Понятие наглядной модели с позиций теории моделирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 372.851

ПОНЯТИЕ НАГЛЯДНОЙ МОДЕЛИ С ПОЗИЦИЙ ТЕОРИИ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Ю.Б. Мельников

Аннотация. Выделены признаки наглядной модели, являющиеся, по мнению автора, ключевыми: сравнительность, субъективность, динамичность субъекта, динамичность объекта и др. Показано, что предложенная трактовка наглядной модели в целом согласуется с интерпретацией понятия «наглядное моделирование», предложенного Е.И. Смирновым. Продемонстрированы преимущества и отражение предложенной трактовки наглядной модели в организации процесса обучения математике.

Ключевые слова: модель, моделирование, обучение математике, наглядность, наглядные модели.

THE CONCEPT OF VISUAL MODEL IN THE MODELING THEORY

Yu. Melnikov

Abstract. The author marks out some key (by the opinion of the author) attributes of a visual model: comparativeness, subjectivity, agility of the specimen, agility of the object and etc. The author shows on the whole that the proposed visual interpretation of the model agrees with the interpretation of the concept of visual modeling proposed by E. Smirnov. The author demonstrates the advantages of the proposed reflection and interpretation of visual models in the process of learning mathematics.

Keywords: model, modeling, mathematics, visualization, visual models.

Большинство дидактических систем включает в себя принцип наглядности или его аналоги, впервые он был выдвинут, видимо, Я.А. Коменским. Психологи и методисты подробно рассматривали и рассматривают идею наглядности [1, 5, 9]. Принцип

наглядности в дидактике нередко трактуется как требование целесообразного привлечения органов чувств к восприятию и переработке учебного материала для повышения эффективности обучения. Принцип

наглядности выражает необходимость формирования у учащихся представлений и понятий на основе всех чувственных восприятий предметов и явлений. Однако ограниченность опоры только на чувства отмечал еще Г. Песталоцци, считавший, что органы чувств доставляют нам огромный объем информации, для восприятия которой необходимо ее структурирование,

упорядочение. Естественно, что принцип наглядности тесно связан с моделированием как важнейшим способом познания. Л.Я. Венгер [10] выдвинул и обосновал гипотезу о наглядном моделировании как основной форме опосредствования мыслительной деятельности ребенка-дошкольника.

Большое внимание наглядному

моделированию уделено в работах Е.И. Смирнова, его учеников и последователей. По их мнению, наглядно-модельное обучение включает в себя построение модели и

формирование результата внутренних

действий обучаемых в процессе учебной деятельности. Концепция наглядно-

модельного обучения как педагогический процесс формирования новых знаний состоит из следующих компонентов [с. 234,

ShadrikovPodgotUchMat2002]: 1)

целеполагание (теоретический, практический, методический модуль); 2) представление модели (в том числе процесса); 3) оперирование знаково-символическими

средствами (материальными, перцептивными, идеальными); 4) знаково-символическая деятельность и управление; 5) обеспечение устойчивости перцептивного образа и представления; 6) контроль адекватности априорной модели результату внутренних действий обучаемого.

В теории моделирования, основанной на формально-конструктивном определении, адекватность модели определяется как результат сравнения образа с некоторой эталонной моделью [4], вообще говоря, отличной от прототипа, см. рис. 1. При этом конкретный способ оценивания адекватности определяется с помощью характеристики адекватности, т.е. функций от двух аргументов (оцениваемая модель, эталонная модель), см. рис. 2.

С позиций теории моделирования [3] можно выделить несколько ключевых особенностей понятия «наглядная модель».

1

Рисунок 1. - Иллюстрация к понятию адекватности модели

Рисунок 2. - Иллюстрация к понятию «характеристика адекватности модели»

Сравнительность. Утверждение о том, что данная модель является наглядной, определяется только в результате сравнения данной модели с другими моделями. Например, это может быть утверждение о том, что модель A является более наглядной, чем модель B. Даже в случае, когда по некоторым признакам выделяется класс наглядных моделей, отнесение модели к этому классу осуществляется путем сравнения этой модели с некоторым «образцом». Таким образом, оценку наглядности модели можно рассматривать как частный случай оценки адекватности.

