CC BY
10
Turdimurodov E.M.
Guliston davlat universiteti Matematika magistatura mutaxassisligi 1-bosqich talabasi
NORMALANGAN VA GIL'BERT FAZOLARI HAQIDA BA'ZI
TA'RIFLAR
Annotatsiya. Ushbu annotatsiya matematikada muhim o'rin tutuvchi normalangan va Gilbert fazolari haqidagi asosiy ta'riflarni o'z ichiga oladi.Normalangan fazolar haqida quyidagi ma'lumotlar berilgan.Normalangan fazolar Xilbert fazosida ikkita vektor orasidagi skalar ko'paytma normasi 1 ga teng bo'lgan vektorlar to'plami ekanligini ta'riflaydi.Normalangan fazolarning asosiy xususiyatlari - vektorlar uzunligi, skalyar ko'paytma, chiziqli mustaqillik, yopiqlik kabilar yoritilgan.Gil'bert fazolari haqida quyidagilar keltirilgan.Gil'bert fazolari Xilbert fazosida ikkita vektor orasidagi skalyar ko'paytmalar to'plami ekanligini ta'riflaydi.Gil'bert fazolarining asosiy xususiyatlari - chiziqlilik, norma, baza vektorlar, to'liqlik, metriklik kabi xususiyatlari ochib berilgan.Maqola yakunida normalangan va Gilbert fazolarining matematik fanlarning turli sohalarida qo'llanilishi, ularsiz bir qator muammolarniyechish qiyinligini ta'kidlab o'tgan.
Key words: Normalangan fazolar, Gil'bert fazosi, skalyar ko'paytma, norma, chiziqli mustaqillik, yopiqlik, linerik fazolar, metrik fazolar, baza vektorlar, funksional tahlil, kvant mexanikasi, matematik masalalar.
Turdimurodov E.M.
1st stage student of the master's degree in mathematics
Gulistan State University
SOME DEFINITIONS OF NORMALIZED AND HILBERT SPACES
Abstract. This annotation encompasses the fundamental definitions of normalized and Hilbert spaces, which hold a crucial position in mathematics. Regarding normalized spaces, the following information is provided.
Normalized spaces are defined as the set of vectors in a Hilbert space where the norm of the scalar product between any two vectors is equal to 1. The key properties of normalized spaces highlighted are the length of vectors, scalar product, linear independence, and closedness. As for Hilbert spaces, the annotation states that they are the set of scalar products between any two vectors in a Hilbert space. The main characteristics of Hilbert spaces covered include linearity, norm, basis vectors, completeness, and metric properties. The article concludes by emphasizing the widespread applications of normalized and Hilbert spaces across various mathematical disciplines, and the difficulty in solving numerous problems without them.
Key words. Normalized spaces, Hilbert space, scalar product, norm, linear independence, closedness, linear spaces, metric spaces, basis vectors, functional analysis, quantum mechanics, mathematical problems.
Normalangan va Gil'bert fazolari matematikaning turli sohalari, jumladan, funksional tahlil, kvant mexanikasi, signallar tahlili kabi sohalarda keng qo'llaniladi. Ular matematik obyektlar, jarayonlar va tizimlarni o'rganishda muhim o'rin tutadi. Bu fazolar orqali matematik masalalar samarali yechilishi, funksiyalar orasidagi munosabatlar aniqlanishi, kvant mexanikasidagi holat vektorlari yozilishi va shu kabi masalalar hal qilinadi.
Ta'rif-1. E—haqiqiy (kompleks) songa ko'paytirish bilan bilan kiritilgan chiziqli fazo bo'lsin.
Agar E chiziqli fazoning har bir x elementiga uning normasi deb ataluvchi va ||x|| orqali belgilanuvchi manfiymas haqiqiy son mos qo'yilgan bo'lib, bu moslik
1. ||x|| > 0, bundan tashqari||x|| = 0 tenglik faqat va faqat x=0 bo'lgandagina o'rinli;
2. ||Ax|| = |A|||x||;
3. ||x + y|| <||x|| + ||y||
Normal aksiomalarini qanoatlantirsa, u holda E to'plam chiziqli normalangan fazo deb aytiladi.
