CC BY
21
УДК 330.3+332.012
А. В. Павлов, В. Н. Павлов
Институт экономики и организации промышленного производства СО РАН пр. Акад. Лаврентьева, 17, Новосибирск, 630090
antpav@ieie.nsc.ru
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ РАСЧЕТОВ ПО ОПТИМИЗАЦИОННОЙ МЕЖОТРАСЛЕВОЙ МОДЕЛИ С НЕЧЕТКИМИ ПАРАМЕТРАМИ 1
Пусть Х есть некоторая совокупность и А с X - некоторое множество из Х. Функцией принадлежности множества А называется отображение хА : X ^ {0; 1}, определенное формулой
, . [1, если х е А
ХА(хНо. если хеА-
В дальнейшем множества с такими функциями принадлежности, принимающими два значения - 0 или 1, будут называться четкими.
Все нечетко-множественные методы экономических исследований базируются на понятии нечеткого множества.
Нечеткие множества
Пусть I =[0;1] - отрезок вещественной оси, Iх - пространство всех отображений X: X ^ [0,1] из множества Х в отрезок I = [0,1].
х
Определение 1. По аналогии с четкими множествами всякое отображение X е I будем называть функцией принадлежности нечеткого множества Ах, содержащегося в Х [1]. Для всякого х е X значение х(х) интерпретируется как степень принадлежности точки х к множеству Ах , т. е. степень правдоподобности высказывания х е Ах .
В рассуждениях обычно используется следующая (или похожая) система терминов. Если х(х)= 0, то высказывание х е Ах неправдоподобно. Если х(х) = 1, то высказывание
х е Ах правдоподобно. Если 0 < х(х) < 1, то высказывание х е Ах имеет степень правдоподобия х(х). Если х(х)<х(у), то высказывание х е Ах менее правдоподобно, чем высказывание у е Ах. Эта терминология и будет использоваться в данной статье.
Далее будем использовать следующие обозначения: Е (X) - множество четких подмножеств Х; 3^) - множество нечетких подмножеств Х. Ясно, что выполнено включения Е(X) с 3^), поскольку {0; 1}х с Iх .
Определим операции над нечеткими множествами, определяя функции принадлежности результирующих множеств:
Х(х) = 1 -х( х) - функция принадлежности дополнения;
1 Работа выполнена при финансовой поддержке программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2006-2008 годы)» Федерального агентства по образованию Министерства образования и науки РФ. Проект № РНП.2.1.3.2428 «Исследование макроэкономических процессов в России с использованием межотраслевых моделей с нечеткими параметрами».
ІББМ 1818-7862. Вестник НГУ. Серия: Социально-экономические науки. 2006. Том 6, выпуск 1 © А. В. Павлов, В. Н. Павлов, 2006
X о /и (х) = шт{х(х), и(х)} - функция принадлежности пересечения;
X и /и (х) = шах{х(х), и(х)} - функция принадлежности объединения;
Х*и(х,у ) = шт{х(х),и(у)} - функция принадлежности декартова произведения нечетких множеств.
Пусть Х есть пространство с мерой, определяемой на некоторой ст-алгебре А. Обозначим через В ст-алгебру Борелевских множеств на отрезке I =[0,1] и через £,( А, В) - множество
измеримых отображений х: (X, А)^(I, В). Всякую функцию хе^(А, В) назовем функцией принадлежности измеримого нечеткого множества из Х.
В теории нечетких множеств широко используется понятие сечения нечеткого множества. Определение 2. Пусть х е£,(Л, В). Четким а-сечением (или просто а-сечением) множества Ах назовем измеримое (четкое) множество
Аа = { х е X| х(х)>а} .
Ясно, что для всякого х е £,(Л, В) нулевое сечение А0 есть все множество Х, т. е. А0 = X . Далее, точечно-множественное отображение /(а) = Аа - монотонно убывающее, т. е. справедлива импликация а < р ^ Аа з Ар .
Распространение классической меры на нечеткие множества выполнено Заде в работе [2] по следующей схеме. Пусть (X,!) есть (классическое) пространство с мерой. Отображение
/и:%(А,В )^ Я+ , определенное формулой и(Ах) = | х^! , позволяет распространить клас-
X
сическую меру !на нечеткие измеримые множества пространства Х.
Определение 3. Отображение и: Я" х Я" ^ [0,1] называется нечетким порядком на Я" , если оно удовлетворяет следующим условиям (см. [3]):
(1) (х е Я") и(х, х)> 0 (рефлексивность);
(2) и(х, у)> 0& ц(у, х) > 0 ^ х = у (антисимметричность);
(3) и(х, 7) > шт{и(х, у), и(у, 7)} (транзитивность).
