Математическое описание петли гистерезиса Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.316.925, 621.317.4.

Математическое описание петли гистерезиса

В.Н.ГРЕЧУХИН, к.т.н., доцент (ИГЭУ)

Показано, что не только кристаллические материалы, такие как ферромагнетики, сег-нетоэлектрики и сегнетоэлластики характеризуются гистерезисом, но что гистерезис в природе и технике имеет фундаментальный характер и его математическое описание не обязательно должно базироваться на процессах в атомах, кристаллах и доменах.

Сформулирована теорема о петле гистерезиса, вследствие этого уточнены векторные соотношения между напряженностью магнитного поля, магнитной индукцией и намагниченностью, введен оператор запаздывания с разделением на временное и фазовое запаздывание.

Выведены формулы, построены петли гистерезиса по мгновенным значениям, дан расчет комплексной динамической магнитной проницаемости, построены графики реальной, мнимой частей.

Многие кристаллические материалы, такие как ферромагнетики, сегнетоэлектрики и сегнетоэлластики характеризуются гистерезисом, т.е. неоднозначной зависимостью между входными и выходными магнитными, электрическими и механическими величинами соответственно.

При циклическом изменении одной физической величины, например напряженности магнитного поля от нуля до максимума, затем до минимума и снова до нуля, другая физическая величина, например магнитная индукция в ферромагнетике, изменяется по частной петле гистерезиса.

При изменении напряженности магнитного поля в максимальных пределах магнитная индукция описывает предельную петлю гистерезиса.

Природа магнитного гистерезиса анализируется во множестве статей, посвященных этому вопросу, так как магнитные материалы наиболее распространены в технике. В [1] отмечаются три фундаментальные особенности, три основные причины возникновения магнитного гистерезиса:

• магнитный гистерезис, связанный с необратимым смещением доменных границ;

• магнитный гистерезис, связанный с необратимым вращением спонтанной намагниченности;

• магнитный гистерезис, связанный с задержкой образования и роста зародышей перемагничи-вания.

В [2] отмечено, что, «несмотря на декларируемую сложность физических процессов, происходящих при динамическом перемагничивании магнито-проводов, можно получить весьма хорошее согласование расчетных и экспериментальных динамических петель гистерезиса, опираясь лишь на два тезиса фундаментального характера.

• Первый из них заключается в том, что динамические петли могут быть значительно шире квазистатических не только из-за вихревых токов.

• Другим фактором является магнитная вязкость с малым временем релаксации, которая долгое время оставалась плохо воспринимаемой (виртуальной)».

В природе и технике гистерезис встречается не только в перечисленных выше кристаллических материалах.

Гистерезис характерен для изменения температуры внутренних слоев почвы Земли в зависимости

от годового цикла изменения температуры окружающего воздуха. Причем минимальная температура почвы достигается не зимой, а в середине весны, когда средняя суточная температура воздуха уже выше нуля, т.е. с существенным фазовым отставанием.

В технике известны компараторы, обладающие гистерезисом, они могут быть получены из операционных усилителей путем охвата последних положительной обратной связью. Для компараторов характерна петля гистерезиса с напряжением срабатывания и напряжением возврата, что аналогично коэрцитивной силе для петли гистерезиса магнитных материалов.

В [3] проведен анализ гистерезиса компараторов, предложена аппроксимация и даны формулы для расчета напряжений срабатывания, возврата, коэффициента возврата и других параметров петли гистерезиса.

Анализ материалов [3] указывает на два фактора, обуславливающих гистерезис компараторов:

• запаздывание выходного сигнала по отношению ко входному;

• нелинейную зависимость коэффициента усиления операционных усилителей от входного сигнала.

Очевидно, что любая система автоматического управления (регулирования) для устойчивости своего функционирования должна обладать гистерезисом.

Базируясь на вышеизложенном материале, применительно к ферромагнетикам можно сформулировать следующую теорему о петле гистерезиса:

Для полного математического описания петли гистерезиса ферромагнитных материалов в частотной области, ограниченной полосой пропускания магнитопровода, необходимо и достаточно:

• учитывать временное и фазовое запаздывание намагниченности по отношению к напряженности магнитного поля;

• выполнить аппроксимацию нелинейной зависимости интенсивности скачков Баркгаузена в функции напряженности магнитного поля.

Доказательство этой теоремы в рамках данной статьи не приводится, а рассматриваются только одно следствие и три примера описания петли гистерезиса.

Следствие 1. Уточнение векторных соотношений.

Будем рассматривать (рис.1.) напряженность магнитного поля Н, ИДО), магнитную индукцию В, Ь(1) и намагниченность Л ДО) как функции комплексного переменного, разделяя магнитную индукцию на два слагаемых в соответствии с Максвелловскими представлениями:

Ъ(1) = Ъз(1) + ЬК1) (1)

где: ьб(1) магнитная индукция в воздухе (рассеяния), линейно связанная с напряженностью магнитного поля ИДО), ъб(1) =

ЬДО) магнитная индукция в ферромагнетике нелинейно связанная с напряженностью магнитного поля вд, Ъ1(1) = ^(Ь(1)).

