МАТРИЦА ЦВЕТА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Innovative Academy Research Support Center IF = 7.899 www.in-academy.uz

ARTICLE INFO

MATRIX COLOR AND ITS APPLICATIONS Z.M. Jakhongirova

3rd year student of Uzbekistan-Finland Pedagogical Institute

M. B. Otamurodov 3rd year student of Uzbekistan-Finland Pedagogical Institute https://doi.org/10.5281/zenodo.13985102

ABSTRACT

This article is devoted to the color of the matrix, and it is shown that the maximum number of linear vectors between the column vectors of the matrix is equal to the maximum number of linear vectors between the row vectors.

Received: 18th October 2024 Accepted: 23th October 2024 Online: 24th October 2024

KEYWORDS Matrix, row, column, space, vector, linear combination, transposition, Sylvester

inequality, Frobenian

inequality.

МАТРИЦА ЦВЕТА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ

Жахонгирова З.М.

Студентка 3 курса Узбекско-Финляндского педагогического института

М. Б. Отамуродов Студентка 3 курса Узбекско-Финляндского педагогического института https://doi.org/10.5281/zenodo.13985102

ARTICLE INFO

ABSTRACT

Received: 18th October 2024 Accepted: 23th October 2024 Online: 24th October 2024

KEYWORDS Матрица, строка, столбец, пространство, вектор, линейная комбинация, транспонирование, неравенство Сильвестра, неравенство Фробена.

Данная статья посвящена цвету матрицы и показано, что максимальное количество линейных векторов между векторами-столбцами матрицы равно максимальному количеству линейных векторов между векторами-строками.

MATRITSA RANGI VA UNING TADBIQLARI

Z.M.Jaxongirova

O'zbekiston-Finlandiya pedagogika instituti 3-kurs talabasi

M.B.Otamurodov O'zbekiston-Finlandiya pedagogika instituti 3-kurs talabasi https://doi.org/10.5281/zenodo.13985102

ABSTRACT

Received: 18th October 2024 Accepted: 23th October 2024 Online: 24th October 2024

KEYWORDS Matritsa, satr, ustun, fazo, vektor, chiziqli kombinatsiya, transponirlash, Sylvestr tengsizligi, Frobeniya

tengsizligi.

Ushbu maqola Matritsa rangiga bag'ishlangan bo'lib,matritsa ustun vektorlari orasidagi chiziqli erkli vektorlarning maksimal soni satr vektorlari orasidagi chiziqli vektorlarning maksimal soniga tengligi ko'rsatilgan.

Quyida Matritsa ustunlari fazosining rangi satrlar fazosining rangiga tengligini yana aniqroq qilib aytganda ustun vektorlari orasidagi chiziqli erkli vektorlarning maksimal soni satr vektorlari orasidagi chiziqli vektorlarning maksimal soniga tengligini ko'rsatamiz.

Ta'rif: A matritsaning ustun fazosi deb uning ustun vektorlarining chiziqli kombinatsiyalaridan tuzilgan vektor fazoga aytiladi.Ustun fazoning rangi deganda bu fazoning o'lchamini ya'ni A ning ustun vektorlari orasidagi chiziqli erkli vektorlarning maksimal sonini tushunamiz. A matritsaning satr fazosi va uning rangi ham yuqoridagidek ta'riflanadi.Yuqoridagi ta'rifda ustun so'zini ta'rifga almashtiramiz.

Misol:

f 1 1 n

0

A =

V

1 2 2 4 00

0 1

2

1

Ko'rish qiyin emaski A ning ustun vektorlari orasida ham satr vektorlari orasida ham 3 tasi chiziqli erkli.Endi savol tug'iladi,ustun fazoning o'lchami har doim ham satr fazoning o'lchamiga tengmi? Javob: Ha.

Quyida buni 2 xil usulda isbotlaymiz.

A.