Пусть \Ка с Я", 0 < а < 1} - семейство выпуклых замкнутых конусов с вершинами в начале координат, таких, что справедлива импликация а1 < а2 ^ Ка з Ка , причем предполагается, что К1 ^ 0. Нечеткое отношение порядка определяется в этом случае следующим образом:
(х, у е Я") и(х, у) = 8ир{ а |у е х + Ка}.
Действительно, (х е Я"Уа) х е х + Ка ^ ц(х, х) = 1, откуда следует рефлексивность. Если у е х + Ка и х е у + Кр, причем а, р > 0, то возможен единственный вариант: х является вершиной конуса у + Кр, у является вершиной конуса х + Ка . Это экви валентно равенству х = у, которое означает антисимметричность. Далее, если ц(х, у) = а, и(у, 7) = р (а<р), то по определению /и имеем у е х + Ка, 2 е у + Кр. Следовательно,
7 е х + Ка , или и(х, 7) >а, откуда следует, что отношение и есть нечеткий порядок на Я" . Нечеткая оптимизация
Широкую область приложений в экономических исследованиях имеет нечеткая оптимизация (см. [3; 4]). Различают три типа задач нечеткой оптимизации: оптимизация с четкой целью и нечеткими ограничениями; оптимизация с нечеткой целью и четкими ограничениями; оптимизация с нечеткой целью и нечеткими ограничениями. В данном разделе приводятся основные понятия данного подхода к исследованиям.
Обозначения (см. [4]): пусть ц - четкое множество вещественных функций f: Rn ^ R . Определим на Rn частичный порядок >ц так, что x >ц y тогда и только тогда, когда справедливо высказывание (vf ew)f(x)> f (y).
Задачу многоцелевой оптимизации, заключающуюся в максимизации некоторого набора функций f ец на множестве Qc Rn, будем обозначать
max f (x).
xeQ V '
f ец
Решением этой задачи будем считать множество максимальных элементов, определяемых частичным порядком >ц на Q (множество точек, оптимальных по Парето).
Если множество допустимых состояний Q или множество целевых функций ц являются нечеткими, то соответствующую задачу максимизации будем обозначать
maxf (x).
fuzzy
xeQ
f ец
В нечеткой оптимизации выделяются два аспекта: нечеткие ограничения и нечеткая цель.
Оптимизация с нечеткими ограничениями
Обозначим через з(йп ) множество нечетких подмножеств из Rn . Пусть f: Rn ^ R , Q е 3Rn ). Рассматривается задача нечеткой оптимизации
max f (x).
fuzzy ' ' (1)
xeQ
Рассмотрим параметрическое семейство классических задач математического программирования
max f (x)
xєQa
;f (x), (2)
где Qa = {x є Rn\ xQ(x)>a} есть a-сечение Q. Обозначим через Za множество решений задачи (2) и положим Z = U Z a .
ає[0Д]
Определение 4. Отображение XZ : R" ^ [0,l], определенное формулой
Г 0 , если x g Z
XZ (x) = i ( і л
I sup {a I x є Za } , если x є Z,
вслед за J. I. Verdegay [4] будем называть функцией принадлежности (нечеткого) решения задачи (l).
m
Пусть X= ПXj , где XJ: Rn ^[0,l]. Рассмотрим частный случай, когда функции Xj
j=l
представляются в виде Xj (x) = hj (gj (x)) для некоторых функций gj : Rn ^ R. Будем считать hj непрерывными невозрастающими функциями hJ : R ^[0, l] вида
l, если x < 0,
YJ (x), если 0 < x < dj,
hj(x) =
0, если x > dJ
где d^ некоторые числа.
Наряду с классической задачей математического программирования
mmx f(x), (3)
где и = {х е | gj (х) < 0, } = 1,т}, рассмотрим задачу нечеткого программирования
"гг/м' (4)
хеО
т
в которой О есть нечеткое множество, порожденное функцией принадлежности X = О X} ,
]=1
где Xу (х) = ^ (gj (х)). Интерес представляет связь между задачами (3) и (4). Параметры ,
использованные в определении нечеткого множества О, могут интерпретироваться как пороговые значения для допустимых нарушений ]-го ограничения в задаче (3). Оптимальное решение задачи (4) представляет собой параметрическое семейство оптимальных решений
задач типа (3). Точка х е Яп является решением задачи (3) тогда и только тогда, когда
Хг (х ) =1.
Оптимизация с нечеткой целью
Обозначим через Е(яп ) множество всех отображений /: Яп ^ Я . Нечеткая цель в задаче математического программирования есть нечеткое множество в Е (яп). Пусть у е з[е(я •)] есть некоторая нечеткая целевая функция.
