CC BY
26
Development of educaton
Мельников Ю. Б. МеЫ^у Yu. B.
кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой «Прикладная математика», ФГБОУВО «Уральский государственный экономический университет», г. Екатеринбург, Российская Федерация
Боярский М. Д. Boyarsky M. Б.
кандидат педагогических наук, доцент кафедры «Прикладная математика», ФГБОУ ВО «Уральский государственный экономический университет», г. Екатеринбург, Российская Федерация
л......
Локшин М. Д. Lokshin М. Б.
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Прикладная математика», ФГБОУ ВО «Уральский государственный экономический университет», г. Екатеринбург, Российская Федерация
УДК 372.851
МАТЕМАТИКА КАК ОДНА ИЗ ИДЕОЛОГИЧЕСКИХ ОСНОВ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ
В условиях, когда компьютеры во все большей степени берут на себя решение вычислительных задач, включая символьные вычисления, все более настоятельной становится задача переосмысления роли и места математики как учебного предмета. Для этого необходимо понять, что такое математика в современных условиях, например, остается ли она «царицей и служанкой наук», или эту функцию берут на себя компьютеры. Констатируется, что попытки сформулировать определение математики, которое разделяли бы все математики и люди, использующие математику, однозначным успехом не завершились. В работе развивается идея формирования понятия «математика» не дедуктивным способом (с помощью определения), а индуктивно, с помощью формализации системы её моделей. В работе рассматривается система моделей математики, используемая для формирования объёма этого понятия: модель математики как области деятельности, аппаратная модель математики, обозначены исторические и другие модели математики. Обозначены некоторые аспекты отражения в разных моделях математики её роли и места в современном мире и в образовании, в частности в образовании будущего экономиста. Обоснована необходимость изменения акцентов и приоритетов разных компонентов математического аппарата.
Ключевые слова: математика, обучение математике, моделирование, экзоструктурная модель, эндоструктурная модель.
MATHEMATICS AS ONE OF IDEOLOGICAL BASIS OF ECONOMIC EDUCATION
Currently, computers are increasingly used for solving computational problems including the symbolic computation. Due to this fact the task of rethinking the role and place of mathematics as an academic subject is becoming more and more urgent. For this it is necessary to understand what is mathematics in modern conditions. For example, whether mathematics remains as «the queen and servant-maid of sciences», or computers are ready to take on this function. It is noted that attempts to formulate a mathematics definition which would be accepted by all mathematicians and people using mathematics didn't have unambiguous success. Authors of this paper develop the
Развитие образования
idea of formation of the concept «mathematics» not in the deductive way (by means of definition), but inductively, by means of formalization of system of its models. The paper considers the system of models of mathematics used to generate the volume of this concept, reflection of its role and place in the modern world and in education, in particular in the education of future economists. The necessity of change of accents and priorities of different components of mathematical apparatus is established.
Key words: mathematics, mathematical education, modeling, exogenous structure model, endogenous structure model.
Название работы воспринимается, видимо, как нечто парадоксальное, поскольку понятие «идеология» в массовом сознании прочно ассоциируется с политикой, к которой математика практически не имеет отношения. Поэтому необходимо пояснить, что именно в данном случае мы понимаем под идеологией и почему предлагаемая постановка вопроса является актуальной в данный момент. В рассматриваемом контексте идеологию мы рассматриваем как систему основополагающих идей, являющуюся основой для ценностных ориентиров, выбора направлений деятельности, инструментария и др. Актуальность постановки вопроса об идеологических основах обучения математике обусловлена рядом обстоятельств, основным из которых является бурное развитие информационных технологий.
В современном мире информационные технологии играют все большую роль. Вычислительные процедуры обычно «зашиваются» в программное обеспечение не только профессиональной деятельности, но даже повседневного быта: оплата покупок, планирование бюджета и др. На этом фоне набирает популярность точка зрения об «устарелости» математики, о «ненужности» математического образования. На самом деле эта точка зрения обусловлена однобокой трактовкой математики, сложившейся в «докомпьютерную» эпоху, в рамках которой математика отождествлялась с ее вычислительным аппаратом, игнорируя другие, не менее важные аспекты математики как сложного многогранного явления.
