Математическое описание теплообмена в трубчатых многослойных структурах с движущимися средами Текст научной статьи по специальности «Физика»

Математическое описание теплообмена в трубчатых многослойных структурах с движущимися средами

Суров А.Н.

Суров Алексей Николаевич /Бигоу Л1екзеу Шко1аеу/сЬ - старший преподаватель, кафедра дифференциальных и стохастических уравнений, Южноуральский государственный университет, г. Челябинск

Аннотация: в статье рассматривается методика получения математического описания теплофизических

процессов в многослойных структурах цилиндрической формы с движущимися средами.

Ключевые слова: математическое описание, теплофизические процессы, трубчатые многослойные

структуры.

Практика показала, что во многих отраслях научной и производственной деятельности приходится иметь дело с математическими моделями теплофизических процессов в трубчатых многослойных структурах с движущимися средами [1,2].

В работе [1] рассматривается математическое описание распределенного процесса на примере теплообмена протекающего в трубчатых аппаратах. Теплопередача в таких аппаратах происходит через стенку и связана с характером градиента скоростей. В работах, связанных с исследованием тепломассопередачи в двухфазных процессах, рассматриваются основные уравнения

О0, 50, „ ч

—1 + ©! 501 =Х1(02 "01),

От ОХ (1)

О02 О02 ,А А ч + Ю2^ = Х2(02 "01),

От ОХ

где 0 (Х, Т), 02 (Х, Т) - температура первой и второй сред, движущихся со скоростями т: и т2 . если среды движутся прямотоком, то знак плюс при т: , а если противотоком, то знак минус:

_ И _ -I

где к - коэффициент теплопередачи; I - периметр поперечного сечения поверхности раздела сред; Б -площадь поперечного сечения /-среды; С/ - теплоемкость; у/- удельный вес; / = 1,2.

В полученных уравнениях предполагаются «стержневые» потоки теплоносителей. В действительности это сохраняется при достаточно больших числах Рейнгольдса. В остальных случаях наблюдаются отклонения от идеального вытеснения потока среды вследствие наличия поперечного градиента скоростей частиц теплоносителя. Неоднородность скоростей приводит к продольному рассеянию субстанции по направлению движения, что снижает движущую силу процесса.

При выводе уравнений процесса приняты следующие допущения:

1) потери тепла в окружающую среду отсутствуют;

2) интенсивность передачи тепла пропорциональна разности температур между элементарными объемами сред;

3) периметр поперечного сечения поверхности раздела сред постоянен по всей длине аппарата;

4) физические свойства сред постоянны;

5) в потоке отсутствуют внутренние источники тепла;

6) изменение теплового потока вдоль оси трубы, обусловленное теплопроводностью, мало по сравнению с изменениями потока тепла, вызванного конвекцией;

7) напорное течение сред стабилизировано.

Представим коаксиальный теплообменный аппарат в виде концентрических слоев. Полагаем, что температура и скорость среды в пределах слоя одинакова и равна среднему значению внутри слоя.

С учетом принятых допущений для каждого слоя рассмотрим в качестве исходных уравнений соотношения, связывающие между собой основные термодинамические параметры процесса: давление, температуру, плотность и скорость движения сред по аппарату, которые описаны во введении:

1) Уравнение непрерывности

2) Уравнение сохранения энергии

3) Уравнение движения

4) Уравнение состояния

Согласно допущениям 1-7, система уравнений сводится к уравнению для /- го слоя:

О/ О/ к Ь к Ь ,

+ Ш . = (0 _0 .) + к!=и±(0 _0 .). (3)

От 7 Ох У^

Полагая, что энтальпия связана с температурой соотношением

^ = Срв, (4)

получаем из (2.3) уравнение, описывающее изменение температуры в г-ом слое: о0 Ш

+«., =х./,/-1(е./-1 -е,)+х./,/+1(е./+1 -е,),

ОТ

Ох

где х =

к!,

X - периметр поперечного сечения поверхности раздела концентрического слоя, кг

' ^-УСР

- коэффициент теплопередачи, & - площадь поперечного сечения /-го слоя.

