CC BY
20
УДК 330.3+332.012
А. В. Павлов ', В. Н. Павлов 2
Институт экономики и организации промышленного производства СО РАН пр. Акад. Лаврентьева, 17, Новосибирск, 630090, Россия
Новосибирский государственный университет ул. Пирогова, 2, Новосибирск, 630090, Россия E-mail: 1 antpav@ieie.nsc.ru; 2 pvn@nsu.ru
ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИИ В ИССЛЕДОВАНИИ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ *
В статье содержатся новые результаты по исследованию математических свойств экономической неопределенности, полученные на основе применения теории нечетких множеств. Предлагается метод оценки надежности совпадения нечетких множеств и применение понятия надежности совпадения в макроэкономическом анализе.
Основные понятия
Пусть Х- топологическое пространство с мерой ц, Ях - совокупность вещественных измеримых функций наХ. Функция / е Ях называется суммируемой со степенью р, если справедливо неравенство
■
.
Обозначим через Lp (X) нормированное пространство измеримых суммируемых со степенью р вещественных функций на Х с нормой
ил,=[лл,‘>»'
и р
X
через Lm (X) пространство почти всюду ограниченных измеримых функций с нормой
||/||ю = ем8ир|/(х) .
.
Пусть р > 1, q > 1, / е L (X), g е L (X) и—+ — = 1. Рассмотрим билинейный функционал
,
(У, ^ = | ,
_ '
для которого справедливо интегральное неравенство Гельдера
\(f, g)l =
. (1)
Далее, обозначим [0; і] Iх - пространство измеримых отображений /: X ^ I. Очевидно, .
Определение. Нечетким множеством в пространстве называется геометрический объект, обладающий следующим свойством: для каждого определено число
* Работа выполнена при финансовой поддержке программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2006-2008 годы)» Федерального агентства по образованию Министерства образования и науки РФ (проект № РНП.2.1.3.2428 «Исследование макроэкономических процессов в России с использованием межотраслевых моделей с нечеткими параметрами»).
ISSN 1818-7862. Вестник НГУ. Серия: Социально-экономические науки. 2007. Том 7, выпуск 2 © А. В. Павлов, В. Н. Павлов, 2007
, которое интерпретируется как степень правдоподобности высказывания, что . Если , то высказывание абсолютно неправдоподобно, если
, то высказывание абсолютно правдоподобно. Функция называет-
ся функцией принадлежности (нечеткого) множества (см. [1]).
Нечеткое множество Л называется измеримым, если хЛ е Iх .
Очевидно, между функциями х е Iх и измеримыми нечеткими множествами пространства устанавливается взаимнооднозначное соответствие. Нечеткое множество , функцией принадлежности которого является х е Iх, будем обозначать Лх . Для всякого числа а е [0;1] (четкое) множество Еа (Л)={е Я |хл (х)> а| называется а -сечением нечеткого множества Л . Очевидно, если измеримо, то для всякого [0;1] Еа (Л) также измеримо.
Далее, обозначим: - совокупность измеримых нечетких множеств пространства Х;
3 (X) - совокупность нечетких множеств пространства Х, функции принадлежности которых суммируемы со степенью р по мере ц; - совокупность функций принадлежности
нечетких множеств, которые являются измеримыми по мере ц, так что х ^ р (X )
совокупность функций принадлежности нечетких множеств, которые являются суммируемыми со степенью р по мере ц.
Функциональные свойства нечетких множеств
Очевидно, для всякого справедливо включение
.
Из определения нормы в Lда (X) вытекает равенство ^да (х )= ^(х) кции ограничены единицей , то при любом для ,
справедливо неравенство |х(х)Р >|х(х)4, т. е. ||х||р >||х||9д. Следовательно, для всехр > 1, справедливо включение
'
Лемма 1. Пусть е^ р (х) при некотором р > 1. Тогда справедливо неравенство
II , (2)
И II II 1100
а если функция принадлежности множества Е0 (Лх) также принадлежит Zр (х), то
ИтЫ „ = 11x11. (3)
II 11^ II псо
Доказательство. Докажем неравенство (2). Фиксируем . Рассмотрим множество Е = {|х(х)> ||х||да -^. Еслиц(Е)= да, то возьмем его измеримое подмножествоЕ1, удовлетворяющее условию КЕ1) < да . Учитывая определение нормы в Lда (х) и локальную конечность меры , это можем сделать всегда. Далее, для всякого получаем неравенство
■
■
.