Полиадность. В случае, когда характеристику наглядности можно рассматривать как внутреннюю

характеристику адекватности [4], т.е. когда эталонная модель относится к тому же классу, что и оцениваемая модель, повышение адекватности может осуществляться с помощью изменения, корректировки

оцениваемой модели. Если же характеристика наглядности не является внутренней, т.е. когда сравнение осуществляется с моделью из

другого класса моделей, повышение наглядности может осуществляться как за счет изменения исходной модели, так и за счет перехода к моделям из другого класса. Но и в последнем случае требуется, чтобы модели рассматриваемого объекта были представимы друг в друге, т.е. эти модели должны отражать одни и те же особенности моделируемого объекта.

Например, нельзя сравнивать наглядность моделей, построенных по геометрическому чертежу, если первая из них отражает точность соблюдения условий задачи (длин отрезков, величин углов, заданных в тексте задачи), а вторая - лёгкость визуального восприятия элементов чертежа (достаточно большой размер фигур, подчёркнутое различие отрезков, длины которых должны быть разными, выделение с помощью цвета или толщины линий, заполнения внутренности фигур цветом и др.). Таким образом, сравнение по уровню наглядности возможно, в основном, для моделей, описывающих одни и те же свойства прототипа. В этом случае обычно между образами устанавливаются

2

непосредственные связи, т.е. формируется интерфейс, обеспечивающий обмен информацией между ними, см. рис. 3.

В случае, когда передача информации между ними является достаточно адекватной, эту систему образов мы называем моделью-

полиадой, в частности, на рис. 3 изображена модель-триада. Например, векторная алгебра представляет собой модель-триаду с компонентами в виде векторногеометрической, векторно-символической и координатной моделями, см. рис. 4.

Рисунок 3. - К понятию «модель-полиада»

В рамках векторно-геометрической модели мы оперируем с точками и направленными отрезками, в векторно-символической модели рассматриваются такие формулы, как

2а — AB A b . В качестве другого примера модели-полиады можно привести алгебру комплексных чисел, которую можно рассматривать, например, как модель-квадриаду с компонентами: 1) алгебра

многочленов степени не выше 1 от переменной i (в радиоэлектронике и электротехнике обычно вместо i используют j с дополнительным отношением i2 = — 1; 2)

алгебра упорядоченных пар с умножением (а, b\c,d) = (ас — bd, ad + bc); 3)

комплексная плоскость; 4) алгебра матриц

^ а b >

вида V— b a j . Теорема об изоморфности

алгебры линейных операторов

конечномерного пространства и

соответствующей алгебры матриц позволяет рассматривать алгебру линейных операторов как модель-диаду.

Теория бинарных отношений представлена [2] в виде модели-квадриады, составляющими которой являются: 1) раздел теории множеств, в котором бинарное отношение рассматривается как подмножество декартова квадрата некоторого множества; 2) предикаты-высказывания (рассматриваются классы логически эквивалентных высказываний о парах переменных объектов); 3) предикаты-функции (рассматриваются функции, парам

3

объектов ставящие в соответствие логическое значение, например, в зависимости от истинности или ложности соответствующего предиката-высказывания); 4) ориентированные графы (точнее, их графическая интерпретация в виде точек плоскости и дуг со «стрелочкой на конце»).

Линейное пространство целесообразно представить моделью-полиадой из различных моделей линейного пространства

(пространство многочленов, матричные пространства, пространства некоторых функций и др.), причем арифметическое пространство рассматривается как

приоритетное из них, на этой основе изложение линейных операторов основано на представлении оператора конечномерного линейного пространства в виде модели-полиады, составляющими которой являются алгебра линейных функций и алгебра матриц (интерфейсный компонент представлен в доказательстве теоремы об изоморфности алгебры операторов и алгебры матриц).

Субъективность. Для рассмотренных в предыдущем пункте векторно-геометрической, векторно-символической и координатной примеров векторной алгебры уровень наглядности каждой из моделей зависит от уровня владения каждой из моделей конкретным субъектом деятельности. Таким образом, результат сравнения моделей по уровню наглядности во многом зависит от особенностей конкретного субъекта деятельности.

Динамичность субъекта. В процессе

деятельности нередко происходит изменение субъекта деятельности, причём в учебной деятельности изменение субъекта

(обучаемого) является приоритетной целью. Вследствие субъективности понятия

«наглядная модель» это может привести к перестройке иерархии наглядных моделей. Поэтому могут получаться существенно

различные результаты сравнения по наглядности. Например, студенту,

недостаточно владеющему аппаратом

«школьной» геометрии, но имеющему необходимые навыки выполнения

алгебраических преобразований, векторносимволическая и координатная модели могут представляться более наглядной моделью, чем векторно-геометрическая модель, хотя представление объекта в виде рисунка обычно считается более наглядным. Но если в

результате обучения студент освоит векторную алгебру, ситуация может измениться. Таким образом, оценки уровня

наглядности и результаты сравнения по наглядности зависят от характера и темпов развития субъекта деятельности, в особенности учебной деятельности.

