Математична модель турбулентного руху запиленого потоку повітря у циклоні Текст научной статьи по специальности «Математика»

Чоп В.Ю., Дякур Д.И., Паснак И.В., Придатко А.В. Повышение эффективности функционирования пеносмесителя стационарно установленного насосного оборудования

На основании анализа современного состояния вопроса выделена проблема дозирования пенообразующих веществ стационарно установленным оборудованием пожарных насосов. Показано, что существующие технические решения в пеносмесителе ПС-5 делают невозможным рациональное расходование пенообразователя в случае формирования 3 % раствора пенообразователя для генерирования воздушно-механической пены. Предложена конструкция сменного крана-дозатора для пеносмесителя ПС-5 и обоснованны его рациональные параметры. Путем разработки 3D модели созданы предпосылки для изготовления опытного образца ПО-5 со сменными кранами-дозаторами и проведения его экспериментальных испытаний.

Ключевые слова: пеносмеситель, раствор пенообразователя, воздушно-механическая пена, дозировка пенообразователя, рациональные параметры пеносмесителя.

Chop V. Yu., Dyakur D.I., Pasnak I. V., Prydatko O. V. Improving the Efficiency of Functioning Foam Mixer of Permanently Installed Pumping Equipment

Based on analysis of the current state of the issue we have allocated blowing agents dosing problem of permanently installed equipment of fire pumps. It is shown that the existing technical solutions in PS-5 foam mixer make a rational consumption of foaming agent impossible in the case of formation of a 3 % solution of a foaming agent for generating the mechanical foam. The design of removable metering foam mixer taps for PS-5 and its reasonably rational parameters is proposed. We have created the preconditions for the production of PS-5 prototype interchangeable injection valve and of its experimental tests by developing a 3D model.

Keywords: foam mixer, a foaming agent solution, air-mechanical foam frothier dosage, rational parameters of foam mixer.

УДК 674:621.928.93

МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ТУРБУЛЕНТНОГО РУХУ ЗАПИЛЕНОГО ПОТОКУ ПОВ1ТРЯ У ЦИКЛОН1 Ю.Р. Дадак1, Л. О. Тисовський2, А.В. Ляшеник3

Побудовано математичну модель турбулентного руху потоку запиленого пов^я у циклош, яка складаеться з усереднених ршнянь Нав'е-Стокса, усередненого рiвняння нестискуваност та стандартно! к — е моделi турбулентности що грунтуеться на шдходi Рейнольдса. Отримаш сшввщношення замикають систему диференщальних ршнянь у частинних похщних i становлять повну систему рiвнянь для дослщження турбулентного руху в'язко! нестисливо! рщини (газу). Отримаш результати можуть бути використа-ними шд час проектування нових конструкций циклошв з покращеними показниками ефективност та енергоощадносй.

Ключовi слова: циклон, ламшарний рух, турбулентний рух, ршняння Нав'е-Стокса, усереднення, к — е модель турбулентности

Вступ. На сучасному еташ техшчного розвитку сусшльства дед^ жорстю-шi вимоги ставлять до питань еколопзацп. Зокрема, важливого значения набуло питания очищення повiтря внаслiдок дiяльностi виробничих потужностей рiзних галузей промисловостi, зокрема й деревообробно!'. Для сепарацií запиленого по-

1 доц. Ю.Р. Дадак, канд. техн. наук - НЛТУ Украши, м. Льв1в;

2 доц. Л.О. Тисовський, канд. ф1з.-маг. наук - НЛТУ Украши, м. Львгв;

3 доц. А.В. Ляшеник, канд. техн. наук - Коломийський полггехшчний коледж

вiтря широкого використання набули циклони, проте, незважаючи на вiдносну простоту конструкцií цих апаратш, аеродинамiчнi процеси, що ввдбуваються у них, е складними та потребують використання потужного математичного апара-ту для створення математичних моделей ироцеав сепарацií. Враховуючи ге-ометричш особливостi будови циклонiв та режими !х роботи, рух запиленого повиря всерединi них може бути як ламшарним, так i турбулентним.

Математична модель ламiнарних аеродинамiчних процесiв, що кнують у циклонах, наведено в робоп [1], проте зi збшьшенням швидкостi набiгаючого потоку повiтря в деяких областях всерединi сепараторов, що характеризуются змiною геометричних розмiрiв, з'являються вихори, тобто пiсля нетривалого пе-рехiдного перiоду пилогазовий потiк стае турбулентним або хаотичним.