Определение 5. Будем говорить, что х >а у, если для всякого / е Е(яп ), удовлетворяющего условию Ху(/) — а, выполнено неравенство f (х)> /(у). Соотношение х >а у следует читать: «х не менее предпочтительно ранга а, чем у». Ясно, что отношение х >а у есть
частичный порядок в Яп (антисимметричный, рефлексивный и транзитивный) [3]. Обозначим ° = {(хУ)еЯ" *Я"\ х >а у}. Нечеткий порядок /иу порождается в этой ситуации следующей функцией принадлежности:
0 еСЛи (X, у )^ У 0а ,
sup а, если (x, у) е U Qa •
(x. У )eQa а>0
Рассмотрим параметрическое семейство задач многоцелевой оптимизации
max f (x )•
xeU V J (5)
!4{f >a
В случае, когда рассматриваются только линейные целевые функции, хорошо известно, что Е(Rn) можно отождествить с Rn [3], поэтому, определение нечеткой цели здесь сводится к нечеткому множеству ц е 3(Rn), и параметрическое семейство задач оптимизации, максимизирующих нечеткую цель, имеет вид
max ex.
x/f (6)
Задачи (5) и (6) при каждом фиксированном а представляют собой (классические) задачи многоцелевой оптимизации с множеством целей
Ца ={f| Хц( f )^а}-Обозначим через Za множество решений задачи (5) и пусть
Z = U Za •
ае[0,1]
Далее, нечетким решением задачи нечеткой оптимизации
max f (x)
fuzzy xeU f ец
будем называть множество с функцией принадлежности
Г 0 , если x g Z
XZ ( ) jsup {а | x е Za } , если x е Z.
Нечеткая цель и нечеткие ограничения
Пусть Q е sRn ] - нечеткое множество, и ц е ф(R' n)] - нечеткая цель. Будем решать задачу
max f(x).
fuzzy ' ' (7)
xen V >
f ец
Комбинация рассмотренных выше методов приводит к следующей модели решения задачи (7). Рассматривается параметрическое семейство классических задач многоцелевой оптимизации вида (см. [5])
max f (x),
ХаМ^а (8)
Хц(/)>Р
где а,Ре [0,1] , f eЗ{R”). Если решение (множество эффективных решений) задачи (8) обозначить через Z (а, р) и положить Z = U Z (а, р), то нечеткое решение задачи (7) оп-
а ,Ре[0,1]
ределяется следующей функцией принадлежности:
Г 0 , если x g Z
XZ ( ) jsup| а |з(р>а& у>а) x eZ (, у)}, если x е Z. (9)
Свойства точечно-множественного отображения Z (а, р)
Математические свойства точечно-множественного отображения Z (а, р), сформулированные в данном разделе, по мнению авторов, являются базовыми для приложений теории
нечеткой оптимизации. Они достаточно очевидны. Свойства 2, 4, 5 вытекают прямо из определения. Поэтому они не доказываются. Немножко менее очевидными представляются свойства 1, 3, 6, 7, 8, краткое доказательство которых включено в текст статьи.
Заметим, что множество Z (а, р) является четким при любых значениях параметров а и р.
Для изучения отображения Z (а, р) введем понятие экспоненциальной топологии [6]. Пусть
Х - топологическое пространство. Через *й(х) обозначим множество всех замкнутых подмножеств Х. Для любого A с X через 2A обозначим множество
2а = {b е %(X)| B с A}.
Определение 6. Следуя [6], «"-топологией (топологией полунепрерывности сверху) на Ш(х) будем называть топологию, открытой предбазой которой являются множества 2G для открытых G, и Я-топологией (топологией полунепрерывности снизу) - топологию, открытой предбазой которой являются множества ^(X) — 2F для замкнутых F. Экспоненциальная топология (^-топология) является объединением этих двух топологий.
Рассмотрим теперь задачу нечеткого программирования
max f (x),
fuzzy xeQ f ец
m
в которой = П Xj , где Xj (x) = hj (gj (x)), причем функции hj (x) непрерывные, моно-
j=1
тонно невозрастающие, и gj (x) - непрерывные и выпуклые, все f - непрерывные и вогнутые, U аа ограничено.
а>0
В этом случае отображение Z (а, в) обладает следующими свойствами.
1) Для всяких а,ве[0,1] множество Z(а, в) замкнуто в Rn.
