Математичне моделювання підвіски гусеничних транспортних засобів Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

5. ШФОРМАЦШЙИШ ТЕХНОЛОГИ

ГАЛУЗ1

УДК 629.1 Доц. Л.Д. Величко, канд. фн.-мат. наук; проф. Б.1. СокЫ,

д-р техн. наук; ад'юнктЮ.А. Чаган -Академш сухопутних вшськ м. гетьмана Петра Сагайдачного

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ П1ДВ1СКИ ГУСЕНИЧНИХ ТРАНСПОРТНИХ ЗАСОБ1В

У параметричшй формi побудовано математичну модель руху гусеничних транспортних засобiв з урахуванням профшю дороги, по якiй вони рухаються. Отри-мано спiввiдношення, яке визначае частоту власних нелiнiйних вертикальних коли-вань як функцiю вщ амплiтуди та основних параметрiв, яю описують пiдвiску.

Ключов1 слова: гусеничний транспортний засiб, система пiдресорювання, р1в-няння руху, амплiтуда коливань.

Актуальшсть дослiдження та опис основних результатов. Питания динамжи колюних транспортних засоб1в (КТЗ) висвгглено у иизцi праць, зок-рема [1-5]. Особливу увагу з погляду 1х комфортабельиостi у них придшено питанням вибору та конструювання пiдвiски. Показано, що забезпечити на-лежиi умови перевезень людей та вантажiв можна тiльки завдяки нелшшнш 11 характеристицi, тобто нелшшному зв'язку мiж вертикальним перемiщенням тдресорено! маси КТЗ та пружними характеристиками амортизаторiв [6-8]. До того ж на комфортабельшсть КТЗ впливають i шини, якi також мають не-лiнiйну пружну характеристику. Питання ж дослщження впливу характеристик шдвюки гусеничних транспортних засобiв (ГТЗ) у лiтературi не знайшли такого Грунтовного висвiтлення, як КТЗ. Водночас ГТЗ шд час 1х експлуата-ци працюють у набагато складнiших умовах (рухаються по переЫченш мю-цевост^ бездорiжжю та iн.). Тому до шдвюки ГТЗ ставлять набагато жорсткь шi вимоги: вона повинна забезпечити рух засобу як iз обмеженими верти-кальними, так i кутовими перемщеннями за значних дiй зовшшшх факторiв. Такi вимоги щодо експлуатаци ГТЗ може забезпечити пiдвiска, яка конструк-цiйно вiдрiзняеться вiд КТЗ. 11' пружнi характеристики, як показано в [8], по-виннi мати нелшшний зв'язок мiж перемiщенням i силою. Незважаючи на це, iснуючi аналiтичнi дослiдження динамiки ГТЗ проводили у бшьшост випад-кiв, на базi спрощених, лiнiйних моделей [9]. Останш (особливо для великих лшшних i кутових перемiщень) не завжди е адекватним вщображенням реального процесу i на 1'х базi не вдаеться пояснити низку явищ. Для часткового аналiзу 1'х у дослщженш на базi нелiнiйних моделей пружно! характеристики пiдвiски, яка враховуеться у динамiчних рiвняннях ГТЗ, зроблено спробу дослщити амплiтудно-частотну характеристику (АЧХ) власних вертикальних коливань. Отримаш результати слугуватимуть базою для подальших досль джень, зокрема поздовжньо-кутових коливань та руху ГТЗ по переЫченш мюцевость

Рiвняння руху. Для отримання piB^Hb руху ГТЗ моделюватимемо його у виглядi багатомасово! системи, яка рухаеться у вертикальны площинi (рис. 1).

Рис. 1. Моделювання руху ГТЗ його у виглядi багатомасово'1 системи, яка рухаеться у вертикальнш площиш

Корпус 1 ГТЗ здшснюе плоский рух, тому bíh мае три ступеш вшьнос-т i юнетичну енеpгiю його визначаемо вщповщно до формули

(1)

2 2

де: m1 - маса корпусу; Vq - швидюсть центра мас корпусу; /1 - момент шер-ци корпусу вщносно осi, котра проходить через центр мас корпусу перпендикулярно до площини Oxz; с - кутова швидюсть корпусу; точка O1 - центр мас корпусу. Швидюсть центру мас корпусу доpiвнюе Vq = xx1i + z1k, x1 i z1 -координати точки O1 вiдносно нерухомо! системи координат Oxz. Рухома система координат O1/h незмшно пов'язана Í3 корпусом. У початковий момент часу ос Ox, O1/ та Oz, O1h колiнеаpнi, тому кутова швидюсть корпусу доpiв-нюе с = ф1. Таким чином, юнетичну енеpгiю корпусу визначають залежнiстю

