Математическое обоснование вычисления несобственных интегралов, встречающихся в аэродинамике, для целых степеней особенности Текст научной статьи по специальности «Математика»

2006

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Аэромеханика и прочность

№ 97

УДК 533.6:681.3

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ, ВСТРЕЧАЮЩИХСЯ В АЭРОДИНАМИКЕ, ДЛЯ ЦЕЛЫХ СТЕПЕНЕЙ ОСОБЕННОСТИ

Рассматриваются несобственные интегралы по Адамару, встречающиеся в задачах аэродинамики. На основе доказательства теоремы существования дается строгое определение интеграла по Адамару для целых степеней особенностей. Приводится явное выражение для интеграла по Адамару, а также выражение, не содержащее несобственных интегралов, удобное для применения в математических моделях аэродинамики и других задачах математической физики.

Современный этап развития гражданской авиации характеризуется увеличением числа типов авиационных подвесных грузов различного назначения. К числу таких грузов, применяемых на самолетах специального назначения, относятся: подвесные топливные баки, контейнеры с различным оборудованием, баки с водой для тушения пожаров и т.д.

Авиационные грузы подвешиваются как на внешние, так и на внутренние точки подвески воздушных судов. С аэродинамической точки зрения особый интерес представляет наружное размещение грузов, поскольку при внутреннем размещении в отсеках они не оказывают непосредственного влияния на аэродинамические нагрузки, действующие на летательный аппарат.

При подвеске крупногабаритных грузов на внешние точки подвески воздушного судна аэродинамические характеристики летательного аппарата претерпевают существенные изменения. Изменяется не только лобовое сопротивление воздушного судна, но и другие характеристики, что, в конечном счете, сказывается на летно-технических характеристиках летательного аппарата: его устойчивости, управляемости, дальности полета и т.д.

В математических моделях, описывающих аэродинамическую интерференцию, часто встречаются уравнения, содержащие несобственные интегралы. В частности, несобственные интегралы возникают при использовании формулы Био-Савара-Лапласа. Например, в математических моделях, основанных на методе дискретных вихрей, при вычислении скорости в контрольной точке от дискретного вихря возникает несобственный интеграл второго рода. В случае, когда контрольная точка лежит внутри подковообразного дискретного вихря интеграл имеет вид [3]:

Интеграл 11 из (1) необходимо понимать в смысле значения по Адамару, поскольку он не существует ни по Риману, ни в смысле главного значения по Коши [1, 2].

Докажем для интегралов, существующих в смысле конечного значения по Адамару, теорему существования.

Вопрос о вычислении интеграла 11 сводится к исследованию функции вида

где Ь=[а, Ь]/(-£, е) и 0е (а, Ь), а функция у(х) имеет в некоторой окрестности точки 0 производную порядка п и интегрируема по Риману на отрезке [а, Ь]. Здесь п - некоторое натуральное число. В силу сказанного подынтегральная функция на отрезках [а, -е] и [е, Ь] имеет первообразную Б(х) и справедливо следующее соотношение:

В.Ю. СМИРНОВ

Статья представлена доктором технических наук, профессором Барзиловичем Е.Ю.

(1)

(2)

ь х

I-^х = Р(х) |Г + Р(х) |Ь = Р(х) |,Ь -Б(х) 1-е,

где принято обозначение

Поскольку функция у(х) п раз дифференцируема, то в окрестности нуля ее можно разложить в ряд Тейлора. В результате в окрестности нуля функцию у(х)/хп можно представить в виде:

У(х) = -1^ + п 1=01! хп-1

(3)

х

где g(x) - ограниченная в е-окрестности точки 0 функция.

Для функций вида 1/ хп , входящих в разложение (3), существует первообразная, равная:

1 1 -------------, п > 1,

п -1 хп-1

1п|х|, п = 1.

С учетом этого разность значений первообразной в точках -е и е можно представить при п > 1 в

виде:

Следовательно,

Б(е) - Б(-е) = Б(х)

1=0

і!

-е х

Р(х)

+ ^Міп|х|

1=0 і! п -1 - 1хп-1-1 (п - 1)! 1 1

е е

+ і ё(х)^

-е -е

(4)

—21 у(1)(0) 1 - (-1)

п-1-1

п-1-1 е

+і ё(хМх

1=01! п -1 -1 е -е

+1 8(х)0х.

1=01! п -1 -1 1п 1 1 -е

Нетрудно заметить, что при п < 1 существует предел

или F(x)

11т Б(х)

е®0

0,

и, следовательно, в этом случае интеграл (2) существует и равен

1^х=Щх)!".

Л п 4 ' 1а

ь х

Причем этот интеграл существует по Риману при п < 1 и в смысле главного значения по Коши при п = 1.

Однако при п > 1 указанный предел не существует, и интеграл расходится.

Тем не менее, при п > 1 существует предел вида

1,т(| ^ - (-1)"ч-‘).

•®*{хп ,"=01! п -1 -1 еп-1-1

Этот предел называется интегралом в смысле конечного значения по Адамару от подынтегральной функции и обозначается:

*

хп

а

Таким образом, справедлива следующая теорема.

