CC BY
3
4. Буров Д. А. О существовании нелинейных инвариантов специального вида для раун-довых преобразований XSL-алгоритмов // Дискретная математика. 2021. Т. 33. №2. С.31-45.
5. Nyberg К. Differentially uniform mappings for cryptography // LNCS. 1994. V. 765. P. 245265.
6. Carlet C. Open questions on nonlinearitv and on APN functions // LNCS. 2015. V. 9061. P. 83-107.
7. Kolomeec N. and Bykov D. On the Image of an Affine Subspace under the Inverse Function within a Finite Field. arXiv preprint arXiv:2206.14980. https://arxiv.org/abs/2206. 14980. 2022.
8. Коломеец H. А., Быков Д. А. Об инвариантных подпространствах функций, аффинно эквивалентных обращению элементов конечного поля // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2022. №15. С. 5-8.
9. Charpin P. Normal Boolean functions // J. Complexity. 2004. V. 20. No. 2-3. P. 245-265.
10. Городилова А. А. Характеризация почти совершенно нелинейных функций через подфункции // Дискретная математика. 2015. Т. 27. №3. С. 3-16.
11. CanteautA., Carlet С., Charpin P., and Fontaine С. On cryptographic properties of the cosets of R(l, m) 11 IEEE Trans. Inform. Theory. 2001. Y. 17. P. 1494-1513.
12. Carlet C. and Feukoua S. Three parameters of Boolean functions related to their constancy on affine spaces 11 Adv. Math. Commun. 2020. V. 14. No. 4. P. 651-676.
УДК 519.7 !)()! 10.17223/2226308Х/16/7
МАТРИЦЫ ГРАМА БЕНТ-ФУНКЦИЙ И СВОЙСТВА ПОДФУНКЦИЙ КВАДРАТИЧНЫХ САМОДУАЛЬНЫХ БЕНТ-ФУНКЦИЙ1
А. В. Куценко
Булева фунция от чётного числа переменных п называется бент-функцией, если она имеет спектр Уолша — Адамара, состоящий из чисел ±2га/2. Бент-функция называется самодуальной, если она совпадает со своей дуальной бент-функцией. Ранее автором было сформулировано достаточное условие того, что подфункции от п — 2 переменных самодуальной бент-функции от п переменных, полученные фиксацией первых двух переменных, являются бент-функциями. В настоящей работе доказано, что для квадратичных самодуальных бент-функций данное условие при п ^ 6 не является необходимым. Введено понятие «матрица Грама бент-функции», установлен общий вид матрицы Грама бент-функции и дуальной к ней
п
п— 2
первых двух переменных, являются бент-функциями. Установлено, что в этом случае подфункции дуальной к ней функции также являются бент-функциями.
Ключевые слова: самодуальная бент-функция, подфункция, матрица Грама, квадратичная, бент-функция, конкатенация бент-функций.
Через ЩП обозначим линейное пространство всех двоичных векторов длины п над полем Щ2, Булевой функцией от п переменных называется отображение вида ЩП ^ Щ2. Множество всех булевых функций от п переменных обозначается через Тп. Характеристическим вектором (характеристической последовательностью) булевой функ-
1Работа выполнена в рамках госзадания ИМ СО РАН (проект J\P>FWNF-2022-0018).
ции f Е Тп называется вектор
^ = (-1)/ = ((-1)/(0), (-1)/(1), . . . , (-1)/(2"-1)) Е |±1}2" ,
где (f(0),f(1),...,f(2п — 1)) € Е2" — вектор значений функции f. Каждая булева функция от п переменных может быть единственным образом представлена в виде многочлена над полем Е2:
/* I гр /у /у \ --/ I \ [-1 . # гр^п
J 1 > "^2) • • • )п) 417 и,гхг2 12 ' ' ' п '
г1,г2,...г„ёШ2
Здесь аг Е Е2 для вс ех г € ЕП (с соглашен нем О0 = 1), Данное представление называется многочленом Жегалкина булевой функции ¡. Степенью deg(f) функции f называется максимальная из степеней слагаемых, входящих в многочлен Жегалкина с ненулевыми коэффициентами. Если deg(f) = 2, функция называется квадратичной.
