Материальное уравнение гранулярного сверхпроводника Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 538.945

Материальное уравнение гранулярного сверхпроводника

1 2 © М.В. Белодедов , Л.П. Ичкитидзе

1 МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия 2 МИЭТ, Москва, Зеленоград, 124498, Россия

Проникновение магнитного поля в массивные образцы высокотемпературных сверхпроводников (ВТСП) традиционно рассматривается с позиций электродинамики сверхпроводников второго рода, хотя ВТСП является множественной джозефсо-новской средой. Путем усреднения микроскопических параметров джозефсоновской среды в работе выводится материальное уравнение такой среды. Показывается, что общий вид предлагаемого материального уравнения практически не зависит от закона распределения сверхпроводящих гранул по размерам. На основе полученного материального уравнения исследуется проникновение магнитного поля в джозефсо-новскую среду. Моделируются также вихревые решения полученного уравнения и делается вывод о том, что в ВТСП должны реализовываться магнитные вихри, содержащие один квант магнитного потока.

Ключевые слова: джозефсоновская среда, материальное уравнение, магнитные вихри, гипервихри, феноменологические параметры.

Введение. Отклик на внешнее магнитное поле и характер его проникновения является основной отличительной чертой различных сверхпроводящих сред, привлекающей интерес исследователей во все времена, начиная с открытия сверхпроводимости. Чрезвычайно сложным и запутанным является процесс проникновения магнитного поля в сверхпроводники второго рода, которыми являются практически все сверхпроводящие сплавы и соединения. Как было впервые показано в [1], поле проникает в них в виде одиночных вихрей, каждый из которых несет отдельный квант магнитного потока

7 2

Фо = helle = 2,07-10 Гс ■см . Название «вихрь» закрепилось за этими образованиями благодаря тому факту, что их нормальная (несверхпроводящая) сердцевина окружена вихревыми сверхпроводящими токами, экранирующими от магнитного поля остальной массив сверхпроводника. Аналогом абрикосовского вихря является джо-зефсоновский вихрь [2], наблюдающийся в распределенных джо-зефсоновских переходах. Как и в абрикосовском, в джозефсоновском вихре имеет место концентрация магнитного поля, экранируемого от проникновения в глубь сверхпроводника лондоновскими поверхностными токами, а в глубь распределенного перехода — джозефсо-новскими токами. В отличие от абрикосовского, джозефсоновский вихрь не имеет нормальной сердцевины, но содержит также только одиночный квант магнитного потока.

С открытием керамических высокотемпературных сверхпроводников (ВТСП) резко повысилась актуальность исследования гранулярных сверхпроводников, представляющих собой среду, состоящую из большого числа сверхпроводящих гранул малого размера, образующих в местах соприкосновения друг с другом туннельные переходы со свойствами джозефсоновских контактов [3]. Качественная картина проникновения магнитного поля в такую среду была предложена в [4, 5]. Она состоит в том, что магнитное поле проникает в пространство между гранулами, как в распределенный переход, и образует там джозефсоновский вихрь. Но, поскольку таких переходов много и они соединены между собой случайным образом, такой вихрь образует двумерную структуру, захватывающую большое количество гранул. Такой вихрь получил название «гипервихрь» (ГВ).

Свойства и параметры ГВ (размер, форма, содержащийся магнитный поток, динамическое поведение и др.) активно изучаются в экспериментальных и теоретических работах [6-11]. Например, некоторые исследователи считают, что ГВ полностью аналогичен обыкновенному АВ, за исключением отсутствия нормальной сердцевины и существенно больших размеров (что приводит к существенно меньшим значениям критических полей).

В настоящей работе предлагается модель образования магнитных ГВ и приводятся оценки их основных параметров в гранулярном сверхпроводнике в виде джозефсоновской среды с сильными разбросами размеров и форм гранул.

1. Материальное уравнение гранулярного сверхпроводника. Будем рассматривать гранулярный сверхпроводник как множественную джозефсоновскую среду, образованную сверхпроводящими гранулами и джозефсоновскими переходами в местах их контактов. Обозначим через 0(г, ¿) фазу волновой функции сверхпроводящих электронов. В предположении, что размеры гранул существенно превышают лондоновскую глубину проникновения, функция 0(г, ¿) внутри гранул связана с вектор-потенциалом магнитного поля Л уравнением Гинзбурга — Ландау [12]:

и претерпевает разрыв на джозефсоновском переходе между грану-

центрах гранул. Очевидно, что для любого замкнутого контура должно выполняться условие

лами. Построим гладкую функцию

совпадающую с 0(г, ¿) в

т — целое.