Следовательно.
■
Так как , то из полученного неравенства и произвольности теперь вы-
текает справедливость неравенства (2).
Если же Е0 Z р (X), то, очевидно, при любом ■ > р справедливо неравенство
иг
■
Следовательно,
'
И II И 1,^
что с учетом неравенства (2) эквивалентно равенству (3).
Лемма доказана в полном объеме.
Теоретико-множественные операции над нечеткими множествами
Следуя [1], определим результирующие множества через их функции принадлежности:
XЛиВ (х)= тах{хЛ (х), Хв (х)} - функция принадлежности объединения;
XЛпВ (х)= тт {хЛ (х), Хв (х)} - функция принадлежности пересечения;
Xх-а (х)= 1 - хЛ (х)- функция принадлежности дополнения.
Очевидно, если Л, В е3 (х), то справедливы включения Л и В, Л п В е3 (х). Однако дополнение х - Л принадлежит 3 (х) только в том случае, когдац(х)<да. Если же = да , то функция принадлежности хх-Л (х) не суммируема. Это следует из неравенства треугольника |\/ + ^|р < ||/||р +1|^|р и соотношения 1 = ха (х)+хх-л (х).
Совпадение нечетких множеств
Пусть . Так как для всякого и для всякого справедливо неравенств , то имеем
■
Определение. Назовем неотрицательное число
Р1р (Л; В)=^^, (4)
"р
не превосходящее единицы, -правдоподобностью включения , а число
} (5)
-надежностью совпадения нечетких множеств А и В.
Очевидно, при любом р > 1 справедливо равенствоТр (Л;В) = Тр (В;Л). Далее, если (х) при некотором р > 1, то, по лемме 1, имеем
- .
ГУ
1|л II
Очевидно, показатель Р1да (Л; В) обладает следующим свойством: если ||хЛпВ||да = ||хВ||да, то Р1да (Л; В)= 1. Равенство ||хЛпВ||да = ||хВ||да выполняется тогда и только тогда, когда для всякого в > 0 справедливоусловие ц(Ем-в (Л п В )п Ем - в(В))> 0 Р1да(Л; В)= 1
может выполняться и тогда, когда при всех будет строгое неравенство , потому что показатель характеризует правдоподобность включения только по
значению функций принадлежности в точках максимума правдоподобия, в то время как показатель Р1д (Л; В) при д <да дает оценку правдоподобности включения Л с В по всей совокупности значений функций принадлежности и .
Нечеткие множества,
построенные по методу интервального преобразования случайных величин
Пусть £,: О ^ Ят есть некоторая т-мерная вещественная случайная величина, ц - соответствующая вероятностная мера на О, и Ф: Ят ^ [0,1] - функция распределения этой случайной величины. Определим отображение Ха: Ят ^ [0,1] формулой (см. [2])
—
.
а
х—
.
где через обозначен интеграл Стильтьеса по параллелепипеду
х~а 2
ха = [х - а/2;х + а/2).
Число Ха (х) представляет собой вероятность того, что случайная величина £ принимает значения из параллелепипедаха. Здесь а = (а1,..., ат) - вектор с положительными компонентами. Отображение Ха при любом а > 0 представляет собой функцию принадлежности некоторого нечеткого множества Л , которое обозначим Л = Fa (Е). Это множество порождено интервальным преобразованием (6) случайной величины . Определенное таким образом отображение
Fa : (Ят (Ят ) (7)
обладает рядом математических свойств, которые сформулированы в [2]. В частности, согласно лемме 2 (см. [2. С. 26]), для интервального преобразования Fa (Е) любой случайной величины справедливо равенство
т
1Ы11=П ак. (8)
Рассмотрим две случайных величины Е1, Е2. Пусть %}а, Х2а - их интервальные преобразования, а - результирующие нечеткие множества. Тогда из формул (4)-(5) с учетом (8)
получаем
. (9)
Определение. Величину будем называть надежностью нечеткого совпадения
распределений случайных величин .