1. Chiziqli kombinatsiyalar usuli: Bizga biror mxn matritsa berilgan bo'lsin. A ning

A

ustun fazosining o'lchami r va bazisi

C1' C2' Cr

bo'lsin. ( Albatta bunda c lar

a matritsaning ustun vektorlari ichidan olingan). Demak, biz A ning ixtiyoriy ustun vektorini

larning chiziqli kombinatsiyasi ko'rinishida ifodalay olamiz, ustun vektorlari desak

i, i 1,2,3,..., n lar A ning

a = Z xkick

k=i

Bundan

A = ( ai\ a2 I — I an l)= Z

Xk ,1Ck

k=1

Z

k=1

Xk ,2Ck

Z

k=1

Xk,nCk

= C X

m^r r^n'

a

r

Innovative Academy Research Support Center IF = 7.899 www.in-academy.uz

Bu yerda c Cl'c3'""'c ustunlardan, x esa Xi,j 1 - i - r, 1 - j - n elementlardan tuzilgan matritsalar. A satr fazosining o'lchamini S deylik. A matritsaga boshqa tomondan qarasak A = cx tenglikka ko'ra A ning har bir satr vektori x matritsaning v satr vektorlarining chiziqli kombinatsiyalaridan iborat bo'lib qolyapdi. Bundan kelib chiqadiki A ning satr fazosi x matritsaning r ta satr vektorlaridan tuzilgan vektor fazoning qism fazosi bo'lar ekan va qism fazoning o'lchamidan oshmasligi haqidagi teoremani hisobga olsak s — r.

Endi huddi shu mulohazalarni A matritsaning transponirlangani uchun yuritamiz va A ning ustun fazosi o'lchami A ning satr fazosi o'lchamiga, AT ning satr fazosi o'lchami A ning ustun fazosi o'lchamiga tengligiga ko'ra r — s munosabatni topamiz. Demak, r = s. Bundan ko'rinadiki, ixtiyoriy matritsaning chiziqli erkli ustunlarining maksimal soni chiziqli erkli satrlarning maksimal soniga teng bo'lar ekan. A

2. Satr fazoning o 'lchami r bo'lsin. Ci, 1 - i - r lar esa satr fazoning bazisi (Albatta i, 1 - i — r larni A ning satr vektorlari deb olamiz.) Avval

Aci'Ac2 ' Ac3 '•••' Acr larning ham chiziqli erkli ekanligini ko'rsatamiz.

Ci'c2'Cr larning chiziqli erkli ekanligidan bilamizki,

xc + xc + xc + ••• + xc = 0 = x = 0' x = 0' x = 0' x = 0

11 22 33 r r 1 7 2 7 3 7 7 r

x^Ac^ + ^A^ + x3Ac3 +... + xrAcr — 0

bo'lsin. U holda:

A ^x^c^ + x2c2 + x^c^ + • •• + xrcr ^ = 0'

v = xc

+ x-,c~, + x^c^ + ••• + x„c

2 2

3^3

desak Av = 0

Bu tenglikdan kelib chiqadiki v vektor A ning barcha satrlari bilan ortogonal va demak bu satrlarning ixtiyoriy chiziqli kombinatsiyasi bilan ya'ni A ning satr fazosi bilan ortogonaldir. Boshqa tomondan v tuzilishiga ko'ra u satr fazo bazis vektorlarining chiziqli kombinatsiyasidan iborat va bundan u ushbu fazoga tegishli bo'ladi. Demak, v vektor o'z-o'ziga ham ortogonal, ya'ni

(v,v) = |v2| = 0, _ . , x = 0, X = 0, X = 0, ..., X = 0. n , Ac ,Ac ,AcAc .

v ' 1 1 (*) ga kora 1 ' 2 ' 3 ' ' r Demak, ci c lar

chiziqli erkli.

A

Ko'rishimiz mumkinki har bir c vektor A ning ustun vektorlarining chiziqli kombinatsiyasidan tuzilgan. Demak ular ustun fazoga tegishli. Ustun fazoning o'lchamini s deylik. Bir tomondan ustun fazoda

A

r ta c vektor bor, ikkinchi tomondan ustun fazodagi chiziqli erkli vektorlar soni s dan osholmaydi, bundan r -s• Yana xuddi shu mulohazani A ning transponirlangani uchun yuritib s-r ni, bulardan esa r ni topamiz. A

Lemmal. .(C), B*Mm m(C)

(A 0^ . . . . r[o B) = r(A)+r(B)

bo'lsa,

Innovative Academy Research Support Center IF = 7.899 www.in-academy.uz

tengsizlik o'rinli bo'ladi.

