Математическое описание движения вязкой среды в криволинейном патрубке круглого поперечного сечения Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Смирнов Д.В., аспирант, Семикопенко И.А., канд. техн. наук, проф., Воронов В.П., канд. физ.-мат. наук, проф. Белгородский государственный технологический университет им. В.Г. Шухова

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ СРЕДЫ В КРИВОЛИНЕЙНОМ ПАТРУБКЕ КРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

DmSm1989@yandex.ru

Дано математическое описание движения вязкой среды в криволинейном патрубке круглого поперечного сечения в полярной системе координат. Определены проекции вектора скорости воздушного потока на оси полярной системы координат. Построены графические зависимости изменения начального значения и0 скорости воздушной среды на входе в криволинейный патрубок в зависимости от изменения его конструктивных параметров.

_Ключевые слова: вязкая среда, криволинейный патрубок, воздушный поток._

Рассмотрим движение вязкой среды, предположив, что вязкость и плотность постоянны.

В этом случае движение вязкой среды в криволинейном патрубке можно описать в рамках уравнения Навье-Стокса [1]:

= ~ дг а(1Р + цЬ.и + рд , (1)

где р - плотность воздуха; / - динамическая вязкость запыленного воздуха; g - ускорение свободного падения; и - вектор скорости воздушного потока; Р - давление внутри криволинейного патрубка; А - оператор Лапласа.

Для описания движения воздушной среды внутри криволинейного патрубка введем полярную систему координат г, р с центром в точке «О» (рис. 1).

Рис. 1. Расчетная схема для описания движения двухфазной среды в криволинейном патрубке круглого поперечного сечения При этом радиальная координата изменяется в пределах Я1 < г < Я2. Запишем проекции уравнения (1) на оси полярной системы координат:

(диг ^ диг иф диг _ др

Р ( дг Щг дг г д р г ) дг

\д (1 д , Л 1 д2иг 2 ди<р1 м [Тг (гщ.)+ рдг (2)

^ диф иф диф иги,р\ _ 1 дР Р ( д г Щг д г г д р г ) г д р

\ —{1—( Л . 1 д2и<Р 2 диг 1

[д г ( г д г Уир) 1+г 2 д р2 г 2 д р \ + Рд Р' (3)

[

где иг, - проекции вектора скорости воздушного потока на оси полярной системы координат; gг, gр - проекции вектора свободного ускорения на оси полярной системы координат.

Для установившегося стационарного движения воздушной среды в криволинейном патрубке с постоянным радиусом кривизны

Я=Я + (/2. (4)

где й - диаметр поперечного сечения криволинейного патрубка.

Выделим в криволинейном патрубке некоторый объем воздушной среды А V. Величина давления выделенного объема включает динамическую и статическую составляющие:

Р Р дин "I" Рстат' (5)

где Рдин - динамическая составляющая давления, равная [2]:

" (6)

Р

Р дин ир'

здесь - тангенциальная скорость движения воздушного потока в криволинейном патрубке,

Рстат = РдУ ' (7)

где, согласно расчетной схемы на рисунке 1

у = Я + Я5тр = Я( 1 + Бтр)' (8) здесь угол - угол, отсчитываемый от положительного направления оси «ох».

С учетом (8) соотношение (7) принимает

вид:

Рстат = рд я( 1 + 5 т р ). (9)

С учетом (6) и (9) выражение (5) принимает

вид:

Р=|и£+рдЯ( 1 + 5 тр ). (10) Пренебрегая массовыми силами и изменением скорости воздушного потока в радиальном направлении (иг = 0), на основании сделанных предположений уравнениям (2) и (3) с учетом (10) можно придать вид:

р..2 _it ^р

R <Р R2 dtp '

(11)

pUq, du

<р

du,

<р

=_— и

R dcp R 43 dcp

d f , ^^ , (i d2u,

■ — (pg ( 1 + s in p )) +

<p

, ,. (12)

R2 dtp2 v '

После несложных математических преобразований (12) принимает следующий вид: р d . Л р d . Л d

= Р adj( 1 + S 1 П V ) +

+ (13)

R2 dtp \ dtp J v '

Интегрирование (13) приводит к результа-

ту:

iL 2 _ Rutp -

— 2pg( 1 + sinp)+

R2 dtp 1

(14)

вид:

С учетом (11) выражение (14) будет иметь

-^и^-2 рд( 1 + Бтр) + = 0 . (15) Постоянную интегрирования в (15) можно

наити исходя из начального условия:

71

<Р

2 > ^ср Щ>

(16)

где и0 - начальное значение скорости движения воздушного потока в начале криволинейного патрубка, которое с расходом воздуха Q в патрубке связано соотношением:

ио=£ (17)

здесь й - диаметр поперечного сечения криволинейного патрубка, а согласно [3]

Q = nDb sin а

2 (Ар - Д Рт)

(18)

где D - наружный диаметр описанной окружности ударных элементов мельницы; b - ширина ударных элементов; а - угол между направлениями абсолютной и окружной скоростей, равный a = arctq—, (19)

