Формирование функции распределения радиусов аэрозольных частиц продуктов гидролиза гексафторида урана в производственных помещениях Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

Формирование функции распределения радиусов аэрозольных частиц продуктов гидролиза гексафторида урана в производственных помещениях

С. П. Бабенко1^, А. В. Бадьин2,6

1 Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана, факультет «ФН», кафедра «Физика». Россия, 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5.

2 Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, физический факультет, кафедра математики. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.

E-mail: a babenkosvetlana@mail.ru, 6 badyin@phys.msu.ru Статья поступила 28.08.2013, подписана в печать 20.10.2013.

Рассматриваются аэрозольные частицы (UO2F2, HF), образующиеся в воздухе рабочего помещения на предприятии атомной промышленности. Обсуждается функция распределения g радиусов аэрозольных частиц в данной точке пространства в данный момент времени. Рассматриваются некоторые логарифмически нормальные функции распределения, связанные с газодисперсной средой рабочего помещения. Оценивается отклонение функции от упомянутых логарифмически нормальных функций распределения и обсуждаются связанные с этим проблемы вычисления среднего коэффициента прохождения в организм человека атомов токсичного вещества (урана или фтора) при ингаляционном поступлении.

Ключевые слова: гексафторид урана, ингаляционное поступление, функция распределения, коэффициент прохождения, математическая модель.

УДК: 51-74, 51-76, 614.876, 614.878. PACS: 87.10.-е, 87.53.-j.

Введение

Основным рабочим веществом в технологиях обогащения урана изотопом 235и является гексафторид урана (иРб, ГФУ). Используется это вещество в виде жидкости в закрытых сосудах, над поверхностью которой образуется пар.

Вследствие аварийных и технологических выходов газообразного гексафторида урана в воздух рабочего помещения воздух загрязняется газообразными и аэрозольными продуктами взаимодействия ГФУ с парами воды (продуктами гидролиза ГФУ). Продукты гидролиза токсичны, поскольку содержат атомы урана или фтора. Этот факт является источником серьезных осложнений в организации производственного процесса на предприятиях атомной промышленности. На таких предприятиях приходится решать целый ряд задач по обеспечению безопасности труда. К числу этих задач относится описание формирования газодисперсной среды рабочего помещения, а также нахождение функции распределения радиусов аэрозольных частиц. Решение этих задач имеет большое значение, поскольку известно [1], что при ингаляционном поступлении коэффициент прохождения аэрозольных частиц в организм человека зависит от их радиуса.

В работах [2, 3] опубликованы данные по нахождению функции распределения радиусов аэрозольных частиц уранил-фторида (и02Р2), образующихся в процессе нуклеации. Показано, что эта функция описывается логарифмически нормальным законом

Go(r ) = ill + erf

+ erf ^

ln(r) - lnpg) lnGSg )V2

r e (0,

go(r) =

in(ßg)V2n r

1 exp I -

(ln(r) - ln(rgA 2\

^ ln(ßg)л/2 ) J

r e (0,

Здесь G0 — интегральная функция распределения радиусов аэрозольных частиц (G0(r) — вероятность того, что в процессе нуклеации атом урана попадет в состав аэрозольной частицы радиуса не больше r); g0 — дифференциальная функция распределения радиусов

r

аэрозольных частиц (J drg0(r) = G0(r)); rg — геометри-

0

ческое среднее радиусов аэрозольных частиц; ßg (безразмерная величина) — геометрическое стандартное отклонение радиусов аэрозольных частиц; erf — функция

u —2

ошибок (erf(u) = -J du e-u ).

0

Следует заметить, что реальная газодисперсная среда в физически бесконечно малой окрестности данной точки рабочего помещения в данный момент времени складывается под действием многих факторов — диффузии, дрейфа, гидролиза, нуклеации, воздухообмена. Так как функции G0, g0 описывают только процесс нук-леации, то возникает потребность в новых функциях распределения, описывающих конечный результат.

