Математическое описание процессов рождения и оседания продуктов гидролиза газообразного гексафторида урана UF6 в плоском слое и в трубке Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЭКОЛОГИЯ

УДК 53.072+504.5

С. П. Бабенко, А. В. Бадьин

математическое описание процессов рождения и оседания продуктов гидролиза газообразного гексафторида урана т6 в плоском слое и в трубке

Решена задача оценки доз токсичных веществ — урана и фтора — в производственных условиях работы с гексафторидом урана иГ6. В рассматриваемой математической модели учитываются диффузионное движение частиц в газовой фазе и дрейфовое перемещение аэрозольных частиц под действием силы тяжести. Перемещение рассматривается в плоском слое. Такая модель максимально приближена к описываемому физическому процессу и потому позволяет оценивать дозы, получаемые человеком и при вдыхании токсичных веществ, и при осаждении их на кожу.

Известно [1], что на предприятиях, работающих с ЦБб, в водухе рабочих помещений содержатся вещества: ЦБ6 (газ), иОБ4 (газ), и02Р2 (газ), ИБ (газ), И02Р2 (аэрозоль), ИБ (аэрозоль), пары Н20. Эти вещества участвуют в следующих физических и химических процессах: гидролизе, коагуляции, диффузии, дрейфовом перемещении. Записывая уравнение непрерывности, нетрудно получить математическую модель, описывающую поведение гексафторида урана в области Ц на временном промежутке (¿0, ¿1):

д к

—пк = ДкАнк - (щ, Бгаё(пк)) + ^ а,к,тпт + ^к(£,£), (1)

т=1 ^ '

k = 1,N, x Е Q, t E (to,ti);

Пк(X, ¿о) = Пк,о(Х), к = 1,^, X Е Ц, д

ак (X, ¿) дпПк (X, ¿) + вк (X, ¿)пк (X, ¿) = г к (X, ¿), к = 1^, X Е дЦ, г Е (¿0,^),

3С > 03£ Е RVX Е ЦУг Е (¿о, ¿1)(|пк(X, г)| < Се54), к =

Здесь Ц С Й3, Ц — открытое непустое множество, дЦ — кусочно гладкая поверхность; ¿0 Е М, ¿1 Е М (Й = М У {-то, — расширенная вещественная ось), ¿0 < ¿1; N Е М; пк (X, ¿) — концентрация молекул вещества с номером к в точке X в момент времени ¿; Дк > 0 — коэффициент диффузии молекул вещества с номером к; А — оператор

Лапласа [2, 3]; щ = (^¿,^2,^3) — скорость дрейфа молекул вещества с номером к; ак,т — коэффициенты, описывающие процессы гидролиза, коагуляции и воздухообмена, ак т = 0 при к, т = 1,^, к < т;

(X, ¿) — плотность мощности внешних источников молекул вещества с номером к в точке X в момент времени ¿; пк,0 (X) — концентрация молекул вещества с номером к в точке X в момент времени ¿о; ак, вк, гк — коэффициенты, входящие в краевые условия третьего рода (физический смысл этих коэффициентов зависит от конкретной постановки

д

задачи); |ак | + |вк | = 0, аквк > 0; — — производная по направлению

дп

внешней нормали [2, 3].

В работе [1] подробно рассмотрена задача в полупространстве в пренебрежении силой тяжести и силой сопротивления среда. В настоящей статье рассмотрено движение частиц в плоском слое толщиной Л, причем учитывается действие силы тяжести и силы сопротивления среда: на аэрозольные частицы и02Б2 и ИБ.