Bu keltirilgan normaning 1-sharti ayniylik sharti deb, 2-sharti birjinslilik sharti deb, 3-sharti uchburchak tengsizligi deyiladi.
Uchburchak tengsizligidan
||* —y||>IM — ||y||| (1)
Tengsizlikni ham o'rinli ekanligini ko'rsatish mumkin. Haqiqatan ham, uchburchak tengsizligiga ko'ra
M = ||(* —y) + y||<||* —y|| + ||y||
bo'ladi. Bunda (1) tengsizlik kelib chiqadi.
Chiziqli normalangan fazoda metrikani p(x,y) = ||x — y|| tenglik yordamida kiritish mumkin. Bu yerda masofa uchun kiritilgan barcha metrika aksiomalarining bajarilishini tekshirish qiyin emas.
Chiziqli normalangan fazoda metrika kiritilgan ekanligidan biz {xn} elementlar ketma-ketligining x elementga yaqinlashishi Ta'rifini ham kirita olamiz. Aynan, agar n ^ ro da ||xn — x|| ^ 0 bo'lsa u holda
lim xn = 0
Yoki n ^ ro da
deb aytiladi. Shunday qilib, chiziqli normalangan fazoda aniqlangan yaqinlashish norma bo'yicha yaqinlashish deyiladi.
Ta'rif—2.Agar norma bo'yicha yaqinlashish manosida berilgan chiziqli normalangan fazo to'la bo'lsa, u holda bu fazo Banax fazosi yoki B tipidagi deb aytiladi. Endi Banax fazolariga misollar keltiramiz:
1) Haqiqiy sonlarning n ta x = (x1(x2j........,xn) tartiblangan sistemasi
shaklidagi elementlarning fazosi Banax fazosiga misol bo'ladi. Haqiqatan
ham, bu fazoda x = (x1(x2j........,xn) va y = (y1(y2>........,yn) elementlar orasida
qo'shish amali
x + y = (X1 + y1, x2 + y2,........,xn + yn) va A haqiqiy songa ko'paytirish
Ax = (Ax1( Ax2,........Axn) shaklda kiritiladi. Hamda x = (x1( x2,........,xn)
elementning normasi esa
i
ll*ll = ŒL1*k2)1
Tenglik yordamida aniqlanadi. Bu fazo Banax fazosi bo'lib undagi metrika avval kiritilgan metrika bilan ustma-ust tushadi.
2) Haqiqiy (kompleks) C[aù] fazo Banax fazosi bo'ladi. Bu fazoda funksiyalarni qo'shish va funksiyani songa ko'paytirish amali aniqlangan. Hamda x(t) funksiyaning normasi esa
Hxil = max |x(t)|
a<t<o
Tenglik bilan aniqlanadi. Bu C[a,ô] fazo Banax fazosi bo'lib undagi metrika avval kiritilgan metrika bilan ustma-ust tushadi.
3) Haqiqiy (kompleks) fazo Banax fazosi bo'ladi. Bu fazoda elementlarni qo'shish va elementlarni songa ko'paytirish amali aniqlangan. Hamda x = (x1( x2,........,xn,... ) elementning normasi esa
M = £Np)P
ixii = (^|x
¿=1
Tenglik yordamida aniqlanadi. Bu/p fazo Banax fazosi bo'lib undagi metrika avval kiritilgan metrika bilan ustma-ust tushadi.
4) Haqiqiy (kompleks) Lp[a, fr] fazo Banax fazosi bo'ladi. Bu fazoda funksiyalarni qo'shish va funksiyani songa ko'paytirish amali aniqlangan. Hamda x(t) funksiyaning normasi esa
■ b
\p
||x|| = (l |*(t)|Pdt)P
'a
Tenglik yordamida aniqlanadi. Bu Lp [a, fr] fazo Banax fazosi bo'lib undagi metrika avval kiritilgan metrika bilan ustma-ust tushadi.