Известно, что вектор магнитной индукции в ферромагнетике отстает от вектора напряженности магнитного поля на угол б, как показано на рис 1.

На рис 1. приведена уточненная векторная диаграмма в соответствии с (1).

И (1)

Ь з (1)

Ь ](1)

Ь з (1)

Рис. 1. Отставание магнитной индукции на угол б, а намагниченности на угол а от напряженности магнитного поля.

Очевидно (рис. 1). следует, что вектор намагниченности

отстает от напряженности магнитного поля на угол а, больший чем б°.

Исследование показало, что угол а не может превышать 90о в пределах полосы пропускания, угол б при этом не превышает 45 о.

Пример 1 описания петли гистерезиса.

На рис.2 приведена зависимость магнитной индукции ферритового сердечника ВТ-2 (0.7 ВТ) 3х2х1.2 мм Нс=0.61А/см, Вг=23 сТ от напряженности магнитного поля, построенная по экспериментальным данным [4] и по расчету.

0.4

0.27

0.13

"0.13

"0.27

"0.4

ххюоо

00 ООО« С/лЛЛ(

"300 -200 -100 0 100 200 300

Рис. 2. Петля гистерезиса ферритового сердечника ВТ-2 (0.7 ВТ), построенная по экспериментальным данным [4] (ромбы) и по расчету (сплошная линия) в пределах 300

0 := е

А/м и 0.4 Т

При расчете напряженность магнитного поля ИДО) задавалась функцией комплексного переменного

И(1) = Нт • е1ш 1 (2)

где: Нт -амплитуда напряженности магнитного поля, равная 300 А/м.

Магнитная индукция рассчитывалась по формуле (1) с учетом аппроксимации намагниченности гиперболическим тангенсом аналогично [3] с введением оператора запаздывания © намагниченности по отношению к напряженности магнитного поля ИДО):

1а

(3)

где: I -мнимая единица;

а -угол запаздывания (отставания) намагниченности от напряженности магнитного поля (причем в этом угле учитывается и временное т и фазовое р запаздывание намагниченности по отношению к напряженности магнитного поля ИДО)).

Следует отметить, что в качестве функций аппроксимации в расчетах использовались не только функция гиперболического тангенса, а целый класс функций комплексного переменного, в том числе функции обратных тангенса и гиперболического синуса. Не исключено, что для конкретного магнитного материала интегрирование функции интенсивности скачков Баркгаузена даст другую, не названную выше, функцию аппроксимации.

Анализ составляющих оператора запаздывания проводился для различных магнитных материалов: от магнитомягких, таких как аморфные и нанокри-сталлические сплавы, холодно- и горячекатаные стали, до магнитотвердых материалов для постоянных магнитов.

Анализ проводился на разных частотах с целью разделения компонент угла запаздывания на часто-тозависимую и частотонезависимую части.

Разработана методика и программа расчета коэффициентов аппроксимации и констант временного и фазового запаздывания. Точность расчета повышается, если для магнитного материала известна статическая и динамическая (на одной, двух частотах) петля гистерезиса, однако в большинстве случаев достаточно знать коэрцитивную силу по магнитной индукции и/или по намагниченности, остаточную индукцию и параметры насыщения: по индукции, напряженности и намагниченности.

В таблице приведен фрагмент расчета комплексной динамической магнитной проницаемости для петли гистерезиса (рис. 2), соответствующий наибольшей скорости изменения магнитной индукции в окрестности перехода её через нуль.

Расчет комплексной динамической магнитной проницаемости выполнен по известной формуле:

-Ь(1)

^1п(1):= —-_, (4)

.0 [ ^ВД

- 7

где р0 = 10 магнитная проницаемость вакуума.

В результате расчета (см. табл.) определено, что максимум реальной части динамической магнитной проницаемости наступает на 283 точке расчета и составляет 16780, а переход

0

через нуль со сменой знака мнимой части динамической магнитной проницаемости наступает с запаздыванием на 2 расчетные точки.

Таблица Фрагмент расчета комплексной динамической магнитной проницаемости для петли гистерезиса (рис. 2. (мнимая единица обозначена буквой О

цСт() =

0

274 2.213-103-5.67И-103

275 3.005-103 -6.632г103

276 4.088-103 -7.6141-103

277 5.52Г103 -8.516г103

278 7.337-103 -9.183г103

279 9.497,103-9.41г103

280 1.185,104-8.98г103

281 1.4Г104-7.741г103

282 1.586,104-5.705г103

283 1.678,104-3.11г103

284 1.668-104 -367.0781

285 1.564'104+2.082г103

286 1.392'104+3.928г103

287 1.188-104+5.062г103

288 9.832-103 +5.5491-103

289 7.967-103 +5.5441-103

На рис. 3 приведена действительная часть комплексной динамической магнитной проницаемости для петли гистерезиса (рис. 2) в логарифмическом масштабе, на рис. 4 в линейном масштабе.