Фиксируем некоторую точку рабочего помещения и некоторый момент времени. Пусть n(r) — концентрация атомов токсичного вещества (урана или фтора) в составе аэрозольных частиц радиусов не больше r, n^, — концентрация атомов токсичного вещества в составе аэрозольных частиц всех радиусов (n^, = lim n(r)), n'(r) — удельная (по радиусам

аэрозольных частиц) концентрация атомов токсичного

1

вещества в составе аэрозольных частиц радиуса г

г /

(Г С?п' (? = п(г)). Обозначим ^(г ) = ^, gl(r ) = ^ .

пс© псо

0

Тогда 01(г) (О+0 0, 01(г) 1, 01 — неубывающая

г

функция, /С?^? = б1(г). Очевидно, 0^г) можно 0

интерпретировать как вероятность обнаружить атом токсичного вещества в составе аэрозольных частиц радиусов не больше г. Иными словами, функции 0ь §1 играют роль функций распределения радиусов аэрозольных частиц в данной точке в данный момент времени. Функции 01, , вообще говоря, зависят от выбора точки рабочего помещения и момента времени, отличаются от функций О0, §0 и даже не описываются логарифмически нормальным законом. Последнее приводит к определенным трудностям. Например, в работе [1] приводится график, с помощью которого, зная АМАД (активностный медианный аэродинамический диаметр) или ММАД (массовый медианный аэродинамический диаметр), можно найти средний коэффициент прохождения в организм человека атомов токсичного вещества. Однако этот график построен в предположении, что распределение аэродинамических диаметров аэрозольных частиц описывается логарифмически нормальным законом (в этом случае распределение радиусов аэрозольных частиц тоже описывается логарифмически нормальным законом).

Пусть £'(г) — коэффициент прохождения в организм человека атомов токсичного вещества в составе аэрозольных частиц радиуса г. Очевидно, число

+оо

п^ / Сг е(г)п'(г) можно интерпретировать как сред" 0

ний коэффициент прохождения в организм человека атомов токсичного вещества. Кроме того, очевидно, что

1

по

Сг £(г)п'(г) =

Сг £ (г)

п (г)

Сг е' (г)§1(г).

Пусть §* — некоторая дифференциальная функция распределения на (0, . Обозначим £(§*) =

+оо

= / Сг е(г)м*(г) (очевидно, £(§*) — средний коэффи-0

циент прохождения, соответствующий функции распределения §*). Пусть §2 — некоторые дифференциальные функции распределения на (0, . Так как е(г) е [0,1 ] при г е (0, , то

е(м1) - е(м2)| =

Сг е (г)м1(г )-

Сг е (г)м2(г)

+о

Сг е(г) (г) - м2(г))

+о

+о

реализует один из стандартных способов количественного описания отклонения одной функции от другой.

В настоящей статье оцениваются перспективы следующей идеи: выбрать некоторую «базовую» функцию распределения («близкую» к §1, но описывающуюся логарифмически нормальным законом), вычислить

+оо

величины ), Д§ = / Сг |^(г) -^(г)| и оце-

0

нить величину £(м0 следующим образом:

- Дм < е(м1) < + ДМ.

1. Аварийная ситуация

В работе [4] функции 01, м определяются для аварийной ситуации на предприятии атомной промышленности. При этом делаются следующие предположения. Имеет место разовый выброс ГФУ в воздух рабочего помещения. Воздухообменом пренебрегаем. Диффузией и оседанием газов пренебрегаем. Диффузией аэрозолей пренебрегаем. Имеет место оседание аэрозолей на пол рабочего помещения под действием силы тяжести и силы сопротивления среды. В работе [4] рассматривается следующая начальная задача для газов:

С

N

¿¡Пк = ак,шПш, к = 1, N, г е (0, +то),

т=1

Пк |

к = 1, N.

I ¡=0 = пк0

Здесь N — число интересующих нас веществ в составе газов; пк(г) — концентрация молекул вещества с номером к в момент времени г; {а^т}^!1^ — коэффициенты, описывающие процессы гидролиза и нуклеации; пк,0 — концентрация молекул вещества с номером к в нулевой момент времени. Мы предполагаем, что

матрица {ак,т^^у^ (а точнее, оператор умножения на

эту матрицу в пространстве ^) имеет отрицательные собственные значения и полный набор собственных векторов. Решение начальной задачи для газов может быть записано в виде

N

пк

(¡) = Е Хкт

Сте

т=1

Здесь -¿ь

{ак,т}

—SN — собственные значения матрицы

к=1М

{Хк,1}

ON k=1,N

{Хк,N }

k=1,N

— соответ-

ствующие линейно независимые собственные векторы

матрицы {ак,т}к ; коэффициенты С1,..., CN опреде-

' т=1^

ляются как решение следующей СЛАУ:

N

^2,Хк,тСт = пк,0, к = 1, N.

