CC BY
57
Е.В. Мосина, И.В. Чернышев, 2006
УДК 532.516 : 532.546
МЕДЛЕННОЕ ТЕЧЕНИЕ В ПЛОСКОМ КАНАЛЕ С ПОПЕРЕЧНЫМИ РЕБРАМИ
Е.В. Мосина, И.В. Чернышев
В приближении Стокса решается задача о стационарном течении вязкой жидкости в плоском канале с оребренными стенками. Бигармоническое уравнение для функции тока со смешанными граничными условиями решается с помощью разложения по собственным функциям и методом коллокаций.
Для некоторых вариантов оребрения канала найдены функция тока, поля скоростей и давления, вычислена сила сопротивления при течении в таком канале.
Введение
Задачи о течении жидкости в каналах с пористой или шероховатой стенками встречаются в разнообразных природных процессах и технических приложениях. В частности, оребрение стенок канала является одним из методов управления структурой потока и позволяет в отдельных случаях снижать сопротивление трения при транспортировке жидкости.
В работе [1] рассмотрена задача о сдвиговом течении Куэтта, вызванном движением гладкой плоскости над оребренной границей. В настоящей работе аналогичным способом решается задача о течении жидкости за счет продольного градиента давления в плоском канале с оребренными стенками.
1. Постановка задачи
Рассматривается течение вязкой несжимаемой жидкости между двумя параллельными стенками, расположенными на расстоянии 2Н друг от друга. Вдоль стенок, поперек потоку, располагаются ребра высотой ЬН (0 < Ь < 1) с периодичностью 2аН (рис. 1а). Свяжем с каналом декартову систему координат, направив ось Ох вдоль канала по направлению среднерасходной скорости, ось Оу перпендикулярно стенкам канала, а ось Ох по ширине канала параллельно ребрам. Расход жидкости через канал, приведенный к единице длины в направлении Ох, равен 2ф.
Предполагаем, что число Рейнольдса течения мало (Яе = 2Нрщ/р « 1) и справедливо приближение Стокса. Принимая за масштаб длины — половину высоты канала Я, скорости — среднерасходную скорость щ = С^/Н, а давления — Ро = дф/Я2, обезразмеренные уравнения Стокса примут вид
© Ур = Ду, V ■ V = 0. (1)
У
1
ф = 0 ф — о
< XXX
^уу~°
Г
У
]ф= о
I • X
ф =0
• XXX
^=0
-а
О
а х
О ф —0 ф=0
Рис. 1. Оребренный канал:
(а) - геометрия канала; (б) - расчетная область; (в) - граничные условия
Исключая из системы (1) давление р и учитывая двумерность постановки, задача сводится к одному бигармоническому уравнению на функцию тока
ААф = 0. (2)
Учитывая симметричность течения относительно оси канала (у = 1), периодичность по х с периодом 2а, а также симметричность относительно прямых х — 0, х = ±а, рассмотрение краевой задачи можно ограничить прямоугольником (х,у) £ (0,а) х (0,1) (рис. 16). Граничные условия для функции тока на сторонах этого прямоугольника будут следующими. Условия прилипания на нижней стенке и ребре:
ф(х, 0) = 0, фу(х, 0) = 0, (3)
ф(а,у) = 0, фх(а,у) = 0, 0 < у < Ъ. (4)
Периодичность по £ и симметрия относительно Ж = 0и £ = а приводят к условиям:
'Фх{а, у) =■ 0, фххх{а, у) = 0, Ь < у < 1, (5)
фх(0, у) = 0, фххх(0, у) = 0. (6)
Симметрия относительно оси канала и заданный расход жидкости через канал дают
фуу(х, 1) = 0, ф(х, 1) = 1. (7)
Для наглядности условия (3)-(7) вынесены на рис. 1в.
2. Функция тока
По аналогии с работой [1] решение бигармонического уравнения (2) представим в виде разложения по собственным функциям
ОО 00
ф(х, у) = 1(у) 4- ^ Ап эт{апу)<3п(х) + ^ £>„ соъ(рпх)Зп(у), (8)
п=1 п=1
где 1(у) = А0у(у2 -Зу + 2)+у,
0„(®) - (1-еп + аап(1 + еп))(еа^ + е-а^+а))-- Оп(1 - еп)х{еап{х-а) - е-“"(х+а)),
5„(г/) = -2^п(е^(г'-1)-е-/3"^+1)) + (1-4)г/Ке/3"(?/-1) + е-/3^!/+1)))
еп = е-2аап, (1п = е~2Рп, ап = 7гп, (Зп = 7гп/а.
Выражение (8) удовлетворяет только части граничных условий прилипания и симметрии: первым в (3) и (5), второму в (4), а также условиям (6), (7). Неизвестные коэффициенты А0, Ап, Ип, фигурирующие в функции тока, необходимо найти из оставшихся соотношений в (3)-(5). Второе условие в (3) на стенке канала приводит к соотношениям
° 2 а^( ™ а ЗД) ^ « + /%)2 ' ( >
Оставшиеся условия при х = а, первое в (4) и второе в (5), дают:
Ну) + 8ш(а„у)Лг(1 - е2 + 4аапеп) 4- ^(-1)пПп8п(у) = 0, 0 < у < Ь,
П—\ п— 1
сю
^зш(апу)(-2а®)(1 - еп)2Лп = 0, Ь < у < 1.