Т = m1(x1 + z12) + hp¡_ (2) 1 2 2 '

Повiдне колесо 2 здiйснюе плоский рух, тому його кiнетична енерпя доpiвнюе

T2 = m2 / 2(x12 + z^ + ($ (/2 + h|) + 2x1(p1^J/2 + h| sin ( + () -

1--, (3)

-2^1 (p1^j/| + h| cos ( + (2)) +12 / 2((&1 - x1 / R2)2

де: m2 - маса повщного колеса, /2 - момент шерци повiдного колеса вщнос-но ос обертання, /2 i h2 - координати центра мас колеса, точки O2, вiдносно рухомо! системи координат O1/h, R2 - pадiус повiдного колеса. Значення кута (2 визначають Í3 залежностей

-h2- —¡2 / Л\

sin (2 = , i cos(2 = i . (4)

Напрямне колесо 3 теж здшснюе плоский рух. Його кiнетична енерпя дорiвнюe

T3 = m(х,2 + z,2 + (( + h32) + 2x(((¡3 + h32 sin ((3 — (1) + + 22,(7¡32 + h3 cos /(3 — (i)) + f

Xi ^2 (5)

(—Ж

де: m3 - маса напрямного колеса, I3 - момент шерци колеса вiдносно осi обертання, ¡3 i h3 - координати центра мас напрямного колеса, точки O3, вщ-носно рухомо! системи координат O1¡h, R3 - радiус колеса. Значення кута (

—h3 ¡3

визначають i3 залежностей sin ( = —.-i cos (

Jif+h2 Jí+h2"

Котки 6-11 також перебувають у плоскому pyci. Кiнетичну енергiю i-го котка визначаемо згiдно з формулою

=ткк+w, (6)

г 2 2 W

де: mi - маса i - того котка; VOi - швидкiсть центра мас котка; - момент шерци котка вщносно його ос обертання; coi - кутова швидюсть котка. Бере-мо до уваги (рис. 2), що в довшьний момент часу коток через гусеничну стрiчку торкаеться поверхнi дороги. Профшь останньо! описують рiвнянням z(x) = f (x). Координата центра мас котка вщносно осi Ox дорiвнюе xi = x1 + lj cos^i. Тут li - координата центра мас котка вщносно рухомо! системи координат Olh.

Рис. 2. Геометрiя руху котка Координати дотику котка та дороги (x*; z*) визначають i3 рiвнянь

( — xi — ¡t cos (1 )2 )l + (f ( )) = R2 (/ (x* ))2 . (7)

* X* — Xi — ¡i cos( zi = ДО +-77T-. (8)

/СО

Швидюсть центра мас котка VOi напрямлена паралельно до дотично!, проведено! до поверхш дороги в точцi миттевого центра швидкостей котка. Вважаемо, що горизонтальний складник швидкостi котка дорiвнюе горизонтальному складниковi швидкостi центра мас корпуса, тобто VOlX = х1, а значить — = tga . Таким чином ¿' = х1 /'(х*). Наведет мiркування дають змогу Х1 4 1

визначити швидкiсть центра мас та кутову швидкiсть котка VOl = хи/1 + (/' (х*)) о =—+ (/' (х*)) . Отже, кiнетична енергiя ьго котка

дорiвнюе

Т =

Ш'Я2 +1

2Л

2 х1

1 +

( '(х' ))2

(9)

Так само визначаемо кiнетичну енергiю гусенично! с^чки. Розбивши И на чотири частини, отримаемо

Т51

2х1 ~ЛСV

+—(2х1) +т «2—

2

2х1

V ВС у

(10)

де: I1Су, 1шСу, Щ1 - моменти шерци вщповщних частин стрiчки вщносно миттевих центрiв швидкостей та маса частини гусенищ.

Отже, сумарна кшетична енергiя мехашчно! системи дорiвнюе

Т

щ_ + т2 + тз + _12_ + тД} + I

2 2 2 2Я_ 2Л2 '=6 2Я_ V

! АП2 2 1 + 0082

Ь2

2пх Ь

*л

+

+

+ 2тп +

лс2 вс2 у

,2 (т Ш2 тз л х12 +--1---1---+

V 2 2 2 у

2 + т (( + *) +12 + (( + Аз2)+13 + ±

¿2 +

(&12 +

(11)

к+т((2 + А2(/32 + А32+ ^ V 2 2у2 4 2 2 уз 3/ 2 2 у

12

12 , тз

1з , I п

$ +

(m2^¡l_'+h_ зш ( + р)- + тзТ/з2^/«2 §т (( )- -з--(m2^//_+h_ 008 ( + 92)- m^V/32+h_ 008 (( ¿1(&

Для знаходження узагальнених сил, як вiдповiдають прийнятим уза-гальненим координатам х1, ¿ъщ_, вiдповiдно до визначення [15], маемо:

е.