Итак, мы полагаем, что Ц = {(х,у,г) : х € К. Л у € К. Л г € (0, Л)}, где Л € К, Л > 0. Обозначим через а1>к, в1>к, П,к значения ак, вк, гк на границе г = 0, а через а2,к, в2,к, г2,к значения ак, вк, гк на границе г = Л. В таком случае краевая задача (1), (2) примет вид

д к

—пк = ДкДпк - {ук, §гаё (пк)) + ^ ак,тпт + (х, у, г, ¿),

т=1

k = 1,N, x G R, y G R, z G (0, h), t G (i0,ti);

(3)

nk(x,y,z,to)= nkio(x,y,z), k = 1,N, x G R, y G R, z G (0, h),

д

-ai,k (x, y, t) —Пк + A,k (x, y, t)nk д

«2,k (x, y, t) —™k + ^2,k (x, y, t)nk

z=0

= ri,k (x,y,t), = r2,k (x,y,t),

z=h

(4)

k = 1,N, x G R, y G R, t G (to,ti), 3C > 03i G RVx G RVy G RVz G (0, h)Vt G (t0,t1)

(K(x,y,z,t)| < Ce5i), k = lTN.

В соответствии с реальной действительностью принимали, что дрейф вещества под действием силы тяжести и силы сопротивления среды происходит в направлении, противоположном направлению оси z, т. е. v1 = 0, v;2 = 0, < 0. В этом случае

д

(vk, grad (nk)) = v; —n.

Обозначим ук = —^3 (такое обозначение вводится для устранения знака минус в уравнениях; так как ^3 < 0, то ук > 0). Будем считать, что величины ^к, по,к, а1,к, в1,к, П,к, а2,к, в2,к, Г>,к не зависят от переменных ж, у. Тогда величины пк также не зависят от переменных ж, у. Соответственно, задача (3), (4) приобретает следующий вид:

д ^ д2 д А ^ . .

— n = Dk -"2n + Vfe --nfe + afc,mnm + Fk (-, t),

dt -z2 д-

m=1

k = 1,N, - E (0, h), t E (t0,t1);

(5)

nk(-, to) = nk,o("), k = 1,N, - E (0, h),

= ri,k (t),

д

-ai,k (t)-nk + A,k (t)nk

z=0

д

a2,k (t) д-nk + ^2,k (t)nk

= r2,k (t),

z=h

(6)

k = 1,N, t E (to,ti).

Поскольку область стала ограниченной, условия регулярности решения выполняются, поэтому мы их не выписываем.

Далее мы использовали задачу (5), (6) для описания оседания частиц в случае, когда нельзя пренебречь действием сил тя ести. В рассматриваемых в работе [1] приближенных задачах ни силы тяжести, ни силы сопротивления среды не учитывались. Однако, сравнивая результаты расчета с данными модельного эксперимента, получили, что для верной оценки доли токсичного вещества, осевшего к моменту времени ¿, указанные силы учитывать необходимо.

При решении задачи (5), (6) отдельно описываем урансодержащие продукты (ЦБ6 (газ), иОБ4 (газ), иО2Б2 (газ), иО2Б2 (аэрозоль)) и фтор-содержащие продукты (ЦБ6 (газ), иОБ4 (газ), ИБ (газ), ИБ (аэрозоль)). Для этого выбираем N = 4. Мы рассматриваем временной промежуток (0, т. е. полагаем ¿о = 0, ¿1 = Поскольку первые три вещества находятся в газообразном состоянии и не участвуют в дрейфе под действием силы тяжести и силы сопротивления среды, то -ук = 0 при к = 1, 3. Четвертое вещество не участвует в процессах гидролиза и коагуляции. Кроме того, рассмотрим случай, когда воздухообменом можно пренебречь. Поэтому а4 4 = 0. Так как в помещение поступает только ЦБ6, то ^к = 0 при к = 2, 4. Поскольку в нулевой момент времени в помещении находится только ЦБ6, то пк о = 0 при к = 2,4. Задача решалась в предположении полного поглощения вещества на границе. Кроме того, мы считаем, что не происходит поступления вещества через границу области. Поэтому а1,к = 0, г1,к = 0, а2,к = 0, г2,к = 0.