т=1

В работе [4] рассматривается следующая начальная задача для аэрозолей:

Сг 1е(г)| |м1(г) -м2(г)| <

д

д

N

Сг |М*(г) - &(г)| . д^п' = и(г)д^п' + М0(г^ Ьтпт^)

+оо

Следует заметить, что интеграл J Сг |м*(г) - м2 (г) |

0

1х=Н

дх

= 0, г е (0, +то),

х е (0, н), г е (0, +то);

1<=0

= 0, х е (0, Н).

п

V

п

п

Здесь г — радиус аэрозольных частиц (величина г входит в рассматриваемую начальную задачу как параметр); Н — высота рабочего помещения; п'(г, г, £) — удельная (по радиусам аэрозольных частиц) концентрация атомов токсичного вещества в составе аэрозольных частиц радиуса г на высоте г в момент времени I; v(г) — скорость оседания аэрозольных частиц радиуса г; ¿1,..., ЬN — коэффициенты, описывающие процесс нуклеации. Величина v(г) вычисляется по правилу v(г) = т|гг2 = 7Г2. Здесь т — масса молекулы (из этих молекул состоит аэрозольная частица), g — ускорение свободного падения; п — коэффициент вязкости воздуха, г1 — радиус молекулы.

Обозначим Я1(г, 0 = ^Н— . Тогда г + v(г)t < Н при г < Я1 (г, t), г + v(г)t = Н при г = й1(г, ^, г + v(г)t > Н

N

при г > Я^г, ^. Обозначим Р(t) = ^ Ьmnm(t). Мы

т=1

предполагаем, что Р(0 >0. Решая начальную задачу для аэрозолей методом характеристик, получаем

п'(г, г, ^ = go(r) = go(r)

(ТР (5) =

N / N \

Ш ЬтХт-1

'=1 \т=1 /

ЬтХт,' ^ (1 - в-''*)

г < Й1(г, t),

п '(г, г, t) = go(г)

(ЯР (Т) =

= go(г)

N / N \

У! ( ^ ЬтХт,/ | /=1 \т=1 )

С ф Х

х (,в-6>[-(Н-г)^(г)] - в' , г > Й1(г, t).

Интегрируя функцию п , получаем

п(г, г, t) = Оо(г) ^ I ^ Ьт;

'= 1 \т= 1

г < Я^г, t),

N / N \

^ !]ЬтХт./ /=1 \т=1 /

С(' - в'

п(г, г, t) =

N / N

ЕЕ

'=1 \т=1

Ьт\тI С' г Х

х Со№(г, t)) - Оо(г)в-' +

+

dТg0(7)в-5i[t-(Н-г)/v(?)] У

г > Й1(г, 0,

(г, t) =

N / N

ЕЕ

'=1 \т=1

Ьт\тI С' <• х

х Со(Й1(г, t)) - в-'t +

+

(Т go(?)в-í>i [-(Н-г)^(?)] .

Rl(г,t)

Очевидно,

gl(г, г, ^ =

go(r )] (ТР (Т)

0

пто(г, t)

-, г < Я1(г, t),

go(г ) ] (ТР (?)

gl(г, г, ^ =

у(Г)

г > Я1(г, t).