(1)

Из условия (1) следует, что ротор функции ¥0 (г) равен нулю практически везде, за исключением, может быть, отдельных точек, где он равен 2пт:

Г0

rot

почти везде;

2пт в отдельных точках.

(2)

Вычислим разность фаз на джозефсоновском переходе с координатами г0, образованном гранулами, центры которых имеют коорди-

наты г, и г/

Ф,, 1 = 6(г,) + (г0 - г,) У0 - (0(г.) + (г0 - г,)У0

: в(г) -0(г1) + У0(г1 - г,) = 0 (г,) -0 (г,) - фп А (г, - г,)

Фп

Г ~ Л У0 - — А

V ф0 У

(г, - г, ) =

Г ~ Л У0 - ^П А

Фо у

V

ч, 1'

где а^ — вектор, соединяющий центры рассматриваемых гранул.

Ф0 ~

Рассмотрим векторную величину Г = А--У0. Она определяет

2п

разность фаз на джозефсоновском переходе:

ф =--Ра ,

Фа

(3)

где а — вектор, соединяющий центры гранул, образующих джо-зефсоновский переход. С другой стороны, магнитное поле В может быть выражено через ротор вектора Г почти везде, за исключением отдельных точек (2):

rotF = rot

А -

V

ф0 2п

У0

= В

ф0 2п

-rot

(У0).

(4)

Применим к рассматриваемому переходу резистивную модель [6, 13]:

I = Iс Ф +

Ф 0 ( 1

2пс

-Ф + С ф

V к

У

где I — ток через переход, 1С — величина его критического тока, Я и С — его активное сопротивление и емкость.

С учетом (3) последнее выражение можно записать в виде

I = -1„ sin

2п

Уф0

Fa

-— (F + RCF).

RcV '

(5)

Рассмотрим объем V, содержащий большое число гранул (и, соответственно, большое число N образованных между ними джо-зефсоновских контактов), но в то же время достаточно малый, чтобы положить внутри него A = const. Будем считать, что токи Ik текут каждый на отрезке ak. Для вычисления средней плотности тока в объеме V предположим, что проводник длиной ak = |ak| имеет площадь

Sk,

сечения

поэтому внутри него течет ток с плотностью

J k

Ч Ik.

ak Sk

h

= a.

ak Sk

ak1k

. Средняя в объеме V плотность тока, та-

ким образом, равна:

\=V £ -¡л=V £ Iак=V=р</а>'

' к=1 У к=1 У

где р — средняя концентрация джозефсоновских переходов. В полученное выражение входит величина (/а):

N

(6)

(/а) = -( a

L sin

V

= -( /„ а sin

2п

\фо

Fa

2п

Vф о

Fa

+ — (iF + RCF)

RcV '

у

RC a (a(F + R ))\

При вычислении приведенных средних значений естественно предположить, что величины 1С, R и С являются статистически независимыми, поэтому в последнем выражении их можно заменить на средние значения, обозначаемые теми же символами:

<Л> = -1c

a sin

2п

КФ о

Fa

-Ы a (aF )) - С a ())■

(7)

Для вычисления средних значений в выражении (7) предположим, что все направления вектора а равновероятны, а его модуль имеет распределение w(a). Проведем усреднение в сферической системе координат с осью 7, направленной вдоль вектора Г, полярным углом у и азимутальным углом ф. При выполнении сформулированных предположений средние значения выражения (7) определяются только законом распределения 7-компоненты вектора а:

а

—Ра

Чфс У

р J

а 81й

2п

Ра,

Чфс У

ы (а 2 )(1а2 ;

(а(аР)) = р | а2 (Ра2 )ы(аг )«а2 = Р \ а22ы(

—да да

(а (аР)) = Р \ а2ы(

а„ )аа2;

(8)

а ) «а,.

Необходимо отметить, что в рассматриваемом случае закон распределения 7-компоненты вектора а м?(а2) связан с законом распределения его модуля н'(а) соотношением

ш К )= 1

ш (а) 2 а

¿а.

