CC BY
16
результати тестування роботи основних складових шдсистеми, що шдтвер-джуе коректнiсть та правильшсть роботи пiдсистеми.
Лiтература
1. [Електрон. ресурс]. - Доступний з: http://sourceforge.net/softwaremap/trove_list.php? form_cat=621.
2. Lukasiewicz, Jan (1957). Aristotle's Syllogistic from the Standpoint of Modern Formal Logic: Oxford University Press.
3. Курейчик В.В., Нужнов Е.В. Возможности организации интегрированной инструментальной среды поддержки процедур генетического поиска и оптимизации решений // Новости искусственного интеллекта, 2003. - № 5. - 236 с.
4. Michalewicz, Zbigniew. Genetic algorithms + data structures = evolution programs. - 3rd rev. and extended ad, Springer - Verlag Berlin Heidelberg New York, 1996. - P. 141-149.
УДК 681.3+519.6 Доц. О.А. Пастух, канд. техн. наук -
Свропейський утверситет, ТернопЫьська фЫЫ
МАТЕМАТИЧНИЙ ФОРМАЛ1ЗМ ФУНКЦ1ОНУВАННЯ КВАНТОВОГО ПРОЦЕСОРА
Розглянуто математичний формалiзм функцюнування квантового процесора, охоплюе математичний опис сташв квантових бтв регистра квантового процесора у виглядi комплексного векторного простору хвильових функцш. Наведено математичний опис квантово'1 статистично'1 модел^ яка штегруе у œ6i основш стадп (запис, об-числення, вивщ) роботи квантового процесора i показано неспроможшсть викорис-тання класично'1 статистично'1 моделi для цих потреб. Математичний опис однокуб^-них, двокубггного та багатокубiтних лопчних елементiв (унiтарних операторiв).
Assoc. prof. O.A. Pastukh - European university, Ternopol department Mathematical formalism of functioning quantum processor
Mathematical formalism of functioning quantum processor has been analyzed. It include mathematical description of states of quantum bits of register of quantum processor as of complex vector space of wave functions. Mathematical description of quantum statistical model if integrate bases phases (enter, computation, output) of operation quantum processor and show impossibility of classical statistical model for needs. Mathematical description of logical gates for one quantum bit, two quantum bit and many quantum bits (unitary operators).
Вступ. Все бшьше науковщв, як працюють у сфер1 шформацшних технологш, у сво1х роботах проявляють штерес до квантових шформацшних технологш, зокрема до \х основного обчислювального елемента - квантового процесора. Це зумовлено тим, що квантовий процесор мае ефект квантового паралел1зму та квантово1 штерференци, яю розширюють його обчислювальш можливост пор1вняно з класичним процесором. Основою роботи квантового процесора, кр1м ф1зично1 реашзаци, е математичне забезпечення - математичний формашзм його функцюнування.
Аналiз дослiджень i публiкацiй. Математичний апарат, який викорис-товуеться для математично1 формал1заци функцюнування квантового процесора використовуе надбання квантово1 теори, теори алгоритм1в та ш. i висвгг-лений у багатьох роботах, як шоземних [1, 2], так i украшських [3, 4] вчених.
Постановка завдання. З великого об'ему надбань математичного апа-рату квантово! теори, теори алгоритмiв та ш. висвiтлити основи математичного формашзму функцiонування квантового процесора.
Основна частина. Квантовий процесор (q -процесор) - це пристрш, який виконуе квантовi лопчш операци (унiтарнi перетворення), що не руйну-ють квантово! суперпозици протягом квантових обчислень. Схематично q -процесор можна зобразити, як показано на рис. 1, а його роботу представити у виглядi послщовност трьох стадш: ''запис'' (початковий стан - initialization), ''обчислення'' (уштарш перетворення початкового стану), мвивiдм (вимь рювання, проектування кiнцевого стану).
