Математическое обоснование численного интегрирования несобственных интегралов, встречающихся в аэродинамике Текст научной статьи по специальности «Математика»

2007

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Аэромеханика и прочность

№ 111

УДК 533.6:681.3

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ, ВСТРЕЧАЮЩИХСЯ В АЭРОДИНАМИКЕ

(краткое сообщение)

В.Ю. СМИРНОВ

Статья представлена доктором технических наук, профессором Барзиловичем Е.Ю.

Рассматривается численное интегрирование встречающихся в задачах аэродинамики несобственных интегралов в смысле конечного значения по Адамару. Приводится выражение для интегралов по Адамару, не содержащее производных под знаком интеграла, которое удобно для численного интегрирования. Приводится также процедура численного интегрирования несобственных интегралов.

Математические модели аэродинамической интерференции воздушного судна и грузов на внешней подвеске содержат уравнения с несобственными интегралами. В частности, несобственные интегралы возникают при использовании формулы Био-Савара-Лапласа. Как правило, они являются несобственными интегралами второго рода, которые не существуют ни по Риману, ни в смысле главного значения по Коши, так как содержат сильную особенность. Такие интегралы впервые были описаны Адамаром [1]. Например, интеграл, возникающий при вычислении скорости в контрольной точке, расположенной внутри вихревого потока, имеет вид [3]:

0,5Ь к Г

—0,5| 8

1 +

Л

д/а2^)+Ь2 (б)

(1)

где К=С08(у]-у^/мп2Хи, аф=х-всовХи, Ьф = ввтх^.

Интеграл (1) является частным случаем несобственного интеграла вида

•Ь^х

(2)

а

х

где п - некоторое натуральное число; у(х) - функция, которая имеет в некоторой окрестности точки 0 производную порядка п и интегрируема по Риману на отрезке [а, Ь].

На основе доказательства теорем существования [5, 6] можно определить интеграл в смысле конечного значения по Адамару вида (2) следующим образом:

„гіМах = ііш (Г^х - "¿і ї,,,(0» 1-(-1)

_п с_^П •» ~п ^'л

п—і—1

х-- Є®0Ч[ х11 і=0і! п—і—1 Єп—і—1

).

(3)

С помощью интегрирования по частям интеграл в смысле конечного значения по Адамару типа

г у(х)

* I----—— ёх (4)

можно представить в следующем виде [5]:

п—2

'Іт^Чтах=—X

(х — х0)п

1

V(і) (х)

(х—х0,п і=0(п—1)(п—2).. (п—і—1) (х—х0,п—і—1

1 ( Ь Ь ^

+

V(п 1)(х)1^х—хг

ЬЬ

—Г 1п|х—х0 |п (п)(х)ёх

(5)

(п—1)!

Несобственные интегралы, применяемые в математических моделях аэродинамики и в других задачах математической физики, вычисляются, как правило, с помощью численных методов. Однако при таких вычислениях возникают существенные трудности.

а

а

Ь

а

а

Например, формула для вычисления несобственного интеграла вида (5) имеет существенный недостаток, который состоит в том, что при вычислении на ЭВМ необходимо считать интегралы от производных функции у(х) до п-го порядка включительно. Эта процедура является чрезвычайно трудоемкой.

Поэтому хотелось бы иметь выражение для интеграла в смысле конечного значения по Адамару типа (4), которое не содержало бы интегралов от производных.

Для того чтобы избавиться от этого недостатка, преобразуем формулу (5) так, чтобы она содержала только значения производных в точке х0 и на концах отрезка.

Для этого вычислим следующий интеграл:

■=5-

" ^«"(ХоХх - х„)‘

і=0

і!

(х - х0)П

1 Ь п-1

-<1х=---------1 (V« - X

п-1а і=о

п-1 v(i)(Xо )(х - Хо)і

)а-

1

(х - Хо)

п-1

1

п-1

( ( ) Х^И(Х0)(Х-Хо)і)

(v(x) - X------ ------)_

1

і=0 і! (х - Хо)

Проинтегрировав по частям п-1 раз, получим

1 п-1Л7(і)

п -1

Ь Ь

- 5-

V '(Х) - X

п-1 V*'* (Хо )(х - Хо)і-1

і=о

(і-1)!

(х - хо)

п-1

-ёх.

I:

+-

п-2 1

-X -^г.-—-г

]=о п-1 п - ]-1

1

(v(])(x) - X

v(i)(xо)(x - хо)

і-]

(п-1)!

^(х) - v(n-1)(xо))

(п-1)

і=]

Ь Ь

(і-])!

(х - хоГ]-1

-+

-5 v(n)(x)ln|x - хо|ёх.

а а

Окончательно имеем следующее выражение для интеграла в смысле конечного значения по Адамару типа (4):

...У^ЧхоХх-Хо)1

•5^х>_ах=5-

аа(х - хо)п а

ї(х) - X

і=о

і!

(х - хо)п

п-2 1 п-1ї(і)(хо)(х - хо)і-]

-ёх -

■X

X-

]=о (п-1)...(п - ]-1)і=]

(і - ])!

(х - хо)п -]-1

(6)

1

-V

(п-1)

(хо)1п|

х - хг

(п-1)!

В качестве иллюстрации рассмотрим интеграл, встречающийся в задачах численного моделирования аэродинамической интерференции воздушного судна и грузов на внешних подвесках [3, 4], вида

Ь

5-^ах.

х - хг

Имеем

■ = 5^х) ^х2о)ёх = -5(v(x)-v(xо))d 1

Чх) - v(xо) Ь,ЬfV '(х)

(х - хо)

х-х

х-х

+

ёх.