Таким образом, идеология применения математики и идеология обучения математике зависят от ответа на вопрос: «что такое математика?» Этот вопрос особенно актуа-
лен в сферах, где математика активно используется, в частности, для экономического образования.
Можно констатировать, что все попытки формализации понятия «математика» не удалось завершить общепризнанным определением, что естественно для столь сложного, многопланового понятия. Обсуждается внутреннее строение математики [1, 2], её роль и место [3, 4], особенности математического мышления [2, 5] и др. Интерес представляет известная мысль Н.И. Вавилова о том, что цель изучения математики — это воспитание интеллектуальной честности [6, С. 5].
Как известно, определить понятие — значит определить объём этого понятия, т.е. описать множество объектов, называемых соответствующим термином, символом, знаком и т.п. Поэтому новое понятие можно вводить не только дедуктивно (в данном случае — с помощью определения), но и индуктивно. Таким образом, учитывая абстрактность понятия «математика» и объектов, рассматриваемых в рамках математики, Ю.Б. Мельниковым предложено реализовать индуктивный способ формализации понятия «математика» в виде системы моделей математики [7, 8]. На наш взгляд, в этих моделях целесообразно отразить следующие аспекты математики:
• математика как область деятельности отдельного специалиста или групп специалистов;
• система управления математикой как наукой;
• система управления математикой как инструментом деятельности для других наук, техники, системы общественных отношений;
• экономический аспект математики (затраты на математику как науку и на
Development of educaton
систему математического образования, влияние на экономику);
• культурный аспект математики (взаимодействие с другими областями культуры);
• исторический аспект математики (в том числе как пример развития науки, с учетом громаднейшего исторического опыта математики, в частности, ограниченность аксиоматического метода показана в теореме Гёделя о неполноте);
• образовательно-воспитательный аспект (например, по мысли Н.И. Вавилова, воспитание интеллектуальной честности).
Краткое описание некоторых моделей математики
Целесообразно при построении системы моделей математики ориентироваться на два типа моделей, которые мы называем эндо-структурными и экзоструктурными [9, 10]. В эндоструктурных моделях связи прототипа собъектами, внешними по отношению к нему, либо не отражаются, либо их отражение носит предельно свёрнутый, формальный характер. Например, в большинстве существующих учебников по математике она предстаёт как система математических дисциплин, таких как алгебра, математический анализ, теория дифференциальных уравнений, топология, теория игр и т.д. Модель математики как системы дисциплин можно отнести к эндоструктурным.
В противоположность эндоструктурным моделям, описание прототипа в экзострук-турных моделях осуществляется, в основном, посредством отражения в модели связей прототипа с «внешней средой». Например, в некоторых научно-популярных и философских работах [11] математика представлена в своём историческом развитии, в частности, как «первопроходец» (вплоть до «образца для подражания»), как компонент культуры и др. В таких работах раскрывается взаимодействие математики с экономикой, естественными науками, развитием техники и др.
Важную роль играет представление о математике как компоненте современной человеческой культуры: математика как аппарат (понятийный, т.е. «только язык», аналитический, методологический), как механизм формирования современной лич-
ности (воспитание интеллектуальной честности, преодоление когнитивного диссонанса между экспериментальной и дедуктивной математикой [12] и др.).
Считается, что знаниевый подход в обучении математике основан на том, что главной целью обучения считается изучение математических теорий, а обучение математической деятельности ограничивается решением типовых математических задач. Однако, уже в магистратуре по «чистой математике» (и тем более в аспирантуре) центр тяжести смещается в направлении более сложных видов математической деятельности: выделению перспективных направлений деятельности, формированию гипотез, поиску их доказательства или поиску контрпримеров, анализу вариантов применения полученных результатов и др. Успешность руководителя магистрантов и аспирантов определяется тем, насколько хорошо он сам владеет методикой математической деятельности и в какой степени он способен обучить этому своих учеников. Аналогичная ситуация складывается и в так называемой «прикладной математике» (рисунок 1).