Динамичность объекта. Традиционно в процессе моделирования выделяют три составляющие: создание модели, исследование модели «внутримодельными» средствами, интерпретация результатов исследования. Отражением наглядности модели в первом и последнем компонентах является простота построения или восприятия модели и простота интерпретации результатов (в различных трактовках термина «простота»). Процесс восприятия модели можно трактовать как её обогащение: установление новых связей

между прототипом и его образом (обогащение интерфейсного компонента), выделение новых элементов, характеристик и отношений (обогащение модельно-содержательного

компонента). Исследование модели также естественно трактовать как применение типовых преобразований модели: обогащения и редуцирования, композиции, развёртывания, свёртывания и др. Таким образом, наглядность модели отражается в характере преобразований этой модели, особенностях применения к ней типовых преобразований -«операций алгебры моделей» [3].

Ресурсоориентированность. Интуитивно ясно, что более наглядная модель требует меньше времени и сил для ее восприятия и преобразования. Например, общеизвестно, что во многих случаях геометрический метод решения задач «с параметрами» намного проще и легче решения алгебраическим методом. Время и усилия, затрачиваемые на преобразование модели, можно трактовать как частные виды ресурса. Поэтому измерение уровня наглядности и сравнение моделей по наглядности естественно осуществлять с помощью оценок объема ресурсов, требуемых для создания или восприятия этой модели и ее преобразования к требуемому виду.

Полизначность. Результат сравнения по наглядности и оценка уровня наглядности зависит от того, какие именно характеристики наглядности и критерии наглядности используются. Например, для векторногеометрической модели векторной алгебры (см. рис. 4) результат суммирования может быть (по крайней мере, приблизительно) предсказан в течение секунд. Это позволяет почти мгновенно определить, допустим, будет ли модуль суммы векторов достаточно большим или небольшим. Для координатной и векторно-символической моделей (кратко

4

представленных выше) это потребует обязательных вычислений. Таким образом, при таком оценивании расхода временного ресурса векторно-геометрическая модель оказывается более наглядной. Но в случае, если необходимо оформить результат, то аккуратное и корректное выполнение чертежей потребует значительно большего времени, она займет больше места, чем запись соответствующих выкладок в рамках координатной и векторно-символической моделей. Кроме того, уровень общности у векторно-символической и координатной моделей во многом выше, чем у векторногеометрической, например, введение параметров в рамках векторно-геометрической модели может быть затруднительным. Таким образом, в последнем случае расход временного ресурса для векторногеометрической модели больше, с этой точки зрения ее можно считать менее наглядной, поскольку, например, для анализа общности результата при использовании векторно-

геометрической модели, возможно, придётся выполнить несколько чертежей.

Следовательно, оценки уровня наглядности может осуществляться с помощью разных характеристик наглядности и разных критериев наглядности, см. рис. 1.

В качестве иллюстрации рассмотрим решение следующего примера.

Пример 1. Тангенс угла между векторами

а и С равен 1/4, а между b и С равен 2/3,

причём векто

\а\ = 41,

э а находится между b и С

= Vl3 , |c| = 5 . Найдите

b

разложение вектора c по а и b , если эти три вектора, будучи отложенными от одной точки, образуют направленные отрезки, лежащие в одной плоскости.

Решение этой задачи в терминах векторносимволической модели можно представить

следующими выкладками: [с, а )= р(а, а ) +

\с, b )= р(а, b )+

р(а, а) + q(b, а) откуда ^ х У V У J

, b )= р\а, b )+ q\b, b )

С = ра + qb,

41 • 5 •

<

41 • 5 •

= 17 р + q •41 -4\3 •

1 +

1 2 4 3

1 +

2

, (1 ^ 1 ( 2 ^

1 + 1 — 1 Л 1 + 1 - 1

1 { 4 ) \ 1 3 )

1 +

1 2 4 3

1 (2 ^2 ‘ ' ' 1 (1 Y

1 + 1 — 1 1 1 + 1 — I Л

13 ) ] 14 ) ]

+ q 43.