Доказательство. Это свойство следует из непрерывности всех gj (x) и всех f Действительно, если последовательность xn е Z(а, в), то Xj(xn) = hj(gj(xn))>а. Следовательно, для предельной точки x = lim xn выполнено неравенство Xj (x) = hj (gj О^а. Далее, из
непрерывности целевых функций f е Yд и их непрерывности следует x е Z (а, в) .
2) Z (а, в) монотонно убывает по а.
3) Z (а, в) - полунепрерывно сверху по в
Доказательство. Из непрерывности hj(x), gj(x), всех f ец и ограниченности U аа
а>0
следует замкнутость графика Z (а, в). Далее, так как U Q ограничено, это свойство следу-
а>0
ет из теоремы Куратовского о полунепрерывности сверху компактнозначных отображений с замкнутым графиком [6].
4) Z (0,0)= Rn.
5) U Z (а, в) = Z (у, в).
а>у
6) Если Z(а, в) полунепрерывно сверху по (а, в), то Z* (а, у) = UZ(а, в) имеет замкну-
в>у
тый график.
Доказательство. Пусть xn ^ x0 и xn е Z (а, вп), где 1 >ви > Y и Дп ^ в* > Y. Из полунепрерывности Z имеем, что x0 е Z (а, в ), откуда вытекает включение x0 е Z* (а, y) .
7) Положим Z** (y) = U Z (а, в). Если Z (а, в) полунепрерывно сверху по (а, в) и
а ,P>Y
U аа ограничено, то Z** (y) имеет замкнутый график.
а>0
Доказательство. Справедливо следующее теоретико-множественное равенство
Z ** (Y) = U Z * (а, y) . Далее, заметим, что при а1 < а2 справедливо включение
Z* (а1, y) Э Z* (а2, y) , поскольку для каждого в справедливо включение Z (а1, в) Э Z (а2, в). Отсюда вытекает, что Z** (y) = Z* (y, y) . Пусть теперь xn ^ x0 и xn е Z* (yn, Yn), Yn ^ Y0 > Y . Это означает, что найдутся такие an, Дп > Yn, что xn е Z (аn, Дп ). Без ограничения общности, переходя, если надо, к подпоследовательностям, можем считать, что аг1 ^ а0 и Дп ^ во. Из непрерывности Qj (x) = hj (gj (x)) следует, что x0 е аа0, а из полунепрерывности сверху Z (а, в) имеем x0 е Z (а0, в0). Так как а0, в0 > Y0, то это означает включение x0 е Z** (y0), т. е. замкнутость графика Z ** (y) .
8) Если Z ** (y) имеет замкнутый график, то в определении нечеткого решения Supremum можно заменить на Maximum.
Доказательство. Пусть x(x) = а . Выберем монотонно возрастающую последовательность
а1г ^ а и такую, что x е Z **(an ). Легко видеть, что требуемая последовательность существует. Теперь из замкнутости графика отображения Z** имеем включение x е Z** (а), и утверждение доказано.
Доказанные свойства отображения Z (а, в) являются математической основой применения методов нечеткой оптимизации к приближенному решению прикладных задач.
Метод интервального представления данных
Понятие интервального числа. Фиксируем положительное вещественное число а. Обозна-
чим Ха =
х - —, х + — |. Назовем ха интервальным числом уровня а.
Понятие интервального вектора в Ят. Фиксируем вектор а = ( а,, а2,..., ат )е Ят с положительными компонентами. Пусть х = (х,, х2, ..., хт) е Ят . Обозначим через Х— параллелепипед с центром в точке х, определенный формулой
Ха = ( Х, , Х2 , ..., Хт ) ,
\ 1 а1 ’ 2 а2 ’ ’ тат I ’
который назовем интервальным вектором.
Нечеткое множество, порожденное случайной величиной, по методу интервального представления данных. Пусть % есть некоторая т-мерная вещественная случайная величина, Л - соответствующая вероятностная мера и Ф: Ят ^[0,1] - функция распределения этой
случайной величины. Определим отображение Л —: Ят ^ [0,1] формулой (см. [7])
а
х + 2
Л— (х)=л(х— ) | <3ф(), (10)
а
х—
2
Ь
где через | йф() обозначен интеграл Стилтьеса по параллелепипеду
а
£ = {геят\ак <<Ьк} = [a,Ь).
Отображение Ла при любом а > 0 представляет собой функцию принадлежности некоторого нечеткого множества. Это множество порождено случайной величиной %, причем, согласно определению (10), число Ла (х) представляет собой вероятность того, что случайная величина % принимает значения из параллелепипеда Ха , т. е. вероятность того, что в результате наблюдения за случайной величиной % мы получим значение из параллелепипеда Ха .
Нечеткое множество, функцией принадлежности которого является Ла , и будем называть множеством, порожденным интервальным представлением случайной величины %.