Рисунок 1. Деятельностная модель математики
По нашему мнению, большие перспективы в системе образования имеет представление о математике как о специфическом аппарате обработки информации. Универсальность научных методов обусловлена тем, что наука оперирует только высокоформализованной информацией. При необходимости работы с другими видами информации её сначала необходимо формализовать, для чего применяется понятийный аппарат. Обработка
«стандартизированной» информации осуществляется средствами аналитического аппарата, его основу в математике составляет вычислительный аппарат. В математике мы имеем дело только с моделями объектов, причем обычно имеющими высокий уровень абстрагирования, поэтому важную роль играет аппарат контроля адекватности моделей. В математике его основу составляет доказательный аппарат математики. Развитие математического аппарата обеспечивает методологический аппарат (рисунок 2).
Методологический аппарат
Обеспечивает развитие научного аппарата
Понятийный аппарат
Преобразует информацию к виду, стандартному для данной области деятельности
Аналитический аппарат
Обрабатывает информацию, имеющую вид, стандартный для данной области деятельности
Аппарат контроля адекватности
Контролирует уровень адекватности моделей
Рисунок 2. Аппаратная модель математики
Для многих категорий обучаемых важную роль играют исторические модели математики: феноменологическая, персонификаци-онная, парадигмальная и др. В феноменологической модели основной объект изучения с исторических позиций это математические результаты. В персонификационной модели основные объекты изучения конкретные личности и системы личностей, например научные школы. В парадигмальной исторической модели мы оперируем с парадигмами, которые в данном случае можно трактовать как типовые модели обработки информации.
Продемонстрируем влияние приоритетной модели математики на характер обучения на примере изучения линейной алгебры. Если в качестве приоритетной модели математики выбрать представление о математике как о системе научных или учебных дисциплин, то основной упор следует делать на трактовках рассматриваемых понятий в рамках различных алгебраических теорий. Например, следует подчеркнуть, что линейное пространство можно рассматривать как группу относительно сложения. Но, в отли-
РАЗВИТИЕ ОБРАЗОВАНИЯ
чие от кольца, линейное пространство не является полугруппой относительно умножения на скаляр, поскольку умножение на скаляр следует рассматривать либо как «внешнюю операцию», либо как совокупность унарных операций умножения на каждый конкретный скаляр. В рамках рассматриваемой приоритетной модели применение аппарата линейной алгебры в теории систем линейных дифференциальных уравнений рассматривается как пример взаимодействия разных разделов математики.
Если же при изучении линейной алгебры в качестве приоритетной модели математики выбирается деятельностная модель, то, например, целесообразно чётко разделить этап изучения собственно математической теории (содержательный компонент образования) и этап усвоения методов и стратегий математической деятельности. Например, в начале изучения курса математики можно рассмотреть со студентами правила усвоения формулировки теоремы, правила анализа текста теоремы в период поиска доказательства теоремы (определение структуры теоремы, выделение основного отношения), основные механизмы поиска доказательства (представление отношений, рассмотренных в теореме, в форме равенств, неравенств и теоретико-множественных включений, применение метода восходящего анализа, метода аналогии, типовых стратегий доказательства равенства и т.д.). В дальнейшем, по мере развития студентов, можно организовать изучение теоремы в форме учебного исследования, в ходе которого студенты под руководством преподавателя выделяют возможные направления исследований, формируют гипотезы, пытаются найти контпрпри-меры или доказательство гипотезы.
Отметим, что в курсе линейной алгебры большая часть доказательств может быть построена с помощью метода восходящего анализа, т.е. поиска «от цели к условиям». Например, при доказательстве утверждения «если , то » методом восходящего анализа поиск решения начинается с анализа заключения. В данном случае требуется доказать равенство. Равенство Ь=Я можно доказать
Development of educaton
тремя способами: 1) использовать равносильные преобразования равенств; 2) свести к доказательству двух неравенств (L<R и L>R) или двух включений ( и ); 3) применить метод «от противного». В данном случае наиболее перспективным представляется применение второго способа. Потом рассматривается, как можно доказать включение, и т.д. В результате получается «черновик», преобразование которого в «чистовик» (оформленное доказательство) в значительной степени сводится к переписыванию полученных выражений в обратном порядке.
Применение метода нисходящего анализа (от посылки к заключению) сводится, в основном, к анализу посылки, в данном случае — к анализу посылки . Из этого включения следует, что для имеем , откуда . Значит, . Аналогично доказывается обратное включение.