Таким образом, для п слоев, на которые разбиты сечения обеих сред, считая и разделяющую стенку, получим систему дифференциальных уравнений в частных производных п порядка

ем + ®1е1,х = Х1, х (е2 -е1); ^ + ®2е2,х = Х21(е1 - е2) + Х23(е3 - ^

ек,? + ю ек, х = Хк ,к-1(ек-1- ек)+Хк ,к+1(ек+1- ек); ес, = Хс1 (ек+1 -ее)+Хс (ек -6с );

ек +1,? — ®к+1ек+1,х = Хк+1,й(6й - ек+1) + Хк+1,к+2(ек+2 - ек+1);

(6)

е + ю е = х (е , - е )

п,? П пх Лп V П-1 п>

с начальными и граничными условиями:

- для прямотока:

е,(о,х)=е]Ьх(х); е,(х,0)=е,(х) (, = 1,2,...,и); 6с=еЛ,

- для противотока:

е,(0,т) = е,Вх(т) (, = 1,2,...,г); е,(1,т) = е,Вх(т) (, = г +1,...,и);

(7)

(8)

е,(х,о)=е,(х) (,=1,2,...,и); 6с = 6свх.

В уравнениях (2.6) обозначено: е , 6п - температуры разделяющейся стенки, осевого слоя второй среды.

Знак плюс в уравнениях с индексом Г + 1 для прямотока, минус - для противотока. Обозначения остальных величин приняты ранее.

Системой уравнений (2.6) можно описывать и массообменные процессы. Исследование гидродинамики приводится обычно введением индикатора с последующим фиксированием его распределения на выходе из аппарата. По функции отклика путем статистической обработки находится эффективный коэффициент Дэ [20]. Этим гипотетическим коэффициентом учитывают всю гидродинамику процесса в аппарате. Эффективный коэффициент аналогичен коэффициенту диффузии и вводится в уравнение вида

е +ю е = де (9)

г ср у гЛ э уу. 4 '

Уравнение, описывающее перенос тепла в одном из слоев примет вид

е„.+2юе гу+2юхе у = о

где

2ю = (с2 - с1)ю* = ;

2Х=Х1 +Х2;

(10)

(11)

т = -

78 •

Представим уравнения (2.9) и (2.10) в канонической форме. После введения подвижной системы координат и одинаковых обозначений переменных получим

е.=дА , (12)

е^+2хВг = ю2е^ (13)

Общие уравнения (2.6) описывают переходные процессы, как теплообмена, так и массообмена в технологических аппаратах. В этих уравнениях учитываются основные термо- и гидродинамические эффекты данных процессов, т.е. рассматривается более точное описание динамики технологических систем. Так, в

полученных уравнениях предполагалось, что изменение плотности потока, обусловленного теплопроводностью (диффузией) вдоль оси, мало по сравнению с изменением по радиусу аппарата. В большинстве своем это предположение оправдывается на практике. Однако в ряде случаев, встречающихся в реальных условиях, в частности при теплообмене жидких металлов, при передаче тепла и массы в развитом турбулентном течении с малым числом Пекле, начинает оказывать значительное влияние на переходный процесс поток тепла, массы в направлении оси аппарата. В связи с этим представляет интерес при математическом описании учесть этот эффект «второго» порядка.

Прежде чем приступить к выводу уравнений, остановимся на физической стороне данного явления. Величина продольного потока при турбулентном течении характеризуется коэффициентом турбулентной диффузии. Так, при турбулентном течении наличие беспорядочных пульсаций поля скорости приводит к резкому возрастанию перемешивания жидкости. Причем турбулентные пульсации имеют неоднородности от сколько угодно малых масштабов, аналогичных свободному пробегу молекул, и до крупномасштабных. Вследствие вязкости жидкости мелкие пульсации гасятся, но остаются такие, которые во много раз превосходят масштабы молекулярных движений. Поэтому гидродинамические поля относительно среднего значения изменяются плавно и, следовательно, могут описываться уравнениями гидромеханики.

