CC BY
22
УДК 517.958; 504.5
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИНГАЛЯЦИОННОГО ПОСТУПЛЕНИЯ В ОРГАНИЗМ ЧЕЛОВЕКА ТОКСИЧНЫХ
ВЕЩЕСТВ В УСЛОВИЯХ АВАРИЙНОЙ СИТУАЦИИ НА ПРЕДПРИЯТИЯХ АТОМНОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ
С. П. Бабенко, А. В. Бадьин
(.кафедра математики)
В работе рассматривается ситуация аварийного выброса гексафторида урана (ОТв) в воздух рабочего помещения на предприятии атомной промышленности. Строится математическая модель, описывающая возникновение аэрозольных частиц и02 Р2 и НБ в воздухе рабочего помещения. Рассматриваемая математическая модель учитывает дрейфовое перемещение аэрозольных частиц под действием силы тяжести и силы вязкого трения. Проводится оценка доз токсичных веществ — урана и фтора, получаемых человеком в процессе дыхания.
Целый ряд предприятий атомной промышленности использует гексафторид урана иРе- На производствах это вещество содержится в емкостях в газообразном состоянии под давлением, превышающем атмосферное. В аварийной ситуации возможно поступление С^е в воздух рабочего помещения. Известно [1], что гексафторид урана легко гид-ролизуется, в результате чего в воздухе рабочего помещения появляются вещества иС^, 1Ю2Е2, НЕ. В процессе дыхания в организм человека вместе с веществами ОТе, иС^, 1Ю2Е2, НЕ поступают токсичные уран и фтор. Большое значение имеет оценка массы токсичных веществ, поступивших в организм человека ингаляционным путем на заданном промежутке времени.
Мы рассматриваем следующую физическую ситуацию. В воздухе рабочего помещения находятся вещества: ОТе (газ), иС^ (газ), 1Ю2Е2 (газ), НЕ (газ), 1Ю2Е2 (аэрозоль), НЕ (аэрозоль) и пары Н2О. Рассматриваются следующие физические и химические процессы.
1. Вещества ОТе (газ) и иС^ (газ) взаимодействуют с парами Н2О в соответствии с уравнениями
Ш6 + Н20 ШР4 + 2НР, ШР4 + Н20 Ш2Р2 + 2НР.
2. Вещества 1Ю2Е2 и НЕ переходят из газообразного состояния в состояние аэрозоля.
3. Вещества ОТе (газ), иОЕ4 (газ), 1Ю2Е2 (газ), НЕ (газ), 1Ю2Е2 (аэрозоль), НЕ (аэрозоль) диффузионно осаждаются на пол, потолок и стены рабочего помещения.
4. Вещества 1Ю2Е2 (аэрозоль), НЕ (аэрозоль) оседают на пол рабочего помещения под действием силы тяжести и силы сопротивления среды.
Перейдем к составлению уравнений, описывающих поведение веществ ОТе (газ), иОЕ4 (газ), и02Е2 (газ), НЕ (газ). Так как нас интересуют концентрации молекул вблизи лица человека, т.е. вдали от пола, потолка и стенок рабочего помещения, то диффузией газов можно пренебречь. Пусть
п2(£), пз(£), п4(£) — концентрации молекул веществ ОТе (газ), 1ЮЕ4 (газ), 1Ю2Е2 (газ), НЕ (газ) в момент времени Тогда для газов можно записать следующую начальную задачу для системы
уравнений непрерывности:
^ _—^ _
-¡^пк= 2_^ак!тпт, к = 1,4, £е(0,+оо),
т=1
ш(0) = П1,о, п2(0) = 0, п3(0)=0, п4(0) = 0.
Здесь {а^)ТО} — некоторая матрица, описывающая процессы гидролиза и коагуляции. Мы предполагаем, что матрица {а^)ТО} имеет четыре линейно независимых собственных вектора хъ Х2> Хз> Х4 и отрицательные собственные значения —¿1, ,
—¿3, —¿4-
Решая начальную задачу для газов, получаем
4 г=1
Здесь С г — коэффициенты, определяемые из начальных условий.