1снують два шдходи до дослiдження турбулентних явищ: статистичний i метод усереднення. Статистичний напрямок перспективний у загальному планi для теорií турбулентностi, але на сьогоднi не иривш до результатов, яш можна було б використати в шженернш практицi. Упродовж останнього десятилiIтя значного розвитку набули рiзш напiвемпiричнi моделi феноменологiчного типу, зв'язаш з тим чи шшим способом замикання усереднених за Рейнольдсом рiвнянь руху Нав'е-Стокса. Огляд теорш турбулентностi розглянуто в роботах [2, 3].

Ламшарний рух. Припустимо, що иилоповиряний потiк всерединi циклона е гомогенним середовищем, поведiнку якого можна описати моделлю в'язко-го нестискуваного газу (рщини). За невеликих швидкостей потоку, тобто, коли число Рейнольдса Кв буде меншим за деяке критичне значения Кв(Кв < Явкр), рух середовища буде ламшарним. Зазначимо, що числове значення Квкр можна визначити лише експериментальним шляхом i на цю величину впливае багато рiзних факторш, зокрема, вiдхиления форми вiд цилшдрично! та чистота оброб-лення поверхш стшок.

Повна система рiвиянь iзотермiчного руху в'язко! нестискувано! рiдини (газу) [4] складаеться з рiвиянь Нав'е-Стокса i рiвияния нестискуваностi, якi у векторному виглядi мають вигляд

| — = Е - - егасйр + тАУ

\ йг р р . (1)

[й^у = о

У проекщях на ос декартово! системи координат (х, у, х) щ рiвияния мож-на представити таким чином:

Эи Эи Эи Эи 1 Эр I Э2и Э2и Э2и

— + и — + и— + w— = Ех---—+ п| —- + —- + —-

Эг Эх Эу Эх р Эх ^ Эх2 Эу2 Эх2

Эи Эи Эи Эи ^ 1 Эр I Э2и Э2и Э2и

— + и — + и— + w— = Еу--^ + —- + —2 + —

Эг Эх ЭУ Эх р Эу ^ Эх су Эх у

, (2)

дw дw дw Э^ ^ 1 Эр I д2w д2w

-+ и-+ и-+ w-= Ех---—+п| —2 + —2 + —2

Эг Эх Эу Эх р Эх ^ Эх2 Эу2 Эх2

Эи Эи дw

—+—+— = о

Эх Эу Эх

де: V(u,v, w) - вектор швидкостi точки суцшьного середовища з координатами

х, y, z в момент часу t (3MiHHi Ейлера); u = u(x,u, z, t), и = u(x,y,z,t),

w = w(x,y,z,t) - проекцц вектора швидкостi на ос нерухомо! декартово!' системи

du du du du du — = — + u — + v— + w— dt at ox ay dz

dv dv dv dv dv

координат; — = —- + u—— + v—+ w—--проекцп вектора прискорення на осi

dt dt dx dy dz

dw dw dw dw dw —- = — + u — + v— + w— dt dt dx dy dz

нерухомо! декартово!' системи координат; F = (Fx, Fy, Fz) - вектор густини об'емно! сили (сили ваги, шерцшш, вiдцентровi, чи корiолiсовi сили), ят е зада, . . ,. ,, du dv dw

ними функцями координат швидкостi i часу; divV = — + — + —--диверген-

dx dy dz

щя вектора швидкостi V; gradp = | °p; °p; ■°p | - градiент скалярно! функцií тис-

^ dx dy dz)

ку p(x, y, z); p - динамiчний коефiцiент в'язкостi, який в iзометричних процесах

е постiйною величиною; v = — - кшематичний коефiцiент в'язкостi.

Р

Таким чином, сукупнiсть рiвнянь (2) становить замкнену систему чотирьох ршнянь у частинних похiдних для визначення чотирьох невiдомих функцiй

u, v, w, p .

