О функции распределения радиусов аэрозольных частиц уранил-фторида в условиях повседневной производственной деятельности на сублиматных и обогатительных предприятиях атомной промышленности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 53.072:504.5

С. П. Б а б е н к о, А. В. Б а д ь и н

О ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РАДИУСОВ АЭРОЗОЛЬНЫХ ЧАСТИЦ УРАНИЛ-ФТОРИДА В УСЛОВИЯХ ПОВСЕДНЕВНОЙ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ НА СУБЛИМАТНЫХ И ОБОГАТИТЕЛЬНЫХ ПРЕДПРИЯТИЯХ АТОМНОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ

Показано, что если в процессе формирования аэрозольных систем, сопровождающем гидролиз гексафторида урана в воздухе рабочих помещений обогатительных заводов, возникает логнормальное распределение радиусов аэрозольных частиц, то оно сохраняется и в том случае, когда частицы уже вовлечены в процесс оседания на производственные поверхности в гравитационном поле Земли. Это доказано для случая, когда гексафторид урана в воздухе рабочего помещения появляется в процессе повседневной производственной деятельности. Решено уравнение непрерывности для системы газовых и аэрозольных продуктов гидролиза, вычислена удельная (по радиусам аэрозольных частиц) концентрация молекул интересующего вещества в составе аэрозольных частиц радиуса г и функция распределения радиусов аэрозольных частиц. Сделано заключение относительно вида функции распределения при различных значениях коэффициента воздухообмена в производственном помещении.

Известны случаи аварийного выброса гексафторида урана на обогатительных и сублиматных заводах предприятий атомной промышленности [1], а также то, что на таких предприятиях в рабочих помещениях имеется малый фон гексафторида урана, связанный с технологическим процессом его использования [2]. Появление в воздухе гексафторида урана сопровождается взаимодействием его с влагой воздуха, приводящим к его гидролизу. Некоторые продукты гидролиза (уранил-фторид и02Б2 и фтористый водород ИБ) нуклеируют [3, 4] и образуют аэрозоли. Эти аэрозольные частицы являются носителями атомов таких токсичных веществ, как уран и фтор. Поэтому, попадая в организм человека, аэрозольные частицы наносят ему вред [2, 6]. Коэффициент прохождения аэрозольных частиц через дыхательную систему определяется размером аэрозольных частиц [7]. Эта зависимость существенно упрощается для систем аэрозольных частиц, распределение размеров которых описывается логарифмически-нормальным законом. В рекомендациях Международного комитета радиационной защиты (МКРЗ) [7] приводится графическая зависимость коэффициента задержки аэрозольных частиц от активностного

медианного аэродинамического диаметра (АМАД), определяющегося среднегеометрическим радиусом (одним из основных параметров логарифмически нормального закона распределения радиусов аэрозольных частиц) и плотностью вещества аэрозольных частиц. Поэтому знание аналитического выражения для функции распределения размеров аэрозольных частиц и установление характера этого закона имеет большое практическое значение.

В работе [5] описана методика нахождения функции распределения радиусов аэрозольных частиц уранил-фторида (и02Е2), образующихся в процессе нуклеации молекул этого вещества. Функция распределения получена сопоставлением расчетных значений концентрации атомов урана в составе всех аэрозольных частиц со значениями, измеренными в рамках эксперимента, моделирующего аварийную ситуацию. Показано, что функция распределения описывается логарифмически нормальным законом

1 1 / /Ь (r) - ln (rg)' g(r) = --exp 1 '

• ln(ßg) r M V In(ßg) •\f2

1 Л „ / ln (r) — ln (rg)

G(r) = - 1 + erf. _

() 2V v ln(eff) • \T2

Здесь g — дифференциальная функция распределения; G — интегральная функция распределения; rg = 2,744-10-6 м — среднегеометрический радиус аэрозольных частиц; вд = 2,18 — коэффициент статистического разброса (безразмерная величина); erf — функция ошибок

2 u -2

(erf(u) = —^ / e-u du). Далее, наряду с выражениями g(r), G(r) (с пе-

/п о

ременной r), будут использованы выражения д (r, rg, ßg), G(r,rg, ßg) (с переменными r, rg, ßg):

_ 1 11 /ln(r) — ln(rg)'

g (r, rg,ßg) = -exp — ' w v

2

• 1п(вд) г ^ V Ь(вд) ^

^ ,А ) = 2(х+ -( 'ПЛ^

г е (0, Гд е (0, вд е (1, +ю).

Сразу же после рождения аэрозольных частиц они включаются в процесс оседания под действием силы тяжести, испытывая при этом сопротивление среды, а также в процесс вывода их системой воздухообмена в производственном помещении.

В данной работе получена функция распределения радиусов аэрозольных частиц уранил-фторида, вовлеченных в условиях повсе-

дневной производственной деятельности в перечисленные процессы. Показано, что в отсутствие воздухообмена она по-прежнему описывается логарифмически нормальным законом, а наличие воздухообмена нарушает этот закон. Ниже показан вывод этого положения.