(9)

Рассмотрим некоторые, наиболее типичные, виды распределения вектора а и соответствующие им законы распределения ^(а2).

1. Абсолютное значение вектора а равно а. Это означает, что все гранулы в рассматриваемой среде имеют диаметр а. В этом случае ^(а2) = 1/(2а), и выражения (8) принимают вид

а 81п

Г 2п ^ Л —Га

УФо У

Г _

= —х а Р

фг

Л2

2 пРа

81П

2п

Ра

УФо У

Фп

2 пРа

-008

^ 2п -Ра

уФо У

(а (аР)) = 3 Г а2;

1Г а2

3

(а (а1Р )) = 3 ра2.

(10а)

2. Модуль вектора а имеет равномерное распределение со сред-

ним значением а: н'(а) = 1/(2а), где 0 < а < 2а. Используя (9), нетруд-

но получить, что в этом случае w (а2 ) = 1п Выражения (8) при этом принимают вид

2 а

а

при 0 < \аЛ < 2а .

а 81й

Р 4

—Ра

Чфс У

_ £ ^ а ( Ф0 }

Р 2

_о

2 пРа

У

п 2п 2-Ра

V фо У

- 81П

П 2п 772-Ра

V фо У

(а (ар)) _ 4Ра2; (а Н )) _ 4 Р а 2,

(10б)

—да

а

где через обозначена функция интегральный синус:

^ (х) = }

81п (х)

Зх.

3. Диаметр гранул имеет равномерное распределение, чему соответствует м?(а) = а/а 2 при 0 < а < а и м(а) = 2/а - а/а 2 при а < а < 2а. В этом случае закон распределения 7-компоненты вектора а имеет вид

™ (а ) =

1 с 1п2 -

а V

1 / 1п 2а

а V

а„

2 а

2 а

-1

при 0 < \а2\ <а;

при \аЛ > а,

чему соответствует следующий вид выражений (8):

а 81п

2п

¥а

= — х 2а Г

Фо ^ 2лГа

2п

Фп

га

Г ( 2п >

2—га

V I Ф о

-Б1

2п

га

VФ о У У

+ 2 008

2п

Л

VФо

га

- 2 008

2п

VФ о

га

7 * а2 18

(а (а*) = — *Г ;

(а Н )) = ^ *а 2.

(10в)

4. Абсолютное значение вектора а имеет максвелловское распределение со средним значением а:

( \ 32 2 (а) = _3 2 х ехр

^ „ 2 Л 4 х2

—3 2

а п

—2

У а п у

В этом случае 7-компонента данного вектора распределена по нормальному закону:

^(а ) = —ехр а п

' 4а2 ^

^ а 2 п у

и выражения (8) принимают вид:

а бШ

2п

Га

Чфо У

Г _п

= —х а — Г 8

2п

Га

Чф о У

ехр

п 16

2п

Га

Чф о У

(10г)

х

о

2

(а И 8 (а » =8

= П Р а2;

= п Р а2.

(10д)

Следует отметить, что случай нормального распределения размеров гранул совпадает с рассмотренным случаем.

Соотношения (6), (7) и (8) дают основание записать материальное уравнение рассматриваемой среды:

] = -^ 1сраМ(Ра2 --^пРа2, Р Яе с

(11)

где зависимость М(Г) определяется законом распределения гранул по размерам:

да

М (Р) = а | а2 бШ

2п

Чфс 'у

ж{а2 ,

в четырех рассмотренных случаях в соответствии с выражениями (10а-10ё) имеет вид:

1. М (Г) =

Ф X

2пГа

81П

у

2п

Л

Га

ЧФс У

Ф

о

2. М(Г) = 2

' ф X2

_о

2пГа

У

3. М(Г) = 2

Ф X

V

о

2пГа

у

81

2п Фа

2п 2—Ра

V Ф0 У

2пГа

X Г

2п

Л

Га

ЧФо У

- 81П

2п

2— ра

V Ф0 У

Га

( г 81

2п 2—Га

X г2п XX

V V Ф 0 У

-81

+2ео8

2п

Га

VФо У

4. М(Г) = П

2п

Га

VФ о У

ехр

п 16

2п

- 2ео8

Х2

2п

-Га

X

VФ о у у

+

Га

VФо У

Га

VФо У

и графически представлена на рис. 1 и рис. 2, а коэффициент п, определяемый тем же законом распределения:

П=- 2

а

1 да

/ а2^(а

а) аа2,

в рассмотренных случаях имеет значения:

да

3

1. п = 1/3:

2. п = 4/9;

3. п = 7/18;

4. п = p/8.

