натяжения считаются заданными).
2 Пространственная нелинейная модель
Если отказаться от допущений, перечисленных в разделе 1, математическая модель контактной подвески существенно усложняется, однако при этом становится возможным учесть изменение натяжения проводов, дополнительно повышается достоверность расчетов.
В трехмерном пространстве, с учетом продольных перемещений проводов, число степеней свободы каждого элемента увеличивается. Так, каждый узел элемента натянутой гибкой нити будет иметь три степени свободы (рис. 3), а вектор узловых перемещений будет иметь вид
Qf = ii У\ А Х2 У2 Z2 1
где Х\, x2 - перемещения вдоль оси ОХ левого и правого узлов элемента; y\,у2 - перемещения этих же узлов вдоль оси ОГ; z\, z2 - перемещения их вдоль оси OZ (см. рис. 3).
Рис. 3. Конечный элемент гибкой нити в трехмерном пространстве
Матрица жесткости и вектор узловых усилий элемента нити могут быть записаны в виде
rf =
где E - модуль упругости;
S - площадь поперечного сечения;
I - длина элемента;
H - натяжение элемента;
g - распределенная весовая нагрузка;
px и pz - проекции распределенных боковых ветровых нагрузок на оси OX и OZ соответственно.
Если натяжение каждого элемента заранее неизвестно, система разрешающих уравнений R • Q = P становится нелинейной: в матрицу жесткости R входят натяжения элементов, которые зависят от искомых перемещений Q. Для решения системы R(Q) • Q = P используем метод последовательных приближений.
Пусть известно i-е приближение решения Qi. Следующее приближение будем искать в виде Qi+i = Qi + AQi+i. Итерационную формулу
m>QM=p,
перепишем в виде
R(QHQi+AQM) = Pi или R(Q)■ Д0+, =Pi-R(Qi)-Qi.
Если обозначить P! = R{Qi) -Qu то итерационный процесс примет вид
Д(0)Л0+,=Д-Д 0+i = 0 +AQ-
В частности, можно принять Q0 = 0, это будет соответствовать недеформированному исходному состоянию системы. Поправку к приближению Qo будем искать как решение системы
R(Qo)' Д01 =Р(>~ Р(>,
где Р0 - вектор нагрузки, соответствующий заданным внешним силам;
Р' - узловые усилия, соответствующие перемещению Qo.
Если Qo = 0, то Р’ = 0.
Матрица R(Qi) и правая часть Е, пересчитываются из-за изменения геометрии системы, узловые силы Р' вычисляются по деформации,
соответствующей перемещению Qi. Если для пространственной системы проводов принята модель нити, то каждому узлу с перемещениями xi, yi, zi будут соответствовать три уравнения равновесия - проекции суммы всех приложенных к i-му узлу сил на оси координат. Физический смысл построенного таким образом итерационного процесса заключается в нахождении на каждой итерации поправки к решению, которая уничтожает дисбаланс между приложенной внешней нагрузкой Р, и внутренними усилиями Р', возникающими вследствие деформации
системы на шаге i. В этом смысле такой вариант итерационного процесса похож на метод Ньютона - Рафсона с тем отличием, что данный метод использует касательную матрицу жесткости.
Алгоритм реализован в компьютерной программе, позволяющей выполнять все виды статических механических расчетов для анкерного участка контактной подвески (рис. 4).
Рис. 4. Пространственная нелинейная модель контактной подвески (визуализация)
3 Примеры расчетов
Рассмотрим примеры некоторых типовых механических расчетов контактной подвески с использованием описанных моделей.
Пример расчета статического положения проводов контактной подвески типа 32-07 приведен на рис. 5.
Нижние графики отражают геометрическое высотное положение контактного провода в укрупненном масштабе по оси ординат в исходном состоянии и при уменьшении натяжения рессорного троса на правой опоре.