Случайные величины, порожденные суммируемыми нечеткими множествами
Используя функцию принадлежности % суммируемого по Лебегу нечеткого множества , определим теперь функцию по формуле
I
Ф(х^ х2, ... , хт )= | | - {х(х У цМ 11 . (10)
—да —да —да /
Очевидно, представляет собой функцию распределения некоторой -мерной случайной величины . Обозначим эту случайную величину, порожденную нечетким
множеством Л, через Е = Р (Л). Отображение
обладает рядом математических свойств, часть из которых сформулирована в работе [2]. В частности, для отображения Р °Fa справедливо следующее утверждение.
Лемма 2. Если положить Р (Еа (Е))= П, то, как показано в [2], будут справедливы следующие равенства:
а2
мПк = МЕк, £>Чк = Щк +12, Сот(п,Пк)= Сот(£,■,Ек), 1 * k,
где через обозначено математическое ожидание, через - дисперсия случайной величины , через - ковариация случайных величин и .
Стохастическая процедура приближенного вычисления функции принадлежности нечеткого множества
Для приближенного вычисления функции принадлежности суммируемого нечеткого множества с функцией принадлежности предлагается использовать следующую двух-
шаговую стохастическую процедуру.
Шаг 1. Генерируется выборка Е1, Е2, . ., Еы, Ек е Яп значений случайной величины Е = Р(х).
Шаг 2. Выполняется приближенное интервальное преобразование Fa (Е) с использованием
эмпирической функции распределения , где подбирается из условия || .
Для экспериментальной проверки этой процедуры было взято нечеткое множество A на вещественной прямой с функцией принадлежности
1
'
'
сгенерирована выборка значений случайной величины объема и выполнено
обратное преобразование Fa при a = 1,5. Результаты вычислений представлены на рис. 1.
1
Значение показателя
Рис. 1. Приближенное построение функции принадлежности нечеткого множества А с использованием стохастического алгоритма при N = 30
Качество построения функции принадлежности с использованием стохастического алгоритма вполне приемлемое даже при объеме выборки . Если требуется более высокая
точность, то надо брать выборки большего объема.
Стохастический алгоритм расчетов
по межотраслевой модели с нечеткими параметрами
Алгоритм расчетов по межотраслевой модели, описанной в [2], основан на применении предложенной в предыдущем разделе двухшаговой стохастической процедуры. В целом, предлагаемый стохастический алгоритм будет состоять из последовательности следующих операций.
Шаг 1. Преобразование каждого нечеткого параметра в случайную величину по следующим математическим формулам: , где - функция принадлежности -го не-
четкого параметра межотраслевой модели.
Шаг 2. Генерация выборок заданного объема для каждой из полученных на шаге 1 случайной величины |.
Шаг 3. Вычисление по межотраслевой модели с четкими параметрами набора результирующих показателей xn для каждого выборочного значения нечетких параметров.
Шаг 4. Оценка параметра a обратного преобразования Fa. Если все нечеткие параметры межотраслевой модели полагаются треугольными числами, то параметр , согласно стохастической процедуре, при больших задается равным половине размаха выборки
{п , П = 1 •••, N}.
Шаг 5. Обратное преобразование выборки результирующих показателей {сп, п = 1,..., N} в нечеткое множество Fa ({сп}).
Нечеткая оценка надежности прогнозных экономических показателей
Предложенная в формулах (6)-(8) методика применяется для оценки надежности экономических прогнозов. Вариантные расчеты по стохастическому алгоритму были выполнены по межотраслевой модели с нечеткими параметрами, описанной в [2]. Целью расчета было обоснование роста валового выпуска за период 2006-2010 гг. с темпом 145 %. Числу 1,45 было дано нечеткое описание на интервале длины 0,5 с центром в точке 1,45 и функцией принадлежности (рис. 2, а). Была принята гипотеза о нечетком определении следующих параметров Ьк, k = 1, ..., 5 :
Наименование параметра Уровень четкости
Ввод основных фондов 0,9
Сальдо внешней торговли 0,9
Материалоемкость валового выпуска 0,9
Фондоемкость валового выпуска 0,9
Производительность труда 0,9
в виде треугольных чисел с функциями принадлежности
-
ьк2 - К к к
где Ьк - статистическое значение к -го показателя из списка, Ь1к = 0,9 • , Ьк = 1,1 • .
Для генерации выборки случайной величины использовался стандартный генератор равномерно распределенных на отрезке чисел (который обозначим ). Пусть
- -е число, сгенерированное оператором . Если обозначить через функ-
цию распределения случайной величины Ек , то п -й элемент выборки Еп вычисляется по формуле Еп = ф-1 (и ).