пто(г, t)

Попробуем рассматривать функцию g0 в качестве «базовой» функции распределения. Во-первых, это логарифмически нормальная функция распределения, описывающая процесс нуклеации. Во-вторых, как будет установлено дальше, отклонение функции ^(г, г, *)}г от функции g0 стремится к нулю при t ^ 0 + 0. Обо-

+оо

значим Ag(г, t) = § (г ^(г, г, t) - g0(r)| (эта вели-

0

чина характеризует отклонение функции ^(г, г, *)}г от функции g0). Обозначим п''(г, г, 0 = (изуче-

ние этой величины позволит нам сравнить величины gl(г, г, 0, go(r)). Очевидно,

+ о

по (г, о =

(г п'(г, г, 0 =

0

Я1 (гг, 0

Я1 (г,t)

+о

(Т п ' (?, г, t) +

t + о

(Тп '(г, г, 0 =

drgo(r)

(ТР (Т)+

0

М)

<

drgo(r)

(Тр (Т) +

drgo((r) (ТР(Т) <

Я^Д) t—(Н—z)/v(r)

+о t

drgo(r) (ТР (Т) =

0

+о

go (г)

(ТР (Т) =

(ТР (Т).

Пусть г < Я (г, t), тогда

п ''(г, г, 0 = Пусть г > Я (г, 0, тогда

](ТР (Т)

0_

по (г, 0

> 1.

п''(г, г, 0 =

] (ТР (Т)

t—(Н—z)/v(r)

по (г, t)

Очевидно, п ''(Я1(г, г, t) > 1, п''(г, г, 0 0, {п ''(г, г, 0}ге[Й1(гД+о) — непрерывная функция,

Н-г

Н—г

{п'' (г , z, {)}ге[к1— убывающая функция. Тогда 3! г е (№1(г, t), +ж)(п"(г, z, ^ = 1). Следовательно, 3 г е (№1(г, t), +ж)(п''(г, z, ^ = 1), 3! г е (0, (п''(г, z, ^ = 1). Обозначим через Я2(г, ^ решение уравнения п''(г, z, ^ = 1 (по переменной г). Тогда Я2(г, 0 > К1 (z, ^, п''(г, z, ^ >1 при г < Я2(г, ^, п''(г, z, = 1 при г = й2(г, ^, п''(г, z, t) <1 при г > Я2 (г, ^. Следовательно,

£1 (г, г, 0, go (г), М

-1

о =

Лг Ыг, z, ^ - £о(Г)| =

Лг Ыг, z, ^ - go(r)| +

+

лг Ыг, z, ^ - §о(Г)| =

К2(г,1)

К'Лг!)

лг (§1 (г, z, г) - go(r)) +

+

лг (-1)ыг, z, ^ -§о(г)) =

К'ЛгЛ)

= в1(Я2^, Z, ^ - ОоК2^, -

- ((1 - О^г, 0, Z, - (1 - ООК2^, т =

= 2(0^2^, Г), Z, Г) - Оо(Й2(z, t))).

Я1(г, 0 < Й2(г, ^ при t е (0, ; 0 , то Й2(г, 0 ^оо. Тогда Оо(№2^\ I))Так как 0о(Й2(г, ^) < < 01(№2(г, t), z, ^ < 1 при t е (0, , то 01 (R2(z, 0, z, ^ ^ 1. Тогда Д§(г, ^ ^ 0.

В табл. 1 приведены результаты численных расчетов для величины Д§(г, ^ (z = Я/2).

Так как

Таблица 1

Д§(г, $ (г = к/2)

t Д§(г, ^ (Ш^) Дё(г, 0 (ИР)

10 с 1.56 • 10~3 2.91 • 10~6

1 мин 5.20 • 10~2 5.10 • 10~4

3 мин 2.67 • 10"1 7.43 • 10~3

5 мин 4.98 • 10"1 2.28 • 10~2

7 мин 6.98 • 10"1 4.41 • 10~2

10 мин 9.29 • 10"1 8.13 • 10~2

15 мин 1.18 1.47 • 10"1

20 мин 1.34 2.12 • 10"1

На рис. 1, 2 приведены (z = Я/2, t = 10 мин) графики функций {§1(г, z, (кривая 1), §0 (кривая 2).