Для отримання розв'язку в конкретнiй областi при штегруванш системи диференцiальних рiвнянь потрiбно задати початковi та граничнi умови. У разi в'язко! рiдини мае виконуватись умова "прилипания" частинки до твердо! стш-ки, тобто мають дорiвнювати нулю як нормальнi, так i дотичнi до границi компонента вщносно! швидкостi потоку. Крiм того, експериментальним шляхом потрiбно встановити розподш швидкостi запиленого потоку пов^я на момент входу в циклон. Приклад задання початкових i граничних умов для циклона ЦН-15 наведено у робота [5]. Турбулентний рух

Основн поняття. Якщо число Рейнольдса Re > Rekp то рух нестискувано! в'язко! рiдини (газу) стае турбулентним. Турбулентний рух характеризуеться тим, що поле дiйсних швидкостей частинок газу, який розглядають як суцшьне середовище - континуум, мае нерегулярний пульсшний характер i е неустале-ним та нагадуе хаотичне поле швидкостей окремих молекул, з яких складаеться середовище (броунiвський рух). У цьому випадку представити дiйсний рух частинок газу функщею простору i часу практично неможливо. Для опису руху в'язко! нестискувано! рiдини (газу) усшшно використовують макроскопiчний пiдхiд, який дае змогу у багатьох випадках турбулентш рухи газiв розглядати в середньому. Пiд час дослiджения руху в'язких нестискуваних рiдин (газ1в), як правило, вводять середиi значення компонент швидкостей u, u,w i тиску p та

iнших похiдних характеристик. Для визначення цих середшх характеристик ру-ху можна ставити i розв'язувати математичнi задачi. У теорп турбулентности на противагу шшим роздшам пдроаеромеханжи, нема ^ мабуть, не може бути единого шдходу до дослвдження всiх задач. Для конкретних класш явищ розробле-но рiзнi моделi турбулентностi. Як зазначено вище, спроби створення чисто статистичних теорiй турбулентних рух1в не дали якихось iстотних практичних результата.

Суть i властивостi методiв усереднення. Таким чином, основним припу-щенням у теорií турбулентного руху запиленого потоку повiтря в циклонi е те, що iснують рiвняння руху Нав'е-Стокса, а попм проводять усереднення цих рiвнянь. Практика побудови моделей для визначення турбулентних рухш пока-зуе, що способи введення середшх характеристик руху е нектотними для скла-дання повно! системи рiвнянь теорií турбулентностi, але вони е визначальними у розробленнi методiв експериментальних вимiрювань рiзних середнiх величин, що е потрiбними для порiвняння результапв запропоновано! теорií турбулен-тностi з експериментальними даними.

Найчастше на ирактищ використовують усереднення за часом, суть якого полягае в такому.

Нехай р(х, у, г, г) деяка дiйсна характеристика турбулентного руху, тодi

т

г+-2

- 1 г2

р(х, у, 2, г) = - | р(х, у, 2,ту1т (3)

т т

г -

2

називають середшм значенням функцií р, за промiжок часу Т, який називають перiодом усереднення. Зазначимо при цьому, що промiжок часу Т повинен бути достатньо великим ввдносно часу окремих пульсацiй i малим вiдносно часу значно! змши середнiх характеристик. Якщо внаслiдок усереднення (3), прове-деного в данш точцi в рiзнi моменти часу г отримаемо однi i п ж самi значения р, то такий усереднений рух називають стащонарним, а сам турбулентний рух - квазктащонарним. В окремих випадках усереднений рух може бути i нес-тацiонарним.

Усереднет рiвняння турбулентного руху запиленого повтря в циклот. Усереднивши рiвияния (1), отримаемо дифереицiальиi рiвияния турбулентного руху запиленого повiтря у циклош. Виходячи з того, що дшсний рух пилоповгг-ряно! сумiшi у сепараторi можна описати рiвияииями Нав'е-Стокса i рiвияниям нестискуваностi газу (1). У разi вiдсутностi об'емних сил цi рiвияния набувають вигляду:

^ = (4)

с11У¥ = 0,

де тензор напружень Р зв'язаний з тензором швидкосп деформацiй £ узагаль-неиим законом Гука

Р = - рЕ,

а тензор-даада рУУ характеризуе перенос кiлькостi руху рУ потоком 1з швид-кктю У;

=

дм дх

1 (дм + дЬ)

2 ду дх

1(ди + дм ) 1 (дж + дм ) л 2 дх ду 2 дх дг

ди

эУ

1 (дм + дж) 1(ди + дЖ)

2 дг дх 2 дг ду

1 (д^ + дЬ)

2 ду дг

дw 1к

(

Е =

1 0 СЛ 0 1 0 0 0 1

- одиничнии тензор.