п
Для каждой пары ж, у Е Щ чере з (ж, у) обозначим значен не фж^, Преобразовани-
i=1
ем Уолша — Адамара булевой функции ^ от п переменных называется целочисленная функция Wf : ¥П ^ Ъ, заданная равенством
Wf(у) = Е (—1)f(х)ф<х,у), у Е
Булева функция ^ ^^ ^^^^^^^ ^тела переменных п называется бент-функцией, если |Wf (у)| = 2п/2 для каждого у Е ¥'П [1]. Для множества бент-функцпй от п переменных используется обо значение Вп. Для каждой f Е Вп из соотношения Wf (у) = (—1)^(у)2п/2 однозначным образом определяется дуальная к пей бент-функция f Е Вп, Бент-функцня f называется сшиоЛ/альной (антис^одуальной), если f = / (соответственно f = f ф 1),
Изучению данного подкласса бент-функцпй посвящено множество работ, В частности, в [2-4] исследован вопрос аффинной классификации самодуальных бент-функций от п ^ 8 переменных, а также квадратичных самодуальных бент-функций относительно преобразований, сохраняющих (анти-)еамодуальноеть. Конструкции самодуальных бент-функций представлены в работах [5-7], Обзор известных метрических свойств приведён в [8],
п — 2 п
имеют одинаковые спектры Уолша — Адамара [9], Следовательно, либо все подфункции являются бент-функциями, либо Wf (у) Е {О, ±2(п+2)/2| для каждого у Е (то есть все подфункции — почти бент-функции), либо их спектры Уолша — Адамара состоят из чисел 0 ±2(п-2)/2, ±2п/2.
Далее для булевой функции ^ от ^ ^^^^^^^шых через , Д) будем обозна-
чать разложение её вектора значений на четыре подвектора, являющихся векторами
п — 2
переменных. Случай, когда данные подфункции являются бент-функциями, ведёт, в свою очередь, к итеративной конструкции бент-функции, вектор значений которой есть (^, Д, Д), В [10] найдены необходимые и достаточные условия, накладываемые на подфункции fi, I = 0,..., 3.В работах [11, 12] данные подфункции рассмотрены для случая, когда f является самодуальной бент-функцией.
1. Линейная независимость характеристических векторов подфункций квадратичной само дуальной бент-функции
В работе [12] доказано:
Теорема 1 [12]. Если характеристические векторы подфункций /о, /1, /2, /3 самодуальной бент-функции / линейно зависимы, то данные подфункции являются бент-функциями.
Этот результат описывает достаточное условие того, что все подфункции самодуальной бент-функции, полученные фиксацией первых двух переменных, являются бент-функциями. При этом для случая п = 4 данное условие также является необходимым. Хорошо известно, что все (самодуальные) бент-функции от 4 переменных являются квадратичными, что позволило обозначить следующий вопрос: является ли линейная зависимость характеристических векторов необходимым условием для квадратичных самодуальных функций?
Ответ на данный вопрос даёт следующее
Утверждение 1. Для каждого чётного п ^ 6 существуют квадратичные само-
п
независимые множества характеристических векторов.
Таким образом, обращение теоремы 1 не имеет места при п ^ 6 и для квадратичных самодуальных бент-функций, то есть линейная зависимость характеристических векторов не является необходимым условием и, как и в случае без ограничения на степень, обеспечивает лишь достаточное условие того, что подфункции /0, /1, /2, /3 являются бент-функциями.
2. Матрица Грама произвольной бент-функции
Пусть / е Бп. Матрицей Грама Огаш(/) = (д^) функции / назовём квадратную матрицу размера 4 х 4, элементами которой являются числа
дц
£ (—1)Жх)®/з(х), = 0,1, 2, 3,
хек
которые являются скалярными произведениями характеристических векторов ее подфункций.