Видно, что для уранил-фторида отклонение {§1(г, z, от §0 перестает быть приемлемым уже через 3 мин после выброса. Для более легких частиц фтористого водорода (ИР) отклонение {§1(г, z, от §0 остается приемлемым даже через 15 мин после

5 ■ 10

410'

3 ■ 10

2 10'

1-10

1 X

1 1 г

/ /

И

1 -10"

3-Ю"6 г, м 5Ю"6

Рис. 1. §1(г, г, {) (кривая 1), §0(г) (кривая 2) (и02Р2, 2 = Я/2, t = 10 мин)

С''» г, о» 80 (г), м

-1

2.5 10

2.0 10

1.5 10

1.010

5.0 -10'

А

Г ? 1

1 1

2 \

1 1

2-10"

610"

МО"5 г, м

Рис. 2. §1(г, г, 0 (кривая 1), §0(г) (кривая 2) (ИР, г = Я/2, t = 10 мин)

выброса (чем легче частицы, тем больше величина К1(г, ^, тем больше величина Я2(г, ^ и тем меньше величина Д§(г, ^).

2. Повседневные производственные условия

В работе [5] функции 01, определяются для повседневных производственных условий. При этом делаются следующие предположения. Имеет место постоянное подтекание ГФУ в воздух рабочего помещения. Имеет место воздухообмен. Диффузией и оседанием газов пренебрегаем. Диффузией аэрозолей пренебрегаем. Имеет место оседание аэрозолей на пол рабочего помещения под действием силы тяжести и силы сопротивления среды. В работе [5] рассматривается следующая система уравнений для газов:

N

^2<2к,т(К)пт + Рк = 0, к = 1, N.

т=1

Здесь К — кратность воздухообмена (величина К входит в рассматриваемую систему уравнений как параметр); N — число интересующих нас веществ в составе газов; п£(К) — концентрация молекул вещества с номером £ при кратности воздухообмена К; {а£,т(К)}т=1^ — коэффициенты, описывающие процессы гидролиза, нуклеации и воздухообмена; Р£ — плотность мощности внешних источников молекул вещества с номером £. Мы предполагаем, что

<1е1 (н,т(К)}т=;|) = 0.

В работе [5] рассматривается следующая начальная задача для аэрозолей:

д

N

v(r) д^п' - Kn' + g0(r)2^ ЬтПт(К) = 0,

m=1

z e (0, h),

n' I h = 0.

Iz=h

Здесь г — радиус аэрозольных частиц (величина г входит в рассматриваемую начальную задачу как параметр); Н — высота рабочего помещения; п'(г, г, К) — удельная (по радиусам аэрозольных частиц) концентрация атомов токсичного вещества в составе аэрозольных частиц радиуса г на высоте г при кратности воздухообмена К; v(r) — скорость оседания аэрозольных частиц радиуса г (величина v(r) вычисляется так же, как и в аварийной ситуации); Ь1,..., ЬN — коэффициенты, описывающие процесс нуклеации. Обозначим

N

Р(К) = Ьтпт(К). Мы предполагаем, что Р(К) >0.

т=1

Так как дальше нам придется одновременно использовать логарифмически нормальные законы с разными значениями геометрического среднего, то удобно ввести в рассмотрение следующие функциональные зависимости:

1

G(r, u) = - (1 +

^ + erf ^

ln(r) - ln(u)

g(r, u) =

ln(fiB)>/2 ) ) r e (0, +ro), u e (0, +ro),

1 1 I i ln(r) - ln(u)

- exp - 1

ln(fiB)V2n r \ \ ln(fiB)>/2 r e (0, u e (0,

(ln(r) - ln(u)\

^ ln(i3B)V2 ) J

Обозначим гв = ехр(2(1п р )2). Нетрудно доказать, что

вТ) = в (г, Т ) ^^(Г-р^ . Решая начальную задачу для аэрозолей методом вариации постоянной, получаем

п'(г, г, 0) = В0(Г)(Н - г)Р(0) = v(r)

в( т )ехр (2(1п ^)2) = В(г, Гв)-, 7 (Н - г)Р(0),

v(rB)

n'(r, z, K) = BK) (1 - e-K(h-z)/v(r)^j F(K), K >0.

K

Интегрируя функцию n', получаем

n(r, z, 0) =

d?

B0(r)

v(?)

(h - z)F (0) =

= G(r,?B)exp (2('n°B>2> (h - z)F(0),

v(rB )

n(r, z, K) = K

d?B0(?) (1 - e-K(h-z)/v(?)) I F(K)

= K |G0(r) -

nM(z,0) =

K >0,

^ + TO

d?

