CC BY
5Смирнов Д. В., аспирант, Семикопенко И. А., канд. техн. наук, проф., Воронов В. П., канд. физ.-мат. наук, проф. Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ СРЕДЫ В ПАТРУБКЕ
ВОЗВРАТА ДЕЗИНТЕГРАТОРА
Дано математическое описание движения вязкой среды в патрубке возврата дезинтегратора в полярной системе координат. Определены проекции вектора скорости воздушного потока на оси полярной системы координат. Построены графические зависимости изменения начального значения и0 скорости воздушной среды на входе в патрубок возврата в зависимости от изменения конструктивных параметров патрубка возврата.
_Ключевые слова: вязкая среда, патрубок возврата, воздушный поток_
Рассмотрим движение вязкой среды в предположении её постоянной вязкости и плотности.
На основании сделанного предположения движение воздуха в возвратном патрубке дезинтегратора можно описать в рамках хорошо известного уравнения Навье-Стокса:
дм
-gradP + ц.Аи + рд,
(1)
где р - плотность воздуха; f - динамическая вязкость воздуха; g - ускорение свободного
(dur диг uvdur дР Г S/lS
падения; и- вектор скорости воздушного потока; Р - давление внутри патрубка возврата; А - оператор Лапласа.
Для описания движения воздушной среды внутри патрубка возврата введем полярную систему координат г, ^ с центром в точке «О» (рис. 1). При этом радиальная координата изменяется в пределах Я} < г < Я2. Запишем проекции уравнения (1) на оси полярной системы координат:
(ди<р , р I ^^ + и.
ди,
dt
+
и.ф ди
дф
где
г дг ' г дф .
- проекции вектора
(rur)^j +
Ldr V г дг
1 дР г дф
скорости
1 д2иг г2 дф2 . 1 д2и(
2 ди^Л
дф2
дф 2 диг г2 дф
] + Р9ф ,
(2) (3)
воздушного потока на оси полярной системы координат; gr¡ - проекции вектора свободного ускорения на оси полярной системы координат.
Для установившегося стационарного движения воздушной среды в возвратном патрубке с постоянным радиусом кривизны [1]
К = К + ё/2 (4)
где ё - диаметр патрубка.
Выделим в патрубке возврата некоторый объем воздушной среды АР'. Выражение для
Исходный I материал
величины давления выделенного объема можно представить в виде:
Р Рдин+ Рстат ? (5)
где Рдин - динамическая составляющая давления, равная:
~ [2] (6)
Р = ^и2
1 дин 2 V
здесь и9 - тангенциальная скорость движения воздушного потока в патрубке возврата,
Рис. 1. Расчетная схема для описания движения воздушной среды в патрубке возврата дезинтегратора
u
Р стат = РвУ, (7)
где, согласно расчетной схемы на рисунке 1
у = Д+ Д 5П1<р = Д(1 + БПКр), (8) здесь угол ^ - угол, отсчитываемый от положительного направления оси «ох».
С учетом (8) соотношение (7) принимает
вид:
^стат = P3R С1 + Sin^).
(9)
Р =|и| + рдН(Х + яп<р). (10)
Пренебрегая массовыми силами и изменением скорости воздушного потока в радиальном направлении (и = 0), на основании сделанных предположений уравнениям (2) и (3) с учетом (10) можно придать вид:
Еи2 (11)
Я ^ Я2 Л<р ' У 7
С учетом (6) и (9) выражение (5) принимает
вид:
Я йср Я^^
После несложных математических преобразований (2.12) принимает следующий вид:
d
ß d utp Я2 d<p2 '
Интегрирование результату:
-— (ul) = -Р--(ul) - 2рд — {1 +sin^>) +Щ— М. (13)
! d(p приводит
P 2 -ui = Я v
P 2
Я ^
С учетом (11) выражение (14) будет иметь
вид:
Р 2 ■-и:, ■ я ^
2рд(1 + 5\п(р) + с± = 0. (15) Постоянную интегрирования в (15) можно найти исходя из начального условия:
Ul = 1,
(12)
(13)
(14)
(20)
где И - высота ударных элементов; и] - скорость схода воздуха с ударных элементов внешнего ряда; АРт - потери давления в системе,
<Р = -р и<р
Щ,
где и0 - начальное значение скорости движения воздушного потока в начале патрубка возврата, которое с расходом воздуха 0> в патрубке связано соотношением:
45
и0
nd2
здесь d - диаметр патрубка возврата, согласно [3]
Q = nDb sin а
2(Ар-Арт)
, Р ' (18)
где Б - наружный диаметр дисков дезинтегратора;^ - ширина ударных элементов; а - угол между направлениями абсолютной и окружной скоростей, равный
.. «1 а = агс1д—
(19)
здесь
и0
2cü — bs\na
d2
(16) и = + и1, (21)
(22) (23)
Без учета потерь давления (ЛРт=0) с учетом (18) - (23) выражение (17) можно привести к
(17) следующему виду:
и = juf + и
шй
Щ = — ,
с 2 '
Ар = и2|. [4]
. D2 Ii h h2
" DD2
----■ D D2- (24)
В силу того, что конструктивные параметры дезинтегратора могут варьироваться в следующих пределах h = 0,05 ... 0,1 м; D = 0,3... 0,4 м, отношение h/D можно считать малой величиной.