Общий вид матриц Грама бент-функции и дуальной к ней описывает следующая
/п
функции / имеют вид
Огаш(/)
(2п-2 Ь с Ь 2п-2 а 2п-2
с
а
-а -с Ь
Огаш(/)
( 2п-2
с Ь
с Ь —а
п-2 а —Ь
а 2п-2 —с
—Ь —с 2п-2
-а -с -Ь 2п-2 а, Ь, с
— 2п-2 + |Ь + с| ^ а ^ 2п-2 -|Ь - с|.
/
Огаш1ап(/) = (2п-2 — а + Ь — с) (2п-2 — а — Ь + с) (2п-2 + а — Ь — с) (2п-2 + а + Ь + с) .
Теорема 1 в терминах матриц Грама означает, что если матрица Грама самодуальной бент-функции являтся необратимой, то подфункции /0,/ь/2,/3 являются бент-функциями. Другими словами, для самодуальных бент-функций равенство Gramian(/) = 0 влечёт тот факт, что указанные подфункции являются бент-функциями, Данный результат можно обобщить так:
Теорема 3. Если характеристические векторы подфункций /0,/i,/2,/3 бент-/
Бент-функциями являются также подфункции дуальной функции /.
Таким образом, данное утверждение позволяет получить достаточное условие того, что подфункции рассматриваемой бент-функции также являются бент-функциями и, кроме того, отображение дуальности сохраняет их максимальную нелинейность,
ЛИТЕРАТУРА
1. Rothaus О. On bent functions // J. Combin. Theory. Ser. A. 1976. V.20. No.3. P. 300-305.
2. CarletC., Danielsen L. E., Parker M.G., and SoUP. Self-dual bent functions // Int. J. Inform. Coding Theory. 2010. V. 1. P. 384-399.
3. Hou X.-D. Classification of self dual quadratic bent functions // Des. Codes Crvptogr. 2012. V. 63. No.2. P. 183-198.
4. Feulner Т., SokL., SoUP., and Wassermann A. Towards the classification of self-dual bent functions in eight variables // Des. Codes Crvptogr. 2013. V. 68. No. 1. P. 395-406.
5. Luo G., Cao X., and Mesnager S. Several new classes of self-dual bent functions derived from involutions // Crvptogr. Commun. 2019. V.ll. N0.6. P. 1261-1273.
6. Li Y., Kan H., Mesnager S., et al. Generic constructions of (Boolean and vectorial) bent functions and their consequences // IEEE Trans. Inform. Theory. 2022. V. 68. No. 4. P. 2735-2751.
7. Su S. and Guo X. A further study on the construction methods of bent functions and self-dual bent functions based on Rothaus's bent function // Des. Codes Crvptogr. 2023. V. 91. No. 4. P. 1559-1580.
8. Kutsenko A. V. and Tokareva N. N. Metrical properties of the set of bent functions in view of duality // Прикладная дискретная математика. 2020. №49. С. 18-34.
9. Canteaut A. and Charpin P. Decomposing bent functions // IEEE Trans. Inf. Theory. 2003. V. 49. N0.8. P. 2004-2019.
10. PreneelB., Van Leekwijck W., Van Linden L., et al. Propagation characteristics of Boolean functions // LNCS. 1990. Y. 173. P. 161-173.
11. Kutsenko A. Metrical properties of self-dual bent functions // Des. Codes Crvptogr. 2020. V. 88. No.l. P. 201-222.
12. Куценко А. В. Свойства подфункций самодуальных бент-функций // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2022. №15. С. 26-30.
УДК 519.7 DOI 10.17223/2226308Х/16/8
ПОСТРОЕНИЕ ПОДСТАНОВКИ НА F^
И, А, Панкратова, А, А, Медведев
Приведены некоторые необходимые условия того, что векторная булева функция, координаты которой получены из одной булевой функции с помощью перестановок переменных, является подстановкой.
Ключевые слова: подстановки, векторные булевы функции.