Пусть д = 3.922 • 1СГ4 м3/е — объем воздуха, вдыхаемого в единицу времени. Тогда число молекул вещества с номером к, вдохнутых на временном промежутке [0, £]:
t 4
ЛШ = д [ <Мпк(1) = ^¿хмсД (1 - е"*4) . о
Далее отдельно рассмотрим урансодержащее вещество и02Е2 (аэрозоль) и фторсодержащее вещество НЕ (аэрозоль). Перейдем к составлению уравнений, описывающих поведение вещества и02Е2 (аэрозоль) (соответственно вещества НЕ (аэрозоль)). Предположим, что в процессе коагуляции с различной вероятностью образуются аэрозольные частицы различных радиусов. Обозначим через до дифференциальную функцию распределения радиусов аэрозольных частиц, образующихся
в процессе коагуляции. В работе [2] показано, что для аэрозольных частиц иОгРг функция до описывается логарифмически нормальным законом
9о(г) =
1
ехр
ln(r) — ln(rs)
у/2ЧРд)
со следующими значениями параметров гд,рд: гд = 2.744 • Ю-6 м, (Зд = 2.18. Предположим, что для аэрозольных частиц HF функция до описывается логарифмически нормальным законом со следующими значениями параметров rg,f3g: гд = 5.5 • Ю-7 м, (Зд = 2.18.
Пусть np(z,t) — полная концентрация молекул интересующего нас вещества в составе всех аэрозольных частиц на высоте г в момент времени t; n'(r,z,t) — удельная (по радиусам аэрозольных частиц) концентрация молекул интересующего нас вещества в составе аэрозольных частиц радиуса г на высоте г в момент времени t. Очевидно,
оо
np(z,t) = f drn'(r,z,t).
о
Будем считать, что диффузией аэрозольных частиц можно пренебречь. Кроме того, предположим, что аэрозольные частицы движутся равномерно и прямолинейно под действием силы тяжести и силы вязкого трения. В рассматриваемой модели скорость аэрозольной частицы радиуса г определяется выражением v(r) = 7г2. Здесь 7 = >
mi = 308 • 1.67 • Ю-27 кг — масса молекулы UO2F2 (соответственно mi = 20 • 1.67 • Ю-27 кг — масса молекулы HF); г\ и 3 • Ю-10 м — радиус молекулы интересующего нас вещества; д = 9.81 м/с2 — ускорение свободного падения; г) = 1.84 • Ю-5 н-с/м2 — коэффициент вязкости воздуха.
Теперь можно написать начальную задачу для уравнения непрерывности для удельной (по радиусам аэрозольных частиц) концентрации молекул интересующего нас вещества:
д д
—n'(r,z,t) =v(r)—n'(r,z,t)+go(r)F(t),
z€(0,h), t€(0,+00), n'(r, z, 0) = 0, ze (0, h), n'(r, h,t)=0, I e (0, +00).
Здесь h = 3 м — высота комнаты; слагаемое v(r)J^n'(r,z,t) описывает дрейф молекул интересующего нас вещества в составе аэрозольных частиц радиуса г под действием силы тяжести и силы вязкого трения; слагаемое go(r)F(t) описывает появление молекул UO2F2 (HF) в составе аэрозольных частиц радиуса г за счет коагуляции газообразного UO2F2 (HF), F(t) = J2m=i bm,nm{t), brn — некоторые коэффициенты, описывающие процесс коагуляции.
Решая начальную задачу для аэрозолей методом характеристик, получаем
t
n'(r,z,t)=go(r) f diF(i) =
4 4
= 9o(r) ^ l>,„ ^ Xm,iCiY (1 - e
1 • 1 "i
m=1 г=1
при г + v(r)t < h,
t
n'(r,z,t)=go(r) J dt F(t) =
^_h — z
V (r)
Sit
1 f -Si(t-btf) „-sit
4 4
= 9o(r) bm^2xm,*Ci-jr ie
m=1 i=1 г ^
при г + v(r)t > h. Обозначим R(z,t) = sj^f-- Нетрудно подсчитать, что
4 4
np(z,t) = / dfn'(f,z,t) =
rn=1 i=1
Здесь
«CM,«) = ?5 erf I }
1 -St 11
_e ot ---
S S \рк
dx expi —x'
1п(Д(г,<))-1п(г9)
V2 1n(%)
• г t
h ^ z 7r|
ехр
Удельное (по радиусам аэрозольных частиц) число молекул интересующего нас вещества в составе аэрозольных частиц радиуса г, вдохнутых на высоте г на временном промежутке [0, :
г
0
4 4
m=1 г=1
N'(r, z, t) = qg0(r) ^ !>,„ ^ XmjPi х
'I _ _L (
X I — -L i 1 — e Sit) ] при г + v(r)t < h,
4 4
N'(r, z, t) = qg0(r) ^ !>,„ ^ Xm,iCi x
m=1 i=1
Si v(r) S?