B0(?) v(r)

exp (2(ln вв)2'

d?B0(?)e-K(h-z)/v(?) I F(K),

(h - z)F (0) = (h - z)F(0),

nM(z, K) = 1

v(rB )

+TO \

d?B0(?) (1 - e-K(h-z)/v(?)) I F(K) =

+TO

= k 11 -

d?B0(?)e-K(h-z)/v(r) I F(K),

K >0.

Очевидно,

B1(r, z, 0) =

B0(r) v(r)

7

= B(r,rB )>

B1 (r, z, K) =

B0(r) (1 - e-K(h-z)/v(r))

+ TO

J d?B0(?) (1 - e-K(h-z)/v(j))

B0(r) (1 - e-K(h-z)/v(r))

+ TO

1 -J" d?B0(?)e-K(h-z)/v(f) 0

K >0.

Итак, функция {gi(r, z,0)}r описывается логарифмически нормальным законом с геометрическим средним ?rB и геометрическим стандартным отклонением вв. Попробуем рассматривать эту функцию в качестве «базовой» функции распределения. Во-первых, это логарифмически нормальная функция распределения, описывающая процессы дрейфа и нуклеации (функция в0 описывает только процесс нуклеации). Во-вторых, как будет установлено дальше, отклонение функции {g1(r, z, K)}r от функции {g1(r, z,0)}r стремится к нулю при K ^ 0 + 0. Обозначим Ag(z, K) =

+ TO

= J dr B1 (r, z, K) - B1(r, z, 0)| (эта величина характе-

0

ризует отклонение функции {g1(r, z, K)}r от функции {B1(r, z,0)}r). Обозначим n''(r, z, K) = (изуче-

ние этой величины позволит нам сравнить величины B1(r, z,K), B1(r, z, 0)). Пусть K >0. Тогда

1-e-K(h-z)/v(r)

n''(r, z, K)= K(h - z)/v(r) X

+ СО

1

0

С

1 К-

+ СО

1

0

1 ^Ыг) (1-в-К(Я-г)/^(Т)) 0

1 - в-к(ь-г)Мг) ехр (2(!п ¡Зё)2) КЯ-

К (Я - г)/я(г) ~ ^ К(. ) '

1 - I Лг§0(7)в-К(к-г)/о(г) 0

Обозначим ф(и) =

1-в^

но доказать, что ф(и) и-О+0 1, ф(и)

при и е (0, . Нетруд-

- 0, ф —

непрерывная функция, ф — убывающая функция. Тогда ф(и) е (0,1) при и е (0, ; V V е (0,1)3! и е е (0, +ж)(ф(и) = V). Обозначим

+ СО

1 Л?£0(7 (1 - в-К(Я-г)/я(7))

а(г, К) =

+ СО

1

0

1 К(-)

+ СО

1 - 1 Л7§0(7) в-К(Я-г)г о_

ехр (2(!п )2) К*-1 '

г е (0, Я), К >0.

Тогда а(г, К) е (0,1), п''(г, г, К) = ф(/а(г, К).

Обозначим через и (г, К) решение уравнения ф(и) = = а(г, К) (по переменной и). Тогда и (г, К) е (0, , ф(и) > а(г, К) при и < и (г, К); ф(и) = а(г, К) при и = и (г, К); ф(и) < а(г, К) при и > и (г, К). Обозначим Лэ(г, К) = у/ЦК • Тогда Я3(г, К) е (0, , '«Я-1 > и (г, К) при г < Лэ(г, К); ^ = и (г, К) при г = Лэ(г, К); < и (г, К) при г > Яэ (г, К). Следова-

тельно, п''(г, г, К) <1 при г < Я3(г, К); п''(г, г, К) = 1 при г = Я3(г, К); п''(г, г, К) >1 при г > Я3(г, К). Тогда

Д§(г, К) =

Лг |§1(г, г, К) - §1(г, г, 0)| =

Я3(г,К)

Лг Ыг, г, К) - §1(г, г, 0)| +

+ СС

+

Лг Ыг, г, К) - §1(г, г, 0)| =

Я3(г,К)

Я3(г,К)

Лг (-1)(§1(г, г, К) - §1(г, г,0)) +

+

Лг (§1(г, г, К) - §1(г, г,0)) =

Я3(г,К)

■■(-1)(01(Я3(г, К), г, К) - О1Я (г, К), г, 0)) + + (1 - 01(Я3(г, К), г, К)) - (1 - О^г, К), г,0)) =

= 2(01 (Я3(г, К), г, 0) - О1 Шг, К), г, К)).