Тогда задача (5), (6) принимает следующий вид:

д „ д2 ^ ч —П1 = А—- т + ац П1 + .Ц-,*),

дг дг2

д д2 к

—щ = Дк—-гПк + У" ак,тпт, к = 2,3,

дг дг2 ^ ' (7)

т=1

д д2 д А

—П4 = ДП4 + ^4+ а4,тПт,

т=1

г е (0,Л), г е (0, +ю);

те^г, 0) = П1,о(г),

Пк(г, 0) = 0, к = 274, г е (0,Л),

тк |г=о = 0,

тк|г=Л = 0, к = 1~4, г е (0, +ю).

Выпишем отдельно задачу для функций п1, п2, п3:

д д2

—П1 = Д П1 + а1,1 П1 + .Ц-,*),

к

(8)

(10)

д „ д2 * (9)

—Пк = ДкПк + ак,т«т, к = 2, 3,

т=1

г е (0, Л), г е (0, +ю);

П1(г, 0) = П1,о(г),

пк(г, 0) = 0, к = 2, 3, г е (0, Л),

тк |г=о = 0,

тк|г=Л = 0, к = 1,3, г е (0, +ю).

Задачу (9), (10) нетрудно решить, используя метод Фурье (метод разделения переменных).

3

Обозначим .Р(г, г) = а4,тпт(г, г); тогда для определения функ-

т=1

ции п4 получаем следующую задачу:

д д2 д

—П4 = Д4д^2П4 + ^4^4 + Я-М), г е (0, Л), г е (0, (11)

П4(г, 0) = 0, г е (0, Л),

т4|г=о = 0, (12)

П4|г=л = 0, г е (0, +ю).

Задачу (11), (12) таюке нетрудно решить, используя метод Фурье.

Решение задачи (9), (10) мы находим в виде функционального ряда. Следовательно, функцию Ё мы также находим в виде функционального ряда. Соответственно, при решении задачи (11), (12) получается двойной ряд, что создает значительные трудности при расчете на ком-пь тере. оэтому имеет смысл рассмотреть более грубу , но более простую модель, в которой диффузионным оседанием частиц пренебрегают, считая, что оно протекает медленнее, чем осаждение под действием силы тяжести. Тогда задача для определения функции п4 может быть записана в виде

дд

—п4 = п4 + -Р(-М), г Е (0, Л), * Е (0, (13)

п4|у=о = 0, г Е (0, Л),

, , \ (14)

п4|г=ь = 0, £ Е (0,

Формально уравнение (13) получается из уравнения (11) отбрасы-

д2

ванием "малого" члена Д4—-п4. При этом порядок уравнения умень-

дг2

шается на единицу, соответственно и число дополнительных условий должно уменьшиться на единицу. Очевидно, что должно быть опущено условие п4 |2=о = 0, так как условие п4|2=Л = 0 обязательно выполняется, если дрейф происходит против направления оси г.

Для математического обоснования перехода от задачи (11), (12) к задаче (13), (14) необходимо в задаче (11), (12) представить коэффициент диффузии Д4 как функцию некоторого малого безразмерного параметра е. Например, Д4 = Д4е2 Затем к получившейся задаче нужно применить метод асимптотического исследования сингулярно возмущенных начально-краевых задач и убедиться в том, что решение задачи (13), (14) является регулярной частью нулевого приближения к решению задачи (11), (12).

Задачу (13), (14), нетрудно решить, используя метод характеристик.

Далее используем задачу (5), (6) для описания оседания токсичных веществ, присутствующих в рабочих помещениях при повседневных производственных условиях. Будем одновременно описывать оседание урансодержащих и фторсодержащих продуктов (ЦБ6 (газ), иОБ4 (газ), иО2Б2 (газ), иО2Б2 (аэрозоль), ИБ (аэрозоль)) на временном промежутке (0, Для этого выбираем N = 6, ¿о = 0, ¿1 = Исходя из реальных производственных условий мо но считать, что подтекание газа ЦБ6 происходит с постоянной скоростью, а характеристики производственного помещения с течением времени практически не меняются. Поэтому принимаем, что величины , а1,к, в1,к, а2,к, в2,к не зависят от переменной ¿. Кроме того, мы считаем, что не происходит поступления вещества через границу области и, соответственно, г1к = 0, г2,к = 0.