и

здесь

Щ = ш hl--1,

(20)

где Н - высота ударных элементов;^ - скорость схода воздуха с ударных элементов внешнего ряда;АРт - потери давления в системе,

и = + и^, (21)

(22)

. (23)

Если учесть, что

5 та = . а , (24)

toD

Щ = — Др = и2|.[4]

Vi+tp

а на основании соотношении (19) - (21) находим:

[Б~

1 (25)

h

tga = - ■

1 h h2 4 DD2

Подстановка (25) в (24) приводит к следующему соотношению:

sina = - ■

D

1 2h 2h2 4 DD2

(26)

Без учета потерь давления (Д Рт = 0 ) подстановка соотношений (23) и (26) позволяет (18) привести к следующему виду:

Q =

поbD h - 1 • 11 + -

л/h \ DD2

1 + 8^-84

D D2

(27)

Подстановка (27) в (17) приводит к следующему результату:

и,

D2

о = 4 0)Ь--

L 4h 4h2

h h2 Id D2

8 h 8 h2

(28)

1 +

В силу того, что конструктивные параметры мельницы могут варьироваться в следующих

пределах: Н = 0,05...0,1 м; В = 0,3...0,4 м, по-

н

этому отношение конструктивных параметров — можно считать малой величиной первого порядка малости. Пренебрегая в (28) величинами второго порядка малости, формулу (28) можно существенно упростить.

Данное математическое преобразование приводит к следующему результату:

ио-4^1(1+8£)

d2 -.2

4ш ьЩ lh( 1 — 4h\

d2 -d D \ DJ

(29)

Применив (16) к соотношению (15), находим следующее значение постоянной интегрирования:

— о ио ■

(30)

С учетом (30) (15) принимает вид: и„

^ = 2 К д (1 + ятр). (31)

На рисунке 2 представлена зависимость изменения скорости воздушного потока в криволинейном патрубке мельницы при изменении углового размера, движущегося выделенного объема воздушной среды, выраженного в радианах. Анализ приведенной зависимости показывает, что при изменении углового размера в пределах от 0 до 1,5 радиана изменение скорости воздушного потока происходит примерно в 2 раза.

На рисунках 3.6 приведены графики изменения начального значения и0 скорости воздушной среды на входе в криволинейный патрубок в зависимости от изменения конструктивных параметров криволинейного патрубка. Анализ полученных зависимостей показывает, что увеличение таких конструктивных параметров, как наружный диаметр ударных элементов в камере помола, высота и ширина ударных

элементов способствуют увеличению скорости и0 на входе в криволинейный патрубок, а увеличение диаметра патрубка возврата приводит к уменьшению величины начальной скорости воздушного потока на входе в патрубок.

4,5\-4-

ш :

3,5 2,5

—I-1-1--1-1-1-1-1-1—

-1 0 ф 1 2 3

Рис. 2. График изменения скорости воздушной среды в криволинейном патрубке для начального значения скорости на входе и0 = 5,45 м/с. Кривая отвечает значению параметров Я] = 0,58 метра, (1 = 0,09 метра

0,30 0,32 0,34 0,36 0,38 0,40

Рис. 3. График изменения начального значения и0 скорости воздушной среды в патрубке возврата при изменении наружного диаметра диска. 1 -я кривая отвечает значению частоты вращения дисков ю = 25 1/с, а 2-я кривая - со = 15 1/с.

0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10

d

Рис. 4. График изменения начального значения и0 скорости воздушной среды в патрубке возврата при изменении размера его диаметра. 1 -я кривая отвечает

значению частоты вращения дисков ю = 50 1/c, а 2-я кривая -со = 25 1/с

h

Рис. 5. График изменения начального значения и0 скорости воздушной среды в патрубке возврата при изменении размера высоты ударных элементов. 1-я кривая отвечает значению частоты вращения дисков

со = 25 1/с, а 2-я кривая - со = 15 1/с

0,010 0,015 0,020 0,025 0,030

b

Рис. 6. График изменения начального значения u0 скорости воздушной среды в патрубке возврата при изменении размера ширины ударных элементов. 1-я кривая отвечает значению частоты вращения дисков ю = 50 1/c, а 2-я кривая - ю = 25 1/c.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. М.: Гос. издательство технико-теоретической литературы, 1955. 521 с.

2. Кухлинг Х. Справочник по физике. М.: Мир, 1982. 520 с.

3. Клочков Н.В., Блиничев В.Н.. Бобков С.П., Пискунов А.В. Методика расчета расхода воздуха в центробежно-ударной мельнице // Известия вузов. Химия и химическая техноло-гия.1982. №2. С. 230-232.

4. Семикопенко И.А., Вялых С.В., Жуков А.А. Агрегат дезинтеграторного типа с внутренней классификацией материала // Вестник БГТУ им. В.Г. Шухова. 2013. №3. С.74-76.