1 + 1

1

2

1

4

1

2

2

3

20 = 17 р +14 • q, 15 = 14 р + 13q.

Р = 2

q = -1,

откуда С = 2а — b .

Решение в терминах векторно-геометрической модели проиллюстрировано на рис. 5.

Рисунок 5. - Пример разложения в линейную комбинацию векторов геометрическим методом, см. пример 1.

Решение в терминах векторносимволической модели является рутинным, требует в основном хорошего владения тригонометрией и дает точный результат. Решение на языке векторно-геометрической модели требует умения точно выполнить чертеж и аккуратно провести построения, причем ответ получается, вообще говоря,

приближённым. Таким образом, для субъекта, владеющего тригонометрией, в рамках рассматриваемых преобразований (с целью получить коэффициенты в разложении) векторно-символическую модель можно считать более наглядной, чем векторногеометрическую.

5

Для построения определения наглядной модели применим стратегию перехода от одной модели к системе моделей: модели преобразования моделей, характеристики наглядности.

Модель назовем субъективно-наглядной для субъекта S относительно набора преобразований Ф и ресурса П, если субъект S способен, во-первых, выполнять любое преобразование ^еФ этой модели с допустимым расходом ресурса (под расходом ресурса может пониматься, например, время, требуемое для выполнения преобразования, объём необходимых выкладок и др.) П; во-вторых, с достаточным уровнем достоверности оценить адекватность модели, полученной в результате преобразования ф.

В случае, когда:

- либо набор преобразований П включается в систему типовых «операций алгебры моделей» и в качестве ресурса П выступает время выполнения преобразования ф;

- либо в случае, когда Ф и П ясны из контекста;

- либо Ф и П зафиксированы заранее, мы будем говорить о субъективно-наглядной модели, без явного описания набора преобразований Ф и ресурса П.

Оценим адекватность нашего определения наглядной модели, выбирая в качестве эталонной модели трактовку наглядного моделирования, предложенную Е.И. Смирновым, который определяет наглядное моделирование следующим образом [ShadrikovPodgotUchMat 2002, с. 230], [5, с. 103]: «Наглядное моделирование - это

формирование адекватного категории диагностично поставленной цели, устойчивого результата внутренних действий обучаемого в процессе моделирования существенных свойств, отношений, связей и взаимодействий при непосредственном восприятии приемов знаково-символической деятельности с отдельными знаниями или упорядоченными наборами знаний». Понятие «устойчивого результата внутренних действий обучаемого» означает, что деятельность обучаемого отвечает заранее предъявленным требованиям, что можно трактовать как достижение достаточного уровня адекватности

субъективной модели обучаемого

относительно некоторой эталонной модели (например, представленной требованиями «должен знать...», «должен уметь...», «должен

владеть...»). Диагностичность поставленной цели означает, что имеется конструктивный способ оценить адекватность рассматриваемых выше моделей, в том числе субъективных. Непосредственность восприятия приемов деятельности можно трактовать как минимизацию ресурса, измеряемого количеством промежуточных звеньев восприятия, с помощью которых осуществляется переход от исходной модели к итоговой модели. Например, если в качестве локальной цели обучения рассматривается формирование компетенций, обеспечивающих обработку информации в векторной алгебре геометрическими средствами, то

диагностичность постановки может состоять, например, в требовании определить знак коэффициента в разложении вектора c по рис. 5а без привлечения другой информации из условия примера 1. Здесь непосредственность восприятия состоит в получении ответа с использованием только геометрических моделей, представленных на рис. 5б, 5в, т.е. переход к знаково-символической модели векторной алгебры осуществляется только на финальном этапе, этапе интерпретации рис. 5в. Устойчивость результата внутренних действий состоит в том, что, во-первых, полученные компетенции не утрачиваются на протяжении заранее оговоренного промежутка времени, во-вторых, обучаемый способен применить эти компетенции для решения достаточно широкого класса задач.

Таким образом, наше определение субъективно-наглядной модели хорошо согласуется с определением наглядного моделирования, предложенным Е.И. Смирновым. Нетрудно проверить, что это определение согласуется также с компонентами концепции наглядного моделирования [5, с. 102 - 122].

