CC BY
9
Коректувальнi пристро! дають змогу вимiряти температуру газового потоку за промiжок часу набагато менший, нiж стала часу приймача темпера-тури. Тому схеми приймачiв температури з коректуючими пристроями часто використовують при необхiдностi короткочасних вимiрювань високих температур потоку, що перевищують допустимi для приймачiв.
Висновки. У робот розглянуто методи вимiрювання швидкозмiнних температур газових потокiв шляхом введення поправок у покази шерцшних приймачiв температури та описано методику проведення таких вимiрювань.
Л1тература
1. Фединець В.О. Дослщження динам1чних характеристик термоперетворювач1в для вим1рювання температури газових середовищ// Вим1рювальна техшка та метрология. - 2003, вип. 63. - С. 60-62.
2. Kilburg H.P. A High Response Probe for Measurement of Total Temperature and Total Pressure Profiles through Turbulent Boundary Layer with Heat Transfer in Supersonic Flow// AIAA. - Paper, № 68-374. - 1978. - 9 pp.
3. Alverman W. Bestimmung von Temperaturprofilen mit Thermoelementen// Ztschr. fur Plugwissenschaften. - IV. - V.14, № 4. - 1986. - P. 179-183.
4. Softley E.J. Use of a Pulse Heated Fine Wire Probe for the Measurement of Total Temperature in Shock Driven Facilities// AIAA. - Paper, № 68-393. - 1988. - 12 pp.
5. Quamby A. Transient Response of Wire Resistance Thermometers// RAS. - V.68, № 646. - 1984. -P. 696-698.
6. Basic Theory of Millisecond Response Thermocouples// Instrument Practice. - V.24, № 10. -1970. - P. 687-691.
УДК 539.375 Проф. М.М. Стадник, д-р техн. наук; ст. викл. 1.В. Дiдух -
НЛТУ Украти, м. Rbeie
МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ РОСТУ ПОВЕРХНЕВО1 ШВЕЛШТИЧНО1 ТР1ЩИНИ У ПРУЖНОПЛАСТИЧНОМУ Т1Л1 ПРИ ЦИКЛ1ЧНОМУ НАВАНТАЖЕНН1
Робота присвячена проблемам ощнки ресурсу елеменпв конструкцш, тдданих дп ци^чного навантаження на стадп росту поверхнево1 трщини. Основу матема-тично1 моделi становить диференщальне рiвняння в частинних похщних для досль дження кшетики втомних трщин у тривимiрному пружнопластичному тш в умовах малоциклово1 i багатоциклово1 втоми. У цьому рiвняннi основним параметром, що вщповщае за рют втомно'1 трiщини е ефективний розмах розкриття ii вершини. Зап-ропонована в робот математична модель дае змогу ефективного розрахунку елемен-тiв конструкцш з урахуванням наявностi поверхнево1 твелштично! трiщини.
Ключов1 слова: втомна трщина, залишкова довговiчнiсть, циклiчне навантаження, ефективний розмах розкриття вершини трщини.
Prof. M.M. Stadnyk; senior teacher I.V. Didukh - NUFWT of Ukraine, L'viv
The mathematical model growth of surface semi-elliptical crack in elastoplastic body under cyclic loading
The work is devoted the problems of assessing the life time of structural elements at the stage of surface cracks propagation under cyclic loading. The mathematical model is based on a partial differential equation to determine the kinetics of fatigue cracks in a three-di-mensio^l elastoplatic body under high-cycle or low-cycle fatigue. In this equation, the basic parameter, responsible for crack growth rate, is the effective crack tip opening displacement
range. The proposed mathematical model in this work gives possibility of effective calculation the life time of structural elements with account of fatigue surface semi-elliptical crack.
Keywords: fatigue crack, residual life time, cyclic loading, effective crack tip opening displacement range
Ощнка мщност та ресурсу роботи елеменпв конструкцш досить часто базуеться на методах лшшно! мехашки руйнування, в основу яко! покла-дена концепщя коефщент1в штенсивност напружень (К1Н), за допомогою яких можна визначати напруження i деформаци в малому околi вершини трь щини. Оскiльки елементи вщповщальних конструкцiй працюють пiд високи-ми рiвнями циклiчних напружень, то для !х виготовлення використовують сталi низько! та середньо! мiцностi (аТ = 200...1300 МПа), руйнування яких супроводжуеться значними пластичними деформащями. А вщтак, застосу-вання лшшно! механiки руйнування, результати яко! синтезованi у багатьох роботах i довiдникових посiбниках, е не досить коректним для визначення напружено-деформованого стану i розрахунку залишкового ресурсу в таких випадках.