Рис. 1 (начало). Зависимость M(F) для различных видов распределения величины a. Точками отмечены результаты непосредственного вычисления величины ^asin(2nFa/Е0^ по 108...109 реализациям

Нетрудно показать, что зависимость М(Г) при малых значениях Г стремится к линейной:

1 да

lim M (F) = lim — Г az sin

F4 ' Fa J z

2n

Чф o

Fa„

w

(az )daz =

1 2n a Фп

да 2п

F | a^w(az )daz =Fф— r\a,

Рис. 1 (окончание). Зависимость M(F) для различных видов распределения величины a. Точками отмечены результаты непосредственного вычисления величины ^asin(2nFa/Е0^ по 108...109 реализациям

из чего следует, что при малых значениях Г в стационарном случае материальное уравнение (11) принимает вид

F 2п т _

j = -——Icpa 2 nF. (12)

F Ф 0

Рассмотрим задачу о проникновении магнитного поля в полубесконечную (x > 0) среду рассматриваемого вида. С учетом уравнения

Максвелла rot rot A = rot rot F = j и материального уравнения (12)

c

проникновение магнитного поля в среду описывается уравнением

V2F = F---1cpa 2n,

фо c

которое имеет решение F = F0 exp(-x/XM), где Хм обозначена характерная глубина проникновения магнитного поля:

^ M -

Ф 0

2п 4яц/сра п

В последних выражениях величина ц имеет смысл магнитной проницаемости среды, обусловленной только мейсснеровскими токами отдельных гранул.

Рис. 2. Сравнение материальных зависимостей гранулярных сверхпроводящих сред с различными законами распределения гранул по размерам

c

Материальное уравнение (11) при условии малости магнитного поля приводит к уравнению

V 2¥ = ЛГ Г + —2—— ] + ЛГ

^м vм кс vм

с , 2п с1с

где введен новый параметр \м = ,-= Xм--, имею-

2а у]пцСрп \Ф0 С

щий размерность скорости.

Таким образом, множественная джозефсоновская среда описывается материальным уравнением

F с 11 с 1

] = -1 1раМ(г) 4--С.г , (13)

р 4ПЦ V¿м КС 4пц уМ

а распределение магнитного поля в ней подчиняется уравнению

V2р = -—М(Г) + —Ё + . (14)

М У2М яс У2М у ;

Рис. 2 демонстрирует, что гранулярные среды с существенно различающимися законами распределения размеров гранул описываются приблизительно одинаковыми материальными уравнениями, особенно на начальном участке зависимости. Несколько обособленное положение занимает только «чрезмерно идеальный» случай гранул одинаковых размеров.

2. Магнитные вихри в гранулярном сверхпроводнике. Рассмотрим стационарные радиально симметричные решения уравнения (14). Будем при этом считать, что магнитное поле имеет только компоненту В2 = В(г), постоянную по координате 7, т. е. в полярной системе координат вектор Г имеет только одну отличную от нуля компоненту = F(r). Уравнение (14) при принятых условиях будет иметь вид

а

1± (гг )] = -! ^ м (г),

гагУ ац 2жХ2м V 7

аг

причем магнитное поле связано с величиной Г соотношением

В = ^ (гГ) г а/ '

везде, кроме точки г = 0.

После введения безразмерных величин

_ г ~ 2п ~ 2паХм т> г =-, Г =-Га , В =-м В

Ь м фо фо

последние уравнения существенно упростятся:

—к1 ^ (ГГ )] = 1М (Г);

В = 14 (ГГ).

г ёг v '

(15)

В четырех рассмотренных случаях первое из уравнений (15) принимает вид

1. —

а?

2.

а?

а (? (Й ))=ж ( (Й)-Й со5 (Й));

(2Й)- зт (2 Й)

г а?