Фиксируем число г е (0, Я). Обозначим ф1 (г,0) = = - г) при г е (0, ; ф1(г, К) =

= вК! (1 - в-К(Я-г)/я(г)) при г е (0, , К е (0, ;

+СО

ф2(К) = / Лг ф1(г, К) при К е [0, . Нетрудно 0

доказать, что ф1 — непрерывная функция. Используя оценку ВоКЛ (1 - в-К(Я-г)/я(г)) < к<- = в${(н - г) при г е (0, , К е (0, , нетрудно доказать, что ф2 — непрерывная функция. Используя оценки

§К1 (1 - в-К(Я-г)/я(г)) < ^{Я - г),

§о(г) К

(1 - в-К(Я-г)/я(г)) = §о(г) (Я - г)

V / я{г)

г е (0, +то), К е (0, +то), §0(г)„ л - в-К(Я-г)/я(г) я(г)

> ^ (Я - г)1 - в

К(Я-г) я(г)

К0(Я-г)

я(г)

я(г)

§о(г ) Ко

Ко(Я-г) я(г)

К0(Я-г) 1 _ в я(г)

г е (0, Ко е (0, К е (0,Ко],

нетрудно доказать, что {Д§(г, К)|Ке[0+С) — непрерывная функция. Тогда Д§(г, К) к-- 0.

В табл. 2 приведены результаты численных расчетов для величины Д§(г,К) (г = Я/2).

Таблица 2

Д§(г, К) (г = к/2)

К, ч-1 Дё(г,К) (Ш^) Д§(г, К) (ИР)

0.01 2.57 • 10-2 2.08 • 10-1

0.1 1.57 • 10-1 6.18 • 10-1

1 5.29 • 10-1 9.97 • 10-1

3 7.51 • 10-1 1.08

5 8.44 • 10-1 1.10

7 8.97 • 10-1 1.11

На рис. 3, 4 приведены (г = Я/2, К = 3 ч-1) графики функций {§1(г, г, К)}г (синяя кривая), {§1(г, г,0)}г (красная кривая).

Видно, что для уранил-фторида отклонение {§1(г, г, К)}г от {§1(г, г, 0)}г перестает быть приемлемым при К = 1 ч-1 . Для более легких частиц фтористого водорода отклонение {§1(г, г, К)}г от {§1(г, г,0)}г перестает быть приемлемым уже при К = 0.01 ч-1 (чем легче частицы, тем дольше они находятся в воздухе рабочего помещения и тем сильнее на них влияет воздухообмен).

Заключение

Сделаем некоторые выводы из проведенной оценки среднего коэффициента прохождения в организм человека атомов токсичного вещества ) (здесь в аварийной ситуации §1 = {§1 (г, г, , в повседневных производственных условиях §1 = {§1(г, г,К)}г).

х

gi(r,z,K),gl(r,z, 0),м 1

V2

к/1

5-Ю"7 1.5 Ю-6 2.5 Ю-6 г, м

Рис. 3. g1(r, z, K) (кривая 1), g1(r, z,0) (кривая 2) (UQ2F2, z = h/2, K = 3 ч-1)

Рис. 4. gl(r, г, К) (кривая 1), g\{r, 2,0) (кривая 2) (ИР, г = й/2, К = 3 ч-1)

Рассматривалась следующая оценка:

^ьы) - Д§ < ¿(¿О < + Д§

(здесь в аварийной ситуации = ёо, Д§ = Д§(г, ¿), в повседневных производственных условиях = = {§1(г> г,0)}г, Д§ = Д§(г, К)). Примененный метод оценки величины £(§0 дает содержательные результа-