х-х

Ь V'(х^ Ь^(х)-, v(Ь)-v(xо) v(a)-v(xо)

Отсюда следует, что I-------ах = I-----------;— ах+-

х-х

Ь - хо

а- '*о а (х - хо)

Например, ^ёх = І^хЬ^ах-+ ^с>-^~с>. Тогда

а - х

о

х

х

а

а

а

1

Ь

1

а

Ь

а

а

а

-с

-с

* | = | ^х)-у(°) ёх_ 2^(0)

-с

X

2

-с

х

Полученное выражение не содержит производных функции у(х), но интеграл в правой части существует только в смысле главного значения, поэтому для вычислений лучше взять интеграл

ь v/(x)

|---ёх=|v/(x)dln|x_х°|=v/(x)ln|x_х°| |а _|v',,(x)ln|x_х°|ёх .

(8)

х _ х

Рассмотрим

гЧх)_Чх^_v/(х°)(х_х°)ё г ( ( ) ( ) /( )( ))ё 1

1----------------------ёх = -| (v(x)_v(x°)_v (х°)(х_х°))ё

(х _ х°)2

°) а

Ь Ь

°)_ у (х° '

х _ хг

v(x) _ v(x°) _ ^(х°)(х _ х°)

х _ х

°

+1 v'(x) _ ¥'(х°) ёх =

а а х _х°

v(x) _ Чх^ _ ^(х°)(х _ х°)

х _ хг

(^(х) _ v/(x°))lnl

х _ хг

ЬЬ

| v/'(x)ln|x_х°|ёх.

аа

Отсюда

1 у-(х)!п|х _ х„|ёх =_ |^х) _ v(x°) _ у/(х°)(х _ х°)ёх _

V(X) _ V(X°) _ V/(X°)(X _ х°)

х _ X,

(х _ х°)

+(v/(x) _ ^(х°))1п1х _ х

Подставляя полученное выражение в соотношение (8), найдем представление для интеграла вида (7)

Ь v/(x) Ь

|--ёх=|v/(x)dln|x_х°|=v/(x)ln|x_х°| |а +

X _ X

+|Чх) _ v(x°) _ ^(х°)(х _ х°) ёх+

+

(х _ х°)

v(x)_v(x°)_v/(x°)(x_x°) Ь

(9)

X _ хг

(^(х) _ v/(x°))lnl

X _ X,

Выражение (9) для интеграла (7), также как и выражение (6) для интеграла (4) не содержит под знаком интеграла производных функции v(x) кроме значений производных в некоторых известных и фиксированных точках, и интеграл существует в обычном смысле.

Таким образом, для несобственного интеграла получено выражение, не содержащее производных под знаком интеграла, которое удобно для численного интегрирования.

Представление несобственных интегралов в виде (6) и (9) позволяет реализовать процедуру их вычисления на основе численных методов. Эта процедура заключается в следующем:

- одним из численных методов вычисления определенных интегралов (прямоугольников, трапеций, Симпсона, Котеса и т.д.) вычисляется значение собственного интеграла, входящего в правую часть формул (6) или (9). Причем значение интеграла вычисляется вне некоторой 5-окрестности особой точки, т.е. вне отрезка [хо-5; хо+5], чтобы исключить возникновение программного деления на ноль;

- полное значение несобственного интеграла вычисляется по формулам (6) или (9).

Значение 5 определяется в процессе вычисления интеграла из условия, что знаменатель подынтегрального выражения меньше некоторой заданной величины. Проведенные методические исследования [3, 4] показали, что целесообразно выбирать эту величину равной 1°-6.

Полученные выше результаты и процедура численного интегрирования несобственных интегралов носят универсальный характер, так как могут найти применение не только в аэродинамике, но и в других областях науки, где встречаются сингулярные интегралы.

Ь

Ь

°

а

а

а

Ь

а

а

а

Ь

Ь

а

а

°

а

Ь

а

а

ЛИТЕРАТУРА

1. Адамар Ж. Задачи Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. - М.: Наука,

1978.

2. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. - М.: ТОО "Янус", 1995.

3. Смирнов В.Ю. Расчет нестационарных аэродинамических характеристик грузов на дозвуковых скоростях полета // Установки и системы управления авиационным вооружением. - М.: ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 1994.

4. Смирнов В.Ю. Расчет линейных стационарных и нестационарных аэродинамических характеристик АСП на дозвуковых и сверхзвуковых скоростях полета // Установки и системы управления авиационным вооружением. - М.: ВВИА им. Н. Е. Жуковского, 1994.

5. Смирнов В.Ю. Математическое обоснование вычисления несобственных интегралов, встречающихся в аэродинамике, для целых степеней особенности // Научный Вестник МГТУ ГА. Сер. Аэромеханика и прочность. - 2°°6. № 97 (1). С. 76 - 79.

6. Смирнов В.Ю. Математическое обоснование вычисления несобственных интегралов, встречающихся в аэродинамике, для дробных степеней особенности // Научный Вестник МГТУ ГА. Сер. Аэромеханика и прочность. - 2°°6. № 97 (1).

С. 8° - 82.

MATHEMATICAL SUBSTANTIATION OF NUMERICAL INTEGRATION OF IMPROPER INTEGRALS THAT ARE FOUND IN AERODYNAMICS

Smirnov V.J.

The numerical integration of improper integrals in terms of final value by Hadamard that are found in aerodynamics is considered. Expression for integrals on the Hadamard that doesn’t contain integrand derivatives that is convenient for a numerical integration is obtained. Procedure of a numerical integration of improper integrals is obtained also.

Сведения об авторе

Смирнов Владимир Юрьевич, 1963 г.р., окончил МГУ (1985) и ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского (1987), кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой МАИ, автор более 50 научных работ, область научных интересов - аэродинамическая интерференция самолета и грузов, эксплуатация сложных технических систем, компьютерные технологии.