Можно показать (при этом учитываются некоторые особенности конкретной используемой матрицы {ак,т}), что при £ ^ решение задачи (5), (6) стремится к решению следующей стационарной задачи:

¿2 d k _

Dfc^^nk + Vk —Пк + ak,mnm = —Fk(z), k = 1, 6,

m=1

dz2

dz

d ^ —«i,^—nk + ei,k nk

dz

= 0,

z=0

«2,k^- nk + &,k nk dz

z G (0, h);

(15)

(16)

= 0, k = 1,6.

z=h

Задача (15), (16) может быть исследована стандартными методами:

1) находится фундаментальная система решений (ФСР) однородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующей неоднородной системе обыкновенных дифференциальных уравнений (15);

2) находится функция Грина краевой задачи (15), (16);

3) находится интеграл от произведения функции Грина на правую часть уравнения (15).

Поскольку {ак т} — треугольная матрица, то удается получить

(

рекуррентные формулы для построения функций и = Д— (г) +

(г

+ ^п (г) и Пк.

Представляет интерес оценка дозы, получаемой человеком не только за счет перкутанного, но и за счет ингаляционного проникновения токсичных веществ в организм. В качестве физической модели дыхательной системы можно рассмотреть цилиндрическую трубку радиуса а, через которую из атмосферы рабочего помещения всасывается воздух, загрязненный токсичными веществами. Для описания осаждения гексафторида урана и продуктов его гидролиза на стенки трубки используем задачу (1), (2). Предположим, что трубка является бесконечно длинной. Соответственно, можно считать, что Ц = {(х,у,г): х2 + + у2 < а2 Л г > 0}. Обозначим через , в1>к, г1>к значения величин , в, на боковой поверхности трубки, а через а2,к, в2,к, г2,к значения величин ак, в, на торце трубки. В таком случае задача (1), (2) принимает вид

д_ dt

nk = DkAnk — (vk, grad(nk)) + ^ ak,mnm + Fk(x,y,z,t),

m=1

(17)

k = 1,N, x2 + y < a2, z> 0, t G (to,ti);

nk|t=t0 = nk,o, k = 1,N, x2 + y2 < a2, -> 0,

д

ai,k—^ nk + ei,k nk = ri,k, k = 1,N,

-П

X2 + y2 = a2, -> 0, t E (to,ti),

д

-«2,kTT nk + e2,k nk д-

= r2,k, k = 1,N,

z=o

x2 + y2 < a2, t E (to,ti), 3C > 035 E RVxVyV-Vt

((я, у, г) Е ф Л £ Е (¿оЛ) ^ |пк(^, у, г, £)|<Се ), к = 1,^

Перепишем задачу (17), (18) в цилиндрических координатах. Очевидно, задача (17), (18) примет вид

д_

nk = DkAnk - (vk, grad(nk)) + ^ ak,mnm + Fk(p, p, -, t),

m=i

(19)

k =1,N, p E (0, a), p E (0, 2n), - E (0, t E (to,ti);

nk|t=t = nk,o, k=1,N, p E (0, a), p E (0, 2n), - E (0,

д

ai,k7T nk + ei,k nk др

= ri,k, k = 1,N,

p=a

p E (0, 2n), - E (0, t E (to, ti),

д

nk + P2,k nk

д-

= r2,k, k = 1,N,

z=o

p E (0, a) p E (0, 2n), t E (to, ti),

nk 1 m=o - nk 1 м=2п = 0

(20)

д др

nk

<^=o

д др

nk

= 0, k = 1,N,

p E (0, a), - E (0, t E (to, ti),

3C > И5 G

E (0, a)Vp E (0, 2n)V- E (0, +ro)Vt E (to, ti) (|nk(p,p,-,t)|< Ce5i), k = 1,N.