1 а

й 9 1

3. -тт

<г

4.4

1— (Й)

^ г ^ 8 Й2

< 4 (16)

Й( (2й)-(Й)) + 2соз2 (Й)- 2соз(Й)

г а? 36Л

7 Й3

~~ (Й ) | = Й ехр г <г )

'-Л Й 2 16

Проинтегрируем величину Г по замкнутому круговому контуру с центром в точке г = 0 и радиусом г, учитывая соотношение (4):

ф Ш = ф

А -

фо

2п

уе

= ф А(\ -Фп ф уе ( =

= | rotAds - пФ0 = пг2В - пФ 0,

где п — любое целое число. Поскольку в предполагаемых условиях

(й, = йф = 0, йг = й (г)) справедливо утверждение (¥<Л = ( йя'/ =

= 2лтй, последнее выражение при устремлении радиуса контура к нулю приводит к условию:

Нш (гй) =

Фг

г^о4 ' 2п которое для безразмерных величин принимает вид

Нш (гй)

гй) = п

а

м

Полученное условие вкупе с условием

Нш В = 0

(17а)

(17Ь)

5

П

может быть использовано для поиска уединенных вихревых решений уравнения (16). Семейства решений уравнения (16) с приведенными граничными условиями (17) для случая а/Хм = 0,1 и для различных значений п приведены на рис. 3. Различным значениям п соответствуют различные значения напряженности магнитного поля в центре вихря и полного магнитного потока, содержащегося в вихре. Интересно отметить, что, несмотря на неограниченность функции Г(г) при г ^ 0, магнитное поле в центре принимает вполне конечное значение, практически не зависящее от закона распределения гранул по размерам. Кроме того, в отличие от абрикосовских, в центре обнаруженных вихрей сверхпроводящее состояние не разрушается.

Рис. 3 (начало). Семейства решений уравнения (16) с граничными условиями (17) при а/Хм = 0,1 и различных значениях параметра п

Наиболее важное практическое значение имеет вопрос о магнитном потоке, содержащемся в одном вихре. Для ответа на него достаточно проинтегрировать полученные решения (рис. 3):

да - да

Ф = 2 п | В (г )Ыг = Ф 0 -М | В (г)Г^Г . (18)

0 а 0

Результаты интегрирования при разных значениях параметров п и Хм/а и для различных законов распределения величины а приведены в табл. 1.

Рис. 3 (оокончание). Семейства решений уравнения (16) с граничными условиями (17) при а/Хм = 0,1 и различных значениях параметра п

Магнитный поток, содержащийся в вихре (в единицах Ф0) при разных значениях параметров п и Хм/аа. Моделирование проведено для разных законов распределения w(a)

X м/ а п

1 3 10 30 100 300

1- м (а) = 5 (а - а).

3 1,0017 2,9998 10,0002 30,0001 99,9985 299,8948

10 0,9981 3,0026 9,9992 30,0002 99,9902 300,0020

30 1,0117 2,9943 10,0164 29,9974 100,0019 300,2763

100 0,9529 2,9774 9,9819 30,0262 99,9914 300,0020

2. w(а) = 1/а -

3 1,0006 2,9995 10,0009 29,9999 99,9972 299,7107

10 0,9959 3,0058 9,9982 29,9985 99,9997 299,9925

30 1,0110 2,9876 10,0055 29,9904 100,0090 299,9990

100 1,0409 3,0358 9,9584 30,0574 99,9637 299,9845

[а а (0 < а < а); 3- w (а) = < . [2/ а - а/а (а < а < 2а).

3 0,9992 2,9995 10,0005 30,0005 199,9958 299,8287

10 0,9992 3,0005 9,9983 30,0016 200,0032 299,9947

30 1,0008 3,0030 10,0003 29,9949 200,0090 300,0052

100 1,0152 3,0190 9,9927 30,0051 99,9819 299,5572

. , , 32 2 ( 4х2) 4- ^(а) = _3 2 х ехР| _2 1 -а п \ а п)

3 1,0003 3,0000 10,0005 29,9997 99,9954 299,8255

10 1,0014 2,9977 9,9998 29,9995 99,9983 299,9884

30 1,0099 3,0042 10,0027 29,9992 100,0045 299,9964

100 1,0077 3,0398 10,0139 29,9767 99,9976 299,9949

Несмотря на относительно невысокую точность вычислений, для решения дифференциального уравнения (16) использовалась разностная схема первого порядка точности, а интегрирование (18) проводилось методом трапеций — результаты табл. 1 позволяют сделать достаточно ожидаемый вывод: магнитный поток, содержащийся в вихре, не зависит ни от закона распределения размеров гранул (по крайней мере, в пределах рассмотренных четырех законов распределения), ни от параметра а/Хм, и кратен величине кванта магнитного потока Ф0.