при г + v(r)t > h.
Полное число молекул интересующего нас вещества в составе всех аэрозольных частиц, вдохнутых на высоте г на временном промежутке [0, :
+оо
4 4
ЬтЕхЛ^М^.
т=1 г=1
Здесь
1 1 \ 1 = ) 2 х
х ег£
/ 1п(Д(г,<))-1п(гд)>
-г*
¿2 $
ехр (2(1п/35)2) х
х I Л _ ег£ ( 1п(Д(г, ¿)) — 1п(га) + 2(1п/За)2
2 \ \ уДЧРд)
1 1
йх ехр( —х
1п(Д(г,<))-1п (Гд)
•г Г г
И — г
7 г|
ехр ж 2-\/2
Было проведено вычисление следующих величин: щ(^) + пг(^) + «з(£) концентрация атомов урана в составе газов; 4пх(£) + 2пг(£) + — концент-
рация «активных» атомов фтора в составе газов (имеются в виду те атомы фтора, которые рано или поздно перейдут в состав вещества НЕ и смогут причинить вред человеку); — масса вдохнутых атомов урана в составе газов (здесь то,и = 238 • 1.67 • 1СГ27 кг — масса атома урана), то,р(4Жх(^) + 2^2 + — масса вдохнутых «активных» атомов фтора в составе газов (здесь то,р = 19 • 1.67 • Ю-27 кг — масса атома фтора), пр,и(г, £) концентрация атомов урана в составе аэрозольных частиц; пРур(г, — концентрация атомов фтора в составе аэрозольных частиц; то,и-^р,и(2) — масса вдохнутых атомов урана в составе аэрозолей; тау\]МРур(г, — масса вдохнутых «активных» атомов фтора в составе аэрозолей. Расчеты проводились для случая пу = 10"
21
м
-3 .
¿1 = ^
_ 1п(2)
¿2 =
_ 1п(2)
¿3 = ^
20 ' "о 50 '
¿4 = ^ с"1; 61=0, Ь2 = 0, = с"1, Ь4 = 0
для и02Р2; Ьх = 0, Ь2 = 0, Ь3 = 0, Ь4 = с"1 для НЕ; г = 1.5 м.
Результаты расчетов приведены в таблице. Из приведенных расчетных данных по урану видно следующее.
1. Концентрация атомов урана в составе всех газов быстро убывает со временем. Через 10 мин она уменьшается более, чем на два порядка, а через 30 мин становится ниже производственного фона на предприятиях, использующих гексафторид урана.
2. Концентрация атомов урана в составе аэрозолей растет в течение первых пяти минут, а далее медленно убывает так, что уровень производственного фона достигается только через несколько суток.