В основе вывода лежит система уравнений непрерывности для газов и аэрозольных частиц, появление которых является следствием наличия гексафторида урана в воздухе рабочих помещений и его гидролиза [8]. Для газов эта система имеет вид

N

У] ак,тПт + (г) = 0, к = 1, N. (1)

т=1

Здесь г — координата, отсчитываемая по вертикали от пола к потолку рабочего помещения (г — параметр, г € (0, Н), Н — высота рабочего помещения); пк (г) — концентрация молекул вещества с номером к на высоте г; акт — коэффициенты, описывающие процессы гидролиза, нуклеации и воздухообмена; ^к (г) — объемная плотность мощности внешних источников молекул вещества с номером к, т.е. число частиц, рождающихся в единицу времени в единичном объеме в окрестности выделенной точки. При решении уравнения (1) принималось, что Fk (г) = ^.

Система уравнений непрерывности для аэрозолей имеет вид

д N

у(т) —п' - Кп' + д(т)^2 ЬтПт(г) = 0, г € (0,Н); (2)

т=1

п'и = 0. (3)

Здесь г — радиус аэрозольной частицы (г — параметр, г € (0, +го)); г — координата, отсчитываемая по вертикали от пола к потолку рабочего помещения; Н — высота рабочего помещения; п'(г, г) — удельная (по радиусам аэрозольных частиц) концентрация молекул интересующего нас вещества в составе аэрозольных частиц радиуса г на высоте г; ь(г) — скорость дрейфа аэрозольной частицы радиуса г; К — кратность воздухообмена; д — дифференциальная функция распределения радиусов аэрозольных частиц, образующихся в процессе нуклеации (иными словами, д(г) — плотность вероятности того, что в процессе нуклеации молекула интересующего вещества попадет в аэрозольную частицу радиуса г); Ьт — коэффициенты в законе процесса нуклеации.

Далее используются следующие обозначения: п(г, г) — концентрация молекул интересующего вещества в составе аэрозольных частиц

г

с радиусами г ^ г на высоте г (п(г,г) = / ¿г • п'(г, г)); п(Х1(г) —

о

концентрация молекул интересующего вещества в составе всех аэро-

+с»

зольных частиц на высоте г (те^(г) = Нш те(г, г) = Г ^г • те'(г, г)),

г 0

а также определения дифференциальной и интегральной функций распределения радиусов аэрозольных частиц на высоте г:

№ г) = —гг, с1(г г) = —гг.

тате(г) те^(г)

Решая уравнение (2) для аэрозолей методом вариации постоянной, получим

2(гК,

те'(г, z) = —-(h - z) > bmnm, K = 0; v(r)

m=1

n'(r, z) = Шх - e-E bmnmi K = 0.

^ ' m=1

Здесь (г) = ^ .В рассматриваемом случае, когда аэрозольные частицы движутся под действием силы тяжести и силы сопротивления среды, скорость аэрозольной частицы радиуса г описывается выражением -у(г) = 7г2. Вычислим отношение дтГ)-:

/ «(г) ч ^ д(г) 1 1 1 I I 1п (г) — 1п (гд)

= ^Г2 • 1п(вд) гехр ^— ^ 1п(вд) -72 (

_ 1 1 1 ехр /21п (г) — (1п(г))2 — 21п(г)1п(гд) + (1п(гд))2

• 1п(вд) r V (ln (вд ))2 2 ;

1 1 1 / (1n(r))2 —2 ln (r) ln (rg) + (1n(rg))2 +4 ln (r) (ln (вд))2' ^ У2П ln (вд) r (ln (вд ))2 2

1 1 1 / (ln (r))2 —2ln(r) (ln (rg) — 2(ln(efl ))2) +(ln(rg ))2'

7 Т2Л • ln (вд) r eXP \ (ln (вд))2 2

111

--1=--X

Y \/2Л • ln (вд ) r

// / „))2 / „)2

x exp

(ln (r) — (ln(^) — 2(М(вд))2)) — (ln(rg) —2(1n(вg))2) +(1n(rg))2 v (ln (вд))2 2

1

— exp

Y

(ln(rg ) — 2 (ln (вg ))2)2 — (1n(rg ))2

v (ln (вд))2 2

g)) I V111 Vg)

' x

>/2n • ln (вд) r

/

1

exp

'ln (r) — (ln(rg) — 2 (ln (вд))2)'

\

ln (вд) • >/2

1

X

= 1 exp (-2ln(rs) + 2 (ln (ßg}}2)

Ч/2П • 1П (ßg )

1 1 I ln (r) - (ln(rg ) - 2 (ln (ßg ))2)

exp 1

exp

11

ln (ßg ) • >/2

/ Xln (r) - (ln(rg) 2 (ln (ßg))2)'

Yr2

л/2п • ln (ßg) r

exp

\

ln (ßg) • >/2

Обозначим, rg = rg exp (—2 (ln (вд))2). Тогда выражение для

примет вид

g(r) v(r)

g(r) exp (2 (ln (ßg))2)_

v(r)

Yr2

3(r,rg, ßg) ,

т.е. это дифференциальная функция распределения, соответствующая гд = гд. Соответственно, выражение для п'(г, г) примет вид

