Математическое описание процесса поглощения теплового потока излучения, движущегося в реальной среде Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 66-93

И.Н.БЕЛОГЛАЗОВ, В.А.ИВАНОВ, И.И.БЕЛОГЛАЗОВ

Санкт-Петербургский государственн ый горный институт (технический университет)

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПРОЦЕССА ПОГЛОЩЕНИЯ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА ИЗЛУЧЕНИЯ, ДВИЖУЩЕГОСЯ В РЕАЛЬНОЙ СРЕДЕ

Предложенное уточненное уравнение при определенных условиях может совпадать с известным уравнением Бугера - Бера, но в то же время более точно отражает особенности реальных систем. Уравнение может быть применено для определения значений обобщенных оптико-геометрических характеристик потока излучения и моделирования тепловых потоков технологических процессов.

The updated equation under certain conditions that is offered hereinafter can coincide with the known equation of Bugera-Baire, but it also represents peculiarities of actual systems more precisely. The equation can be applied for determination of values of the generalized optico-geometrical parameter of a radiation flux and simulation of heat flows of technological processes.

Для описания закономерностей изменения потока излучения, движущегося в излучающей, поглощающей и рассеивающей среде, применяется закон Бугера - Бера*.

В частном случае для оценки изменения потока излучения, обусловленного поглощением и рассеянием энергии, используется закон Бугера, согласно которому относительное изменение интенсивности излучения при прохождении через элементарный слой при определенной концентрации поглощающего вещества пропорционально длине пути луча в этом слое.

Если интенсивность собственного излучения среды много меньше излучения, ослабленного средой (0соб << босл), то уравнение переноса упрощается и принимает форму закона Бугера:

или

dI = I = - ko dl

I = I^ exp( -kj l),

(1)

* Общий курс процессов и аппаратов химической технологии / Под ред. В.Г.Айнштейна. М.: Логос, 2001.

Гельперин Н.И. Основные процессы и аппараты химической технологии. М.: Химия, 1981.

где I - интенсивность излучения, м-1; ко = ка + к^ ка и кц - соответственно коэффициент поглощения и рассеяния.

Величина 1нач определяет значение падающего на поверхность слоя излучения. Энергия, поглощенная в слое толщиной I, равна 1нач - I. В итоге поглощательную способность слоя (среды) можно представить в виде

I, _ -1

а = —-= 1 - ехр(-к51),

1

где ко1 - оптическая толщина (плотность) слоя.

Если поток излучения ослабляется в результате изменения концентрации вещества, то в соответствии с законом Бера относительное ослабление

монохроматического луча в слое заданной толщины пропорционально концентрации поглощающего вещества с в данном слое.

Закон Бера соблюдается при малых концентрациях поглощающего вещества. С ростом концентрации возможно

взаимодействие между частицами и молекулами, меняющее свойства среды, не учитываемые этим законом. Следует также отметить, что закон Бера соблюдается строго для монохроматического излучения. В противном случае коэффициенты

ослабления зависят от длины волны излучения, природы поглощающего вещества и других факторов.

В расчетной практике используют объединенный закон Бугера - Бера, в соответствии с которым относительное изменение интенсивности излучения при прохождении через поглощающую среду, пропорционально произведению

концентрации поглощающего вещества на длину луча в поглощающей среде:

a = в = 1 - ехр( -kcl).

(3)

Закон Бугера - Бера и выводы из него справедливы для газового излучения, запыленной среды, состоящей из абсолютно черных сферических частиц одинакового диаметра, подчиняющихся также законам геометрической оптики. В этом случае к01 = 0,25Fncl, где Fn - удельная свободная поверхность частиц.

В других случаях, когда частицы неправильной формы (разных размеров) при ослаблении излучения наблюдаются, кроме поглощения, рассеяние и дифракция. Это приводит к необходимости учета физических свойств, геометрической структуры и размера частиц, спектрального состава падающего на частицы излучения и замены числового коэффициента 0,25 на экспериментально, а в некоторых задачах и аналитически определяемые коэффициенты ослабления ко.