У процес виготовлення або експлуатацп елеменлв конструкцiй у них можуть виникати трiщиноподiбнi дефекти. Цi дефекти шд дiею циклiчного навантаження розвиваються i через деякий час стають критичними, що приз-водить до руйнування конструкцп. Тому розрахунок ресурсу елемент1в конструкцiй на основi вивчення процесу поширення в них втомних трщин iз застосуванням пiдходiв нелшшно! механiки руйнування, зокрема узагальне-но! Зк -моделi [1], е актуальною науково-техшчною проблемою. Вирiшенню проблеми щодо побудови вщповщно! математично! моделi для встановлення ресурсу елемент1в конструкцiй на стади розвитку втомних поверхневих неавтомодельних трщин присвячена дана робота.
г
К
S
1
Rm l
R0)\ 1
Ra) i i /
t
/
ДбДа
thef
Ab*(Rii])
ASt/, мкм
бгаах, МКМ
а б в
Рис. 1. Втомна поверхнева мвелттична трщина в тривимгрному тШ (а), схематичне зображення дiаграм росту втомноХтрщини в осях V ~ <5тах (б),
i V ~ Ме/ (в)
Для дослiдження росту втомно! трiщини, зокрема поверхнево! швелш-тично! трiщини (рис. 1, а) у пружно-пластичному тш пiд цикшчним наванта-женням р((), в робот запропоновано диференцiальне рiвняння в частинних
похiдних, отримане на основi вiдомих у лiтературi результатiв [2], в якому швидюсть росту трiщини V е однозначною функщею максимального роз-криття И вершини 5тах = 8\р=Ртах на стади навантаження (рис. 1, б) для задано!
асиметри Я = рт1п / ртах. Максимальне розкриття вершини трщини визна-
чаемо аналiтично на основi результатiв [3].
дг
дИ
де: V(Л, А, т, Яо)
, 1 (дгл 1 + —
да
-1/2
V (Л, А, т, Л), г (а, N) | N=о = го(а),
А(Я)
Л(Я) '
Л(Я) - Л
г(Я)
1
, Л = 1
5
, Яо = 1
5
ЧН
/с
5
(1)
; N -
/с
кшьюсть цикшв; А, т - константи матерiалу, якi визначаються на основi да-них експерименту i е рiзними (рис. 1 б) для кожно! асиметри цикшчного навантаження; 5Н - константа матерiалу для задано! асиметрi! навантаження, порогове значення розкриття вершини втомно! трщини, нижче якого вона не росте; 5/с - константа матерiалу, критичне значення розкриття вершини втомно! трщини, iнварiант вщносно асиметри навантаження.
Для того, щоб бшьш адекватно описати процеси пластичного дефор-мування, що вiдбуваються у вершит фiзично! трiщини пiд час ди на тiло циклiчного навантаження, перейдемо у диференщальному рiвняннi (1) вщ координат V ~ 5тах до координат V ~ А5е/ за формулою
= А5
5т
и2/2
(2)
де: А5е/ = 5тах - 5т1п - розмах розкриття вершини трiщини з урахуванням
пластичних витяжок, що формуються на !! берегах, внаслiдок виникнення за-лишкових деформацiй при проходженнi через пластичну зону; 5т1п = 5|р=Рт1п
на стадi! розвантаження; и1 - вiдома в лiтературi функщя, що знаходиться шляхом розв'язання вщповщних граничних задач теорi! трiщин або з експерименту i е функцiею асиметрi! для автомодельно! трщини та асиметри i рiв-ня зовшшнього навантаження для неавтомодельно! трщини. Використовуючи формули (1) i (2), маемо:
дг дИ
л 1 (дг 1+,
да
\2
У
-1/2
1
А1
л/А 5 *(Я) -.¡Ад ЧНе/
7а&/ -ТА5 ЧНе/
\т 1
-1
(3)
Тут швидкiсть росту трщини е однозначною функщею ефективного розмаху розкриття !! вершини А5/ (А5Не/ < А5е/ < А5*(Я)) i не залежить вщ асиметрi! навантаження на першiй i другiй дiлянках дiаграми втомного руйнування (рис. 1 в), А5Не/ = АКН1/ /(2<г0£) - константа матерiалу, iнварiант
вiдносно асиметрi! навантаження, порогове значення ефективного розмаху розкриття вершини втомно! трщини, нижче якого трщина не росте,
АЗ*(К) = /2, константи А1,т1 е iнварiантними вiдносно асиметри наван-
таження i тому для 1х визначення достатньо побудувати лише одну дiаграму втомного руйнування.