Использование метода нисходящего анализа требует высокой квалификации исполнителя, умения «прикинуть» результат рассуждений на много ходов вперед. Поскольку учащиеся и студенты младших курсов в массе своей такой квалификацией не обладают, нередко обучение применению метода нисходящего анализа на практике сводится к заучиванию наизусть доказательств, решений типовых задач и т.д.
Выбор приоритетной модели математики при изучении конкретной темы определяется как объективными, так и субъективными факторами.
Анализ представленных моделей, в первую очередь деятельностной и аппаратной, показывает, что идеология обучения математике нуждается в корректировке. В частности, в связи с развитием компьютерных систем, предназначенных для обработки математиче-
ской информации (Maxima, Mapple, MathCAD и др.) изучение вычислительного аппарата математики в известной степени теряет приоритет (хотя полностью отказываться от его изучения нельзя). Следовательно, во-первых, наиболее актуальным становится обучение использованию и развитию понятийного аппарата, аппарата контроля адекватности и, в некоторой степени, методологического аппарата математики. Во-вторых, как известно, обучение математике есть обучение деятельности, и необходимо сосредоточиться на развитии аппарата управления математической деятельностью и управления применением математики, например, см. [13]. В-третьих, разные модели математики должны найти свое отражение в реальном процессе обучения математике. Например, споры вокруг ЕГЭ нередко носят идеологический характер. С этих позиций попытки отказа от ЕГЭ непродуктивны. На наш взгляд, использование ЕГЭ в качестве единственного способа измерения качества обучения математике дает однобокий результат. Поэтому лозунг «... вместо ЕГЭ», на наш взгляд, должен быть заменён на более разумный «... вместе с ЕГЭ».
Изменение условий деятельности большинства населения должно привести к осознанному выбору приоритетных моделей математики и изменению парадигмы образования (таблица 1).
Выводы
Таким образом, на наш взгляд, представление о математике как «вычислительной основы» экономики (и многих других областей деятельности) во многом устарело. Ясно, что вычислительный аппарат математики по-прежнему актуален и важен, в част-
Таблица 1. Аспекты исходной и изменённой парадигм
Аспекты исходной парадигмы Аспекты изменённой парадигмы Примечание
Приоритетная модель: вычислительный аппарат (эндоструктурная) Приоритетная модель: часть фундаментального образования (экзоструктурная) В связи с компьютеризацией
Цель — приобретение знаний (математика как часть базового образования) Цель: гуманитаризация и гуманизация средствами математики В связи с изменением социально-политической ситуации
Средство развития мышления Средство формирования компетенций В связи с изменением образовательных стандартов
ности, как фундамент применения современных информационных технологий. Но на современном этапе на первый план выступают другие аспекты математики: математика как одна из идеологических основ, математика как язык, как источник новых идей, примеров выбора перспективных направлений деятельности и др. С этой точки зрения формализация и детализация различных моделей математики позволит сформировать
РАЗВИТИЕ ОБРАЗОВАНИЯ
целостное представление о роли и месте математики в экономической науке, практике и системе образования, обеспечить выбор оптимального построения учебного курса математики, например, для экономистов.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 16-06-00240 А.
Список литературы
1. Бурбаки Н. Архитектура математики // Математическое просвещение: сб. 1960. Вып. 5. С. 99-112.
2. Пиаже Ж. Структуры математические и операторные структуры мышления // Преподавание математики. М.: Учпедгиз, 1960. С. 10-30.
3. Вечтомов Е.М. Метафизика математики. ВятГГУ, 2006. 508 с.
4. Гельфман Э.Г., Холодная М.А. Психодидактика школьного учебника. Интеллектуальное воспитание учащихся. СПб.: Питер, 2006. 380 с.
5. Вейль Г. Математическое мышление. М.: Наука, 1989. 400 с.
6. Башмаков М.И. Математика. 10 класс (базовый уровень): книга для учителя. М.: Издательский центр «Академия», 2008. 128 с.
7. Мельников Ю.Б., Мельникова Н.В., Мельникова Ю.Ю. Модели математики и их использование в учебном процессе // Информационно-математические технологии в экономике, технике и образовании: сб. матер. областн. науч.-практ. конф.: В 2 Ч. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2006, Ч II. С. 190-196.
8. Мельников Ю.Б. Некоторые модели математики // Информационно-математические технологии в экономике, технике и образовании: тез. докл. Междунар. науч. конф. / ГОУ ВПО УГТУ-УПИ. Екатеринбург, 2006. С. 81-82.