Разбиение проводов на большое число элементов дает возможность учитывать при расчете межструновые провесы. В исходном состоянии контактный провод под первыми околоопорными струнами располагается на отметке 6000 мм от уровня головок рельсов (УГР), стрела провеса контактного провода f составляет 35 мм. Эти параметры в точности соответствуют проектным при правильном монтаже.
Модель позволяет изучать чувствительность параметров регулировки контактной подвески к отклонению различных монтажных параметров. В качестве примера на рис. 5 показано влияние отклонения натяжения рессорного троса на одной из опор.
При расчете эластичности контактной подвески к каждому узлу контактного провода в пределах расчетного пролета последовательно прикладывается сила нажатия токоприемника и для каждого положения выполняется статический расчет.
На рис. 6 [1] приведен пример расчета распределения эластичности в пролете контактной подвески на экспериментальном участке Калашниково - Лихославль.
высотного положения контактного провода
X, m
Рис. 6. Распределение эластичности в пролете контактной подвески 263-265 на экспериментальном участке Калашниково - Лихославль:
1 - расчет на основе конечноэлементной модели;
2 - экспериментальные данные; 3 - расчет по методике
Расчет на основе модели приведен в сравнении с экспериментальными данными, полученными в ходе испытаний 2006 г. специалистами Омского государственного университета путей сообщения. На графике также приведен расчет по ранее применяемым методикам на основе [1].
В конечноэлементном расчете учитывается межструновая эластичность. Данные эксперимента и расчета по методике [1] имеются только под струнами, поэтому на графиках соответствующие точки соединены прямыми линиями. Сравнение результатов расчета на основе модели с
экспериментальными данными показывает хорошую сходимость. Так, для пролета на рис. 6 усредненное относительное отклонение результатов конечноэлементного расчета от экспериментальных данных составило 6 %, а для расчета по методике [1] - 19 % (сравнивались значения эластичности под каждой струной).
Заключение
Математическое моделирование контактной подвески методом конечных элементов позволяет существенно повысить достоверность расчетов, отказаться от необходимости применения в расчетах приближенных формул и эмпирических коэффициентов.
Принятие ряда допущений позволило создать простую, но эффективную двухмерную линейную модель, доступную для воспроизведения широким кругом специалистов. Простая модель позволяет выполнять значительное число видов механических расчетов контактных подвесок, за исключением расчетов, связанных с изменением натяжения проводов.
Для учета изменения натяжения и дополнительного повышения точности расчетов разработана пространственная нелинейная модель контактной подвески, свободная от допущений, принятых для простой модели.
Сравнение экспериментальных данных с результатами расчетов на основе разработанных моделей показывает хорошую сходимость.
Библиографический список
1. Проектирование контактной сети / А. В. Фрайфельд, Г. Н. Брод. -3-е изд., перераб. и доп. - М. : Транспорт, 1991. - 335 с. - ISBN 5-277-00796-2.
2. Контактная сеть : учебник для вузов ж.-д. трансп. / К. Г. Марквардт. - 4-е изд., перераб. и доп. - М. : Транспорт, 1994. - 335 с. - ISBN 5277-01713-5.
3. Contact lines for electric railways. Planning, design, implementation / F. Kiesling, R. Puschman, A. Schmider. - Berlin and Munich : Siemens, 2001. - 822 рages. - ISBN-10: 3895781525.
4. Теория и методы расчетов процессов проектирования и
технического обслуживания контактной сети : дис. ... д-ра техн. наук : 05.22.07: защищена 22.11.02: утв. 05.12.03 / Галкин Александр Геннадьевич. -
Екатеринбург, 2002. - 370 c. - Библиогр.: с. 287-313.
5. Применение метода конечных элементов / Л. Сегеллинд; пер. с англ. - М. : Мир, 1979. - 391 с.
6. Численные методы анализа и метод конечных элементов / К. Бате, Е. Вилсон; пер. с англ. - М. : Стройиздат, 1982. - 448 с.