Математические свойства нечетких показателей, порожденных интервальным представлением данных
Опираясь на вид формулы (10), можем говорить, что параметр а характеризует точность нечеткого представления случайной величины £. Уменьшение каждой компоненты вектора а увеличивает точность представления. Увеличение каждой компоненты вектора а уменьшает точность представления.
Свойство 1. Согласно формуле (10), при фиксированном Х е Ят значение Ла (х) является
монотонно возрастающей функцией параметра а. Более того, при любом Х е Ят справедливы равенства
Ит Л а (х ) = 0, Пт Ла (х ) = 1,
'■'а ул} — и , пт /1а \
а^0 а
а>0 а>0
когда к бесконечности стремятся сразу все компоненты вектора а. Это свойство является очевидной переформулировкой свойств функции распределения ф(г). Его можно интерпретировать следующим образом.
Свойство 2. Уменьшение точности нечеткого представления случайной величины £ (увеличение каждой компоненты вектора а) для каждого Х е Ят при прочих равных приводит к увеличению правдоподобности принадлежности числа х нечеткому образу этой случайной величины.
Свойство 3. Увеличение точности нечеткого представления случайной величины £ (уменьшение каждой компоненты вектора а) для каждого Х е Ят при прочих равных приводит к уменьшению правдоподобности принадлежности числа х нечеткому образу этой случайной величины.
Свойства 1, 2 и 3 являются основой интерпретации прикладных результатов.
Обозначим через !,(-<»,да) пространство измеримых по Лебегу вещественных функций,
заданных на всей прямой, для которых
1ИЦ = II / х < да . Пусть % — скалярная случайная
величина. Отображение Ла в этом случае обладает следующим свойством.
л—
= а.
А
Лемма 1. Для всякого а > 0 справедливо включение Ла е Ц(-да,да), причем
Обобщение леммы 1 на т-мерный случай. Обозначим через Ц (-да, да) пространство измеримых по Лебегу вещественных функций /: Ят ^ Я, для которых
11/1, = Л Л / (> )| Ж < да. Пусть % - т-мерная случайная величина. Отображение Л— для
а е Ят, а > 0, в этом случае обладает следующим свойством.
Лемма 2. Для всякого а = (а,,а2,...,ат)> 0, а е Ят, функция Л— принадлежит про-
= т
странству Цт (- да, да) и справедливо равенство Л— = П ак .
Тт ■*- ■*-Ц к=1
Доказательство этих утверждений содержится в работе [8] и здесь не воспроизводится. Используя функцию Ла , определим теперь меру всякого измеримого по Лебегу множества А с Яп :
(А)=| Л— (х)х П —к .
Ла А / к=1
Из леммы 2 следует, что для всякого А с Яп справедливы неравенства 0 < /и= (а) < 1.
Л—
Число и (а) интерпретируется как вероятность того, что пересечение множества А с неЛа
четким множеством Ал не пусто. Вероятностную меру и= (а) назовем мерой, порожден-
Ла Л
Л—
ной интервальным представлением данных Ла .
Свойства вероятностной меры /и- . Обозначим через /,(х) функцию распределения,
ла
соответствующую мере и .
Ла
Лемма 3. Пусть х, а е Я1 и а > 0. Тогда справедливо равенство
а
х+—
, 2
е,(х) = — [ф( ).
— •’ а
Х--
2
Обобщение этой леммы на многомерный случай.
-да
т дтФ(ґ) д ( д дФ(ґ)
Лемма 4. Пусть х, а є Я , а > 0, ---------------=— —...-----------------
дґ дґ дґ дґ дґ дґ
иі1иі2...иіт иі\ ^^2 т J
всюду существует и непре-
рывна. Тогда справедливо равенство
т 1 2 2
^1 (х) = П-----| - |Ф( ’ ґ 2 ’-’ґт )ґ2 -Лт ■
х +її х і т
х1 + 2 т + 2
Обозначим через п случайную величину, функцией распределения которой является Е, (х) . Справедливо следующее свойство случайной величины п.
Лемма 5. Если ф(<) непрерывно дифференцируема по < ^, то существует частная произ-
дЕ (х )
водная--------, причем справедлива формула
дх,
а
х+
дзМ=П±. г2 М)<.
дх/ к .1 — J — д<1
Х--
2
Доказательство этих утверждений также содержится в работе [8] и здесь не воспроизводится.
Следствие 1. Из леммы 5 следует, что если случайная величина % имеет непрерывную
дтФ(<) ()
плотность распределения -—— = ^<), то п также имеет непрерывную плотность рас-
д<1д<2 ..'д<т
д тЕ (<) , / \
пределения-------------= п(), причем справедлива формула
д<1д<2 ..'д<т
а
х+—
2
т2
к(х) = П-18(ґ .