В уравнении Бугера и уравнении Бугера - Бера переменной величиной могут являться параметры с, l и cкl .

Уравнение Бугера - Бера может быть приведено в инвариантную форму, для этого определим среднее значение пути теплового луча по формуле

l = | 1Ша.

о

Например, в случае, когда переменной величиной является I , уравнение примет вид

1

I = | Ш (1 - е - кс1) = - — 0 кс

Тогда

о = в = 1 - е-кс1 = 1 - еш

(4)

В формуле величина а инвариантна 1/1 .

Особенностью использования формулы (4) является то, что все экспериментальные точки в системе координат для любых сред будут ложиться на одну кривую.

Известно, что широко используемое на практике уравнение Бугера - Бера имеет ряд ограничений, среди которых одним из наиболее существенных является то, что оно применимо только в том случае, если в слое находятся частицы сферической формы.

Для описания закономерностей ослабления теплового потока излучения в реальных средах, в которых пылевидные частицы могут иметь неправильную форму и широкий диапазон крупности на основании проведенного исследования, предлагается использовать уточненное уравнение

а = 1 - е 1 .

(5)

где к\ = кс - константа; п - показатель степени, учитывающий отклонение формы частиц от сферической и влияние распределения частиц по крупности.

Для описания закономерностей процесса ослабления теплового потока и возможности применения зависимость (5) преобразуем к виду

1п1п

1

(1 - а)

= 1п к + п 1п I.

(6)

Для установления возможности применения (6) экспериментальные данные представим в системе координат

1п1п

1

(1 - а).

= ф(!пI).

Аналитические уравнения для нахождения численных значений параметров к и п могут быть найдены при использовании симплексно-интервального метода. Согласно методу, уравнение кривой может быть преобразовано в безразмерную форму при использовании симплексов подобия, отвечающих нескольким значениям 1 - а и I,

х>

выбранным на экспериментальной кривой, где любое значение (1 - а) соответствует длине пути теплового луча l.

В общем виде для двух любых значений 1 - аг-и 1 - ai + i (соответствующих величинам li и li + 1) на экспирементальной кривой получим:

• для длины теплового луча li=ф[(1 - а)];

• для длины теплового луча 1,я=ф[(1 -a)i+1].

Для любого интервала Al запишем

Al, = h+1 - h =ф1[(1 - a),; (1 - a)i+1];

St = lf = Ф2 [(1 - а)г-; (1 - а)г+1 ],

где Ali - интервал времени между двумя моментами li и li+1; Si - симплекс геометрического подобия.

В результате решения уравнений Ali = =ф1[(1 - а)г; (1 - a)i+1] и Si=ф2 [(1 -а)г; (1 - а)м] определим вид критериальной зависимости, описывающей закономерности процесса ослабления потока теплового излучения.

Согласно рассмотренному выше методу, для двух любых значений li и li+1 (Ali =

= li+1 - li) уравнение (1) примет вид:

• для длины теплового луча li

lnV n

1

(1 - a)i

= kV % ;

(7)

для длины теплового луча li

i+1

ln1 n

1

(1 - a)i+

= kv %

i+1-

(8)

Из уравнений (7) и (8) получим

Alk1 n = (Sl -1)

где Sln(a)

1 - S,

ln(a)

xi/ n

V sn -1 ,

lnVn (1 - a)i, (9)

1п(1 - а),+1

-— - симплекс подобия.

1п(1 - а),

Величину 5,-1 в (9) представим в виде

5, -1 = ^ -1 = /+1—^ = А/-. (10)

1 I /, /,

Подставляя выражение (9) в (10), имеем

kAln = (Sl 1 ln S,

(sn -1)

(a) '

(11)

где

s = (1 - a),. a (1 - a)i+i

симплекс

концентрационного подобия.