ал = мкр

х1

-£ ( + Р + Л (¿1)) '(х*)

ах1 Л2 1=6 а'л и

— = -Р1 - Р - Рз - Ри - Е (' + Л' (¿1)) - Р/ 8Ш - ^ 8Ш (Рг. d¿l '=6

(12) (1з)

ал

11

I

I=6

QрK = — = Р>/2 - Р3/3+ Я (¿г)) + Ъ (( + Я2 )п(/ - ^ ( + Яз ) (г , (14)

де: Р = шг£, Ц - пружна сила, яка дiе на корпус з боку /-го торсюна, Я (¿г) -

сила опору /-го демпфера. У випадку статично! рiвноваги мехашчно! системи виконуеться спiввiдношення

11

-Л - Р2 - Р3 - Р// - I Ъ - Р/^еш Sin (р/еш - Ргст (ргст = 0 .

(15)

г =6

Таким чином, рiвняння для визначення величин статично! деформаци кожно! пружини набувае вигляду

11

I с (Адефор ) 8г =Р1 + Р2 + Рз + Р11 + Ъст sin (т + ¥Гст sin

ргст .

(16)

г =6

Останне дае узагальнену силу, яка вiдповiдае координат ¿1, представити

Q¿1 = -I (сг (■Адефор ) ((г +(¿1 - ¿г0 ) - ¿*) + Я (¿г )) - ^ sin ( - ^ sin (г . (17)

г =6

1з урахуванням отриманого, на базi рiвнянь Лагранжа II роду отри-муемо диференцiальнi рiвняння руху запропоновано! моделi ГТЗ у виглядi

12 1з 4/7 41 ш 11 тЯ + / т1 + т2 + тз + 4тИ + — + — +-- +-^ +1-2—

Я2 Яз ЛС)2 5С)2 г =6 Яг

! 2 1 + -0-г- С(02

+

т2

+

I2

/2 13

2пх Ь

*\

х1 +

/у

Ф^+Иsin(р + () + тзу]/32 + Из2 sin(-()--—з-

Я2 Яз^

(1 +

(т2^1 /2 + И22 cos((1 +(2)-тзу!/32 + И32 cos(-( ))(2 + (18)

Д тЯЯ + / 2Иоп 2пх*

+1-2---cos-

2

г=6 Яг

Ь

Ь

11

^ тЯ2 + /И)П 2пх' -I-2—Х12-cos-

г =6 Яг Ь Ь

2И)П . 2пх --^—Sin

/ 2И0ж1 . 2пх ^ ах" —2 sin-

I2 I

V ь ь у

*\

а/

Ь

ах* Ми„ Д

-К^^ + Р + Я (¿г)) (х*)

ах1 Я2 г =6

(т1 + т2 + т3) -(m2^/l-+~й- cos(( + (2)-m3ф-+~h3-cos((-())(( + + (Ш2У] 12 + И22 sin((1 + (2) + тзу!/з2 + И32 sin((>3 -(1))(2 =

= -I (с (Адефор )((/,- +(¿1 - ¿г0 ) - ¿*) + Я (¿,"))-Я Sin ( - ^ Sin (г .

г =6

(/1 + /2 + /3 + /// + т2 (/2 + И|) + тз (/з2 + Из2))(( +

(19)

+

т2

/2 /з

Ф2 + И22 sin((1 + (2) + тзу!/з2 + Из2 sin((з-(1)--

х -

Я2 Яз

-(Ш2л]/22 + И22 cos((1 +(2)-тз^Ц + Из2 cos((>з-(1))¿1 = = Р/ - Рз/з - I (Ц + Я (¿г))) + (-/2 + Я2) sin (/ - ¥г (/з + Яз) sin (г

(20)

Вертикальш коливання корпусу ГТЗ. Розглянемо окремий випадок сис-теми диференщальних рiвнянь (18-20), який вщповщае власним вертикальним коливанням корпусу без урахування сили опору демпферiв (до = 0, x1 = const, R« (¿j) = 0). У цьому випадку рiвняння руху запишемо у виглядi

U i W

( + Ш2 + тз ) = -Z(c« (Адефор )( - ¿0)) . (21)

i=6 г

Беремо до уваги, що у вказаному випадку z«0 = ¿0 = ¿ст рiвняння (21) вщносно системи вдашу, початок котро! зб^аеться iз положенням статично! рiвноваги, набувае вигляду

z + c (¿) z = 0, (22)