к=1 к а
X----
2
Следствие 2. Если случайная величина % имеет непрерывную плотность распределения g(<) и для вещественной функции _у(х) существует интеграл ||у(х)(х) , то справедливо
равенство
а ґ+—
т 1 2
| у(х)^ (х) = П —| 8(ґ)dґ І у(х)dх. (11)
Ят к=1 ак Я- ґ- а
ґ2
Обозначим математическое ожидание случайной величины ( через М(, дисперсию - через Б(, ковариацию случайных величин ( и ( - через Соу((х ). По формуле (11) легко вычисляются моменты первого и второго порядков случайной величины п. Для произвольных
і,к = 1, 2,..., т справедливы следующие равенства:
ак
МПк = Ы(к, Бпк = Щк +12,
Соу(Пі>Пк) = Соу((і>(к) і * к.
Предположим теперь, что о случайной величине ( мы знаем только ряд выборочных значений
(„ (2, ..., , (к є ЯП (12)
Выборкой (12) порождается эмпирическая вероятностная мера Xм и эмпирическая функция распределения Фм : Яп ^ [0,1]. Следовательно, при каждом фиксированном
а
а
т
х
1 2 хт 2
Я
а е R+ &а > 0 имеется последовательность функций принадлежности нечетких множеств
('n )а , построенных по формуле (10).
Лемма 6. Последовательность функций fN (x)=('N )а (x) при N ^ да сходится к функ-
7 I \ ~ ~ а а
ции ла\х) в каждой точке х, такой, что x — ^ и x + являются точками непрерывности
функции Ф.
Доказательство. Эта лемма является следствием теоремы Гливенко - Кантелли (см.: [9. С. 22]).
Нечеткие отображения, порожденные точечно-точечными функциями
Пусть f: X ^ Y - некоторое точечно-точечное отображение множества X в множество Y. Определим отображение f: з(х)^3(y) следующим образом. Возьмем некоторое А еЗ(Х), ХА - ее функция принадлежности. Функцию хв принадлежности множества В = ~(А) е 3(y ) определим по формуле
Хв (У )= suP Ха (x),
xef — (y)
где f — (У) = {x е X|f (x) = у }.
Определенное таким образом отображение f : з(х) ^ 3(y) будем называть нечетким отображением, порожденным точечно-точечной функцией f: X ^ Y. Отображение f иногда называется нечетким продолжением функции f: X ^ Y.
Обобщение данной методики нечеткого продолжения на функции многих переменных
П
выполняется по методу математической индукции. Пусть f : f Xi ^ Y , Ai e3(Xi), Xi - их
i=1
функции принадлежности. Функция принадлежности хв множества
В = f (А1, А2, ..., An)e3(Y) определяется по формуле
Хв (У)= suP min Xi (xi),
xef — (y )1Si Sn
где (y) = “Ix = (xp x2 , ..., xn )eflXi|f (x)= y^ .
В частности, операции нечеткой арифметики - сложение и умножение - определяются следующим образом.
Пусть в X определена операция сложения, и А, В еЗ(X). Тогда функция принадлежности суммы нечетких множеств А + В вычисляется по формуле
Ха+в (x) = sup min{ха (У), Хв (z)}.
У + z=x
Пусть в X определена операция умножения, и А, в е 3(X). Тогда функция принадлежности произведения нечетких множеств А • в вычисляется по формуле
Xав (x) = suP min {ха (У), Xв (z)} .
yz=x
Оптимизационная межотраслевая динамическая модель с нечеткими параметрами
В модели используются следующие параметры, которые описываются в терминах нечетких множеств:
п - число отраслей общественного производства;
m - число отраслей первого подразделения (m < п);
k - число фондосоздающих отраслей;
T - количество периодов времени для прогнозирования;
а у (р) - коэффициенты прямых материальных затрат продукции отрасли / на производство единицы продукции отрасли у в период времени Р;
СЫ ( ) - коэффициенты трудоемкости продукции отрасли у по к-му виду трудовых ресурсов в период времени Р;
Ьу () - коэффициенты фондоемкостей продукции отрасли у по /-му виду основных фондов в период времени Р;
Зу - строительный лаг ву-й отрасли по /-му виду производственных основных фондов;
к у (р,т) - коэффициент выбытия производственных основных фондов /-го вида в у-й отрасли возраста т в период времени Р;
В у () - ввод в действие производственных основных фондов /-го вида в у-й отрасли в период времени Р;
К уу (р,р + т) - инвестиции /-го вида ву-й отрасли в году t в объекты, вводимые в действие в период времени t + т ;
К у (t) - общий объем инвестиций /-го вида ву-й отрасли в период времени Р;
/Ну (р, т) - коэффициент, показывающий, какая доля ввода в действие производственных основных фондов в у-й отрасли региона в период времени t + т формируется за счет инвестиций /-го вида периода t, так что цу. (Р, т) = Куу (р, t + т))|^Ву (t + т) |;
^к ( ) - численность к-го вида трудовых ресурсов, которые потенциально могут быть заняты в общественном производстве в периоде Р;
Р,:1(и -т) - производственные основные фонды /-го вида в у-й отрасли на конец года t, введенные в периоде t — т ;
К () - производственные основные фонды /-го вида в у-й отрасли на конец периода времени Р;
N () - незавершенное строительство производственных основных фондов /-го вида в у-й отрасли на конец периода Р;
/у ( ) - взвешивающие коэффициенты продукции у-й отрасли в целевом функционале
экономической системы.