Lemma 2. A e Msxn (C) ' B e M"xm (C) lar uchun ushbu AB = 0tenglik o'rinli bo'lsa, r ( A) + r ( B )< n tengsizlik o'rinli bo'ladi.

A ( B B B B )

Isbot. Faraz qilaylik ( 2' 3'"""' m) ko'rinishda bo'lsin bundan AB = 0shartga ko'ra A ( B15 B2, B3,""", Bm ) = 0

tenglikka egamiz. Bu esa ABi 0 * =1 m ifodaga teng kuchli. Demak Bi * = 1 m lar bir jinsli bo'lgan Ax = 0 tenglama yechimlari ekan. Endi Ax = 0 tenglamalar sistemasining

umumiy yechimlari soni n r (A) dan oshmasligini hisobga olib, r (B)< n r(A) tengsizlikka ega bo'lamiz. Bu esa

r(A) + r(B)<n

tegsizlikka teng kuchli. A Lemma BeM^C) ^

r ( AB)< min (r ( A) ; r (B)) tengsizlik o'rinli bo'ladi.

Lemma 4. A eM-•(C)■ B eM-m(C)

bo'lsa,

•( A) + r ( B )<;

A

v0 BJ

< min ( r ( A) + m, r ( B ) + s )

tengsizlik o'rinli bo'ladi. Sylvester tengsizligi.

A e Msxn (C). B e M„m (C) bo'lsin. U holda quyidagi tengzlik o'rinli:

r(AB) + n > r (A) + r (B).

Isbot. Chap tomon uchun Lemma 1 ga ko'ra

M =

In 0 0 AB

deb tanlasak, u holda r(AB) + n r(M^ tenglik o'rinli bo'ladi. Endi bundan o'ng tomondagi ifodani hosil qilish uchun quyidagicha ,,umumlashgan chiziqli almashtirish'' bajaramiz (birinchi satrni A ga (chap tomondan) ko'paytirib ikkinchi ustunga qo'shamiz):

r In 0 > r in 0 > r in -B > rB In Ï

v 0 AB J 1 Ai AB J 1 An 0 j v 0 An J

M =

Demak Lemma 4 ga ko'ra quyidagi

rB J ^

r

( AB ) + n = r (M ) =

>r(A)+r(B)

v

v 0 A j

munosabatga egamiz. Bu esa isbotlanishi talab qilingan tengsizlik edi.

é

Ws,

M =

B u

0 ABC,

deb tanlasak, u holda r (B ) + r (ABC ) r (M ) tenglik o'rinli bo'ladi. Endi bundan o'ng tomondagi ifodani hosil qilish uchun quyidagicha ,,umumlashgan chiziqli almashtirish'' bajaramiz:

( B 0 > r b 0 > r b -BC ^ r BC B ^

v 0 ABCy v AB ABC y v AB 0 j v 0 AB y

M =

Demak Lemma 4 ga ko'ra quyidagi

rBC B }

r I

( B ) + r ( ABC ) = r (M ) =

r

0 AB

> r ( AB ) + r ( BC )

J

munosabatga egamiz. Bu esa isbotlanishi talab qilingan tengsizlik edi.#

References:

1. Songqui Wang ect, Inequality of matrix[M] (the second press), Science press, Beijing (2006).

2. Tingming Wang, From Proof of inequality of matrix-rank by the block matrix construction (J, Higher mathematics (2008)).

3. Wajin Zhuang, Guaidance of matriz theory on skew field (MI, Science press, Beijing (2006)).

Innovative Academy Research Support Center IF = 7.899 www.in-academy.uz

4. Ian S. Murphy, The rank of the sumof two rectangular matrices. Canad. Math. Bull. 13(1970), 384.

5. L. Mirsky, An Introduction to Linear Algebra, Oxford Univ. Press, 1955.