Вв1д даних ПОСЛ1ДОВН1СТБ уштарних перетворень Вивщ даних
> к t \ > ^
Класичний Kepi вний комп'ютер
Рис. 1. Схематичне зображення квантового процесора
1. Математичний опис сташв квантових бтв репстра квантового процесора. Квантовий процесор оперуе квантовими бггами (q -бiтами, кубь тами - quantum bits) даних - станами квантово! системи з двома квантовими рiвнями, як сукупно утворюють нормований ортогональний базис {|0, }.
Основною вщмшшстю квантового бгга е його здатнiсть утворювати когерентну суперпозищю базисних квантових станiв, яка математично фор-малiзуеться у виглядi вектора стану - хвильово! функци
де комплекснi числа а та в задовольняють умовi нормування
н2+И2=1,
де |а|2 - ймовiрнiсть появи базисного стану |0, а |в|2 - ймовiрнiсть появи базисного стану . Тобто, q -бгг перебувае одночасно у базисних станах та
1- . . . . Вимiрювання квантового стану кубiта полягае в обчисленш коефь
цiентiв розкладу, тобто, у проектуванш вектора стану на базисш орти - век-тори базисних сташв:
а = {0|¥), в = (1\¥).
Загалом квантовий стан кубгга геометрично можна зобразити стрш-кою на сферi Блоха, як наведено на рис. 2.
0 2
Рис. 2. Довльний квантовий стан |у/} = а\0 + /3\ 1 кубта на сферiБлоха
Для реаизаци багатокуб^ного (повномасштабного) квантового проце-сора (регiстра квантового процесора) використовуеться сiмейство q -бтв. Ре-ricTp квантового процесора принципово вiдрiзняеться вiд регiстра класичного процесора. Розмiр простору станiв сукупностi класичних бiтiв регiстра класичного процесора лшшно зростае за збiльшення кшькосп бiтiв
dim(Xi х X2 х X3 х ... х Xl) = dim(Xx) + dim(X2) + dim(X3)+ ... + dim(XL),
де Xi, X2, X3, ..., XL - стани вiдповiдно першого, другого, третього,..., L -го класичних бтв, х - декартовий добуток.
Розмiр простору сташв сукупностi квантових бiтiв репстра квантового процесора експоненцiйно зростае i3 збiльшенням кiлькостi q -бiт
dim(Hi ® H2 ® H3 ® ... ® Hl) = dim(Hi)• dim(H2)■ dim(H3)• ... • dim(Hl),
де Hi, H2, H3, ..., HL - стани вiдповiдно першого, другого, третього,..., L -го квантових бтв, ® - тензорний добуток.
Тобто, довiльний квантовий стан квантового репстра, що складаеться i3 L q -бiтова на вщмшу вiд класичного регiстра з аналопчним числом класичних бiтiв, може перебувати у будь-якш когерентнiй суперпозици iз 2L бу-левими станами i математично описуеться вектором стану в 2L -вимiрному комплексному гшьбертовому просторi.
1стотною властивiстю репстра квантового процесора протягом вико-нання над ним уштарних перетворень (квантових обчислень) е когерентна ш-терференщя мiж суперпозицiями, що являе собою квантовий паралелiзм. Са-ме квантовий паралелiзм е головною вiдмiннiстю та перевагою квантових обчислень над класичними обчисленнями.
Якщо розглянути двокубггний регiстр, то базиснi орти матимуть вигляд:
|00), |01), |10, |11),
а !х квантовий стан описуватиметься
|у) = (а|0)+в\1 )®(а|0) + ) = аа|оо)+авИ + Да|10>+Дв|п),
де добутки комплексних чисел а1а2, аф2, /3\а2, ДД2 задовольняють умову
нормування |аа|2 +|«1в2|2 + |Да|2 + |в1в2|2 = 1 й Ц^, |«1в2|2, |А«2|2, |в1в2|2 -вiдповiдно ймовiрностi базисних сташв |00), |01), |10, |11).
Слушно вщзначити, що двокубiтний регiстр квантового процесора мо-же перебувати у запутаних станах (entangled states), наприклад,
^ и+| ii), (01+| 10), (00-| ii), j.и-110)
це стосуеться i трикубiтного регiстра - запуташ стани, наприклад,
TJ (1000>+1111) ) (1001>+1110>
та загалом L куб^ного регiстра.