Пусть экономическая система включает п отраслей, из которых отрасли 1 < / < к - фондосоздающие, а к < / < т - нефондосоздающие первого подразделения, т < / < п - отрасли второго подразделения.
Поскольку параметры модели являются нечеткими множествами, то все дальнейшие их арифметические преобразования, выполненные в соответствии с правилами нечеткой арифметики, также будут представлять собой нечеткие множества.
Обозначим через Ху () нечеткий произведенный, (р ) - нечеткий использованный вало-
вой выпуск у-й отрасли, Б у () - нечеткое сальдо экспорта-импорта по у-му продукту, &у (р ) - нечеткий прирост запасов и Пу (р) - нечеткие потери продукции у-й отрасли в период времени р. По аналогии с [10] соотношение продуктового баланса у-й отрасли запишем в виде
Ху (Р ) = Ху {( ) + Бу {( ) + Ь2у (Р ) + Пу {( ) .
Воспроизводство основных фондов в модели динамического межотраслевого баланса с лагами описывается как процесс обмена использованного продукта фондосоздающих отраслей периода Р на ввод в действие основных фондов периода Р, который опосредуется изменением объема незавершенного строительства.
Применение лаговых показателей позволяет увязать процесс производства продукции фондосоздающими отраслями машиностроения и строительства, а также экспорта и импорта продукции этих отраслей в каждом периоде времени с предшествующими и последующими
периодами. Часть произведенного продукта фондосоздающих отраслей экономической системы каждого периода обеспечивает продолжение строительства объектов, начатое ранее, часть экспортируется. Это обусловливает связанность инвестиций и, следовательно, зависимость их объема, отраслевой и технологической структуры от инвестиций предшествующих периодов времени и от объемов импорта продукции фондосоздающих отраслей. Ввод в действие производственных основных фондов в каждый период времени формируется по материально-вещественному составу за счет использованного продукта машиностроения и строительства ряда предыдущих и данного периода времени. В состав незавершенного строительства у-й отрасли (1 < у < п) в период t поступает продукция /-й фондосоздающей отрасли в
объеме К у () и распределяется по слоям незавершенного строительства. Инвестиции определяются по формуле
Ку (1 НЕКу (t,t + и). (13)
и>0
Ввод в действие производственных основных фондов В у () периода t в у-й отрасли формируется из использованного продукта /-й фондосоздающей отрасли по формуле
Ву ^) = ЕКу (t - и,t). (14)
и>0
Объем инвестиций К у (t, t + и) в слой незавершенного строительства, вводимый в периоде t+u, вычисляется через ввод в действие основных фондов этого периода по формуле
КУ (, t + и) = Ц (t, и) • ЕВ (t + т). (15)
/=1
Коэффициенты Цу (t, и) являются интегральной характеристикой ввода в действие основных фондов, зависящей от технологии и интенсивности строительства объектов в отрасли у. При этом технология строительства состоит из конечного числа стадий. Тогда инвестиции определяются по формуле
КУ (t + и) = Е^у (t, + и у)Пу ( + u, у)' ЕВ (t + т)), (16)
где п,у (t + и, V) - доля ввода в действие производственных основных фондов /-го вида в у-й
отрасли в период t+ и, которая формируется в v-й стадии строительства; £,у (t, t + и, V) -
часть v-й стадии, выполненная в (-м периоде (за и периодов до ввода данного слоя). В зависимости от ожидаемых капитальных вложений несколько последовательных стадий могут быть выполнены в течение одного периода или одна стадия может продолжаться несколько периодов. Формулы (15), (16) - базовые для определения объемов инвестиций по отраслям экономической системы через ожидаемые вводы в действие основных фондов. Дополнительные управляющие параметры £, (, t + и, V) в формуле (16) дают возможность прогнозировать согласованные ввод в действие основных фондов и инвестиции в условиях изменяющихся во времени сроков строительства. Для этого в нормативах £,у (р, t + и, V) учитывается ускорение
или замедление интенсивности капитального строительства.