У частковому випадку, для дослщження росту втомно! трiщини за ма-лоциклово! втоми, формулу (3) можна замшити наближено еквiвалентною формулою
дг
dN
1 + Г2
1 (дг^~
да
-1/2
= C0ASefn°
(4)
де С0, «0 - константи матерiалу iнварiантнi вiдносно асиметри навантаження.
Для визначення параметра ефективного розмаху розкриття вершини трщини АЗе/, який входить у диференщальш рiвняння (3) i (4), розглянемо
змшу напружено-деформованого стану в 11 вершит протягом одного циклу навантаження (рис. 2 а).
а
0,2 0,4 0,6 0,8
б в Рис. 2. Залежшсть величини розкриття вершини трщини Зт\п вiд напруження
р(() за один цикл навантаження (а), змша вiдносного розмаху розкриття вершини трщини залежно вiд асиметри навантаження (б), змша перемщення и(Е) берегiв модельногорозрЬу iрозмiрiв ци^чноИ пластично'1 зони за наявностi пластичних витяжок на берегах втомно'1 трщини (в)
Тод^ збер^аючи структуру формули для визначення мшмального розкриття вершини щеально! трщини
' 1 л
Smir
1 - 2(1 - R)
2 у
s„
(5)
яка запропонована в po6oTi (J.R. Rice) i припускаючи, що 3i змiною напружень pmir < p < pop Smir залишаеться сталим як на стади розвантаження
(р = Pmax - Ap, Ap = pmax - pmin), так i довантаження (р = Pmin + Ap ), у формулi (5), у виразi для асиметри замiсть pmir ставимо величину pop, тод отримаемо:
ASef = — S
тах 5
(6)
2l U2
A Sef =—-Smax , lpf = ~~ lp • (7)
lp 4
Тут Ui = 1 - pop / pmax , lpf, lp - вщповщно, статична i цикшчна плас-тичнi зони. У випадку вщомо! з лггератури функци
Ui(R) = 1 -(0,45 + 0,2 R + 0,25 R2 + 0,1 R3),
встановлено! теоретично для R > 0, отримане за формулою (6) вщносне зна-чення ASf (рис. 2 б, крива 2) добре узгоджуються з експериментальним [4],
а максимальна вщносна похибка при R = 0 не перевишуе 10%. На основi результат, поданих на (рис. 2 б) можна вказати межi застосовност формули (6) для визначення A Sef, якщо U1(R) = 1 - R (щеальна трщина, крива 1). Во-
на прийнятна для автомодельно! трiшини при R > 0,7 i для неавтомодельно! (рис. 2 б, штрихова лшя) - при pmax/^0 > 0,8 (а0 - усереднене значення нап-ружень, задане на берегах модельно! трiшини, згiдно з узагальненою Зк -мо-деллю). Визначати ASf можна також за формулою (7) через величину цик-
лiчно! пластично! зони. Як випливае з формули (7), завдяки наявност плас-тичних витяжок на берегах втомно! трiшини зменшуються розмiри цикшчно! пластично! зони а вщповщно, i ефективний розмах розкриття вершини трь щини ASf. На рис. 2 у показано, що для автомодельно! трiшини при R = 0
частина пластично! област^ яка циклуеться з урахуванням наявност пластич-них витяжок товшиною hres = umin на берегах трщини, становить 0,12 вiд вЫе! пластично! областi• Без урахування пластичних витяжок зона цикично-го пластичного деформування значно збшьшуеться i становить 0,25 - вщо-мий у лiтературi результат [5]. При цьому величина ASef зменшуеться на
20 % порiвняно з iдеальною трщиною.