5) Haqiqiy sonlarning m fazosi Banax fazosi bo'ladi. Bu fazoda elementlarni qo'shish va elementlarni songa ko'paytirish amali aniqlangan. Hamda x = (x1( x2,........,xn,... ) elementning normasi esa
11*11 = sup|x¿|
i
Tenglik bilan aniqlanadi. Bu m fazo Banax fazosi bo'lib undagi metrika avval kiritilgan metrika bilan ustma-ust tushadi.
6) [a, fr] oraliqda aniqlangan vas hu oraliqda k —tartibgacha uzliksiz hosilalarga ega bo'lgan x(t) funksiyalarning fazosini qaraymiz. Bu fazoda
funksiyalarni qo'shish va funksiyani songa ko'paytirish amali aniqlangan. Har bir x(t) funksiyaning normasi esa
||x|| = max { max |x(t)|, max |x(1)(t)|,....., max |x(k)(t)|}
Tenglik yordamida kiritiladi. Bunday normalangan Banax fazo Banax fazosi bo'lib uni biz Ck[a, fr] orqali belgilaymiz. Bu fazo variasion hisob nazariyasida keng qo'llaniladi. Umuman aytganda bu fazodagi normani ko'pgina hollarda
k
||x|| =V max|x(¿)(t)| ¿=0
tenglik bilan kiritiladi. Har ikkala holda ham bu fazo Banax fazosi bo'ladi.
Agar n ^ da xn ^ x, yn ^ y, An ^ A bo'lsa, u holda H(*n + y«) - (x + y)y < yxn -xy + yyn -yH
yAnxn - Axy < |An|yxn -xy + |An — A|yxy
munosabatlardan foydalanib (xn + yn) ^ x + y, Anxn ^ Ax
Ekanligini hosil qilamiz. Xuddi shuningdek (1) tengsizlikdan |||xn|| -
M! < ||xn -
tengsizlik hosil bo'ladi. Shunga ko'ra, agar n ^ da xn ^ x bo'lsa, u holda n ^ ||xn|| ^ ||x|| bo'ladi.
Chiziqli normalangan fazolar metrik fazo bo'lganligi uchun bunday fazolar uchun metrik fazolar uchun kiritilgan barcha tushunchalar, teoremalar o'rinli bo'ladi.
Ta'rif-3. E chiziqli fazo bo'lib, unda ikkita usul bilan norma kiritilgan bo'ladi:
||*||(1), ||*H(2). Agar shunday bir ft > 0 son mavjud bo'lib, ixtiyoriy x £ E element uchun
||x||(2) < ft||x||(1)
Tenglik o'rinli bo'lsa, u holda ||x||(2) norma ||x||(1) normaga bo'ysundirilgan deb aytiladi.
Agar E chiziqli fazoda ||x||(2) norma ||x||(1) normaga bo'ysundirilgan bo'lsa, u holda {xn} c E ketma-ketlikning x nuqtaga ||x||(1) norm abo'yicha yaqinlashishidan uning ||x||(2) norm abo'yicha yaqinlashishi (shu x nuqtaga) kelib chiqadi.
Ta'rif-4. E chiziqli fazo bo'lib, unda ikki xil usul bilan norma kiritilgan bo'lsin: ||x||(1), ||x||(2). Agar shunday bir a > 0, ft > 0 sonlar mavjud bo'lib, ixtiyoriy x £ E element uchun
a||x||(1) < ||x||(2) < ft||x||(1)
Tengsizlik o'rinli bo'lsa u holda ||x||(1) va ||x||(2) normalar ekvivalent deb aytiladi.
Teorema-1. Ixtiyoriy haqiqiy (kompleks) chekli n o'lchovli chiziqli fazodagi barcha normalar ekvivalentdir.
E chiziqli fazo (normalangan) va undagi bo'sh bo'lmagan L to'plam berilgan bo'lsin.