Замена нечетких показателей Ьк на выборочные значения ЕП превращает межотраслевую модель с нечеткими параметрами из [2] в обычную межотраслевую модель, в которой все параметры заданы четко. Результаты вариантных расчетов по межотраслевой модели с четкими параметрами были преобразованы с помощью Fa, где a положили равным половине размаха выборки результирующих показателей {хп, п = 1,..., N}, откуда были получены графики (см. рис. 2).
Надежность совпадения прогнозного и выборочного темпов роста валового выпуска, вычисленная по формуле (9), равна 0,7624.
Зависимость надежности совпадения случайных величин
от точности интервального преобразования
Точностью интервального преобразования случайной величины будем считать значение параметра в формуле (6). Чем меньше значение параметра, тем выше точность.
В результате эмпирического исследования, проведенного над результатами прогнозных расчетов (см. выше), получена следующая зависимость надежности от точности:
Максимальная ошибка 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1
Надежность 0,82 0,81 0,80 0,79 0,76 0,71 0,63 0,46 0,22
Очевидно, что с увеличением точности надежность совпадения показателей падает.
В общем случае пусть даны две случайных величины , интервальными преобразованиями которых являются А}а, А2а, а А1“, А2, - результирующие нечеткие множества. Предположим, что функции распределения случайных величин дифференцируемы, и плотности
Р' ()= ~Ф~ являются непрерывными функциями. Тогда справедливо следующее утверждение.
Лемма 3. Если для всякого имеем равенство () • Р 2 (' )= 0 Е0 (р1)
ограниченны, то Пт Т1 (А?, А21 )= 0 .
Доказательство. Так как функции непрерывны, то множества открыты и,
по предположению леммы, ограниченны, следовательно, открыто и ограниченно множество , а замыкание множества компактно. Отсюда вытекает равномерная непрерывность функций на всей вещественной прямой, так как на
компакте с1 (Е), вне которого рг ()= 0 .
Фиксируем произвольное . По нему определим такое, что как только , то
в . Согласно формуле (6),
2
К ()= | Р, (и )<1и .
г-^
2
Выберем . Если , то будет справедливо неравенство
'
—
2
Х’а (г)= | pi (иЦ)йи < a•в .
г-a-2
По условию леммы, справедливо одно из двух утверждений: либо , либо .
Следовательно, при a <5 , с учетом формулы (10), либо А}а (г )< a -в А a (г )< a •в
Значение прогнозного показателя
а
ЕЗ °’7 ё 0,6 И
| 0,5 § 0,4 о 0,3 § 0,2 ^0,1 о
г--С'1оогооотоото^а>^
*-н ГЧ СП СО ^ ^ «О 1П 40 40
Значение выборочного показателя
б
Рис. 2. Нечеткое преобразование прогнозных (а) и выборочных (б) значений темпа роста валового выпуска по формуле (6)
всякого t е R справедливо неравенство A(t)= min {а) (t), Аа (t)}< а - в . В то же время, Е0 (А) содержится в компактном множестве Е = { е RкпГ\и - И < а\ мера Лебега которого р(Е ) убывает при уменьшении . Следовательно, при для надежности справед-
лива оценка
■
II II1
Доказательство леммы теперь завершается ссылкой на произвольность выбора .
Обобщенные интегральные преобразования случайных величин
Пусть снова Е : ^ ^ Rm есть некоторая т-мерная вещественная случайная величина, ц -соответствующая вероятностная мера на О, и Ф: Кп ^ [0,1] - функция распределения этой случайной величины. Рассмотрим более общий, по сравнению с формулой (6), метод преобразования случайной величины в нечеткое множество. Возьмем некоторое измеримое отображение , удовлетворяющее условиям:
| f (х, ts)dx = а (11)
'
при любом t е Rm, и интеграл Стильтьеса
х(х)= | f (х, t)dФ() (12)
существует при любом х е Rm. к
Формулой (12) задается интегральное преобразование функции распределения случайной величины Е . Легко видеть, что результирующая функция х(х) при каждом х е Кп
удовлетворяет условию , т. е. является функцией принадлежности некоторого не-
четкого множества. Действительно, по определению f (х, t) для каждого (х, t)е Ип х Ип име-
ем0 < (x, t) < 1 . Следовательно,
о < х(х)= | f (х, t)dФ(t)< | dФ(t)= 1.