Диференцiальне рiвняння в частинних похщних (3) використаемо для опису кшетики втомно! поверхнево! пiвелiптично! трiшини, вщнесено! до полярно! системи координат Ora у плошиш тривимiрного тша (рис. 1 а). За припушення, шо пiвелiптична трiшина у процес свого розвитку вiд початко-вого розмiру до критичного залишаеться швелштичною[6], тодi !! радiус-век-тор r(a, N) визначаеться за формулою
, Л7Л a(N) c(N)
r(a,N) = . v y v у-, 0 <a<n . (8)
yja 2(N) cos2 a + c 2( N) sin2 a
Очевидно, для встановлення розмiрiв контуру поверхнево! швелштич-но! трiшини шд циклiчним навантаженням достатньо знати розвиток !! пiвосей a(N ) i c(N). Для !х знаходження диференщальне рiвняння в частинних похщ-них (3) запишемо у двох точках контуру трщини (a = п/2 , i a = 0). Врахову-
ючи те, шо г(п/2,N) = a; r(0,N) = c , — = — = 0, отримаемо:
da
J a=n/2
dr
da Ja=
У a=0
— = V(Ai, mh ASthef, А(1)), А(1) = 1 -J-^-, (9)
dN e VAS(R)
dc = V(Ai, mi, ASthef, A(2)), A(2) = 1 - J-^, (10)
dN ..... thef " (R)
a(0) = ao, c (0 ) = co, (11)
де ASf = ASef | а=п/2, ASf = ASef | а=0, a0, c0 - вiдповiдно мала i велика niBOci
початково! поверхнево! швелштично! трiщини.
Якщо швидкicть росту втомно! трiщини описуеться диференцiальними рiвняннями (1) або (3), то для обчислення констант матерiалу A, m (A1, m1) за допомогою методу найменших квадратiв отримаемо такi формули:
a1(m) a2(m) - n1 a3(m) = 0, A = 10 -a1(m)/n1,
де: a1(m) = ± lg (x™ -1) Ve, a2(m) = ¿^1, *3(m) = lg ( " 1) ^),
i =1 i =1 xi - 1 i =1 xi - 1
Xi = Аз /(Аз - A), A = 1 - J max ; Ve, ^n(ax - координати експериментальних то-
V Sfc
чок вщповщно швидкоcтi росту трiщини i максимального розкриття верши-ни; n1 - кiлькicть точок експерименту; Аз = 1 - ■yJSth / Sfc - визначено експери-ментально.
Таким чином, задача дослщження кiнетики розвитку втомно! поверхнево! пiвелiптично!' трщини зводиться до розв'язування системи звичайних диференщальних рiвнянь вiдноcно невiдомих функцш a(N ) i c(N). Шсля знаходження розв'язку цих рiвнянь форма i розмiри трiщини у довшьний момент часу t = N/v (v - частота цикшчного навантаження) визначаються за-лежнicтю (8).
Для визначення довговiчноcтi тiла N = N* i критичних розмiрiв трщи-ни r* = r(N*,a) використовуемо критерiй критичного розкриття !! вершини. Вважаемо, що тiло з поверхневою пiвелiптичною трщиною пiд циклiчним на-вантаженням зруйнуеться, якщо для кожно! аcиметрi! R виконуеться умова
max { ASef \ а=ж/2, ASef \а=0} = AS*(R).
Таким чином запропонована в робот математична модель розвитку втомно! поверхнево! швелштично! трщини дае змогу ефективно i з дос-татньою для практики точшстю, розраховувати ресурс вiдповiдальних еле-ментв конcтрукцiй. Отриманi при цьому результати можуть бути використа-нi для вщбраковки елементiв конcтрукцiй, а також встановлення часу !х про-фшактичного огляду у процеci екcплуатацi!.
Лгтература
1. Панасюк В.В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами. - К.: Наук. думка, 1968. - 246 с.
xm ig Xi , . * xm ig х.
2. Андрейкив А.Е. Пространственные задачи теории трещин. - К.: Наук. думка, 1982. -245 с.
3. Визначення величини розкриття вершини трiщини у пружнопластичних ii-лах/ В.В. Панасюк, O.G. Андрейкiв, М.М. Стадник, 1.В. Дiдух// Физ.-хим. механика на материалов. - 1990, № 6. - С. 53-61.
4. Elber W. Fatique crack closure under cyclic tension.// Eng. Fract. Mech. - 1970. - 2, N1. - P. 37-45.
5. Newman J.C. A cra ck-closure model for predicting fatigue crack growth under aircraft spectrum loading// ASTM STP 748 (1981). - P. 53-81.
6. Методика розрахунку довговiчностi apтилерiйських стволiв на стадп розвитку повер-хневих трщин з урахуванням дп високих температур/ O.G. Андрейюв, М.М. Стадник, В.А. Зазуляк, 1.В. Двдух, О.М. Белас// Артилерiйськi ствольш системи, боеприпаси, засоби ар-тилершсь^' розвiдки та керування вогнем: Зб. наук. праць. - К.: Наука, 1998. - С. 90-99.