Для того чтобы определить, какое же из множества решений рис. 3 (при заданном материальном уравнении М(Р)) реализуется на практике, необходимо вычислить их полную энергию, которая складывается из энергии магнитного поля и внутренней энергии

джозефсоновских переходов. Одиночный переход обладает энергией [12]

Едж = Ф Ic (1 -

дж 2п к

соб

поэтому рассматриваемая среда (при учете соотношения (3)) имеет плотность джозефсоновской энергии

Фа

W = Ic р

дж 2п c

1 - < cos

2п

Fa

V

уф о J/ J

(19)

Последнее выражение при учете предположений, сделанных ранее при выводе соотношений (8), принимает вид г 1

Ф0

Кж = 1С Р

1 - ( cos

V

2п

КФ о

Fa,

Л )

что позволяет получить плотность джозефсоновской энергии для четырех рассмотренных законов распределения гранул по размерам:

Ф о

i. = ic р Ф

2. ^дж = Icр

дж 2я c

Ф о

3. ^дж = Ic р

2Я

1 _. Ф0

1 _

2nFa

Ф

4nFa

-бШ

Si

Í ^ W

-Fa

о jj

'4п ^

-Fa

о JJ

с

1 _

V

V

о

2nFa

J

1 + cos

V

í

_2

V

Фо

2nFa

\

( г Si

2я 2—Fa

V V Ф0 j

4. ^дж = —Icр

дж 2я c

1 _ exp

_ Si

я 16

2п

—Fa

V^ jj

^ 2я ^ 2—Fa

V Фо j \\

_ 2 cos

2я

л л

Fa

V^ jj

2n

-Fa

V^ j

jj

Приведенные зависимости изображены на рис. 4, который демонстрирует, что зависимость плотности энергии джозефсоновских переходов от магнитного поля слабо изменяется при вариации закона распределения гранул по размерам, так же, как в случае с материальной зависимостью (рис. 2).

Рис. 4. Зависимость плотности энергии джозефсоновских переходов от вектор-потенциала магнитного поля (в единицах ^м =Ф01с р) при различных

2п с

законах распределения гранул по размерам

Полная энергия вихря, приходящаяся на единицу его длины по координате z, складывается из энергии магнитного поля и энергии джозефсоновских переходов (19):

>2

г В (г) г

Е = <Му +1 (г=

= ^ ]ГВ 2 (г )* + С Ф 0 *0 Р] г | 1 -( ^ 0 С 0 ^ \

и для безразмерных величин имеет вид

да 1 да

[г В1 (г)<г + ц — [г

О П О

1 / Г 2 п „ ^ \ \

1 - соб -Faг )

) \ 1ф0 V 1 I

с1г,

Е = Вм ^ м

4ц

1 - (соя

2п

о

Fa„

<<г

(20)

Магнитные вихри, содержащие п квантов магнитного потока, будут на практике реализовываться только в том случае, если отношение их полной энергии к параметру п будет иметь минимальное значение. На рис. 5 приведены зависимости величин магнитной составляющей удельной полной энергии

1 да

Ем = -1 г- В2 (г

1/1 "

(21)

0

Рис. 5. Зависимость магнитной и джозефсоновской составляющих удельной полной энергии вихря от параметра п. Зависимости приведены для четырех рассматриваемых законов распределения величины а

и ее джозефсоновской составляющей

ЕЕ, = ^ (

п п

1 —I соя

/ \\ Л

2п -

о л)

Лг

(22)

от величины параметра п. Зависимости (21) и (22) монотонно растут с ростом целочисленного параметра п, из чего следует, что удельная полная энергия вихрей

п

Е = ^ (Ем +,¿J)

также монотонно растет с ростом п. Это означает, что минимум удельной полной энергии реализуется при наименьшем значении п = 1, соответствующем, как было показано, вихрям, несущим одиночные кванты магнитного потока.