Зпдно зi загальним шдходом, запропонованим РеИнольдсом, представимо всi величини, що входять у рiвняння (4) у виглядi суми середнiх значень i пуль-сацш, якi вiдповiдно позначимо:

У(м,и,ж) = У(й,Ь,Ж) + У'(м',и',ж'), р = р + р , Р = Р + Р,

Р = 2^5 - рЕ, Р=2^5 - р'Е, 5 = 5+, (5)

УУ = УУ+УУ + УУ+УУ'.

Врахувавши представлення (5) i провiвши усереднення ршнянь, отримаемо такi основнi ршняння РеИнольдса:

р— = Б/у(Р - рУУ - рУУ), Ж

(6)

Ж/уУ = 0

або врахувавши, що для тензора

(т 1 XX т 1 ху т Л 1 хг

II т ^ ух т уу т уг

т ^ гх т + гу т 1 гг )

дивергенщя ВыТ визначаеться сшвввдношенням:

дТу

(Рг*Т)х = дТхх + + , (В/уТ)у = дТху + дТуу + , дх ду дг дх ду дг

(Б/уТ); ,

дх ду дг

Систему рiвнянь (6) у проекщях на осi декартово! системи координат х, у, г представимо таким чином:

( дм _дм дм дж | др (д2м д2м д2м |

р[э7+м ах+ЬЭу + ь]=-эр+4дм +эу2 ]-р

( дм' + дм'Ь + дм'ж' ^ дх ду дг

{дь -дь -дь — дм ^ др {дЦ дЦ д Ц

р{!Г+и ах+ьэУ+мэ7)=~др+4+

-р

{диЦ+ди+Шл

дх ду дг

V

(6)

(дм _дм _дм _дм | др (д дд

р1э7+и эх+ьэу+J=_¥ЭХ! +эу! +дг2

-р

( дым/ + дь'м> + дм> 2 ^ дх ду дг

Рхх Рху Г _Ри 2 рии

п = = Рух Руу Руг = _риЦ _РЦ2

) ~рь'м?'

Поршнявши р1вняння турбулентного руху (6) або (6) з р1вняннями ламь нарного руху (4) або (2) робимо висновок, що вони в1др1зняються додатковим членом - симетричним тензором другого рангу

-Р~, Л

У и м

який називають тензором турбулентних напружень Рейнольдса 1 зумовлений усередненою величиною переносу пульсацшно1 кшькосп руху р¥' пульса-щйними швидкостями V'.

Система ршнянь (6) е незамкненою, оскшьки мктить шкть "зайвих" невь домих компонент тензора турбулентних напружень. Отже, для вивчення усе-реднених турбулентних рухш самих р1внянь пдромехашки недостатньо. Тому повне теоретичне дослщження турбулентного руху запиленого пов1тря у цикло-ш можливе лише 1з застосуванням деяких додаткових закошв чи гшотез, ктин-нкть яких можна встановити лише експериментальним шляхом.

Суть багатьох робгг з дослщження турбулентних рухш зводиться до вста-новлення р1зних простих 1 природних припущень про залежнкть турбулентних напружень вщ середшх швидкостей 1 !х градкнтш. Зокрема, Бусшеск визначае напруження Рейнольдса як добуток в'язкосп вихору на складники тензора усе-реднених швидкостей деформацп

-и щ - V

дх1 дх,- I 3

(7)

де: х\ = х, х2 = у, х3 = ;, щ = и, и2 = ь, и3 = м; V - в'язккть вихору; 3- - компо-

, и2 и2 м2 . . _

ненти одиничного тензора; к = — + — + —— кшетична енерпя турбулентних пульсацш.

Само по соб1 р1вняння (7) не е моделлю турбулентности а тшьки характе-ризуе структуру модели При цьому основною задачею е встановлення вигляду функцц VI. В'язккть вихору визначаеться станом турбулентносп 1 не залежить вщ властивостей пилопов1тряного потоку. Цей коефщкнт може значно зм1ню-ватися залежно в1д типу потоку 1 його положения у простора

V

Концепщя турбулентно! в'язкосп припускае, що перенос кшькосп турбулентного руху ввдбуваеться аналопчно переносу завдяки молекулярному руху. Незважаючи на значну критику, ця гшотеза завдяки сво!й простои набувае широкого застосування в 1нженернш практищ.