Наша трактовка понятия наглядности модели стимулирует обучение математике, основанное на многоплановом, комплексном восприятии математических объектов и результатов. Например, изложение векторной алгебры и аналитической геометрии основано на их представлении в виде описанной выше модели-триады, это идея в индивидуальных (именных для студента) домашних заданиях, выдаваемых в Уральском государственном экономическом университете, в частности, отражена идея улучшения наглядности моделей за счет усвоения интерфейса между компонентами модели-полиады, см. рис. 6.

6

Рисунок 6. - Пример теста из индивидуального домашнего задания, ориентированного на улучшение наглядности модели за счет усвоения интерфейса между компонентами модели-полиады

Предложенная нами трактовка понятия наглядности модели позволяет выделить направления улучшения наглядности моделей: 1) повышение уровня владения аппаратом конкретной модели, что позволяет уменьшить расход ресурсов на обработку информации в рамках данной модели; 2) улучшение использования интерфейса между

компонентами модели-полиады для снижения расхода ресурсов при переводе информации между различными составляющими модели-полиады; 3) усвоение особенностей и возможностей каждой из изучаемых теорий и других моделей, что позволит оптимизировать обработку информации за счет перехода к

наиболее эффективной модели; 4) обучение применению типовых стратегий

математической деятельности [6, 7, 8].

Кроме того, наша интерпретация наглядности модели позволяет создать системы конструктивных критериев для сравнения моделей (в частности, методов и алгоритмов) по уровню наглядности и даже сформировать различные шкалы наглядности в соответствии выбранными критериями. Более того, наше определение позволяет оценить как объективный, так и субъективный уровни наглядности с соответствии с выбранными критериями.

Литература:

1. Занков Л.В. Наглядность обучения // Педагогическая энциклопедия в 4-х томах. Т. 3 / Главный редактор И.А. Каиров. - М.: Советская энциклопедия, 1966. (В сокращении).

2. Мельников Ю.Б. Алгебра и теория чисел.

Изд-е 4-е, испр. и доп. [Электронный ресурс] / Ю.Б. Мельников / Издательство УрГЭУ, Екатеринбург, 2010, 70 уч.-изд.л. Режим доступа:

http://lib.usue.rU/resource/free/12/MelnikovAlgebra4/i ndex.html

3. Мельников Ю.Б. Математическое

моделирование: структура, алгебра моделей,

обучение построению математических моделей: Монография [Текст] / Ю.Б.

Мельников. - Екатеринбург: Уральское

издательство, 2004. - 384 с.

4. Мельников Ю.Б. Об определении и оценке адекватности модели / Ю.Б. Мельников, Г.В. Ваганова, Е.П. Матвеева // Образование и наука. -2007. - № 10. - С. 3-11.

5. Наглядное моделирование в обучении математике: теория и практика: Учебное пособие / Под ред. Е.И. Смирнова. - Ярославль, 2010. - 498 с.

6. Мельников Ю.Б. Алгебраический подход к математическому моделированию и обучению математической и «предматематической» деятельности / Ю.Б. Мельников, К.С. Поторочина / Ярославский педагогический вестник. - 2010. - №

7

3: Физико-математические и естественные науки. -

С. 19-24.

7. Мельников Ю.Б. Алгебраический подход к стратегиям проектной деятельности / Ю.Б. Мельников, И.В. Хрипунов, В.С. Чоповда / Известия УрГЭУ, 2014. - № 2(53). - С. 115-123.

8. Мельников Ю.Б. Математический анализ: учебное пособие для студентов экономических и инженерно-технических направлений вузов [Электронный ресурс] / Ю.Б. Мельников / Министерство образования и науки Российской Федерации, Уральский государственный

экономический университет. - Электронные текстовые данные (1 файл). - Екатеринбург, 2015, уч.-изд.л. 26,6. Режим доступа:

http ://lib.usue.ru/resource/free/15/MelnikovAlgebra6/i ndex.html

9. Мордкович А.Г. Новая концепция школьного курса алгебры / А.Г. Мордкович / Математика в школе. - 1996. - № 6. - С. 28-33.

10. Развитие познавательных способностей в процессе дошкольного воспитания / Под ред. Л.А. Венгера / М.: Педагогика, 1986. - 320 с.

Сведения об авторе:

Мельников Юрий Борисович (г. Екатеринбург, Россия), кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра прикладной математики, Уральский государственный экономический университет, е-mail: UriiMelnikov58@gmail.com

Data about the author:

Yu. Melnikov (Yekaterinburg, Russia), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor at the Department of Applied Mathematics of Ural State University of Economics, е-mail: UriiMelnikov58@gmail .com

8