Запишем уравнение переноса в виде

ЯП я

яе+^м) = дде (/ = 1,2,3).

ОТ 0Х

Проведем в нем операцию осреднения: приняв ю' = ю - ю°, получим

яе° я

(ш°е°+ш; ео = дде° (14)

Ят Яхг.

где ю' - пульсация поля скорости, равная разности между индивидуальным значением и средним.

Уравнение (2.14), приведенное к виду

яео о яео я.яе°

Ят Ях Ях Ях{

°Г\°

показывает, что вектор СррШ1 е описывает перенос тепла, даваемый осредненным движением, а вектор

С рш^е' - перенос тепла, даваемый турбулентными пульсациями.

Из этих рассуждений вытекает, что турбулентные пульсации приводят к дополнительному потоку тепла. Следовательно, кроме обмена импульсом между жидкими частицами благодаря силам молекулярной вязкости, имеет место также передача импульса от одних объемов жидкости к другим, вызываемая перемешиванием, которое создается пульсациями скорости.

Пренебрегая анизотропностью турбулентности, представим плотность турбулентного потока тепла по

направлению X равную С ршШП', в виде

с р рш'е е'=-д Я^, (15)

где Д = Срркт, кт - коэффициент турбулентной температуропроводности.

Подставляя выражение (2.14) в (2.15) и принимая во внимание однонаправленность ]-го слоя, а также заменяя градиент тепла в осредненном движении потоком, пропорциональным разности средних температурных слоев, получаем

лло я 2е°

+ш° -яхх=х-1(е-1 -е')+х-(е --е >)+Д юХ.

Тогда полная система линейных дифференциальных уравнений второго порядка, описывающая теплопередачу между двумя движущимися прямотоком или противотоком средами, представиться так:

ем + Ш1П1,х =х12(е2 -е1) + Л1П1хх;

02, + Ш2е2,х = х21(е1 - е2) + х23(ез - е2) + Л2е2хх;

................................................................ (16)

е£+1,/ — Шк+1,х =Хк+1,к (ек — ек+1) + Хк+1,к+2(ек+2 — ек+1) + Лк+А+1хх;

е +ш е =х (е , — е )+л е ,

п,1 п пх г^п^ п—1 п' п пхх ?

с начальными и граничными условиями для противотока:

яд

= ®А - Д , * = 0

ад.

дх

= 0,

дх

де.

д^ дх

= 0,

®,евх = ®,е: - Д^, * = 1,

е*(х,0) = е*(х)(/ = 1,2,...,г; ] = г +1,...,п; к = 1,2,...,п),

и для прямотока:

®Авх =®,е- Д, * = а де

= 0, х = 1(] = 1,2,...,п).

дх

(18)

Следует заметить, что граничные условия выбраны исходя из физических соображений. Математически решается только вопрос о том, являются ли предполагаемые граничные условия достаточными для определения решения задачи. В данном случае равенство нулю производных на выходе каждого слоя является более реальным, чем аналогичное соотношение на входе. Это означает, что передача тепла диффузией вдоль границы потока, текущего в обратном направлении, равна нулю. В общем случае выбор соответствующих граничных условий будет определять свою физическую задачу.

Система уравнений (16) описывает процесс теплопередачи, осуществляемый в двумерном пространстве, и, вообще говоря, может быть заменена одним дифференциальным уравнением относительно функции

е (х, т, г ). Так в уравнении энергии

В

(19)

е,+ш(г )ех — (гег )г+вех

г

заменим частные производные по радиальной координате их приближенными разностями. Формально получим систему уравнений, аналогичную (16).

При непрерывнодействующем технологическом процессе, взаимодействие сред осуществляется по всему пути их движения (рис.1). Скорость процесса определяется либо законом теплопередачи в теплообменниках, либо законом диффузии через поверхность раздела сред (в абсорберах, скрубберах, экстракторах и т.п.).