1 11

де c(z) =-Е c«(z)• Отримати аналiтичний розв'язок рiвняння (22)

m1 + m2 + m3«=6

для загального випадку вщновлювально! сили проблемно. Найбiльш щкавим, одночасно i важливим iз практичного погляду, е випадок, для якого c(z)z = kzv+1, де k,v - стал^ причому v +1 = (2m +1)/(2n +1), m,n = 0,1,2,.... 1з

нього, як окремий випадок за v = 0, отримуемо випадок iз лiнiйною характеристикою шдшски. З урахуванням наведеного, диференщальне рiвняння вер-тикальних коливань корпусу набувае вигляду

z + kzv+1 = 0. (23)

Його загальний розв'язок виражаеться через перiодичнi Ateb-функци [10-14] у виглядi

z = aca (v + 1,1ю( a) t + до), (24)

де: а,до) - стaлi, як визначають iз початкових умов, ю( a) - функцiя, яка опи-суе частоту власних вертикальних коливань ГТЗ, тобто

ю

(a) W^iavr ± + ^ . (25)

w V 2M 12 v + 2 Jr[ 1 1

/1 i л 1

vv + 2 у

Нижче для рiзних моделей вiдновлювально! сил (рис. 3) (значень параметра v) представлено частоту власних коливань.

Рис. 3. Залежшсть вiдновлювальноi Рис. 4. Залежшсть частоти

сили eid деформаци вертикальних коливань eid амплтуди

Висновки. Представлеш теоретичнi розрахунки та отриманi на ix 6a3i графiчнi залежностi шдтверджують, що забезпечити належну комфортабель-шсть ГТЗ може пiдвiска i3 нелшшним зв'язком мiж деформащею та зусиллям

2 4

(рис. 3, ^mi за v = 3, v = 3, v = 2). Бiльше того:

• найб^ша комфортабельнiсть забезпечуеться за значень параметра нель нiйностi v > 0. Для пiдвiски iз такою характеристикою за малих деформацш вiдновлювальна сила е меншою за лшйну ii модель, водночас для значних деформацiй - стрiмко зростае iз збiльшенням деформаци;

• що стосуеться частоти власних коливань, то для вказаного типу тдвшки во-

на залежить вiд амплiтуди та iз ростом останньоi також вона зб^шуеться

2 4. (рис. 4, криш за v = —, v = 3, v = 2). Швидшсть росту частоти для найбшьш

реальних типiв е не бшьшою за лiнiйний закон.

Пщсумовуючи, можна стверджувати, що отримаш результати можуть бути основою не тшьки для розрахунку динамiки ГТЗ, але i е базою для вибо-ру основних параметрiв шдвюки.

Л1тература

1. Ротенберг Р.В. Подвеска автомобиля / Р.В. Ротенберг. - М. : Изд-во "Машиностроение", 1972. - 392 с.

2. Яценко Н.Н. Плавность хода грузовых автомобилей / Н.Н. Яценко, О.К. Прутчиков. - М. : Изд-во "Машиностроение", 1969. - 219 с.

3. Яценко Н.Н. Обеспечение плавности хода при проектировании легкового автомобиля с учетом влияния потер на трение в подвеске : автореф. дисс. на соискание учен. степени канд. техн. наук. - Тольятти, 2008. - 26 с.

4. Яценко Н.Н. Колебания подвески с учетом поглощающей способности шин /

H.Н. Яценко, Г.Н. Канадзе, С.П. Рыков // Автомобильная промышленность. - 1977. - № 6. -С. 15-18.

5. Борис М.М. Обгрунтування параметр1в трелювально-транспортного засобу для тд-вищення його експлуатацшних властивостей : автореф. дис. на здобуття наук. ступеня канд. техн. наук. - Льв1в, 2007. - 20 с.

6. Испеньков С. А. Формирование силовой нагруженности ходовой части карьерных самосвалов / С.А. Испеньков, А.А. Ракицкий // Механика машин, механизмов и материалов. -Минск, 2008. - № 3. - С. 9-13.

7. Прентковский О. Л. Движение транспортного средства по неровной дороге / О. Л. Прентковский // Прогрессивные технологии и системы машиностроения : Междунар. сб. на-учн. трудов. - Донецк : Изд-во ДонНТУ. - 2004. - Вып. 28. - С. 137-141.