Для определения значений параметров

п, к, —1—, входящих в (11), в результате (1 - а)

несложных преобразований были получены следующие зависимости:

n =

ln(ln Sa,i+Jln Sc,i)

'a,i+1

ln S,

(12)

где

k =

S = (1 - a)

^ (1 - a)

1 ln Sa,i

¡n (Sn -1)

и S

a,i+1

i+1

(1 - a ) i+1 (1 - a ) i+2

соответственно симплексы

концентрационного подобия для интервалов времени А/, и А/,+1 (5/,г+1 = 5 ц = 5/).

Из рассмотренного метода следует, что для определения значений параметров к и п по экспериментальной кинетической кривой достаточно определить не более двух или трех значений концентраций 1 - а, отвечающих соответственно двум или трем моментам времени /,. Кроме того, предлагаемый метод позволяет

последовательно рассчитывать значения параметров п и к независимо друг от друга.

Предложенный метод позволяет свести к минимуму объем исходных данных, необходимых для отыскания значений параметров п и к.

При значении п = 1,0 полученное выражение преобразуется к уравнению Бугера - Бера (3).

Наряду с (5), учитывающим отклонение экспериментальных данных от зависимости (1), практический интерес представляет случай, при котором учитывается ограниченность длины пути теплового луча. В реальных процессах толщина слоя, в котором распространяется тепловой луч, может иметь даже очень большое, но ограниченное значение /0, в то время как для (3) /0^сю.

С учетом введения параметра 10, уравнение для расчета степени ослабления потока теплового изучения, примет вид

_ к21

а = 1 _ а ¡0_' = 1 _ а

1_ L

(13)

где к2 = кс - константа; 10 - максимально возможная длина пути теплового луча; Ь = Ш0 - относительная (безразмерная) величина пути теплового луча.

Применение уравнения (13) в практике инженерных расчетов позволяет находить максимально возможную длину пути теплового луча /0, что особенно важно для определения показателей исследуемого процесса, так как именно эта величина необходима для проведения расчетов по определению значений показателя а при его осуществлении в слое конечной толщины.

Следует отметить, что зависимость (13) может быть преобразована к виду (1) при 1о >> I. Тогда (1о - ¡) « ¡о

1 0

а = 1 _ а

к21

_к21

1_а ¡о = 1-1

_Ы

где к\ - константа.

Таким образом, уравнение (3) является частным случаем предложенной зависимости (13), которая при определенных частных условиях может совпадать с последним.

В отличие от формулы (3) уравнение (13) хорошо описывает не всю кривую, а только ее часть, для которой а(1) < 0,8 - 0,9. Полученные расчетом по формуле (3) значения обычно занижены. Это объясняется тем, что для зависимости (3) всегда а( I) < 1 и функция не имеет конечного предельного максимального значения, а только асимптотически приближается к прямой а( I) = 1.

Когда на изменение теплового потока оказывает влияние форма твердых частиц и, кроме того, учитывается ограниченность пути теплового потока излучения, математическая модель процесса

гт -¡т

а = 1_а ¡0 _

1 0

= 1_а

кьФоТ ¡_ (¡/¡о)т =

1 0

= 1_а

(14)

При ¡0 >> I разность ¡0" _1т «¡0 , тогда (14) примет вид

к5Г к51т

тт 7" 7

а = 1 _ а ¡0 _ = 1 _ а 0

т

= 1_а_к2 .

Таким образом, уравнение (5) является частным случаем предложенной

зависимости (14).

При помощи несложных

преобразований, возможно из зависимости (14) получить уравнение Бугера - Бера. При значении п = 1,0 полученное выражение преобразуется к уравнению Бугера - Бера.

Следовательно, уравнения (1), (5), (13) являются частными случаями обобщенной зависимости (14), которая имеет универсальный характер и позволяет более точно описывать особенности процесса изменения теплового потока, движущегося в излучающей, поглощающей и рассеивающей среде.

Уточненное уравнение Бугера - Бера было использовано для определения значений обобщенных оптико-

геометрических характеристик потока излучения и моделирования тепловых потоков технологических процессов.

Из приведенного анализа следует, что зависимость (14) может быть широко использована в практике инженерных расчетов.

к5г

т

1 ^