'
Определение. Нечеткое множество, функцией принадлежности которого является функция , вычисленная по формуле (12), будем называть интегральным преобразованием случайной величины .
Ясно, что интервальное преобразование (6) случайной величины является частным случаем интегрального преобразования (12), или, иными словами, преобразование (12) случайной величины является обобщением преобразования (6).
Лемма 4. Функциях(х), вычисленная по формуле (12), суммируема по Лебегу наRm, причем справедливо равенство .
Доказательство. По определению нормы || - || имеем следующие равенства:
||Х1 = | х(х^х =| dx | f (х, tУФ^)= | dx| f (х, Е(ю)^ц .
Далее, учитывая равномерную ограниченность функции и конечность меры ,
применяем теорему Фубини и получаем
| dx| f (х, Е(ю))а?ц = |dц| f (х, Е(ю))ах .
Согласно формуле (11), при любом внутренний интеграл равен . Следовательно.
■ = а | d ц = а
!
и лемма 4 доказана.
Далее следуют достаточные условия непрерывности функции .
Лемма 5. Если функция f (х, t) непрерывна по х равномерно относительно t, то х(х) непрерывна.
Доказательство. Фиксируем точку и число . Из равномерной непрерыв-
ности функции f (х, t) вытекает существование числа 5 > 0 такого, что если||х - х0|| <5 , то в сразу для всех (. Теперь, если ||х - х^| <5 , то
0
|х(х )- х(х0 ) =
Теперь, учитывая неравенство ^ (х, Е(ш))- f (х0, Е(ш))<в почти при каждом шей, окончательно получаем
|х(х )-х(х0 )<в|d ц = в.
Лемма доказана. й
Лемма 6. Если функция f (х, t) непрерывна как функция двух переменных, то х(х) непрерывна.
Доказательство. Фиксируем точку х0 е Rm и число в > 0 . По теореме Кантора из непрерывности функции следует ее равномерная непрерывность на компактах, в частности на замкнутых параллелепипедах Q = {(х, t)|а < х < Ь; с < t < . Выберем вектора с и d из условия
^d ф( )>1 - ,
а вектора а и Ь из условия а < х0 < Ь .
Выберем число 5> 0 таким, чтобы все точки окрестности ||х - х0|| <5 удовлетворяли условию , и | сразу для всех из отрезка . Теперь, если
, то
'
I- •
с Д"-[с;')
По выбору числа и параллелепипеда получаем оценку первого интеграла
Для второго интеграла получаем
■
I- I- I- <
Я”-[с;') Д”-[с;') В"-[с;')
.
ВТ-[с' )
Из полученных оценок окончательно выводим
■
Лемма доказана.
Лемма 7. Если случайная величина Е имеет непрерывное распределение с плотностью (Rm ), при каждом фиксированном х f (х, t) суммируема по Лебегу как функция от
. '
t и для каждого х0 е В!”
11т Ц f (х, t)- f (х0, t)dt = 0, (13)
то х(х) непрерывна. В
Доказательство. Используя неравенство (1), получаем
х(х )-х(хо ) =
j [f (х t)- f (^ t)]p(t)dt < j \f (x t)- f (xo, t)dt
Теперь применяем (13) и получаем окончательно
lim х(х )=x(xo).
Лемма доказана.
Список литературы
1. Zadeh L. A. Fuzzy Sets // Inf. And Control. 1965. Vol. 8. P. 338-353.
2. Павлов А. В., Павлов В. Н. Математическое обоснование расчетов по оптимизационной межотраслевой модели с нечеткими параметрами // Вестн. Новосиб. гос. ун-та. Серия: Социально-экономические науки. 2006. Т. 6, вып. 1. С. 19-32.
Материал поступил в редколлегию 24.05.2007
'Л
A. V. Pavlov, V. N. Pavlov
Application of Integral Transformation in Economic Uncertainty Researches
The paper contents new results in researches of mathematical properties of Economic Uncertainty obtained on the base of application of fuzzy sets theory. Method of trustworthiness of coincidence of fuzzy sets is proposed. Then problem of application of trustworthiness of coincidence in macroeconomic analysis is studied.