Таким образом, в гранулярном сверхпроводнике независимо от закона распределения гранул по размерам должны наблюдаться од-ноквантовые магнитные вихри.

Заключение. Путем усреднения микроскопических параметров множественной джозефсоновской среды получено материальное уравнение, описывающее усредненные значения этих параметров и связывающее магнитное поле и плотность тока в такой среде. Важным фактом является весьма слабая зависимость полученного материального уравнения от закона распределения сверхпроводящих гранул по размерам, следовательно, предлагаемые материальные уравнения носят в значительной степени универсальный характер.

Полученные в результате моделирования магнитные вихри в множественной джозефсоновской среде, которой является керамический ВТСП, по-видимому, можно считать гипервихрями в [4, 5]. В результате проведенных исследований показано, что гипервихри должны содержать одиночные кванты магнитного потока, несмотря на то что в сложных джозефсоновских структурах возможно квантование магнитного потока с числом квантов, отличном от единицы, как это было показано ранее в [14, 26].

Дальнейшее изучение электродинамики гранулярных сверхпроводников — «джозефсоновской среды» — требует определения введенных величин таких, как Хм и Vм, которые можно рассматривать как феноменологические параметры и которые могут существенно отличаться от аналогичных параметров сверхпроводников второго рода. Другой важной задачей является определение параметров рассматриваемой среды: первое и верхнее критические магнитные поля, критический ток, динамика процессов намагничивания, особенности резистивного состояния при различных значениях температуры и внешнего магнитного поля. Сформулированная программа исследований имеет большое практическое значение, так как для измерения слабых магнитных полей (<10 пТл) используются керамические ВТСП образцы [15-25] и глубокое понимание физических механизмов магнитной материи в них улучшит характеристики магнетометров нового поколения и расширит области их применения.

Работа выполнена при финансовой поддержке Фонда содействия развитию малых форм предприятий в научно-технической сфере (контракт 10678к/19537 от 02.07.2012 г.).

Авторы выражают благодарность проф. Селищеву С.В. за поддержку данной работы.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Абрикосов А. А. О магнитных свойствах сверхпроводников второй группы. ЖЭТФ, 1957, т. 32, № 6, с. 1442-1452.

[2] Ferrel R.A., Prange R.S. Self-field limiting of Josephson tunneling of superconducting electron pairs. Phys. Rev. Letts., 1963, vol. 10, no. 11, pp. 479-481.

[3] Bednorz J.G., Muller K.A. Possible high Tc superconductivity in the Ba-La-Cu-O system. Z. Phys., 1986, vol. 64, pp. 189-193.

[4] Сонин Э.Б. Теория джозефсоновской среды в ВТСП: вихри и критические магнитные поля. Письма в ЖЭТФ, 1988, т. 47, вып. 8, с. 415-418.

[5] Сонин Э.Б., Таганцев А.К. Электродинамика джозефсоновской среды в высокотемпературных сверхпроводниках: импеданс в смешанном состоянии. ЖЭТФ, 1989, т. 95, вып. 3, с. 994-1004.

[6] Игнатьев В.К., Негинский И.В. О низкополевой электродинамике гранулированных ВТСП. Физ. низ. темпер., 2000, т. 26, № 4, с. 340-349.

[7] Кузьмичев Н.Д. Критическое состояние среды Джозефсона. Письма в ЖЭТФ, 2001, т. 74, вып. 5, с. 291-295.

[8] Милошенко В.Е., Шушлебин И.М., Калядин О.В. Нижние критические поля сверхпроводника Y-Ba-Cu-O. Физ. твердого тела, 2006, т. 48, вып. 3, с. 403-406.

[9] Краснюк И.Б., Залуцкий М.В. Закономерности проникновения магнитного потока в модельные гранулированные сверхпроводники. Физ. низ. темпер., 2007, т. 33, № 4, с. 416-424.

[10] Кревсун А.В., Бондаренко С.И., Коверя В.П., Гнездилова Л.В. Влияние магнитного состояния гранулированной керамики YBa2Cu3O7-x на ее магниторезистивные свойства. Вопросы атомной науки и техники, 2009, № 6, Серия: Вакуум, чистые материалы, сверхпроводники (18), с. 97-104.