Следовательно, с точностью до величины первого порядка малости (24) принимает следующее значение:
1 + ^
D
2ш — Ъ sina
d2
(25)
Подстановка соотношений (19) - (23) в (25) позволяет получить выражение следующего вида:
, [Б~~
и0
4vDbh
4a>Db d2
U0
(^)JF
d2
1 + -
(26)
4 шОЬ
d2
4мСй 3 d2
Полученное соотношение (26) можно упростить, если воспользоваться тем, что h/D является малой величиной первого порядка малости. Пренебрегая величинами второго порядка малости, можно существенно упростить (26) а именно:
4Dh{l +
2h ~D
1 + -
5 h\
4 MDb
(27)
Применив (16) к соотношению (15), получаем следующее выражение:
-§м§ + С1 = 0. (28)
С учетом (28) и (15) принимает вид:
= + (29)
На рисунке 2 представлена зависимость изменения скорости воздушного потока в патрубке возврата дезинтегратора при
изменении углового размера, движущегося выделенного объема воздушной среды, выраженного в радианах. Анализ приведенных зависимостей показывает, что при изменении конструктивного параметра К в пределах от 0,1 до 0,2 м максимальное изменение скорости воздушного потока происходит соответственно в пределах 0,02...0,04 м/с.
Рис. 2. График изменения скорости воздушной среды в патрубке возврата для начального значения скорости на входе и0=100 м/с. 1-я кривая отвечает значению параметра К = 0,1 метра, а 2-я кривая - К = 0,2 метра
На рисунках 3.6 приведены графики как наружный диаметр дисков в камере помола,
изменения начального значения и0 скорости высота и ширина ударных элементов
воздушной среды на входе в патрубок возврата в способствуют увеличению скорости и0 на входе
зависимости от изменения конструктивных в патрубок возврата, а увеличение диаметра
параметров патрубка возврата. Анализ патрубка возврата приводит к уменьшению
полученных зависимостей показывает, что величины начальной скорости воздушного
увеличение таких конструктивных параметров, потока на входе в патрубок возврата.
1
Рис. 3. График изменения начального значения и0 скорости воздушной среды в патрубке возврата при изменении наружного диаметра диска. 1 -я кривая отвечает значению частоте вращения дисков
ы = 50 1/с, а 2-я кривая - ы =25 1/с.
Рис. 4. График изменения начального значения и0 скорости воздушной среды в патрубке возврата при изменении его диаметра.1 -я кривая отвечает значению частоте вращения дисков со = 50 1/с, а 2-я кривая - со = 25 1/с
±
Рис. 5. График изменения начального значения и0 скорости воздушной среды в патрубке возврата при изменении размера высоты ударных элементов. 1-я кривая отвечает значению частоты вращения дисков ы = 50
1/с, а 2-я кривая - со = 25 1/с.
1
Ь
Рис. 6. График изменения начального значения и0 скорости воздушной среды в патрубке возврата при изменении размера ширины ударных элементов. 1 -я кривая отвечает значению частоте вращения дисков ы = 50
1/с, а 2-я кривая - ы = 25 1/с
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. А.С. СССР № 1217465, МПК7 В02С 13/18, Центробежная мельница/М.В. Квашнин, Н.М. Смирнов, В.Н. Блиничев и др. Ивановский химико-технологический институт. Заявл. 14.11. 1983; Опубл. 15.03.1986, Бюл. №10.
2. Гримитлин А.М. Насосы, вентиляторы, компрессоры в инженерном оборудовании зданий/ А.М. Гримитлин, О.П. Иванов, В.А.
Пухкал. СПб: Изд-во «АВОК Северо-Запад», 2006. 210с.
3. Поляков В.С. Насосы и вентиляторы /В.С. Поляков, Л.С. Скворцов. М.: Госстройиздат, 1990. 335с.
4. Воронов В.П., Семикопенко И.А., Пензев П. П. Дезинтегратор с внутренней классификацией измельчаемого материала. Вестник БГТУ им. В.Г. Шухова. №1. 2011. С.75-77.