Рекуррентные соотношения по пересчету незавершенного строительства описываются формулой
N (0 = N ( - О-ЕК ( - и О + Хк (^t+и). (17)
и=1 и=1
Рекуррентные соотношения для определения объема производственных основных фондов /-го вида в у-й отрасли возраста и на конец периода t задаются формулой
ри (,0) = В/у (t), ри(t,u • = р/у^ - 1,и - 1)^(1-ку (t,u)). (18)
Модель воспроизводства основных производственных фондов (13)—(18) используется для определения инвестиций и их технологической структуры по отраслям через ожидаемый ввод в действие основных фондов с учетом строительного лага и режима £,у (, (+ и, V) функционирования инвестиционного комплекса.
Произведенный валовой продукт (валовой выпуск) у-й фондосоздающей отрасли Ху () в период t определяется по формуле
Ху (t) = XK () + % (t) + ь (t)• (19)
у=1
Баланс производства и использования продукции нефондосоздающих отраслей первого подразделения имеет следующий вид:
п
Х1 () = X ау ()■ Ху (р) + % (t) + (), к <1- т• (20)
у=1
Соотношения для формирования продукции отраслей второго подразделения представляются в виде
Х (t) = й ( (t -1) , % (р -1) , Л t) + ) (t) , т <i-П (21)
где Qi — отображения, синтезирующие структуру и динамику потребностей (обычно - это
монотонно возрастающие функции параметра Л).
Ограничения по трудовым ресурсам описываются системой неравенств
X ску(р )■ ^(t)- 4(). к = 1>...> I. (22)
у=1
Ограничения по основным фондам описываются системой неравенств
Ьу ()■ Ху (р)- Ъ(t), 1 -i- к, 1 - у - п. (23)
Обозначим через О множество нечетких траекторий развития экономической системы Ху ( ^ удовлетворяющие в каждый период времени t ограничениям (13)—(14), (16)-(23), и сформулируем задачу нечеткой оптимизации:
Т п
XX / ()■ ху () ^ тах, х ёО, (24)
t=1 у=1
где множество допустимых траекторий О и коэффициенты максимизируемой функции /у () являются нечеткими.
Решение задачи (24) при вводах в действие основных фондов В у (р), трудовых ресурсах а также нормативах ( + и, V), £, (р, р + и, V), к у (р, и), ау (р), Si (р), су () для каждого периода времени из [0; Т], дает нечеткую систему показателей развития экономической системы, включая валовой выпуск Ху (), производственные инвестиции К у (), вводы в действие производственных основных фондов В у () и основные фонды на конец каждого периода времени () = X ру (р, и) •
и>0
Список литературы
1. Zadeh L. A. Fuzzy Sets // Inf. And Control. 1965. № 8. P. 338-353.
2. Zadeh L. A. Probability measures of fuzzy events // J. Math. Anal. 1968. № 23, appl.
P. 421-427.
3. Takeda E., Nishida T. Multiple Criteria Decision Problems with Fuzzy Domination Structures // Fuzzy Sets and Systems. 1980. № 3. P. 123-136.
4. Verdegay J. I. Fuzzy Mathematical Programming // Fuzzy Information and Decision Processes. North-Holland Publishing Company, 1982. P. 231-237.
5. Ralescu D., Adams G. The Fuzzy Integral // J. Math. Anal. 1980. № 75, appl. P 562-570.
6. КуратовкийК. Топология / Пер. с англ. М.: Мир, 1968. Т. 1-2.
7. Казанцев С. В. и др. Интервальный анализ данных / С. В. Казанцев, А. В. Павлов,
В. Н. Павлов // Методы анализа динамики экономических процессов. Новосибирск: Изд-во ИЭОПП СО РАН, 2001. С. 3-17.
8. Павлов А. В. О некоторых свойствах мер, порожденных интервальным представлением данных // Динамика экономических процессов: методы моделирования и анализа. Новосибирск: Изд-во ИЭОПП СО РАН, 2002. С. 184—198.
9. Боровков А. А. Математическая статистика. М.: Наука, 1984.
10. Баранов А. О. и др. Исследование экономики России с использованием межотраслевых моделей / А. О. Баранов, В. М. Гильмундинов, В. Н. Павлов. Новосибирск: Наука, 2001. 198 с.