'( ) ехр (2(1п(вд))2) _( „ в " Ь К 0

п (г, г) =-2-д (г, гд, вд) (Н - г) Ьтпт, К = 0,

n'(r, z) =

Yr,

m=1

g(r) _ e-vfy(h-z)

K

N

y^ bmnm, K = 0.

m=1

Используя выражение для п'(г, г), можно найти выражения для п(г, г), п^(г) в виде

г

ф,')=!лг • >=

( о )

ехр (2(1п(вд ))2)-, ч/

р ^ )) ; с_ (г, Гд) (Н - г) Ьтпт, К = 0;

N

Yrg2

m=1

n(r, z)= / dr • n'(r,z) =

m=1

K

X

X

ln(r)-ln(rg)

ln(/3fl >V2

G(r)-

dx • exp (-x2-

K(h - z)

"2— exp 1 -x

Yrg2

K = 0,

(4)

g

где

G(r,rg ,0g ) = ^(1+ erf

1(1 + fln(r) - ln(rg) g ,Pg ) = ^1+ f ln(0g )—2

r G (0, rg G (0, 0g G (1, -

есть интегральная функция распределения, соответствующая rg = rg. При r ^ то можно получить следующие выражения для n^(z):

( ) 1- ( ) exp (2(ln(0g))2) (h ) " b n^(z) = lim n(r,z) =---2--(h - zn 0mnm

Л/r2 —'

' g m=1

при K = 0;

N

£ ь

bmnm

n^(z) = lim n(r, z)m 1 -x (5)

1--^ Уdx • exp ^-x2- K(h 2 z) exp ^-x ln (0g) 2 • — при K = 0.

Наконец, по определению функций распределения радиусов аэрозольных частиц, можно получить следующие выражения для g1(r, z), G1(r,z):

n' (r, z) n^(z ) n' (r, z)

g1(r,z) =-= g (r,rg,0g), K = 0,

g1(r,z) =

n^(z)

g(r) - e-vf)(h-z)^J

1--^ f dx • exp ( -x2--(—-—) exp f-x ln (в„) 2 • —2) )

vn J V Yr2 V V

—ж

K = 0;

n(r, z) n^ (z)

G1 (r, z) = n-b) = G (r, rg, eg), K = 0;

n(r, z)

<1(r,z) =-TT

n^ (z)

ln(r)-ln(rg ) ln(/3g

G(r) - --= J dx • exp (-x2-Kexp (-ж ln (Д,) 2 •

1 - ^тп J dx • exp x2--(—2—^ exp x ln (вд) 2 • —2 j

K = 0.

Видно, что при отсутствии воздухообмена функции g1 (r, z), G1 (r, z) фактически не зависят от высоты z и описываются логарифмически нормальным законом со среднегеометрическим радиусом rg = = rg exp (—2 (ln (вд))2) и коэффициентом статистического разброса вд. С другой стороны, видно, что при наличии воздухообмена функции g1(r, z), G1(r, z) зависят от высоты z и закон распределения не подчиняется логарифмически нормальному.

Имея аналитические выражения для функций g1(r, z), G1(r, z) и анализируя степень их отклонения от логарифмически нормального закона при разных z и K, можно решать вопрос об использовании той или иной методики определения коэффициента проникновения внутрь организма вещества, вдыхаемого в составе аэрозольных продуктов гидролиза гексафторида урана [7].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Д э в и с Л. Терроризм и насилие. Террор и катастрофы / Пер. с англ. - Смоленск: Русич. - 1998. - 496 с.

2. Гастева Г.Н., Бадьин В. И., Молоканов А. А., Мордашева В. В. Клиническая токсикология химических соединений урана при хронической экспозиции // Радиационная медицина. - 2001. - T. 2. - С. 369-389.

3.Бадьин В. И., Пархоменко Г. М. Гидролиз газообразного гексафторида урана в воздухе / Отчет предприятия п.я. М-5122 и п.я. В-2343. - 1975. -76 с. ЦНИИАТОМИНФОРМ, ИК № М 34559, 1976.

4. Uranium Hexafluoride — Safe Handling, Processing, and Transporting. Conference Proceedings. May 24-26. - Oak Ridge, Tennessee. - 1988.

5. Б а б е н к о С. П., Бадьин А. В. Методы определения функции распределения радиуса аэрозольных частиц уранилфторида // Атомная энергия. - 2005. -T. 99. - № 5. - С. 353-358.

6. И в а н о в В. И. Курс дозиметрии: Учебник для вузов. -М.: Энергоатомиздат. -1988.-400 с.

7. ICRP Publication 66. Human respiratory Tract Model for Radiological Protection // Annals of the ICRP. - 1994. - T. 24. - № 4.

8. Б а б е н к о С. П., Б а д ь и н А. В. Математическое описание процессов рождения и оседания продуктов гидролиза газообразного гексафторида урана UF6 в полупространстве // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. "Естественные науки". - 2005. - № 4. - С. 122-132.

Статья поступила в редакцию 11.12.2006