г Уран. Аварийная ситуация. Пренебрежение диффузией. Полидисперсные аэрозоли, гд = 2.744 мкм, гу = 1.49 мкм Фтор. Аварийная ситуация. Пренебрежение диффузией. Полидисперсные аэрозоли, гд = 0.55 мкм, гу = 0.3 мкм
пи 1/м3 ши мг вдохнутая Пр 1/м3 г«е мг вдохнутая
Аэрозоли Сумма газов Аэрозоли Сумма газов Аэрозоли + сумма газов Аэрозоли Сумма газов Аэрозоли Сумма газов Аэрозоли + сумма газов
10 с 1.23 • 1019 9.88 • Ю20 5.56 • 10_3 1.55 1.56 2.13 • Ю20 3.79 • 1021 1•10"2 4.9 • Ю-1 5-Ю"1
20 с 5.43 • 1019 9.45 • Ю20 5.42 • М-2 3.06 3.12 5.3 -Ю20 3.47-1021 6-Ю"2 9.4 • Ю-1 1
1 мин 3.23 • Ю20 6.63 • Ю20 1.21 8.11 9.32 1.77-1021 2.23 • 1021 6.4 • Ю-1 2.35 2.99
5 мин 6.41 • Ю20 2.71 • 1019 2.46 • 101 1.59 • 101 4.05-101 3.91 • 1021 8.68 • 1019 1.06 - ю1 4.37 1.49 • 101
10 мин 4.29 • Ю20 4.24 • 1018 4.92 • 101 1.62 • 101 6.54-101 4 • 1021 1.36 • 1018 2.54-101 4.45 2.99 • 101
20 мин 2.44 • Ю20 1.04-1018 7.92 • 101 1.62 • 101 9.54-101 4 • 1021 3.31 • 1014 5.53-101 4.45 5.97-101
30 мин 1.65 • Ю20 2.53 • Ю10 9.78 • 101 1.62 • 101 1.14 -102 3.99 • 1021 8.08 • Ю10 8.51 • 101 4.45 8.95-101
40 мин 1.21 • Ю20 6.17-10е 1.11 • 102 1.62 • 101 1.27-102 3.98 • 1021 1.97-107 1.15 • 102 4.45 1.19 • 102
50 мин 9.34 • 1019 1.51 • 103 1.21 • 102 1.62 • 101 1.37-102 3.97-1021 4.82 • 103 1.45 • 102 4.45 1.49 • 102
1 ч 7.48 • 1019 0 1.29 • 102 1.62 • 101 1.45 • 102 3.96 • 1021 1.18 1.74 -102 4.45 1.78 • 102
1.5 ч 4.38 • 1019 0 1.45 • 102 1.62 • 101 1.61 • 102 3.93 • 1021 0 2.63 • 102 4.45 2.67-102
2 ч 2.9 -1019 0 1.54-102 1.62 • 101 1.71 • 102 3.89 • 1021 0 3.5 -102 4.45 3.54-102
6 ч 4.57-1018 0 1.81 • 102 1.62 • 101 1.97-102 3.55-1021 0 1.102 • 103 4.45 1.02 • 103
1 сут 2.34-1017 0 1.9 -102 1.62 • 101 2.08 • 102 2.5 -1021 0 3.4 -103 4.45 3.4 -103
10 сут 3.24-1014 0 1.94-102 1.62 • 101 2.1 -102 4.91 • Ю20 0 1.35 • 104 4.45 1.35 • 104
3. Масса урана, вдохнутого с газами, с точностью до сотых долей миллиграмма растет первые 10 мин, а далее не меняется. Это объясняется быстротой процесса гидролиза и тем, что по истечении 10 мин практически весь уран сосредоточивается в аэрозолях.
4. Масса урана, вдохнутого с аэрозолями, в первую минуту сильно отстает от массы урана, вдохнутого с газами. Однако уже через 10 мин она становится в три раза больше, чем масса урана, вдохнутого с газами, и далее продолжает расти вплоть до 10 сут, хотя скорость роста со временем убывает.
Из приведенных расчетных данных по фтору видно следующее.
1. Качественно поведение фтора совпадает с поведением урана.
2. В количественном отношении нужно отметить
следующие различия. Фтор оседает медленнее, чем уран. Через сутки его концентрация в воздухе на четыре порядка больше, чем концентрация урана. При этом масса вдохнутого фтора в 16 раз больше, чем масса вдохнутого урана.
Приведенные данные позволяют оценить дозы, полученные человеком, попавшим в аварийную ситуацию и пробывшим там определенное время t.
Литература
1. Мирхайдаров А.Х. Метод и средство измерения гексафтори-да урана в воздухе // Радиоактивность при ядерных взрывах и авариях. СПб., 2000. С. 92.
2. Бабенко С.П., Бадьин A.B., Бадьин В.И. // Изв. Акад. пром. экологии. 2002. №4. С. 70.
Поступила в редакцию 06.05.05