ты только для аэрозольных частиц HF и только для аварийной ситуации. При этом величина Ag меняется от Ag = 2.91 • 10~6 в момент времени t = 10 с до Ag = 1.47 • 10~' в момент времени t = 15 мин. В остальных случаях получены следующие значения величины Ag:

1) Ag = 2.67 • 10~' в момент времени t = 3 мин (UQ2F2, аварийная ситуация), на фоне значения С(gLN) ~ 3.41 • 10-1 [6] ошибка определения C(gO велика;

3) Ag = 7.51 • 10~' при кратности воздухообмена K = 3 ч (UO2F2, повседневные производственные условия), на фоне значения C(gLN) « 3.85 • 10~' [6] ошибка определения £(gi) очень велика;

3) Ag = 1.08 при кратности воздухообмена K = = 3 ч(HF, повседневные производственные условия), на фоне значения C(gLN) « 2.80 • 10-1 [6] ошибка определения C(gO очень велика.

Может оказаться, что величина Ag является сильно завышенной оценкой величины |£(g0 — C(gLN)l. В этом случае идея замены C(gO на C(gLN) имеет смысл даже при полученных «больших» значениях Ag. Однако улучшение оценки возможно только за счет использования подробной информации о функции С', а при наличии такой информации можно уже ставить вопрос о прямом вычислении величины C(g1).

Следует заметить, что изучение величины Ag может представлять интерес даже при отказе от идеи замены C(g1) на С(gLN). Величина Ag количественно описывает отклонение функции g1 от функции gLN, а эти функции являются важными характеристиками газодисперсной среды. Наконец, следует заметить, что величина Ag описывает отклонение функции g1 от одной конкретной логарифмически нормальной функции распределения, а не от логарифмически нормального закона в целом.

Список литературы

1. Human Respiratory Tract Model for Radiological Protection. ICRP Publ. 66. Ann. ICRP 24. 1994. (1-3).

2. Бабенко С.П., Бадьин А.В., Бадьин В.И. // Изв. Академии промышленной экологии. 2002. № 4. С. 70.

3. Бабенко С.П., Бадьин А.В. // Атом. энергия. 2005. 99, № 5. С. 353.

4. Бабенко С.П., Бадьин А.В. // Атом. энергия. 2007. 103, № 3. С. 198.

5. Бабенко С.П., Бадьин А.В. // Вестн. МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. «Естеств. науки». 2007. № 2 (25). С. 14.

6. Бабенко С.П. Прогнозирование радиационного и токсического воздействия выбросов гексафторида урана методами математического моделирования: Дисс. ... докт. техн. наук. М., 2008.

Formation of the distribution function of the aerosol-particle radii for the hydrolysis products of uranium hexafluoride in industrial premises

S.P. Babenko1a, A.V. Bad'in 2b

1 Department «Physics», Faculty «FS», N. E. Bauman Moscow State Technical University, Moscow 105005, Russia.

2 Department of Mathematics, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia.

E-mail: a babenkosvetlana@mail.ru, b badyin@phys.msu.ru.

We consider UO2F2 and HF aerosol particles that formed in the air of industrial premises at a factory of the nuclear industry. The distribution function g1 of the aerosol-particle radii at a given space-time point is analyzed. Some of the lognormal distribution functions that are related to a gas-dispersed environment of the working premise are considered. The deviation of g1 from lognormal distribution functions is estimated. The related problems of calculating the average transmission coefficients of atoms of toxic substances (uranium or fluorine) in the human body during inhalation are discussed.

Keywords: uranium hexafluoride, inhalation, distribution function, transmission coefficient, mathematical model. PACS: 87.10.-e, 87.53.-j. Received 28 August 2013.

English version: Moscow University Physics Bulletin 1(2014). Сведения об авторах

1. Бабенко Светлана Петровна — канд. физ.-мат. наук, доктор техн. наук, доцент, профессор; тел.: (499) 263-63-68, e-mail: babenkosvetlana@mail.ru.

2. Бадьин Андрей Валентинович — канд. физ.-мат. наук, доцент; тел.: (495) 939-10-33, e-mail: badyin@phys.msu.ru.