Таким образом, процесс теплообмена в коаксиальном аппарате с учетом распространения тепла вдоль стенок и продольного потока в движущихся средах, а также с учетом теплоемкости внутренней и внешней стенок аппарата за счет теплопроводности стенки и турбулентной теплопроводности теплоносителей, будет описываться уравнениями:

ае де , д2е

дт дх дх

де

д2е

(

де3 = Z2 е-е )+^з е-е )+Д+Д

дх

1 де д2е

ч г дг дг2 у

(20)

е-де ^=* (е -е (е-е )+д д^;

дт дх дх

где Д , Л3 - коэффициенты, учитывающие турбулентную теплопроводность;

Я2, Л4 - коэффициенты теплопроводности стенок.

На различных промышленных предприятиях имеют место более сложные конструкции имеющие трубчатую многослойную структуру с движущимися средами. Для таких конструкций требуются и более сложные математические модели.

Рассмотрим трубчатую многослойную структуру с движущимися средами (рис.1.). Подобные структуры использовались в работах [1,2].

Рис.1.Трубчатая многослойная структура

Структура имеет цилиндрическую форму, поэтому рассматривается осесимметричная задача. Система состоит из пяти дифференциальных уравнений энергии, описывающих связь между средами соответственно: внешнего слоя (в:), стенкой (сД /-ым слоем, стенкой (с2) и внешнего слоя (в2).

При выводе уравнений приняты допущения 1-7, отсутствует диссипация энергии. Итак, с учетом принятых допущений, уравнения энергии для области. А = {х, т : 0 < х < г, 0 < т < т к} запишем в виде

я 2е,

яе4 яе4 , ч

а.

Ях2

яе,

Ят

яе

1 = Км (ей —е")+Км (е1 —е") +

я 2е

а

яе

—1=к1я(ея —е)+а

1 Л, 1 "У " 1

я2ех

" ах2 ' (

Ят

яес

—^ = к. .

Ят "2,°2

г + а

я 2е=

•Л 1," \ " 1 / 1 -Л '

Ях Ях

(е"2 —еа2 ) + К"2Л (е1 — е" Ях2

я 2е,

+я V

V

а

1 яе

г Яг

Яг2

"2 .

яеА яе.

—^——^ = к. _

Ят 02 Ях ^

(е"2 е°2 )

+

02 Ях

(21)

<

Д>= {х, т : г < х< р, т > 0}:

яе яе , , я2е, ^+ и. —0=к. . (е —е.)+а.

01 Ях al,"1 ^ "1 0-' 01

Ят

яе

^т

яе

Ях2

" = К\ а (еА — е" ) + К\, 1 (е1 — е" ) +

я2е

а

"I.

яе

^= к я(е2—е.)-

2 ях 2, 2 "/

я2 е„

" Ях2 '

Г1 яе я2 е ^

Ят

яес с 2

Ят

яеА А2 — ^ А2

Ят — 02 Ях

+ а-,

2 Ях2 2

к . (е —е )+к ,(е, —е )+а

"2,02 \ "2 &1 ! "г,2\ 2 "2 / I

" Ях2

яе

К. . (е —е ) + а.

А.," \ "2 А

я2е.

Ях

2

г Яг Яг

я 2ей

(22)

£з = {х, т : р < х < ё, т > 0}:

де. де. , , д2е. + « —^ = к. . (е -е.) + а. —щ

дт 01 дх п ^ 0 дх2

де

дт

де

к .(е. -е) + к.(е-е) + а

п,0 \ 0 >\ ! п,3 \ 3 п / }

дЧ.

п Д,,2 ;

де

—+ «—=кяъ (е-е)

Я- 3 дх п,3^ 3 '

дт

де

+а

д 2е3

3 ~дхГ + аз

дт

де

дт

к . (е -е.) + к ,(е,-е.) + а

де д2е

,2 ±и. —^ = к . (е -е. )+а. 02

.2 , п2 п2 .2 .2

дх

(1 де д 2е ^ —3+ —

ч г дг дг у

д2еп п2 .

п дх2 '

дх

02 дх2 '

D4 ={x, т : d < x< I х >0}:

де. де. , ч \ п1 )

дт 0 дх

де

а1,П1 '

д Ч +а_

+^ дх2 '

дт

де

1=Я4(е,-е„)+к п,4 (е4-е^) +а,

д2е

_.