Здесь А — оператор Лапласа в цилиндрических координатах [2, 3]. Заметим, что переход к цилиндрическим координатам приводит к появле-

нию условий периодичности по переменной p [2, 3]:

^=0

d

Пк ^=2п = 0, ^

^=0

д_

dp

Мы рассматриваем временной промежуток (0, т. е. полагаем

£0 = 0, ¿1 = Исходя из реальных производственных условий можно считать, что величины а^, в1,к, , «2,/к, , ^, не зависят от переменной ¿. Можно показать (при этом учитываются некоторые особенности конкретной используемой матрицы |ак,т}), что при £ ^ решение задачи (19), (20) стремится к решению следующей стационарной задачи (которая и использовалась для описания оседания продуктов гидролиза в дыхательном тракте):

DAnfe - (Vk, grad(nfe)) + ^ afe,mnm = —F(p, p, z),

m=1

k = 1,N, p £ (0, a), p £ (0, 2n), z £ (0,

д

ai,fc — П + A,fc nfe dp

= ri,k, k = 1,N,

p=a

p £ (0, 2n), z £ (0,

д

dz

= f2,fe, k = 1,N,

z=0

p £ (0, a), p £ (0, 2n),

nk 1 м=0 — nk 1 м=2п = 0

d_

dp

^=0

д_

dp

= 0, k = 1,N,

p £ (0, a), z £ (0, 3C > 0Vp £ (0, a)Vp £ (0, 2n)Vz £ (0,

(21)

(22)

(|n(p,p,z)| < C), k = 1,N.

Для численной оценки осаждения продуктов гидролиза в дыхательном тракте можно считать, что коэффициенты диффузии одинаковы и коагуляция отсутствует. Учитывалось, что скорости дрейфа всех частиц равны, поскольку они определяются скоростью, с которой движется всасываемый воздух. Предполагалось, что для всех веществ коэффициенты в граничных условиях одинаковы. Отдельно рассматривались урансодержащие и фторсодержащие продукты. Итак, N = 3, Di = D2 = D3 = D, Vi = V2 = V3 = Vo, ai,i = ai,2 = «1,3 = ai,

A,1 = А,2 = А,3 = А, «2,1 = «2,2 = «2,3 = «2, ^2,1 = ^2,2 = ^2,3 = в• Тогда задача (21), (22) принимает вид

DAnfe - (Vo, grad(nfe)) + Y^ afe,mnm = -Ffc(p, p, z),

m=1

(23)

k = 1, 3, p £ (0, a), p £ (0, 2n), z £ (0,

dp

= f1,fe, k = 1,3,

p=a

p £ (0, 2n), z £ (0,

d

-«2^- n + dz

= f2,fe, k = 1,3,

z=0

A dp

p £ (0, a), p £ (0, 2n),

nk ^=0 - nk ^=2n = 0, d

(24)

^=o

dp

= 0, k = 1,3,

p £ (0, a), z £ (0, 3C > 0Vp £ (0, a)Vp £ (0, 2n)Vz £ (0,

(|nfe(p,p,z)| < C), k = 1,3.

Для конкретной используемой матрицы {ak m} можно указать такие натуральные числа ai, a2, аз, что aiai,m + a2a2,m + азаз,т = 0 при m = 1, 3. С точки зрения формирования доз интерес представляют не вещества UF6, UOF4, UO2F2 или UF6, UOF4, HF, а токсичные вещества уран или фтор, входящие в них. Обозначим через n концентрацию атомов урана или "активных" атомов фтора (т. е. тех, которые могут перейти в свободное состояние и нанести вред человеку), а через F — плотность мощности источников атомов рассматриваемого токсичного вещества. Тогда

n = aini + а2П2 + азПз, F = aiFi + ^F2 + a?F3.

Кроме того, обозначим

ri = airi,i + a2ri,2 + азп.з, Г2 = ai^i + 0^2,2 + аз^з.

Очевидно, что функция n(p, z, p) удовлетворяет следующей задаче:

DAn - (Vo, grad(n)) = -F(p, p, z), p £ (0, a), p £ (0, 2n), z £ (0,

(25)

' d

a^— n + pi n d

-a2—n + Р2П dz

= r1, p G (0, 2n), z G (0,

p=a

= Г2, p G (0, a), p G (0, 2n),

z=0

nL=0 - nL=2n = 0,

А dp

n

^=0

_ d_ dp

= 0, p G (0, a), z G (0,

ЗС > 0Ур С (0, а)Ур С (0, € (0, (|п(р,р^)| < С).