Ta'rif-5. Agar E chiziqli normalangan fazodagi L to'plam yopiq chiziqli ko'pxillikdan iborat bo'lsa, u holda L to'plam E chiziqli normalangan fazodagi qism fazo deyiladi.
Masalan, agar C[a,ö] fazodagi barcha darajasi n dan oshmaydigan ko'phadlar to'plamini qarasak, u holda bu to'plam C[a,ö] dagi qism fazo bo'ladi.Endi GiFbert fazosi tushunchasini kiritamiz.
Ta'rif—6. H orqali kompleks vektor (chiziqli) fazoni belgilaylik. Agar H fazoning har bir x, y elementlari juftligiga quyidagi shartlarni (aksiomalarni) qanoatlantiruvchi elementlar skalyar ko'paytmasi deb ataluvchi (x, y) kompleks son mos qo'yilgan bo'lsa, yani:
1) (y,*) = (x,y);
2) (Axi + = A(xi,y) + ^(X2,y);
3) (x, x) > 0, (x, x) = 0 faqat va faqat x=0 bo'lsa, u holda H ni skalyar ko'paytmali fazo deymiz.
Ta'rif—7. Dan ko'rinadiki
a) (x, Ayi + ^2) = I(x, yi) + £(x, y2)
b) (x, 0)=0=(0, y) kelib chiqadi. Xuddi shunday Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi deb ataluvchi |(x,y)|2 < (x,x) • (y, y) tengsizlik ham kelibchiqadi.
Agar skalyar ko'paytma kiritilgan H fazoda ||x|| = ^(x, x) (iGH) (1) deb olsak, H normalangan fazoga aylanadi. Haqiqatan ham norma aksiomalaridan 10 va 20 lari bajarilishi ko'rinib turibdi. 30 —uchburchak aksiomasining bajarilishini ko'rsatamiz. i,y£H bo'lsin, u holda Koshi-Bunyakovskiy tengsizligidan foydalanib
||x + y||2 = (x + y,x + y) = (x,x) + (x,y) + (y,x) + (y,y) < ||x||2 + 2||x||||y|| + ||y||2 = [||x|| + IlyN]2 yoki ||x + y|| < ||x|| + ||y||
Ta'rif—8. Agar H fazoda skalyar ko'paytmali munosabat bilan norma orqali kiritish mumkin bo'lsa, u holda bu H ni unitary fazo deymiz. Skalyar ko'paytma kiritilgan H fazo normalangan fazo ham bo'lgani uchun, normalangan fazo ega bo'lgan barcha xossalarga H fazo ham ega bo'ladi. Bundan tashqari
1) Skalyar ko'paytma uzluksizdir, yani, agar xn ^ x, yn ^ y bo'lsa u holda (xn,yn) ^ (x,y) bo'ladi.
2) H fazodan olingan ixtiyoriy ikkita x, y elementlar uchun parallelogram tengligi deb ataluvchi
||x + y||2 + ||x- y||2 = 2(||x||2 + ||y||2) (2)
Ta'rif—9. To'la unitar fazolarni abstract GiFbert fazolari deymiz.Shunday qilib abstrakt GiFbert H fazosi quyidagi talablarni bajaradi;
1. H kompleks chiziqli (vektor) fazo.
2. H skalyar ko'paytma kiritilgan fazo.
3. iGH bo'lsa ||x|| = ^(x, x), yani H normalangan fazo.
4. H fazo p(x,y) = ||x — y|| metrika ma'nosida to'la.
H fazoda ixtiyoriy nEW natural son uchun n ta chiziqli erkli elementlar mavjud, yani H fazo cheksiz o'lchovli bo'lsin. GiFbert fazosiga doir eng muhim bo'lganmisollarni keltiramiz.
1-misol. Z2 kompleks chiziqli fazodagi ixtiyoriy ikkita x = (Xi , ^2,........■ ■ ■ ) va y = (yi, y2..........yn, ■ ■■ ) elementlar uchun
(^y) = ^
n=1
Deb olinsa, bu fazo GiFbert fazosidan iborat bo'ladi.