п=1
Далее подставляем выражения (9) в (10) и получившуюся систему на коэффициенты Ап решаем приближенно, ограничивая бесконечные ряды N членами. Применим метод коллокаций, для этого разбиваем отрезок [0,1] правой границы (х = а) N равноотстоящими друг от друга точками у^ и вводим целое число М — [ЬАГ]. Требуем выполнения соотношений (10) только в точках разбиения, получаем систему из N линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных Ап (п=
N N
1{Уг) + X! ^п(апУ1)Ап(1 - е2 + 4аапеп) + ^(-1)п.0п5п(уг) = 0, г = 1,..., М,
п=1 п=1
N
^2 зш(сад)(-2с4)(1 - еп)2Ап = 0, г = М + 1,..., N.
71=1
а б в
Рис. 2. Линии тока для некоторых конфигураций канала с ребрами:
(а) а = 0,8, 6 = 0,5; (б) а = 0,5, 6 = 0,75; (в) а = 0,2, 6 = 0,85 Вычисление коэффициентов Ап, Бп и нахождение функции тока производилось с помощью пакета символьной математики Мар1е 8. Характерные картины линий тока жидкости для некоторых вариантов расположения и высоты ребер представлены на рис. 2, расчеты соответствуют разбиению N = 40.
При уменьшении зазора между ребрами и увеличении их высоты (увеличении «шероховатости» канала) картина течения качественно меняется. При достаточно больших расстояниях между ребрами и малых высотах ребер (рис. 2а) циркуляционные течения возникают только в малых областях примыкания ребер к стенкам канала. При уменьшении расстояния между ребрами «угловые вихри» соединяются в одно циркуляционное течение (рис. 26), подобно задаче об обтекании каверны [2]. При увеличении высоты ребер появляются вторичные «вихри» (рис. 2в).
3. Сила сопротивления
Зная функцию тока в каждой точке рассматриваемой области, несложно получить и распределение давления в канале. Поскольку рх = (Аф)у, ру = — (Д'0)х, то,
X
полагая р(0, у) = 0, получаем р(х, у) = 1рху(х, у) + / У)
о
Сила сопротивления (обезразмеренная на /л<3)> приходящаяся на один период канала, равна сумме, проинтегрированных по соответствующим площадкам, нормальных напряжений-по ребрам (х = —а) и {х = а) и касательного напряжения на нижней стенке (у = 0, — а < х < а) [2]
Ь Ь а
Рх = !(—р(—а, у) + 2'фХу(-а, у))(1у + J(р(а, у) - 2Щ>ху(а, у))(1у + J фуу(х, 0) Же.
О 0 —а
Из условий прилипания на ребрах (4) следует ,фху{—а)у) — грху{а,у) — 0 (при 0 < у < Ъ). Учитывая нечетность функции давления р(х,у) и четность г1>уу(х,у) по х, выражение для силы сопротивления будет следующим
а Ь
2 J р(а, у) (1у. (11)
о о
Используя выражение для давления, последнее равенство несложными преобразованиями приводится к виду
То есть расчет силы сопротивления трения жидкости в канале с ребрами сводится к интегрированию касательного напряжения на уровне у = Ь.
Сравним силы сопротивления, действующие на равные по длине фрагменты оребренного и гладкого каналов. Сопротивление площадки (х, г) е (—а, а) х (0,1) гладкого канала равно 6а/лС^/Н2 [2] (в безразмерном виде 6а). Обозначим отношение этих сил сопротивлений
а
Ср^^а/ ^уу(х' ^<1х' ^
о
Расчеты коэффициента Ср для течений, изображенных на рис. 2а, б, в, показывают, что при уменьшении расстояния между ребрами и увеличении высоты ребер сопротивление канала увеличивается, и коэффициент увеличения сопротивления соответственно равен Ср = 1,73; 5,25; 16,63. При уменьшении высоты ребер (b —> 0), как и ожидалось, коэффициент Ср —> 1 и задача переходит в классическое течение Пуазейля [2].
Заключение
В работе решена задача о медленном стационарном течении вязкой несжимаемой жидкости в плоском канале с оребренными стенками. Отметим, что задачу о движении жидкости в канале с периодическим расположением ребер, не ортогональным по отношению к направлению потока, можно получить как суперпозицию задач о течении поперек и вдоль ребер. Поле скоростей последнего течения находится без особых трудностей и вместе с полученным в данной работе решением дает общее решение задачи о косом обтекании жидкостью ребер в канале.
Результаты рассмотренной задачи могут быть использованы для моделирования пористой границы, как это делалось в работах [3], [4]. Усредненное по периоду канала на уровне края ребер значение продольной скорости может выступать хорошим приближением для скорост^ скольжения на границе «жидкость — пористая среда».
Summary
CREEPING FLOW THROUGH THE PLANE CHANNEL WITH TRANSVERSE FINS
E. V. Mosina, I. V. Chernyshev
The stationary flow of viscous fluid in the plane finned channel is studied in the Stokes limit. Biharmonic equation for the streamfunction with mixed boundary conditions is solved by eigenfunction expansion and collocation methods. The streamfunction, the velocity and pressure fields are found for some variants of finned channel, and drag force is obtained.
Список литературы
1. Wang C.Y. The Stokes drag due to the sliding of a smooth plate over a finned plate // Phys. Fluids. 1994. V. 6. № 7. P. 2248-2252.
2. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Дрофа, 2003. 840 с.
3. James D.F., Davis A.M.J. Flow at the interface of a model fibrous porous medium // J. Fluid Mech. 2001. V. 426. P. 47-72.
4. Jeong J.T. Slip boundary condition on an idealized porous wall // Phys. of Fluids. 2001. V. 13. № 7. P. 1884-1890.