Очевидно, что вектор г70 = (г0, г0, г0) направлен вдоль оси z. Обозначим г0 = г0. Будем считать, что в трубке отсутствуют внешние источники частиц, т. е. ^ = 0, а через боковую поверхность трубки вещество внутрь не поступает, т. е. п = 0. Кроме того, считаем, что величины «1, въ а2, в2, не зависят от переменной р. Тогда величина п такке не зависит от переменной р. Очевидно, задача (25), (26) принимает вид

d

d

DApn + D—-n - vo—n = 0, p G (0, a), z G (0, (27)

dz2

dz

д

ai—n + ein dp

д

-a2—n + p2n dz

= 0, z G (0,

p=a

= r2, p G (0, a),

(28)

z=0

3C > 0Vp G (0, a)Vz G (0, (|n(p, z)| < C).

Здесь Ар — радиальный оператор Лапласа [2, 3]. Задачу (27), (28) нетрудно решить, используя метод Фурье.

Приведенные в настоящей статье математические модели позволят оценивать дозу, получаему человеком и в аварийной ситуации, и в повседневных условиях при учете силы тяжести и силы сопротивления среды, действующих на оседающие частицы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Б а б е н к о С. П., Б а д ь и н А. В., Б а д ь и н В. И. Количественная оценка диффузионного осаждения гексафторида урана при аварии в закрытых помещениях и последовательном учете гидролиза всех продуктов Црб // Изв. Академии промышленной экологии. - 2002. - № 2. - С. 66-73; № 3. - С. 77-84.

2. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. -М.: Изд-во МГУ, 1999. - 798 с.

2

3. Боголюбов А. Н., Кравцов В. В. Задачи по математической физике. -М.: Изд-во МГУ, 1998. - 350 с.

Статья поступила в редакцию 05.04.2005

Светлана Петровна Бабенко родилась в 1937 г., окончила в 1960 г. Московский государственный педагогический институт им. В.И. Ленина. Канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры "Физика" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор 65 научных работ.

S.P. Babenko (b. 1937) graduated from the Lenin Moscow State Pedagogical Institute in 1960. Ph. D. (Phys.-Math.), assoc. professor of "Physics" department of the Bauman State Technical University. Author of 65 publications.

Андрей Валентинович Бадьин родился в 1970 г., окончил в 1992 г. МГУ им. М.В. Ломоносова. Канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник кафедры математики физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. Автор 12 научных работ.

A.V. Badiin (b. 1970) graduated from the Lomonosov Moscow State University in 1992. Ph. D. (Phys.-Math.), senior researcher of department of mathematics of Physical faculty of the Lomonosov Moscow State University. Author of 12 publications.

ИНЖЕНЕРНАЯ ПЕДАГОГИКА И I ЛИНГВИСТИКА |

УДК 378.937:54(077.7)

Н. Н. Двуличанская, Г. Н. Фадеев

реализация концепции непрерывного химического образования на основе системного аксиологического подхода

Предложен новый системный аксиологический подход реализации концепции непрерывного химического образования при переходе от технического колледжа к техническому вузу нехимического профиля. Показана принципиальная возможность соответствия уровней преподавания химии в колледже и техническом университете. Обоснованы принципы построения и методика изложения курса химических дисциплин в среднем и высшем технических учебных учреждениях.

Система образования любой страны отражает особенности экономического, политического и культурного ее развития. Главной характеристикой современного исторического этапа развития являются перемены, которым свойственны такие особенности, как непрерывность, устойчивость, стремительность и способность к ускорению. Эти перемены изменяют спрос на квалификационную структуру профессиональных кадров, требуя от них профессиональной мобильности и совершенства, необходимости постоянно обновлять свои знания. Поэто-