8. Кузьо 1.В. Вплив параметр1в пщвюки на нелшшш коливання транспортних засоб1в /

I.В. Кузьо, Б.1. Сокш, В.М. Палюх // Вюник нацюнального ушверситету "Льв1вська пол1техш-ка". - Сер.: Динамша, мщнють та проектування машин i прилад1в, 2007. - № 34. - С. 49-53.

9. Динамика колесных и гусеничных машин // Межвузовский тематический сборник / Ред. Г.М. Косолапов. - Волгоград : Волгоград. политехн. ин-т, 1980. - 190 с.

10. Сеник П.М. Про Ateb-функци / П.М. Сеник // Доповщ АН УРСР. - 1968. - № 1. -С. 23-26.

11. Сеник П.М. Обернення неповно'1 Вeta-функцii / П.М. Сеник // Украинский математический журнал. - 1969. - 21, № 3. - С. 325-333.

12. Сеник П.М. Про табулювання перюдичних Ateb-функцш / П.М. Сеник, А.М. Воз-ний // Доповщ АН УРСР. - 1969. - № 12. - С. 1089-1092.

13. Сеник П.М. Про побудову оптимально!' квазшшшно'1 автономно'1 програмно-колив-но'1 системи / П.М. Сеник, Б.1. Сокш // Доповщ АН УРСР. - 1975. - Сер.: А, № 11. - С. 1014-1017.

14. Сеиик П.М. Про побудову оптимально! автономно! програмно-коливно! системи з сильною нелшшшстю / П.М. Сеник, Б.1. Сокш // Доповщ АН УРСР. - 1976. - Сер.: А, № 7. -С. 601-604.

15. Гаральд 1ро. Класична мехашка : пер. з шм. Р. Гайда, Ю. Головач. - Л. : Вид-во ЛНУ iм. 1вана Франка, 1999. - 464 с.

Величко Л.Д., Сокил Б.И., Чаган Ю.А. Математическое моделирование подвески гусеничных транспортных средств

В параметрической форме построена математическая модель движения гусеничных транспортных средств с учётом профиля пути, по которому они движутся. Получено соотношение, которое определяет частоту собственных нелинейных колебаний как функцию от амплитуды и основных параметров, которые описывают подвеску.

Ключевые слова: гусеничное транспортное средство, система подресоривания, уравнения движения, амплитуда колебаний.

Velichko L.D., Sokil B.I., Chagan Yu.A. Mathematics modeling of the tracked vehicles suspension

The movement model of the tracked vehicles is being built parametrically, considering the road profile, on which they are moving. The correlation is calculated, which determines the frequency of the own non-linear vertical oscillations as a function from the amplitude and main characteristics, which describe the suspension.

Keywords: tracked vehicle, the system of suspension, movement calculation, amplitude fluctuation.

УДК 681.322.067+004.4(076.5) Курсант М.Б. Назар; проф. Ю.1. Грицюк,

д-р техн. наук - Львiвський ДУ БЖД

ШИФРУВАННЯ ШФОРМАЦП МЕТОДОМ ПРОСТО1 ЗАМ1НИ

Наведено класичш методи шифрування / дешифрування шформацп методом просто! замши (тдставляння), яю е основою сучасно! криптографп. Встановлено, що криптографiчнi методи захисту шформацп використовуеться тшьки для тсе! шформацп, яка мютить таемш чи конфщенцшш вщомосп, не призначеш для широкого роз-голосу. Незважаючи на !х доступшсть та зрозумшсть викладу в шшш навчальнш ль тератур^ бшьшють з наведених там прикладiв стосуються англшського та росшсько-го алфавтв. У цш робот розроблено приклади виконання завдань до лабораторних роб^ з дисциплши "Криптогpафiчш перетворення" з використанням тшьки укра!нсь-кого алфав^у.

Ключов1 слова, методи захисту шформацп, криптографiя, шифрування / дешифрування шформацп, метод "полiбiанський квадрат", система шифрування Цезаря, афшна система тдставлянь Цезаря, система шифрування Цезаря з ключовим словом.

Вступ

Криптограф1я - наука про методи перетворювання (шифрування / дешифрування) шформацп з метою !! захисту вщ зловмисниюв чи несанкцюно-ваного доступу. Об'ектом криптографп е електронна шформащя (новини, вмют повщомлень), яку необхщно збершати на електронних ноЫях чи переда-вати каналами зв'язку. Криптограф1я використовуеться тшьки для захисту цш-но! шформацп, яка мютить таемницю, конфщенцшш вщомосп тощо. Тому вивчення криптографп як науки розпочинають з вивчення класичних метод1в захисту шформацп. Продовжуемо цикл статей [2], у яких розглядаються класичш методи шифрування/дешифрування шформацп простою замшою (прос-