2. Неможливiсть використання класичноТ статистичноТ моделi для математичного опису стадп вимiрювання стану регiстра квантового процесора й можливкть використання квантовоТ статистичноТ моделi. Виз-начальною особливiстю квантового процесора е квантова випадкова природа вихщних даних, що е дiаметрально протилежним порiвняно з вихщними да-ними класичного процесора, як е детермiнованими; крiм цього, стохастичне функцюнування квантового процесора, зокрема, стадiя вимiрювання - проек-тування кшцевого стану, не може бути математично формашзована у виглядi класично! статистично! моделi - аксюматично! теорй:
Аксiома 1. Кожнiй випадковiй поди A (що е пiдмножиною простору елементарних випадкових подш Q) поставлено у вщповщтсть невiд'емне число prob (A), що називаеться и ймовiрнiстю.
Аксiома 2. prob (^) = 1.
Аксiома 3. Якщо випадковi поди A1, A2, A3, ..., An е попарно несумю-ними ( Ai I Aj = 0, коли i Ф j, i, j = 1, n ), то
prob(A1UA2UA3U ... UAn) = prob(A1) + prob(A2) + prob(A3)+ ... + prob(Ann).
Причиною того, що стадiя приготування i вимiрювання не описуються класичною статистичною моделлю е те, що стан репстра квантового процесора не може бути представлений у виглядi розподшу ймовiрностей prob (do) на просторi елементарних випадкових подш Q.
Робота квантового процесора, зокрема стадiя вимiрювання, математично формашзуеться у виглядi квантово! статистично! моделi - теори ут-тарних операторiв у гiльбертовому просторь
Якщо регiстр квантового процесора мютить L q -бiтiв, то даш на його виходi можуть перебувати у довшьному квантовому станi
2L -1
, (1)
i=0
де ортонормованi базиснi стани мають вигляд |е0) = 100 ... 00, = 100 ... 01), |е2) = |00 ... 10, |е3) = |00 ... 11),..., |е2lч) = 111 ... 11); ai е C , i = 0, 2L -1,
2L -1 2 Z \а\ = 1.
i=0
Сукупшсть ¥ Bcix можливих квантових сташв (1) L q -бггового peric-тра квантового процесора е опуклим простором хвильових функцш (вектор-ним простором вeктоpiв cтанiв над полем комплексних чисел, у якому задано скалярний добуток вeктоpiв cтанiв).
Вимipювання даних репстра q -процесора - це афшне вiдобpажeння
¥ ^ { - алгебра, prob)):
де ¥ - випуклий комплексний гшьбертовий проспр вeктоpiв cтанiв peгicтpа квантового процесора над полем комплексних чисел;
{ (Q)), <у\)-алгебра, prob)): De¥j - множина ймовipнicних пpоcтоpiв кожен з яких вщповщае конкретному стану )) peгicтpа квантового процесора: Q)) - пpоcтip елементарних випадкових подiй, - алгебра - алгебра шдмножин Q|), prob) - ймовipнicна мipа, яка визначена на - алгебрь
3. Математичний опис стадп обчислення квантового процесора.