п дх2 '

де

ЧГ-«4 = К 4,Я (^ -е4 ) + а.

д2 е„

дт

де

дх

4) ' а4 дх2 + а4

(1 де д 2е4л

ч г дг дг2 у

к^ (е^-е,)+Кп2,4 (е4-е,)+а%-

д2е

п2 .

дт

де

дт 02 дх

дх2

де д2е

02 =к. .(е.-е.)+а. 02

л - 02,П^\ П2 02 / 0

(24)

"°2 дх2 ■ Начальные условия:

е' (х, г, 0) = ф' (х, г), ф' = [ф,1 , фв2, фс, ФУ ]Т, / = 1,2,3,4; г < г < г2,

г(0,г) = 20 = [0,0,0,2(г)]Т; А(0, г) = А0, А0 = [0,0,0, А(г)]Т, Условия на границах областей В. : 0'(0, г ,0) = О;

е'(0, Г, Т) = Ц!,(Г, ТX у' = [у4 , Ч2 , Ч, Ч ] ; е^ (I, г, т) = 0; д [е,(0, г, т)]х = «щ [е:(0, г, т)-ес ]; е (г - 0, г, т) = е(г + 0, г, т) = Т; е2( д, г, т) = Т2;

егг,т) = [0], егг,г2,т) = [0], е" = [е„ е2, е3, е4]Т; Л[е'"( х, г, т)]х=а[е'"' ( х, я, т) -е„ ];

(25)

(26)

Л =

ее ,г, т) = т;

Д1 0 0 о ] "а1,п 0 0 0

0 Д 2 0 0 0 «2,п 0 0

; « =

0 0 0 0 0 «3,п 0

0 0 0 Д _ 0 0 0 «4,п

а р

к = -1р * РСД

В уравнениях приняты обозначения: индексы в1, в2, с1, с2;

е , е , е , е , е -

в[ ' 62' С[ ' С2 ' 1

соответствующие температуры сред;

р,, с,-, к, аг - соответственно плотность, удельная теплоемкость, теплопроводность, температуропроводность г-й среды;

а,у, Р, & - соответственно коэффициент теплоотдачи между г-й и]-й средой, периметр раздела и площадь поперечного сечения г-й среды;

Vг - скорость движения г-й среды;

х, г, т, 2, Д - соответственно текущие координаты по длине, радиусу аппарата, время, координата подвижной границы, координата подвижной границы между другими средами.;

щ щ, & - известные распределения температур по соответствующим координатам;

Термодинамические соотношения, замыкающие эту систему, такие, как зависимость коэффициента теплоотдачи от охлаждающей воды, коэффициента излучения и др., взяты из экспериментальных данных, полученных разными авторами.

Системы уравнений (21)-(24) решаются численными методами с использованием разностных схем[4].

Решение системы (21) - (24) позволяет определить температуру в процессе в любой точке аппарата и в любое время.

Полученное математическое описание реализовано в математической модели теплофизических процессов при электрошлаковом наплавлении полых слитков большого диаметра [2,3].

Литература

1. Демиденко Н.Д. Моделирование и оптимизация систем с распространенными параметрами/ В.И. Потапов,

Ю.И. Шокин. - Новосибирск: Наука, 2006 - 551 с.

2. Суров А.Н. Расчет температурных полей в полых слитках при электрошлаковом переплаве. /А.Н. Суров, В.И. Потапов, М.С. Бугаев // Вестник ЮУрГУ, серия «Металлургия», вып. 7, №10, 2006,-С. 73-75.

3. Суров А.Н. Теплофизические процессы при ЭШП / А.Н. Суров, В.И. Потапов, Е.В. Торопов, Р.А. Андрианова // Материалы всероссийской научно-технической конференции «Теплофизика технологических процессов» - Рыбинск: Изд. РГАТА, 2005.

4. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. Расчет температурных полей при электрошлаковом переплаве «Truba». / А.Н. Суров, М.С. Бугаев. - № 2009612129; дата регистрации 27.04.2009.