е

е

е

е

е

е

-е

Теорема. Пусть функция v(x) имеет в некоторой окрестности точки x0 е (a, b) производную порядка n и интегрируема по Риману на отрезке [a, b]. Тогда

* J_v(x^_dx = F(x)|b.

a(x - xo)n la

Итак, после доказательства теоремы существования определим интеграл в смысле конечного значения по Адамару от подынтегральной функции следующим образом

b v(x) ,fv(x) П-21 v(l)(0) 1 - (-1)n-1-\

* dx = lim(f—dx - У-------------—---------------------------------—-). (5)

a xn £®o L x_ 1=0 1! _ -1 - 1 en-1-1

b v(x)

Следствием из теоремы является возможность интегрирования * I---------dx по частям. Дей-

a (x - x0 )n

ствительно, имеем

f^i^dx = --!--------vixi-+ _±_ f v'<x> dx =

(x -x0)n n - 1(x -x0)n 1 n -1 (x -x0)n 1

v(x) 1 v '(x) .+ 1 f v "(x) dx

f /__ __ \n-2

n -1 (x - xo)n 1 (n - 1)(n - 2)(x - xo)n 2 (n - 1)(n - 2) (x - xo)n 2

= -У2______________________________________________________1_v(1)(x) + 1 r у (n-1)(x)dx

i=o(n - 1)(n - 2)...(n -1 - 1) (x - x0)n-1-1 (n -1)!f x - xo

Отсюда получаем явное выражение для интеграла по Адамару

b v(x) n-2 1 v(1)(x)

--------dx = - У------------------------------------------.

a (x - x0)n 1=0 (n - 1)(n - 2) . (n - 1 - 1)(x - x0)n 1 1

*

f vw dx = - У---------------------------------------------V + —— f-----^ dx. (6)

J'" -- 'n ^ 1V" :- 1) (x - xo)n-1-1 a (n - 1)! a x - xo

В качестве примера вычислим интеграл вида

. " у(х)

* Г—(7)

а (х - х0)

Из полученного соотношения (6) в силу теоремы получаем следующее значение интеграла (7):

*" у(х) , у(Ь) у(а) " V'(х)

* Г ^ ёх = --^ + -±^ + /_1^<|х. (8)

а (х - х0)2 " - х0 а - х0 ах - х0

Аналогичный результат можно получить, выполнив формальное интегрирование по частям неопределенного интеграла:

г v(x) р 1 v(x) р V'(х)

Г ,2 ёх=-! v(x)d------=—— + г —^ ах,

(х -х0)2 х -х0 х -х0 х -х0

как это было сделано в [2].

Интеграл в правой части выражения (8) существует в общем случае только в смысле главного значения по Коши. Однако, если V'^0) = 0, то подынтегральная функция интегрируема и по Риману. В частности, если хо = 0, а v(x) = 1, то

11

I—dx = -2.

* .

2

-1x

Полученная выше формула (6) имеет существенный недостаток, который состоит в том, что интеграл в правой части существует в общем случае только в смысле главного значения по Коши.

С этим недостатком легко справиться, если еще раз выполнить интегрирование по частям:

1

(x)

x - Xr

bb

dx = v(n 1)(x)l^x -x0| - Jln|x -x0|v(n)(x)dx.

Тогда выражение (6) приобретает вид:

n-2

•b-^dx = -Z

a(x - x0)

1

v(i)(x)

i=0 (n - 1)(n - 2)...(n - i - 1) (x - xo)

n-i-1

+

+ ■

bb

Л

(9)

- Jln|x - x0 |v(n) (x)dx

V(п 1)(х)1Пх

(п -1)! ' ,

Последний интеграл в правой части выражения (9) существует уже в обычном смысле.

Таким образом несобственный интеграл по Адамару можно понимать в смысле данного выше определения, так как для него доказана теорема существования. Полученное выражение для интеграла по Адамару (9) не содержит несобственных интегралов и позволяет решать задачи математического моделирования аэродинамической интерференции обычными методами численного интегрирования.

Приведенные выше результаты носят универсальный характер, так как могут найти применение не только в аэродинамике, но и в других областях науки, например, в математической физике, где встречаются несобственные интегралы.

a

a

a

b

1

a

ЛИТЕРАТУРА

1. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. - М.: Наука,

1978.

2. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. - М.: ТОО "Янус", 1995.

3. Смирнов В.Ю. Расчет нестационарных аэродинамических характеристик грузов на дозвуковых скоростях полета // Установки и системы управления авиационным вооружением. - М.: ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 1994.

MATHEMATICAL SUBSTANTIATION OF CALCULATION OF IMPROPER INTEGRALS THAT ARE FOUND IN AERODYNAMICS FOR THE WHOLE DEGREES OF SINGULARITIES

Smirnov V.J.

Improper integrals by Hadamard that are found in aerodynamics are considered. On the basis of the proof of the existence theorem strict definition of an integral by Hadamard for the whole degrees of singularities is given. Explicit expression for an integral by Hadamard, and also the expression that doesn’t contain improper integrals convenient for application in mathematical models of aerodynamics and other problems of mathematical physics are obtained.

Сведения об авторе

Смирнов Владимир Юрьевич, 1963 г.р., окончил МГУ им. М.В. Ломоносова (1985) и ВВИА

им. Н.Е. Жуковского (1987), кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой МАИ, автор более 40 научных работ, область научных интересов - аэродинамическая интерференция самолета и грузов, эксплуатация сложных технических систем, компьютерные технологии.