4

з

1-103

Re(цd¡n(t¡)) 100 10 1

0.1

Рис. 3. Действительная часть комплексной динамической магнитной проницаемости для петли гистерезиса по рис. 2. в логарифмическом масштабе.

2-10

,.1.678x10'\

Ке(п())

1 -10

,.0.985.,

7 V У V

-400 -200 0 200 400

.- 300 Ре(м ¡), Ре(м ¡) ДО,

Рис.4. Действительная часть комплексной динамической магнитной проницаемости для петли гистерезиса (рис. 2) в линейном масштабе.

Анализ графиков рис. 3,4. показывает, что максимумы реальной части динамической магнитной проницаемости точно соответствуют коэрцитивной силе ± Ие (переходу магнитной индукции через

нуль), минимум соответствует магнитной проницаемости воздуха (единица)

Следует отметить, что движение во времени по петле гистерезиса (рис. 2) и по кривой динамической магнитной проницаемости (рис. 3, 4) происходит сначала через левую часть петли (рис. 2) и левый максимум (рис. 3, 4), а затем обратно, через правую часть петли (рис. 2) и правый максимум магнитной проницаемости (рис. 3, 4).

На рис.5 приведена мнимая часть комплексной динамической магнитной проницаемости в обычном масштабе.

1-104

ь5.549х103., 1т (цСт()) 0

,.- 9.41x10 .,

„4

-300 - 300.,

0

Re(h 1 ¡

200 300 ,.300.,

Рис. 5. Мнимая часть комплексной динамической магнитной проницаемости для петли гистерезиса (рис. 2) в линейном масштабе.

Анализ графика (рис. 5) и результатов расчета комплексной магнитной проницаемости (см. табл.1) показывает, что минимумы и максимумы мнимой части динамической магнитной проницаемости чередуются вблизи коэрцитивной силы и составляют -9410 +5549.

Пример 2 описания петли гистерезиса магни-тотвердого материала. На рис. 6 приведена зависимость магнитной индукции и намагниченности магнитотвердого материала !ю=40 кА/м, 1ит=400 кА/м от напряженности магнитного поля.

Яе ((',))

-4 -10

„- 4x10

Ке (('¡))

Рис. 6. Петля гистерезиса магнитотвердого магнитного материала по индукции (круги) и по намагниченности (сплошная линия) при ||с=40 кА/м и в ||т=400 кА/м .

Петля гистерезиса по намагниченности магнитного материала с большой энергией, применяемого для изготовления постоянных магнитов, имеет, как показано на рис. 6, горизонтальный безгистерезис-ный участок, а петля гистерезиса по магнитной индукции имеет наклонный безгистерезисный участок в соответствии с магнитной проницаемостью вакуума (воздуха).

На рис. 7. приведены действительная и мнимая части комплексной динамической магнитной прони-

200

100

1 -10

цаемости для петли гистерезиса (рис. 6). Отметим, что экстремумы магнитной проницаемости (141.445 - для реальной части и -67.681 - для мнимой) существенно меньше, чем в предыдущем примере, хотя коэффициент прямоугольности петли гистерезиса выше.

Re(din(tj)) 50 lm(ndin(tj))

-8-10 -6.10 -4-10 —2 10

о

2 -10 4-10 6-10 8-10

Re(h(tj))

поля), а основная кривая намагничивания имеет наибольшую крутизну при переходе этих величин через ноль.

-1

-2

1

2

-40

-20

20

40

Рис. 8. Петля гистерезиса с начальной (1) и основной (2) кривой намагничивания.

Литература

Рис.7. Действительная (сплошная тонкая линия) и мнимая (ромбы) части комплексной динамической магнитной проницаемости для петли гистерезиса (рис. 6) в линейном масштабе.

Пример 3 описания петли гистерезиса магни-томягкого материала с начальной и основной кривой намагничивания. На рис. 8 петля гистерезиса дополнена начальной (1) и основной (2) кривыми намагничивания, причем на начальной кривой виден характерный излом в области малых значений магнитной индукции (напряженности магнитного

1. Кандаурова Г.С. Природа магнитного гистерезиса.

- Статьи Соросовского образовательного журнала в текстовом формате.

2. Кадочников А.Н., Стародубцев Ю.Н., Малюк В.П. Динамические кривые перемагничивания тороидального магнитопровода из аморфного сплава Co68Fe4Cr4Si13B11 в диапазоне частот 50-10000 Гц // Электричество. - 2005.

- № 1. - С. 50-55.

3. Гречухин В.Н., Таршис А.С. Анализ характеристик измерительного релейного органа на операционном усилителе в интегральном исполнении // Электричество. -1977. - № 8. - С. 68-71.

4. Ионов И.П. Магнитные элементы дискретного действия. - М.: Высш. шк., 1968. - 284 с.

2

0

0

-50

67.681

х10