9. Глебова О.Ф. Мельников Ю.Б. Компетенции как экзоструктурная модель ЗУН // Новые средства и технологии обучения математике в школе и вузе: матер. XXVI Всеросс. семинара преподавателей матема-
тики университетов и педагогических вузов, 24-27 сентября 2007 г. Самара, Самарский филиал МГПУ, 2007. С. 40-41.
10. Мельников Ю.Б. Алгебраический подход к созданию учебных презентаций по математике // Образование и наука. 2011. № 5 (84). С. 129-141.
11. Клайн М. Математика. Поиск истины: Пер. с англ. М.: Мир, 1988. 295 с.
12. Ястребов А.В., Шабанова М.В. Мягкий манифест экспериментальной математики: пленарный доклад // Материалы XIII Колмогоровских чтений. Ярославль, 2015. Режим доступа URL: http://itprojects.narfu.ru/ mite/SoftManifestRus.pdf.
13. Мельников Ю., Поторочина К.С., Ткаленко Н.В. Стратегия как механизм планирования при обучении математике // Известия Российского государственного педагогического университета имени А.И. Герцена. 2008. № 9(48) Естественные и точные науки (физика, химия, современная техника и технология, естествознание, методика преподавания естественных и точных наук, математика). С. 103-115.
References
1. Bourbaki Т. Architecture of Mathematics // ^mpi^t^ «Mathematical Education». 1960. Issue 5. P. 99-112.
2. Piaget J. Mathematical Structures and Operator Structure of Thinking // Teaching of Mathematics. M.: Uchpedgiz, 1960. P. 10-30.
3. Vechtomov E.M. Metaphysics of Mathematics. Vyatka State Humanities University, 2006. 508 p.
Development of educaton
4. Gelfman E.G., Holodnaja M.A. Psychological Didactics of Schoolbook. Intellectual Education of Schoolchildren. St. Petersburg: Piter, 2006. 380 p.
5. Weyl H. Mathematical Thinking. M.: Nauka, 1989. 400 p.
6. Bashmakov M.I. Mathematics. Grade 10 (Base Level): Book for Teachers. M.: Publishing Center «Academy», 2008. 128 p.
7. Melnikov Ju.B., Melnikova N.V., Melnikova Ju. Ju. Models of Mathematics and Their Use in the Educational Process // Information and Mathematical Technologies in Economy, Engineering and Education: Proceedings of the International Scientific-Practical Conference (of 2 Parts). Ekaterinburg: Ural State Technical University, 2006. Part 2. P. 190-196.
8. Melnikov Ju.B. Some Models of Mathematics // Information and Mathematical Technologies in Economy, Engineering and Education: Abstracts of Reports of International Scientific-Practical Conference / Ural State Technical University. Ekaterinburg, 2006. P. 81-82.
9. Glebova O.F., Melnikov Ju B. Competences as the Exogenous Structure Model of Knowledge and Skills // New Tools and Technologies for Teaching Mathematics in Schools and
Universities: Materials of 26th All-Russian FederationSeminar of Mathematics Teachers of Universities and Pedagogical Universities, 24-27 September 2007. Samara, Samara branch of the Moscow City Teacher Training University,
2007. P. 40-41.
10. Melnikov Ju.B. Algebraic Approach to the Creation of Educational Presentations on Mathematics // Education and Science. 2011. No. 5 (84). P. 129-141.
11. Kline M. Mathematics and the Search for Knowledge. NY: Oxford university press, 1985. 272 p.
12. Yastrebov A.V., Shabanova M.V. Soft Manifest of Experimental Mathematics: Plenary Report // Materials of XIII Kolmogorovsky Readings. Yaroslavl', 2015. Available at URL: http://itprojects.narfu.ru/mite/SoftManifestRus. pdf.
13. Melnikov Ju.B., Potorochina K.S., Tkalenko N.V. Strategy as a Planning Tool for Teaching Mathematics // IZVESTIA: Herzen University Journal of Humanities and Sciences.
2008. No. 9 (48): Natural and Exact Sciences (Physics, Chemistry, Modern Equipment and Technology, Natural Science, Teaching Methods of Natural and Exact Sciences, Mathematics). P. 103-115.