[11] Shablo A.A., Koverya V.P. and Bondarenko S.I. The displacement and annihilation of macroscopic regions with hypervortices in ceramic YBa2Cu3O7-x. Low Temp. Phys, 2010, vol. 36, no. 1, pp. 110-114.

[12] Шмидт В.В. Введение в физику сверхпроводников. Москва, МЦНМО, 2000, XIY, 402 с.

[13] Лихарев К.К., Ульрих Б.Т. Системы с джозефсоновскими контактами. Основы теории. Москва, Изд-во Моск. ун-та, 1978, 447 с.

[14] Белодедов М.В., Черных С.В. О проникновении магнитного поля в гранулированный сверхпроводник. Журн. технич. физики, 2003, т. 73, вып. 2, с. 75-80.

[15] Ichkitidze L.P. Weak magnetic field superconductor resistive sensors in comparison with semiconductor and magnetoresistive sensors. Physica C, 2007, vol. 460-462, part 2, pp. 781-782.

[16] L.P. Ichkitidze. Resistive film sensor of a weak magnetic field based on the (Bi,Pb)2Sr2Ca2Cu3Ox HTS ceramics. Physica C, 2006, vol. 435, pp. 140143.

[17] Ичкитидзе Л.П. Резистивный датчик слабого магнитного поля на основе толстых пленок ВТСП-материалов. Изв. РАН. Серия Физическая, 2007, т. 71, № 8, с. 1180-1182.

[18] Grigorashvili Y.E., Ichkitidze L.P., Volik N.N. Magnetomodulation sensor of weak magnetic field on HTS (Bi,Pb)2Sr2Ca2Cu3OI ceramics. Physica C, 2006, vol. 435, pp. 136-139.

[19] Ичкитидзе Л.П. Сверхпроводниковый пленочный датчик слабого магнитного поля с трансформатором магнитного потока. Пат. № 2289870 RU, приоритет от 22.06.2005.

[20] Ичкитидзе Л.П., Миронюк А.Н. Топологический наноструктурированный пленочный сверхпроводниковый трансформатор магнитного потока. Нано- и микросистемная техника, 2012, № 1, с. 47-50.

[21] Ichkitidze L.P., Mironyuk A.N. Superconducting film flux transformer for a sensor of magnetic field. Physica C, 2012, vol. 472, issue 1, pp. 57-59.

[22] Pannetier, M., Fermon, C., Le Goff, G., Simola J. and Kerr E. Femtotesla Magnetic Field Measurement with Magnetoresistive Sensors. Science, 2004, vol. 304, no. 5677, pp. 1648-1650.

[23] Faley M.I., Poppe U., Urban K., and Fagaly R.L. Noise analysis of DC SQUIDs with damped superconducting flux transformers. Journal of Physics: Conference Series, 2010, 234, 042009. doi:10.1088/1742-6596/234/4/04200.

[24] Порохов Н.В., Левин Э.Е., Чухаркин М.Л., Раков Д.Н., Воробьева А.Е., Варлашкин А.В., Снигирев О.В. Высокотемпературные сверхпроводящие пленки на гибких подложках для трансформатора магнитного потока. Радиотехника и электроника, 2012, т. 57, № 10, с. 1128-1136.

[25] Белодедов М.В., Черных С.В. Высокочувствительные магнитометры на основе ВТСП-керамики. ПТЭ, 2001, № 4, с. 157-161.

[26] Белодедов М.В., Черный В.В. Квантование магнитного потока в сложных джозефсоновских структурах. Инженерная физика, 2007, № 1, с. 35-38.

Статья поступила в редакцию 28.06.2013

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом:

Белодедов М.В., Ичкитидзе Л.П. Материальное уравнение гранулярного сверхпроводника. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 10. URL: http://engjournal.ru/catalog/mathmodel/material/1094.html

Белодедов Михаил Владимирович — канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры «Системы обработки информации и управления» МГТУ им. Н.Э. Баумана. е-mail: m.belodedov@mail.ru

Ичкитидзе Леван Павлович — канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник кафедры биомедицинских систем Московского государственного института электронной техники (МИЭТ). е-mail: leo852@inbox.ru