2-misol. L2 [a, fr] kompleks chiziqli fazo. Bu fazo [a, fr] oraliqda aniqlangan kompleks qiymatli x(t) o'lchovli funksiyalarning shunday to'plamiki, bunda
f
Ja
b
2
|x(t)|2p(t)dt < +œ
bo'lsin, bunda p(t) haqiqiy qiymatli va [a, fr] oraliqning deyarli hamma joyida p(x,y) > 0 bo'lib to'liq o'lchovli to'plamda p(t) > 0 bo'lsin. Agar x(t),y(t) E L2,p[a, fr] funksiyalar uchun
f
Ja
(x,y) = | x(t) • y(t)p(t)dt
deb olsak, u holda bu fazo Gifbert fazosidan iborat bo'ladi.Xuddi shunga o'xshash haqiqiy Gifbert fazosini hosil qilamiz.
Foydalanilagan adabiyotlar:
1. Y3ÔeKHCTOH PecnySnnKacn XanK TatnnMn th3hmhhh 2030 finnrana pHBO^naHTHpnm кoнцeпцнacннн TacgnKgam Tyrpncnga, YsöeKncTOH PecnyônHKacH npe3ngeHTHHHHr OapMOHn, 29.04.2019 finngarn nO-5712-coH.
2. AxöopoT TexHonornanapn cox,acnga TatnnM th3hmhhh aHaga TaKOMHnnarnTHpHffl, hhmhh TagKnKOTnapHn pHBO^naHTHpnm Ba ynapHn IT-nHgycTpna ônnaH ннтerpaцнa Kn^nm Hopa-TagSnpnapn Tyrpncnga, Y3ÔeKHCTOH PecnySnnKacn npe3HgeHTHHHHr Kapopn, 06.10.2020 finngarn n^-4851-coH.
3. Y3ÔeKHCTOH PecnySnnKacn npe3geHTnHnHr 2019 finn 7 ^eBpangarn no 4947-coHHH "Y3ÔeKHCTOH PecnyônHKacHHH aHaga pHBO^naHTnpnm Syfinna X,apaKaraap CTpaTernacn Tyrpncnga^rH ^apMOHn.
4. Y3ÔeKHCTOH PecnySnnKacn npe3geHTHHHHr 2019 finn 8 OKTaôpgarn "Y3ÔeKHCTOH PecnySnnKacn onnfi TatnnM th3hmhhh 2030 finnrana pHBO^naHTHpnm кoнцeпцнacннн TacgnKgam TyrpncHga^rn nO-5847-coH
OapMOHH.
5. Saipnazarov J.M. Banax fazosida oshkormas funksiya haqidagi teoremaning tatbiqlari // Oriental Renaissance: Innovative, educational, natural and social sciences// Scientific Journal Impact Factor// VOLUME 1 | ISSUE 4 ISSN 21811784// SJIF 2021: 5.423, 166-172 bet.
6. PacynoB X.P., ^mneBa O.ro. hkkh ^hhchh пoпyпaцнaнннr gnHaMnKacn xaKnga // Scientific progress, 2:1 (2021), p.665-672.
7. Фаязов К. Хисоблаш математикаси, математик физика ва анализнинг нокоррект масалаларини ечиш усуллари. Тошкент, 2001, 130 б.
8. О.С.Зикиров Математик физика тенгламалари. Укув кулланма. - Т.: "Фан ва технология". 2017, 320 бет.
9. Турдимуродов Э.М. Гилъберт фазоси ва унинг турли масалаларга тадбики хдкида // "Таълим жараёнига ракамли технологиялар ва сунъий интеллектни жорий этиш истикболлари" мавзусида Республика илмий-амалий конференцияси материаллари. Термиз. 2024.
10. Турдимуродов Э.М. Чизикли операторлар ва функционаллар хдмда Хан-Банох теоремаси хдкида // "Таълим жараёнига ракамли технологиялар ва сунъий интеллектни жорий этиш истикболлари" мавзусида Республика илмий-амалий конференцияси материаллари.Т ермиз. 2024.