Як було зазначено вище квантова статистична модель е математичною фор-малiзацiею стади вимipювання даних peгicтpа q -процесора i лише опосеред-ковано торкаеться стади унiтаpних перетворень, тобто квантових обчислень, початкового стану репстра. Однак з алгоршшчно! точки зору, саме cтадiя уштарних перетворень квантового стану репстра q -процесора е найбiльш значимою. Для фоpмалiзацп стади унiтаpних перетворень над квантовим станом репстра q -процесора використовуються комплексний гшьбертовий прос^р H, якому належить cукупнicть ¥ = {)} вeктоpiв cтанiв (хвильових функцш) репстра квантового процесора, та сукупшсть U = {U} уштарних опepатоpiв, тобто таких опepатоpiв, що задовольняють умову
1)1 H=ll Ul)
H 2
Слушно вiдзначити, що сукупнiсть U = {U}, яка дiе у комплексному гшьбертовому просторi H утворюе некомутативну групу. Разом -¥ = : H} та U = {U} утворюють квантову мережу (quantum network),
в якш унiтарнi оператори U називаються квантовими лопчними елементами (КЛЕ - quantum gates). Уттарт перетворення (квантовi обчислення) над квантовим станом репстра квантового процесора представляють обертання вектора квантового стану у комплексному гшьбертовому просторь
3.1. Математичний опис однокубггних квантових лопчних еле-мен^в (однокубiтних унiтарних операторiв). До найпростших КЛЕ належать однокубiтнi КЛЕ, як аналогiчно багатокубiтним КЛЕ, математично формалiзуються у виглядi матриць, а !х дiя на квантовий стан регiстра квантового процесора графiчно видаеться квантовою мережею. Серед однокубггних КЛЕ використовують: • однокуб1тний уттарний оператор Адамара (Hadamard)
1л
-72
vi -1у
дiя якого на один квантовий бгг зображуеться квантовою мережею (рис. 3)
н Н х
Рис. 3. Вигляд квантово'1 мережi, що зображуе дЮ оператора Адамара Н та анаштично видаеться у виглядi
10 ^ (0+11), 11 ^ (0-11);
однокуб1тний уштарний оператор зм1ни фази
ФМ =
1
О
0 exp (ip)
дiя якого на один квантовий бiт зображаеться квантовою мережею (рис. 4)
Рис. 4. Вигляд квантовоХмережi, що зображуе дЮ оператора змти фази Ф(р) та анаштично видаеться у виглядi
|0 ^ |0, |1 ^ exp(iq>)\ 1; • однокуб1тний уштарний оператор (beam-splitter)
1
В =
V2
i1
V1 О
дiя якого на один квантовий бгг зображуеться квантовою мережею (рис. 5)
В В\х)
Рис. 5. Вигляд квантовоХ мережц що зображуе дЮ оператора (beam-splitter) В
та анаштично видаеться у виглядi
10 ^ ('10+11) ^ (0+'11).
Пари операторiв (Н, Ф(р)) та (В, Ф(р)) утворюють повнi зв'язки, тоб-
то з них можна отримати довшьт однокуб^ш КЛЕ.
3.2. Математичний опис двокубггного та багатокубiтних квантових логiчних елеменлв. Реалiзацiя довшьно! булево! операцн за допомогою лише сiмейства U = {U} унiтарних однокубiтних операторiв не можлива. Потрiбно
використовувати двокубiтний уштарний оператор контрольоване заперечення (XOR або CNOT - Controlled-NOT). Двокубiтний уштарний оператор контрольоване заперечення дiе в чотиривимiрному комплексному векторному просторi станiв двокубiтового регiстра квантового процесора з ортонормованим базисом 100, 101, 110, 111). Уштарний оператор контрольоване заперечення
XOR =
'1 0 0 0Л 0 10 0
0 0 0 0 0 1
дiя якого на двокубгговий квантовий pericTp зображаеться квантовою мережею, що наведена на рис. 6.
-* X
-ф-
-*■ X ^>2 У
Рис. 6. Вигляд квантовое мережц що зображае дЮ унтарного двокубШного оператора XOR; • — керуючий q -6im, 0 - керований q -6im
Та анал^ично у виглядi
|00) ^ |00>, |01) ^ |01>, |10) ^ |11), |11) ^ |10).
Двох однокубггних унiтарних onepaTopiB H i Ф(^), або В i Ф(^) та двокубiтного унiтaрного оператора XOR достатньо, щоб побудувати довшь-ний уттарний оператор, який дiе в 2L -вимiрному комплексному векторному просторi стaнiв L -кубiтового репстра квантового процесора з ортонормова-ним базисом |00...00), |00...01), |00...10), ..., |11...11).