Найбшьш поширеними моделями турбулентносп на практищ е к — е модели що використовують поняття кшетично!' енерги турбулентних пульсацш 1 швидкосп дисипацп енергп турбулентних пульсацш. Ршняння стандартно! к — е модел1 мають вигляд:

— + Т — - —

dt 3 dxj dxj

n+s 1 f

Sk ) dXj

дщ +tj dj

de + щ de - d dt 3 dxj dxj

vt Л de

dxj

e du, e2

+ eeikTjdUj-ee*-k> (8)

k 2 d f d f

nt - cm—; cm - 0,09; e£l -1,44; e£2 -1,92, e - V^^. e dxk dxk

Зазначимо, що в ршняннях (8) 1ндекси, що повторюються, означають суму-вання вщ 1 до 3.

Таким чином, сшвв1дношення (8) замикають систему диференщальних piB-нянь у частинних похвдних (6) i разом з нею складають повну систему рiвнянь для дослвдження турбулентного руху в'язко! нестисливо! рiдини (газу).

Висновки. Розроблено повну математичну модель турбулентного руху за-пиленого повiтря у циклонi шляхом усереднення рiвнянь Нав'е-Стокса i нероз-ривносп руху та приеднання до них k — e моделi турбулентностi. На основi створено! моделi надалi плануемо дослiдити вплив турбулентностi на експлу-атацiйнi характеристики циклонов, що використовують у деревообробнш про-мисловостi.

Лггература

1. Лютий G.M. Циклони в деревообробнш промисловостп: монограф1я/ Лютий G.M., Тисовський Л.О., Дадак Ю.Р., Ляшеник А.В. - Льв1в: Редакщя журналу "Украшський пасчник", 2009. - 148 с.

2. Хинце Н.О. Турбулентность. Ее механизм и теория/ Хинце Н.О. - М. : Физматгиз, 1963-680 с.

3. Белов И.А. Моделирование турбулентных течений: учебное пособие/ И.А. Белов, С.А. Исаев. - Балт. гос.техн. ун-т., СПб., 2001-108 с.

4. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа/ Л.Г. Лойцянский - М.: Наука, 1978. - 736 с.

5. Дорундяк Л .М. Математична постановка i числовий анал1з задач1 про рух повггряного потоку в циклош/ Л.М. Дорундяк, С.М. Лютий, Л.О Тисовський, А.В. Ляшеник// Вюник НТУ "ХШ". - Харк1в, 2013, № 5 (979). - С. 67-75.

Надтгшю доредакцп 17.12.2016р.

Дадак Ю.Р., Тисовський Л.О., Ляшенык А.В. Математическая модель турбулентного движения запыленного потока воздуха в циклоне

Построена математическая модель турбулентного движения потока запыленного воздуха в циклоне, которая состоит из усредненных уравнений Навье-Стокса, усредненного уравнения несжимаемости и стандартной модели турбулентности, основанной на подходе Рейнольдса. Полученные соотношения замыкают систему дифференциальных уравнений в частных производных и составляют полную систему уравнений для

исследования турбулентного движения вязкой несжимаемой жидкости (газа). Полученные результаты могут быть использованы при проектировании новых конструкций циклонов с улучшенными показателями эффективности и энергосбережения.

Ключевые слова: циклон, ламинарное движение, турбулентное движение, уравнения Навье-Стокса, усреднения, к — £ модель турбулентности.

Dadak Yu.R., Tysovskyi L.O., LyashenykA.V. Mathematical Model of Turbulent Movement of the Dusted Air Flow in a Cyclone Dust Collector

The paper suggests a mathematical model of turbulent movement of the dusted air flow in a cyclone dust collector, which comprises the averaged Navier-Stokes equations, the averaged incompressibility equation and the standard к — £ turbulence model based on the Reynolds' approach. The resulting ratio closes the system of differential equations in partial derivatives and makes up a complete system of equations to research the turbulent motion of the incompressible viscous fluid (gas). Results can be used for making new cyclone designs with better performance and energy saving parameters.

Keywords: cyclone dust collector, laminar movement, turbulent movement, the Navier-Stokes equations, averaged, к — £ turbulence model.