Серед множини унiтaрних оперaторiв, якi дiють на L q -бтах регiстрa квантового процесора, найбшьшого застосування набули:
• квантовий уттарний оператор Уолша-Адамара W, який застосовуе квантовий уттарний оператор Адамара H до вс1х L q -бтв квантового репстра,
створюючи суперпозицш 2L чисел у дв1йковш систем1 числення вщ 0 до
2L -1, мае вигляд:
W|000 ... 0L) = (H1 0H2 0H3 0 ... 0HL) |000 ... 0L) =
= ((|0> +11 )®(|0> +11 )®(|0> +11 0(0)1)))|'| 4.
Його квантову мережу наведено на рис. 7.
Рис. 7. Вигляд квантово'1 мережц що зображае дю оператора W
• квантовий уттарний оператор Controlled-Controlled NOT, дш якого зобра-жено квантовою мережею, що наведена на рис. 8.
4. Об'еднання математичних опиав стадш запису та обчислення в едину математичну модель. Вище наведет математичт описи, що математич-но формал1зують роботу КЛЕ, разом i3 векторами статв репстра квантового процесора утворюють математичну модель стадiй "запису" та "обчислення" у вигляда
(¥, D, U,
де ¥ - випуклий комплексний гiльбертовий векторний прослр векторiв ста-нiв репстра квантового процесора над полем комплексних чисел, D = D f (t)) - динамiчна еволюцiя квантового стану репстра квантового
процесора, (наприклад, початковий стан - initial state), f(t)cU (впо-
рядкована пiдмножина КЛЕ, що належить унiтарному комплексному векторному простору U над полем комплексних чисел).
Рис. 8. Вигляд квантово'1 мережц що зображуе дЮ оператора Controlled-Controlled NOT
Висновки. Висвггаено основи математичного формалiзму функщону-вання квантового процесора, що становить основу розроблення нових сучас-них квантових шформацшних систем.
Лггература
1. Основы квантовых вычислений / Э. Стин // Квантовые компьютеры и квантовые вычисления. - 2001. - Т.2, № 1. - С. 3-24.
2. Валиев К.А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность / К. А. Валиев, А. А. Ко-кин. - Иркутск : Изд-во РХД, 2001. - 352 с.
3. Войтович 1.Д. Перспективи квантових обчислень з використанням надпровщносп/ 1.Д. Войтович, В.М. Корсунський // Математичш машини i системи. - 2008. - № 4. - С. 23-56.
4. Крохмальський Т. Квантовi комп'ютери: основи й алгоритми (короткий огляд) / Т. Крохмальський // Журнал фiзичних дослщжень. 1н-ут фiзики конденсованих систем НАН Украши. - 2004. - Т.8, № 1. - С. 1-15._
УДК 336.71 Астр. К. 0.Ыына1 - Львiвський НУ ш. 1вана Франка
КАТЕГОР1АЛЬНИЙ АПАРАТ 1ННОВАЦ1ЙНО1 ТЕОР11 ЯК ФУНДАМЕНТ ЗАПРОВАДЖЕННЯ 1ННОВАЦ1ЙНО-1НВЕСТИЦ1ЙНО1 МОДЕЛ1 РОЗВИТКУ В УКРА1НСЬКУ ЕКОНОМ1ЧНУ СИСТЕМУ
Систематизовано пiдходи в^чизняних i зарубiжних вчених до основних катего-рiй iнновацiйноi теорii. Запропоновано визначення понять "новащя", мiнновацiям, "шновацшний процес". Здiйснено подiл iнновацiйного процесу на структурш еле-менти. Пояснено суть структурних елементiв iнновацiйного процесу.
Ключов1 слова: новацiя, iнновацiя, шновацшний процес, дослщження, комер-цiалiзацiя
Post-graduate K.O. Il'ina - L'viv NU named after Ivan Franko
Category of innovative theory as foundation of introduction of innovative investment model of development in the Ukrainian economic system
The basic categories of innovative theory of Ukrainian and foreign scientists are systematized. Determination of concepts of innovation, innovation, innovative process is
1 Наук. кер1вник: проф. M.I. Крупка, д-р техн. наук - Льв1вський НУ 1м. 1вана Франка
